115 年 國立中央大學企業管理學系碩士班丁組《統計學》

此題考驗對 P 值在假設檢定中的意義與應用的理解。P 值是衡量在虛無假設為真時，觀察到現有樣本結果或更極端結果的機率。

(A) P 值的定義正確。P 值是根據檢定統計量計算出來的，用來評估觀察到的數據與虛無假設的符合程度。
(B) P 值越小，表示觀察到的結果在虛無假設為真的情況下越不可能發生，因此我們有越強的證據反對虛無假設，越傾向於拒絕它。此敘述正確。
(C) 若一個虛無假設在單尾檢定中被拒絕，表示我們有足夠證據反對虛無假設。

此題考驗對信賴區間 (Confidence Interval, CI) 的正確解釋。

一個 95% 信賴區間 (10.2, 18.6) 表示，我們有 95% 的信心，認為母體平均數 $\mu$ 落在這個區間內。然而，對信賴區間的解釋有幾點重要的注意事項：

(A) 和 (B) 錯誤。信賴區間的建構是基於樣本數據，而母體平均數 $\mu$ 是一個固定的、未知的常數。我們不能說 P($10.2 < \mu < 18.6$) = 0.95。信賴區間的機率是指在多次重複抽樣中，建構出的區間有多大的比例會包含真實的母體平均數。

此題考驗對估計量 (Estimator) 的性質，包括偏差 (Bias)、均方誤差 (Mean Squared Error, MSE) 和相對效率 (Relative Efficiency) 的理解。

已知母體參數真實值 $\theta = 3$。
估計量 $T_1$ 的期望值 $E(T_1) = 2$，變異數 $Var(T_1) = 1$。
估計量 $T_2$ 的期望值 $E(T_2) = 3$，變異數 $Var(T_2) = 2$。

我們逐一檢視每個敘述：

I. $T_1$ is a biased estimator of $\theta$
一個估計量是偏差的 (biased)，如果它的期望值不等於母體參數的真實值。
$E(T_1) = 2$，而真實值 $\theta = 3$。
由於 $E(T_1) \neq \theta$，所以 $T_1$ 是一個有偏差的估計量。此敘述正確。

II. The mean square error of $T_2$ is smaller than that of $T_1$
均方誤差 (MSE) 的定義為 $MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2$。
對於 $T_1$：
偏差 $Bias(T_1) = E(T_1) - \theta = 2 - 3 = -1$。
$MSE(T_1) = Var(T_1) + [Bias(T_1)]^2 = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$。

對於 $T_2$：
偏差 $Bias(T_2) = E(T_2) - \theta = 3 - 3 = 0$。
$MSE(T_2) = Var(T_2) + [Bias(T_2)]^2 = 2 + (0)^2 = 2 + 0 = 2$。

比較 $MSE(T_1)$ 和 $MSE(T_2)$，兩者都是 2。因此，$MSE(T_2)$ 並不小於 $MSE(T_1)$，它們是相等的。此敘述錯誤。

此題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解。CLT 是統計學中一個非常重要的定理，它描述了從任何分佈（不論是否為常態分佈）中抽取足夠大樣本的樣本平均數的分佈趨近於常態分佈的特性。

我們逐一檢視各選項：

(A) 正確。CLT 的核心思想是，即使母體分佈不是常態的，只要樣本數 $n$ 足夠大（通常認為 $n \ge 30$ 是一個經驗法則，但這取決於母體分佈的偏度和峰度），則樣本平均數的抽樣分佈就會近似於常態分佈。均勻分佈 (uniform distribution) 並非常態分佈，但若樣本數 $n$ 足夠大（「moderate value of n」在此語境下可理解為足夠大），則樣本平均數的分佈會近似常態。

此題考驗對機率論中事件關係的理解，包括互斥事件 (mutually exclusive events)、獨立事件 (independent events) 及其補集 (complements) 的關係。

我們逐一檢視各選項：

(A) 錯誤。若 A 和 B 互斥，表示 $A \cap B = \emptyset$ (不可能同時發生)。其補集分別為 $A^c$ 和 $B^c$。
考慮一個例子：設樣本空間為 {1, 2, 3, 4}。令 $A = \{1\}$，則 $A^c = \{2, 3, 4\}$。令 $B = \{2\}$，則 $B^c = \{1, 3, 4\}$。
A 和 B 互斥，因為 $A \cap B = \emptyset$。
但是，$A^c \cap B^c = \{2, 3, 4\} \cap \{1, 3, 4\} = \{3, 4\} \neq \emptyset$。
所以 $A^c$ 和 $B^c$ 並非互斥。

(B) 正確。若 A 和 B 是獨立事件，則 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
我們需要證明 $A^c$ 和 $B^c$ 也是獨立的，即 $P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c)$。
根據 De Morgan's Law， $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$。
所以 $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$。
我們知道 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
由於 A 和 B 獨立， $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
所以 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$。

核心觀念

本題考查「相對離散程度」的比較。當兩組資料的平均數不同時，不能只比較標準差，因為標準差受到資料尺度與平均水準影響。

比較相對離散程度應使用變異係數（coefficient of variation, CV）：

$$CV=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%$$

其中：

• $s$：標準差
• $\bar{x}$：平均數

$CV$ 越大，表示資料相對於其平均數的波動越大，也就是相對離散程度越高。

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解題方法

分別計算臺北市與臺中市的變異係數。

臺北市：

$$CV_{\text{Taipei}} =\frac{15}{120}\times 100\% =12.5\%$$

臺中市：

$$CV_{\text{Taichung}} =\frac{10}{60}\times 100\% \approx 16.67\%$$

因此：

$$CV_{\text{Taichung}}>CV_{\text{Taipei}}$$

表示雖然臺北市的薪資標準差較大，但相對於各自的平均薪資而言，臺中市的薪資離散程度反而較高。

此外，臺北市平均薪資為 $120$，臺中市平均薪資為 $60$，所以臺北市的平均薪資水準較高。

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選項分析

(A) 錯誤

臺北市的標準差為 $15$，臺中市為 $10$，確實有：

$$15>10$$

此題考驗樣本數的計算，以達到指定的信賴水準和誤差範圍。

當我們想要估計母體平均數 $\mu$ 時，樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈（感謝中央極限定理）。
其信賴區間的公式通常為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x}$ 是樣本平均數
• $z_{\alpha/2}$ 是在給定信賴水準下的標準常態分位數
• $\sigma$ 是母體標準差
• $n$ 是樣本數

誤差範圍 (Margin of Error, MOE) 是信賴區間的半寬，即 $MOE = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

題目要求：

1. 信賴水準 (Confidence Level) = 95%
2. 誤差範圍 (MOE) $\le 5$
3. 母體標準差 $\sigma \approx 20$

首先，找出 95% 信賴水準下的 $z_{\alpha/2}$ 值。
信賴水準為 95%，表示 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
$\alpha/2 = 0.025$。
查標準常態分佈表，對應於累積機率 $1 - 0.025 = 0.975$ 的 $z$ 值是 $1.96$。

此題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，涉及條件機率的計算，特別是在醫學診斷情境中。

我們定義以下事件：

• D: 該人生病 (Disease)
• $D^c$: 該人沒有生病 (No Disease)
• +: 檢測結果為陽性 (Positive Test)
• -: 檢測結果為陰性 (Negative Test)

根據題目提供的資訊：

1. 疾病發生率 (Population prevalence)：$P(D) = 0.01$。
   因此，沒有生病的機率 $P(D^c) = 1 - P(D) = 1 - 0.01 = 0.99$。
2. 檢測的靈敏度 (Sensitivity, True Positive Rate)：若有病，檢測為陽性的機率。$P(+|D) = 0.99$。
3. 檢測的特異度 (Specificity, True Negative Rate)：若無病，檢測為陰性的機率。$P(-|D^c) = 0.99$。
   因此，若無病，檢測為陽性的機率 (False Positive Rate) 為 $P(+|D^c) = 1 - P(-|D^c) = 1 - 0.99 = 0.01$。

此題考驗對「收集者問題」(Coupon Collector's Problem) 的理解。這個問題是機率論中的一個經典問題，問的是需要購買多少物品（在此是瓶蓋）才能收集到所有 $k$ 種不同的類型（在此是 5 種字母）。

令 $k=5$ 為我們需要收集的不同字母的數量。
假設每種字母出現的機率是相等的，即 $p = 1/k = 1/5$。

我們需要計算平均需要購買的瓶蓋數量。
我們可以用期望值的概念來解決。
設 $T$ 為收集到所有 $k$ 種不同字母所需的購買次數（瓶蓋數）。
我們將收集過程分為 $k$ 個階段：從收集到第 1 種字母，到收集到第 $k$ 種字母。

• 階段 1：收集到第 1 種字母。這很容易，第一次購買就一定能得到一種新的字母。所需的購買次數期望值是 1。
• 階段 2：收集到第 2 種不同的字母。此時我們已經有 1 種字母，需要再收集到一種不同的。有 $k-1$ 種是新的，有 1 種是重複的。每種字母出現的機率是 $1/k$。所以，在任何一次購買中，得到新字母的機率是 $\frac{k-1}{k}$。這是一個幾何分佈的場景，參數為 $p_2 = \frac{k-1}{k}$。所需的購買次數期望值是 $1/p_2 = \frac{k}{k-1}$。
• 階段 3：收集到第 3 種不同的字母。此時我們已有 2 種字母，需要再收集到一種不同的。有 $k-2$ 種是新的。得到新字母的機率是 $\frac{k-2}{k}$。所需的購買次數期望值是 $1/p_3 = \frac{k}{k-2}$。
• ...
• 階段 $i$：收集到第 $i$ 種不同的字母。已有 $i-1$ 種，需要再收集一種。有 $k-(i-1)$ 種是新的。得到新字母的機率是 $\frac{k-(i-1)}{k}$。所需的購買次數期望值是 $\frac{k}{k-(i-1)}$。
• ...
• 階段 $k$：收集到第 $k$ 種不同的字母。已有 $k-1$ 種，需要再收集最後一種。只有 1 種是新的。得到新字母的機率是 $\frac{1}{k}$。所需的購買次數期望值是 $\frac{k}{1}$。

總的期望購買次數 $E(T)$ 是所有階段期望次數的總和：
$E(T) = \sum_{i=1}^{k} \frac{k}{k-(i-1)}$

核心觀念

本題比較三種離散機率分配：

1. 超幾何分配（Hypergeometric distribution）
   從有限母體中「不放回抽樣」，因此每次抽樣的成功機率會改變。

2. 二項分配（Binomial distribution）
   進行 $n$ 次相互獨立的試驗，每次成功機率固定為 $p$。常見情況是「放回抽樣」，或母體很大、抽樣比例極低時，近似視為獨立抽樣。

3. 卜瓦松分配（Poisson distribution）
   當二項分配的試驗次數 $n$ 很大、成功機率 $p$ 很小，且 $\lambda=np$ 維持固定時，可用卜瓦松分配近似：

$$X\sim \operatorname{Binomial}(n,p) \quad\Longrightarrow\quad X\approx \operatorname{Poisson}(\lambda=np)$$

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解題方法

判斷本題各選項時，掌握兩個近似關係即可：

$$\text{超幾何分配}\approx \text{二項分配}$$

成立條件是母體很大、樣本相對母體很小，使得不放回抽樣造成的成功機率變化可以忽略。

另外：

$$\text{二項分配}\approx \text{卜瓦松分配}$$

成立條件是：

$$n\text{ 很大},\qquad p\text{ 很小},\qquad \lambda=np\text{ 固定}$$

因此，題目中的正確敘述應該是：

當母體相對於樣本數很大時，超幾何分配可以用二項分配近似；
當試驗次數很大且成功機率很小時，二項分配可以用卜瓦松分配近似。

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選項分析

(A) 錯誤

選項敘述為：

When the population size is large relative to the sample size, the binomial distribution can be approximated by the hypergeometric distribution.

母體很大、樣本相對很小時，不放回抽樣與獨立抽樣的結果接近，因此是：

$$\text{Hypergeometric}\approx \text{Binomial}$$

也就是「超幾何分配可由二項分配近似」，而不是二項分配由超幾何分配近似。

因此此選項的近似方向相反，錯誤。

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(B) 錯誤

選項敘述為：

The binomial distribution is used when sampling is done without replacement, while the hype

此題考驗信賴區間 (Confidence Interval, CI) 的長度如何隨著樣本數的變化而變化。

信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x}$ 是樣本平均數
• $z_{\alpha/2}$ 是在給定信賴水準下的標準常態分位數
• $\sigma$ 是母體標準差
• $n$ 是樣本數

信賴區間的長度 (Length) 是區間的上限減去下限，即 $2 \times MOE$ (Margin of Error)。
$Length = 2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

題目假設：

1. 信賴水準 (Confidence Level) 保持不變，這意味著 $z_{\alpha/2}$ 保持不變。
2. 母體標準差 $\sigma$ 假設為已知（或由 pilot study 估計），並且保持不變。
3. 樣本數 $n$ 被三倍，也就是新的樣本數 $n' = 3n$。

我們需要計算新的信賴區間長度 $Length'$ 相對於原始長度 $Length$ 的比例。

此題考驗簡單線性迴歸中的斜率估計值 ($b_1$) 和判定係數 ($R^2$) 的計算，以及它們與樣本相關係數 ($r$) 和樣本標準差 ($s_x, s_y$) 的關係。

在簡單線性迴歸模型 $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$ 中，斜率 $\beta_1$ 的樣本估計值 $b_1$ 可以通過以下公式計算：
$b_1 = r \frac{s_y}{s_x}$
其中：

• $r$ 是樣本相關係數
• $s_y$ 是樣本 $y$ 的標準差
• $s_x$ 是樣本 $x$ 的標準差

給定：

• 樣本相關係數 $r = 0.6$
• 樣本標準差 $s_x = 10$
• 樣本標準差 $s_y = 20$

此題考驗對多變量迴歸模型中自由度 (Degrees of Freedom, df) 的理解。

在迴歸分析中，總自由度 (Total df) 通常是樣本數減一。
總自由度 = $n - 1$
其中 $n$ 是觀察值的數量。

迴歸自由度 (Regression df) 是指模型中解釋變數 (independent variables) 的數量。
迴歸自由度 = $k$
其中 $k$ 是獨立變數的數量。

殘差自由度 (Residual df)，也稱為誤差自由度 (Error df)，是總自由度減去迴歸自由度。
殘差自由度 = $(n - 1) - k$

根據題目資訊：

• 樣本數 $n = 25$。
• 獨立變數的數量 (three independent variables) = 3。所以 $k = 3$。

核心觀念

本題考查二項分配下的假設檢定，以及兩類錯誤：

• 型一錯誤（Type I error）：虛無假設 $H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$。
• 型二錯誤（Type II error）：虛無假設 $H_0$ 為假，卻接受 $H_0$。

令 $X$ 表示樣本中支持調漲票價的人數，則

$$X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$$

題目設定的接受域為：

$$570\leq X\leq 630$$

因此：

• 型一錯誤：$P(X<570\text{ 或 }X>630\mid p=0.6)$。
• 型二錯誤：$P(570\leq X\leq630\mid p=0.48)$。

題幹寫樣本數為 $600$，但接受域上限為 $630$，與樣本數矛盾；依選項與數字設定，應為樣本數 $n=1000$。以下依此合理假設計算。

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解題方法：型一錯誤

在虛無假設成立時：

$$H_0:p=0.6$$

若 $n=1000$，則

$$X\sim\operatorname{Binomial}(1000,0.6)$$

其平均數與標準差為：

$$\mu=np=1000(0.6)=600$$ $$\sigma=\sqrt{np(1-p)} =\sqrt{1000(0.6)(0.4)} =\sqrt{240}\approx15.49$$

接受域為 $570\leq X\leq630$，因此型一錯誤發生在兩側尾端：

$$\alpha=P(X<570)+P(X>630)$$

利用常態近似並採連續性修正：

$$\alpha\approx P\left(Z<\frac{569.5-600}{15.49}\right) + P\left(Z>\frac{630.5-600}{15.49}\right)$$

由於接受域以 $600$ 為中心，兩側對稱：

$$z=\frac{30.5}{15.49}\approx1.97$$

所以

$$\alpha\approx2P(Z>1.97) =2(0.0244) \approx0.0488$$

因此：

$$P(\text{Type I error})\approx0.05$$

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解題方法：型二錯誤

若實際上只有 $48\%$ 的居民支持調漲票價，則

$$p=0.48$$

此時：

$$X\sim\operatorname{Binomial}(1000,0.48)$$

平均數與標準差為：

此題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 中的組內均方 (Mean Square Within, MSW) 的計算。MSW 也稱為誤差均方 (Mean Square Error, MSE)。

在 ANOVA 中，MSW 是用來估計母體變異數 $\sigma^2$ 的無偏差估計量。
MSW 的計算公式為：
$MSW = \frac{SSE}{df_{within}}$
其中：

• $SSE$ 是組內平方和 (Sum of Squares Within, Sum of Squares Error)。
• $df_{within}$ 是組內自由度 (Degrees of Freedom Within)。

首先，計算組內平方和 $SSE$。
$SSE = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x}_i)^2$
其中 $k$ 是組數， $n_i$ 是第 $i$ 組的樣本數，$x_{ij}$ 是第 $i$ 組的第 $j$ 個觀測值，$\bar{x}_i$ 是第 $i$ 組的樣本平均數。
然而，題目直接給出了每組的標準差 ($s_i$)，而不是原始數據。
我們知道，組內平方和與組內標準差的關係是：
$s_i^2 = \frac{\sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x}_i)^2}{n_i - 1}$
所以，$\sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x}_i)^2 = s_i^2 (n_i - 1)$。
因此，$SSE = \sum_{i=1}^{k} s_i^2 (n_i - 1)$。

接著，計算組內自由度 $df_{within}$。
$df_{within} = \sum_{i=1}^{k} (n_i - 1) = (\sum n_i) - k$。

題目中的數據：

• 組數 $k = 3$ (Financial, Information technology, Government)。
• 組別 1 (Financial): $n_1 = 10$, $\bar{x}_1 = 31.6$, $s_1 = 2.68$。

此題考驗隨機變數的期望值、變異數、共變異數以及條件期望值的計算。題目給予了部分資訊，但其中有些資訊是矛盾或冗餘的，需要仔細釐清。

首先，我們分析題目給定的資訊：

1. $X, Y$ 是隨機變數。
2. $E(X) = \mu_x$
3. $Var(X) = \sigma_x^2$
4. $E(Y) = \mu_y$
5. $Var(Y) = \sigma_y^2$
6. $E(XY) = 2Y^2$
7. $E(Y|X) = 2Y$
8. $E(Y|X) = 3$
9. $\mu_x$ and $\sigma_x^2$ are unknown.
10. Assume that $E(X)=3$ and $\sigma_x^2=2$.

資訊的矛盾與釐清：

• 資訊 9 說 $\mu_x$ 和 $\sigma_x^2$ 是未知的。

• 資訊 10 說假設 $E(X)=3$ 和 $\sigma_x^2=2$。
  這表示我們應該使用資訊 10 中的數值，即 $\mu_x = 3$ 和 $\sigma_x^2 = 2$。

• 資訊 7 說 $E(Y|X) = 2Y$。

• 資訊 8 說 $E(Y|X) = 3$。
  這兩個條件是矛盾的。如果 $E(Y|X) = 2Y$ 是一個恆等式，那麼 $E(Y|X)$ 的值就取決於 $Y$ 的值，它本身是一個隨機變數。而 $E(Y|X) = 3$ 是一個常數。
  一般情況下，$E(Y|X=x)$ 是關於 $x$ 的函數。如果 $E(Y|X)=3$ 恆成立，這意味著 $Y$ 與 $X$ 無關，且 $E(Y)=3$。
  如果 $E(Y|X)=2Y$ 恆成立，這意味著 $E(Y|X)$ 是一個關於 $Y$ 的函數。
  這兩個陳述不能同時為真，除非 $Y$ 是一個常數。如果 $Y$ 是常數，那麼 $E(Y) = Y$ 且 $Var(Y)=0$。
  如果 $Y$ 是常數，且 $E(Y|X) = 3$，則 $Y=3$。
  如果 $Y$ 是常數，且 $E(Y|X) = 2Y$，則 $Y=2Y$，這意味著 $Y=0$。
  這兩個假設（$Y=3$ 和 $Y=0$）是矛盾的。

  最常見的解釋是，題目可能想給出兩個獨立的條件，其中一個是錯誤的，或者需要根據上下文選擇。
  在給定 $E(XY)=2Y^2$ 的情況下，如果 $E(Y|X)=3$ 恆成立，那麼 $E(Y)=3$。
  $E(XY) = E[E(XY|X)]$。
  $E(XY) = E[Y E(X|X)]$ -- 這不是正確的鏈式法則。
  正確的鏈式法則：$E(XY) = E[X E(Y|X)]$。
  如果 $E(Y|X) = 3$，則 $E(XY) = E[X \times 3] = 3 E(X) = 3 \times 3 = 9$。
  但是，題目給定 $E(XY) = 2Y^2$。這意味著 $E(XY)$ 是一個隨機變數，而不是一個常數。
  這暗示了 $Y$ 可能不是一個常數。

  另一個解釋是，題目中的 $E(Y|X)=2Y$ 和 $E(Y|X)=3$ 是獨立的陳述，其中一個可能適用於某種情況，或者其中一個是印刷錯誤。
  讓我們假設 $E(Y|X) = 3$ 是正確的，因為它是一個常數，比較容易處理。
  如果 $E(Y|X) = 3$，那麼 $E(Y) = E[E(Y|X)] = E[3] = 3$。
  那麼 $E(XY) = E[X E(Y|X)] = E[X \times 3] = 3 E(X) = 3 \times 3 = 9$。
  但題目給定 $E(XY) = 2Y^2$。
  這又產生了矛盾。$E(XY)$ 必須是一個常數，但 $2Y^2$ 是一個隨機變數。
  除非 $Y$ 是一個常數，但如果 $Y$ 是常數，則 $Y=3$ (from $E(Y|X)=3$)，則 $E(XY) = E(3X) = 3E(X) = 9$。
  而 $2Y^2 = 2(3^2) = 18$。
  $9 \neq 18$，所以 $Y$ 不能是常數 3。

  如果我們假設 $E(Y|X) = 2Y$ 是正確的。
  那麼 $E(Y) = E[E(Y|X)] = E[2Y] = 2 E(Y)$。
  這意味著 $E(Y) = 0$。
  如果 $E(Y) = 0$，那麼 $\mu_y = 0$。
  然後， $E(XY) = E[X E(Y|X)] = E[X (2Y)] = 2 E(XY)$。
  這也意味著 $E(XY) = 0$。
  但是，題目給定 $E(XY) = 2Y^2$。
  如果 $E(XY) = 0$，那麼 $E(2Y^2) = 0$，即 $2 E(Y^2) = 0$，所以 $E(Y^2) = 0$。
  如果 $E(Y^2) = 0$，由於 $Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2$，且 $E(Y)=0$，所以 $Var(Y) = 0 - 0^2 = 0$。
  這意味著 $Y$ 是一個常數，且 $Y=0$。
  如果 $Y=0$ 是常數，那麼 $E(Y|X) = 2Y = 2(0) = 0$。
  這與 $E(Y|X)=3$ 矛盾。

  結論：題目中的資訊存在嚴重的矛盾。
  最有可能的解釋是，有印刷錯誤，或者題目希望我們忽略某些資訊。
  讓我們嘗試一種可能的解釋：

  • 假設 $E(X)=3$ 和 $\sigma_x^2=2$ 是確定的。
  • 假設 $E(Y|X) = 3$ 是正確的 (因為它是一個常數)。
  • 假設 $E(XY) = 2Y^2$ 是錯誤的，或者需要用 $E(Y|X)=3$ 來推導。
  • 忽略 $E(Y|X) = 2Y$。

  如果 $E(Y|X)=3$ 恆成立，則 $E(Y)=3$。
  並且 $E(XY) = E[X E(Y|X)] = E[X \times 3] = 3 E(X) = 3 \times 3 = 9$。
  如果我們採用這個推導，那麼 $E(XY)=9$。
  但是，題目給定 $E(XY) = 2Y^2$。這仍然是矛盾的，除非 $2Y^2=9$ 恆成立，這意味著 $Y^2 = 4.5$， $Y=\pm\sqrt{4.5}$，這表示 $Y$ 是一個常數，但是 $E(Y|X)=3$ 則意味著 $Y=3$。$3^2 = 9 \neq 4.5$。

  另一種可能的解釋：

  • 假設 $E(XY) = 2Y^2$ 是正確的。
  • 假設 $E(Y|X) = 2Y$ 是正確的。
  • 忽略 $E(Y|X) = 3$。
  • 如上分析，這導出 $E(Y)=0$, $E(XY)=0$, $E(Y^2)=0$, $Var(Y)=0$, $Y=0$ (常數)。
  • 如果 $Y=0$ 是常數，那麼 $E(Y|X)=2Y=0$。
  • 這與 $E(Y|X)=3$ 矛盾。

  最後一種解釋，可能是題目想表達：

  • $E(X)=3$, $Var(X)=2$
  • $E(Y)= \mu_y$, $Var(Y)=\sigma_y^2$
  • $E(XY) = \text{some value}$ (可能是常數)
  • $E(Y|X=x) = \text{some function of x}$。
  • 題目給定的 $E(XY)=2Y^2$ 和 $E(Y|X)=2Y$, $E(Y|X)=3$ 是混亂的。

  我將嘗試用最「標準」的統計學方法來處理，並假設其中一個矛盾的條件是主要依據。
  通常，關於 $E(Y|X)$ 的陳述是分析共變異數的關鍵。

  假設 $E(Y|X) = 3$ 是正確的。
  那麼 $E(Y) = E[E(Y|X)] = E[3] = 3$。
  $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。
  如果 $E(Y|X)=3$，則 $E(XY) = E[X E(Y|X)] = E[X \times 3] = 3 E(X) = 3 \times 3 = 9$。
  那麼 $Cov(X, Y) = 9 - (3 \times 3) = 0$。

這是一道關於隨機完全區集設計 (Randomly Completely Blocked Design, RCB) 和完全隨機設計 (Completely Randomized Design, CRD) 的 ANOVA 分析題目。

Part (1): Describe main assumptions needed for valid results. (3%)
進行 ANOVA 分析，特別是基於 F 檢定的結果，需要以下主要假設：

1. 獨立性 (Independence)：各組內的觀測值以及各組之間的觀測值是相互獨立的。對於 RCB 設計，區集內和區集間的觀測值也應獨立。
2. 常態性 (Normality)：殘差（或各組內的觀測值）應近似服從常態分佈。也就是說，對於每個處理（咖啡豆混合物）和每個區集（城市），其結果應來自常態分佈。
3. 變異數同質性 (Homogeneity of variances)：各組（或各處理）的母體變異數應該相等。在 RCB 設計中，殘差的變異數應在所有區集和處理之間是相等的。
4. 加法模型 (Additivity)：處理效應和區集效應應是加法的，即處理和區集之間沒有顯著的交互作用。這意味著某種處理的效應在不同區集中的差異是相似的，反之亦然。

Part (2): Construct a RCB ANOVA table and conduct a F-test on $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$ at $\alpha = 0.05$. State your conclusion. (8%)

RCB 設計的 ANOVA 表結構：

變異來源 (Source of Variation)	自由度 (df)	平方和 (SS)	均方 (MS)	F 統計量 (F-statistic)
區集 (Blocks, City)	$b-1$	$SS_B$	$MS_B$	$MS_B / MS_E$
處理 (Treatments, Blend)	$k-1$	$SS_T$	$MS_T$	$MS_T / MS_E$
殘差 (Error)	$(b-1)(k-1)$	$SSE$	$MS_E$
總計 (Total)	$bk-1$	$SST$

其中：

• $b$ 是區集數量 (城市數) = 3。
• $k$ 是處理數量 (咖啡豆混合物數) = 3。
• $bk$ 是總觀測數 = $3 \times 3 = 9$。

步驟：

1. 計算總平均值 ($\bar{x}_{grand}$)：
   所有數據的總和 = (85+90+82) + (75+80+70) + (68+72+60) = 257 + 225 + 200 = 682。
   總觀測數 $bk = 9$。
   $\bar{x}_{grand} = 682 / 9 \approx 75.7778$。

2. 計算總平方和 (SST)：
   $SST = \sum_{i=1}^{b} \sum_{j=1}^{k} (x_{ij} - \bar{x}_{grand})^2$
   $SST = (85-75.7778)^2 + (90-75.7778)^2 + (82-75.7778)^2 + \dots + (60-75.7778)^2$
   $SST = (9.2222)^2 + (14.2222)^2 + (6.2222)^2 + (-0.7778)^2 + (4.2222)^2 + (-5.7778)^2 + (-7.7778)^2 + (-3.7778)^2 + (-15.7778)^2$
   $SST \approx 85.04 + 202.27 + 38.72 + 0.61 + 17.83 + 33.38 + 60.50 + 14.27 + 248.93$
   $SST \approx 701.55$

3. 計算區集平方和 ($SS_B$)：
   $SS_B = k \sum_{i=1}^{b} (\bar{x}_{i.} - \bar{x}_{grand})^2$ (其中 $\bar{x}_{i.}$ 是第 i 行的平均值)
   Taipei: $(85+90+82)/3 = 257/3 \approx 85.6667$
   Taichung: $(75+80+70)/3 = 225/3 = 75.0000$
   Kaohsiung: $(68+72+60)/3 = 200/3 \approx 66.6667$
   $SS_B = 3 \times [(85.6667-75.7778)^2 + (75.0000-75.7778)^2 + (66.6667-75.7778)^2]$
   $SS_B = 3 \times [(9.8889)^2 + (-0.7778)^2 + (-9.1111)^2]$
   $SS_B = 3 \times [97.79 + 0.61 + 83.01]$
   $SS_B = 3 \times 181.41 \approx 544.23$

4. 計算處理平方和 ($SS_T$)：
   $SS_T = b \sum_{j=1}^{k} (\bar{x}_{.j} - \bar{x}_{grand})^2$ (其中 $\bar{x}_{.j}$ 是第 j 列的平均值)
   Blend A: $(85+75+68)/3 = 228/3 = 76.0000$
   Blend B: $(90+80+72)/3 = 242/3 \approx 80.6667$
   Blend C: $(82+70+60)/3 = 212/3 \approx 70.6667$
   $SS_T = 3 \times [(76.0000-75.7778)^2 + (80.6667-75.7778)^2 + (70.6667-75.7778)^2]$
   $SS_T = 3 \times [(0.2222)^2 + (4.8889)^2 + (-5.1111)^2]$
   $SS_T = 3 \times [0.05 + 23.90 + 26.12]$
   $SS_T = 3 \times 50.07 \approx 150.21$

5. 計算殘差平方和 ($SSE$)：
   $SSE = SST - SS_B - SS_T$
   $SSE = 701.55 - 544.23 - 150.21 = 7.11$

6. 計算自由度 (df)：
   $df_{Blocks} = b-1 = 3-1 = 2$
   $df_{Treatments} = k-1 = 3-1 = 2$
   $df_{Error} = (b-1)(k-1) = (3-1)(3-1) = 2 \times 2 = 4$
   $df_{Total} = bk-1 = 3 \times 3 - 1 = 8$
   (檢查：$df_{Blocks} + df_{Treatments} + df_{Error} = 2 + 2 + 4 = 8 = df_{Total}$。正確。)

7. 計算均方 (MS)：
   $MS_B = SS_B / df_{Blocks} = 544.23 / 2 = 272.115$
   $MS_T = SS_T / df_{Treatments} = 150.21 / 2 = 75.105$
   $MS_E = SSE / df_{Error} = 7.11 / 4 = 1.7775$

8. 計算 F 統計量：
   F-test for treatments: $F = MS_T / MS_E = 75.105 / 1.7775 \approx 42.25$

9. F 檢定：
   虛無假設 $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$ (所有咖啡豆混合物的平均滿意度相同)。
   對立假設 $H_1$: 至少有一個混合物的平均滿意度不同。
   顯著水準 $\alpha = 0.05$。
   自由度為 $(df_T, df_E) = (2, 4)$。
   查 F 分佈表，在 $\alpha=0.05$, $df_1=2$, $df_2=4$ 下，臨界值 $F_{critical}$ 約為 6.94。
   由於計算出的 F 統計量 $F \approx 42.25$ 遠大於臨界值 6.94 ($F_{calc} > F_{critical}$)，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

10. 結論：
    在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，有足夠的統計證據表明，這三種新的咖啡豆混合物對顧客滿意度有顯著不同的影響。也就是說，至少有一種咖啡豆混合物的平均顧客滿意度與其他混合物不同。

ANOVA Table:

Source of Variation	df	SS	MS	F
Blocks (City)	2	544.23	272.115	153.09
Treatments (Blend)	2	150.21	75.105	42.25
Error	4	7.11	1.7775
Total	8	701.55

結論： 拒絕 $H_0$，$F(2, 4) = 42.25$, $p < 0.05$。三種咖啡豆混合物的平均顧客滿意度有顯著差異。

Part (3): Analyze as CRD, conduct F-test on $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$ at $\alpha = 0.05$. State conclusion and what happens when ignoring blocking. (5%)

CRD 設計的 ANOVA 表結構：

變異來源 (Source of Variation)	自由度 (df)	平方和 (SS)	MS	F 統計量 (F-statistic)
處理 (Treatments, Blend)	$k-1$	$SS_T$	$MS_T$	$MS_T / MS_E$
殘差 (Error)	$n_{total}-k$	$SSE$	$MS_E$