114 年國立中央大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》考古題與詳解

Question 1

Which of the following statements concerning outlier detection is false?

(A) The box plot method uses the quartiles as a basis for detecting outliers.
(B) The $z$ -score method is better at detecting outliers than the box plot method since it is less affected by the extreme observation in the data set.
(C) The $z$ -score method uses the mean and standard deviation as a basis for detecting outliers.
(D) The box plot method is better at detecting outliers than the $z$ -score method since it is less affected by the extreme observation in the data set.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查箱形圖法與 $z$ 分數法偵測離群值的依據，以及極端觀測值對兩種方法的影響。 箱形圖法以四分位數和四分位距為基礎，其中 $IQR=Q3-Q1$。常用的離群值判定界線為： $$ Q1-1.5IQR \quad	ext{與}\quad Q3+1.5IQR $$ $z$ 分數法則以平均數 $\bar{x}$ 和標準差 $s$ 為基礎，衡量觀測值距離平均數幾個標準差： $$ z=\frac{x-\bar{x}}{s} $$ 常見判準是 $|z|3$ 時視為離群值。 解題方法 圖中第 1 題詢問哪一項關於離群值偵測的敘述為錯，選項比較箱形圖法與 $z$ 分數法的依據及其受極端觀測值影響的程度。判斷關鍵是：箱形圖法使用四分位數，較不受極端值影響；$z$ 分數法使用平均數與標準差，容易受極端值影響。

Question 2

Investing is a game of chance. Suppose there is a 30% chance that a risky stock investment will end up in a total loss of your investment.

Because the rewards are so high, you decide to invest in four independent risky stocks. Find the probability that at least one of your investments becomes a total loss.

(A) $0.0081$
(B) $0.2401$
(C) $0.7599$
(D) $0.9919$

Accepted Answer

核心觀念

每檔股票以 $0.3$ 的機率全部損失投資，以 $0.7$ 的機率不會全部損失。四檔投資彼此獨立，因此可將各檔股票的機率相乘。

題目要求「至少一檔全部損失」，直接計算不便；改算其互補事件「四檔都沒有全部損失」，再用 $1$ 減去該事件的機率：

P(\text{至少一檔全部損失}) =1-P(\text{四檔都沒有全部損失})

解題方法

單檔股票沒有全部損失的機率為：

1-0.3=0.7

因四檔投資彼此獨立，四檔都沒有全部損失的機率為：

0.7^4=0.2401

因此，至少一檔全部損失的機率為：

1-0.2401=0.7599

選項分析

Question 3

The number of traffic accidents that occur on a particular stretch of road during a month follows a Poisson distribution with a mean of 1.

Find the probability of observing exactly 3 accidents on this stretch of road in the next two months. (Note: $e=2.7183$ )

(A) $0.0613$
(B) $0.4905$
(C) $0.0226$
(D) $0.1804$

Accepted Answer

核心觀念

若一段道路每月事故數服從卜瓦松分配，且每月平均事故數為 $\lambda=1$ ，則在兩個月內的平均事故數為

\lambda_{2\text{個月}}=2\times 1=2

因此，接下來兩個月的事故總數 $X$ 服從平均數為 $2$ 的卜瓦松分配。卜瓦松機率質量函數為

P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}

解題方法

題目要求兩個月內「恰好」發生 $3$ 起事故，因此令 $x=3$ 、 $\lambda=2$ ，代入卜瓦松公式：

P(X=3)=\frac{e^{-2}2^3}{3!}

利用題目給定的 $e=2.7183$ ：

P(X=3)=\frac{1}{(2.7183)^2}\times\frac{8}{6} \approx 0.13534\times 1.3333 \approx 0.1804

選項分析

Question 4

The amount of time it takes to take an exam has a skewed left distribution with a mean of 65 minutes and a standard deviation of 4 minutes.

If 64 students were randomly sampled, find the probability that the sample mean of the sampled students exceeds 66 minutes.

(A) $0.0228$
(B) $0.3085$
(C) $0.4772$
(D) Approximately $0$

Accepted Answer

核心觀念

本題考「樣本平均數的抽樣分配」與中央極限定理。母體平均數為 $\mu$ 、標準差為 $\sigma$ ，樣本數為 $n$ 時，樣本平均數 $\bar X$ 的平均數與標準誤分別為

E(\bar X)=\mu,\qquad SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.

母體分配雖然左偏，但樣本數 $n=64$ 足夠大，可由中央極限定理將 $\bar X$ 的抽樣分配近似為常態分配。

解題方法

已知 $\mu=65$ 分鐘、 $\sigma=4$ 分鐘、 $n=64$ 。先計算樣本平均數的標準誤：

SE(\bar X)=\frac{4}{\sqrt{64}}=\frac{4}{8}=0.5\text{ 分鐘}.

將 $\bar X=66$ 標準化為 $z$ 分數：

z=\frac{66-65}{0.5}=2.

因此，

Question 5

Suppose a 95% confidence interval for $p$ turns out to be $(0.36,0.44)$ . Give a definition of what it means to be “95% confident” in an inference.

(A) In repeated sampling, the population parameter $p$ would fall in the given interval 95% of the time.
(B) 95% of the observations in the entire population fall in the given interval.
(C) In repeated sampling, 95% of the intervals constructed would contain the population parameter $p$ .
(D) 95% of the observations in the sample fall in the given interval.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查信賴區間的頻率學派解釋。母體參數 $p$ 是固定但未知的數值；抽樣結果會改變，因此依不同樣本算出的信賴區間也會改變。 「95% 信賴」指的是：若在相同條件下反覆抽樣，並每次都用同一方法建立信賴區間，長期而言約有 $95\%$ 的區間會涵蓋固定的母體參數 $p$。 解題方法 題目給出的區間是 $(0.36,0.44)$，但判斷「95% 信賴」的定義時，重點不在區間端點，而在重複抽樣下，建立區間的方法有多常涵蓋真實參數。 設每次抽樣所建立的區間為 $I$，則 95% 信賴水準表示： $$ P(p \in I)=0.95 $$ 此處的機率描述的是抽樣與區間建構方法在重複進行時的涵蓋比例，而不是固定參數 $p$ 本身在已算出的區間內隨機變動。 選項分析

Question 6

A university dean is interested in determining the proportion of students who receive some sort of financial aid.

Rather than examine the records for all students, the dean randomly selects 200 students and finds that 118 of them are receiving financial aid.

If the dean wanted to estimate the proportion of all students receiving financial aid to within 3% with 95% reliability, how many students would need to be sampled?

(A) $1068$
(B) $1033$
(C) $752$
(D) $728$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查母體比例的樣本數估計。在信賴水準固定、允許誤差固定時，估計母體比例所需的樣本數為 $$ n=\frac{z{\alpha/2}^{\,2}\hat p(1-\hat p)}{E^2} $$ 其中，$\hat p$ 是先導樣本得到的比例估計值，$E$ 是允許誤差，$z{\alpha/2}$ 是標準常態分配的臨界值。題目給定 95% 信賴水準與 3% 誤差，因此 $z{\alpha/2}=1.96$、$E=0.03$。 解題方法 先由抽出的 200 位學生計算接受助學金的樣本比例： $$ \hat p=\frac{118}{200}=0.59,\qquad 1-\hat p=0.41 $$ 代入樣本數公式： $$ n=\frac{(1.96)^2(0.59)(0.41)}{(0.03)^2} =\frac{3.8416	imes 0.2419}{0.0009} \approx 1032.54 $$ 樣本數必須取整數，且需確保誤差不超過 3%，因此一律向上取整： $$ n=1033 $$ 此數字代表所需的總樣本數；題目所給的 200 人是用來估計比例的先導樣本。 選項分析

Question 7

Suppose we wish to test $H0:\mu=60$ vs. $H1:\mu<60$. Which of the following possible sample results gives more evidence to support $H1$ (i.e., reject $H0$)? (A) $\bar{x}=57,\ s=5$ (B) $\bar{x}=58,\ s=4$ (C) $\bar{x}=62,\ s=2$ (D) $\bar{x}=56,\ s=10$

Accepted Answer

核心觀念 這題考單一母體平均數的左尾檢定： $$ H0:\mu=60,\qquad H1:\mu<60 $$ 若母體標準差未知，通常以單一樣本 $t$ 統計量衡量樣本平均數低於 60 的程度： $$ t=\frac{\bar{x}-60}{s/\sqrt{n}} $$ 在樣本數 $n$ 相同時，$t$ 越小（越負），代表樣本平均數相對於標準誤越低，對左尾對立假設 $H1$ 的支持越強；相應的左尾 $p$ 值也越小。 解題方法 題目未提供樣本數，因此比較時採用各選項的樣本數相同這項標準假設。由於 $n$ 相同，$t$ 統計量中的共同因子 $\sqrt{n}$ 不影響選項排序，只要比較： $$ \frac{\bar{x}-60}{s} $$ 各選項計算如下： - (A)：$\dfrac{57-60}{5}=-0.60$ - (B)：$\dfrac{58-60}{4}=-0.50$ - (C)：$\dfrac{62-60}{2}=1.00$ - (D)：$\dfrac{56-60}{10}=-0.40$

Question 8

Suppose the population is normal and the variance is unknown. If I test $H0:\mu=70$ vs. $H1:\mu
e70$ and my test statistic is $-2.85$ for $n=16$, then my $p$-value for this test will be: (A) $0.0044$ (B) $0.005<p	ext{-value}<0.01$ (C) $0.01<p	ext{-value}<0.02$ (D) $0.02<p	ext{-value}<0.05$

Accepted Answer

核心觀念 母體為常態、母體變異數未知，檢定母體平均數時應使用單一樣本 $t$ 檢定。其檢定統計量服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配。 本題為雙尾檢定，$H1:\mu
e70$，因此 $p$ 值是觀察到的檢定統計量在兩側尾端的機率總和。 解題方法 樣本數 $n=16$，故自由度為 $$ df=n-1=15 $$ 觀察到的檢定統計量為 $t=-2.85$。由於 $t$ 分配對稱，雙尾 $p$ 值為 $$ p=2P(T{15}\le -2.85) =2P(T{15}\ge 2.85) \approx 0.012 $$ 因此 $p$ 值落在 $0.01$ 與 $0.02$ 之間，選 (C)。 選項分析

Question 9

The standard error of the mean for a sample of 100 is 30. In order to cut the standard error of the mean to 15, we would:

(A) Increase the sample size to 200.
(B) Increase the sample size to 400.
(C) Decrease the sample size to 50.
(D) Decrease the sample size to 25.

Accepted Answer

核心觀念 樣本平均數的標準誤為 $$ SE{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 其中 $\sigma$ 是母體標準差，$n$ 是樣本數。當母體標準差固定時，標準誤與樣本數平方根成反比；樣本數增加，標準誤下降。 解題方法 題目給定樣本數 $n1=100$ 時，標準誤 $SE1=30$。目標是將標準誤降為 $SE2=15$。比較兩種標準誤： $$ \frac{SE2}{SE1} = \sqrt{\frac{n1}{n2}} $$ 代入數值： $$ \frac{15}{30} = \sqrt{\frac{100}{n2}} $$ 兩邊平方後可得： $$ \frac{1}{4}=\frac{100}{n2} \quad\Longrightarrow\quad n2=400 $$ 因此，樣本數須增加至 $400$。標準誤減半，樣本數要變為原來的四倍。 選項分析

Question 10

The probability distribution shown below describes a population of measurements.

$x$	$0$	$2$	$4$
$P(X=x)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

Suppose that we took repeated random samples of $n=2$ observations from the population described above.

Which of the following would represent the sampling distribution of the sample mean?

(A) $\begin{array}{c|ccccc}\bar{x}&0&1&2&3&4\\\hline P(\bar{X}=\bar{x})&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{3}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{array}$
(B) $\begin{array}{c|ccccc}\bar{x}&0&1&2&3&4\\\hline P(\bar{X}=\bar{x})&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{array}$
(C) $\begin{array}{c|ccccc}\bar{x}&0&1&2&3&4\\\hline P(\bar{X}=\bar{x})&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}\end{array}$
(D) $\begin{array}{c|ccc}\bar{x}&0&2&4\\\hline P(\bar{X}=\bar{x})&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{array}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考「樣本平均數的抽樣分配」。母體每次抽出的觀測值為 $0$、$2$、$4$，各自機率為 $\frac{1}{3}$；抽取 $n=2$ 個觀測值後，樣本平均數為 $$ \bar{X}=\frac{X1+X2}{2} $$ 隨機抽樣下，兩次抽取的組合機率由各次抽取的機率相乘得到。 解題方法 依原卷圖，母體分配為 $x=0,2,4$，且三個值的機率皆為 $\frac{1}{3}$；題目要求從此母體抽取 $n=2$ 個觀測值，計算樣本平均數的抽樣分配。 兩次抽取共有 $3	imes3=9$ 種等機率的有序結果，每種結果的機率都是 $\frac{1}{9}$。列出結果並計算平均數： | $(X1,X2)$ | $(0,0)$ | $(0,2)$ | $(0,4)$ | $(2,0)$ | $(2,2)$ | $(2,4)$ | $(4,0)$ | $(4,2)$ | $(4,4)$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | $\bar{X}$ | $0$ | $1$ | $2$ | $1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $3$ | $4$ | 因此，樣本平均數各值出現的次數為 $1,2,3,2,1$，其抽樣分配為

Question 11

In a controlled laboratory environment, a random sample of 10 adults and a random sample of 10 children were tested by a psychologist to determine the room temperature that each person finds most comfortable.

The data are summarized below:

	Sample mean	Sample variance
Adults	$25.5^\circ\mathrm{C}$	$1.39$
Children	$23.5^\circ\mathrm{C}$	$0.77$

Find the standard error of the estimate for the difference in mean comfortable room temperatures between adults and children.

(A) $1.08$
(B) $1.0392$
(C) $0.216$
(D) $0.4648$

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：

Accepted Answer

核心觀念 兩組獨立隨機樣本的樣本平均數之差，其估計標準誤為： $$ SE(\bar X1-\bar X2) = \sqrt{\frac{s1^2}{n1}+\frac{s2^2}{n2}} $$ 其中 $s1^2$、$s2^2$ 是兩組的樣本變異數，$n1$、$n2$ 是樣本數。標準誤衡量的是「樣本平均數之差」的抽樣變動，不是兩組平均數本身的差。 解題方法 圖中第 11 題給定成人與兒童各抽樣 $10$ 人；成人的樣本變異數為 $1.39$，兒童的樣本變異數為 $0.77$。題目要估計兩組平均舒適室溫之差的標準誤，因此將兩組樣本變異數分別除以樣本數後相加，再開平方：

Question 12

Given $H0:\mu=70$ vs. $H1:\mu
e70$, and $p	ext{-value}=0.033$. What conclusion would you draw at the $0.01$ level of significance? (A) Accept $H0$ (B) Fail to reject $H0$ (C) Reject $H0$ (D) Not sufficient information to decide

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗以 $p$ 值與顯著水準 $\alpha$ 比較，判斷是否拒絕虛無假設。 $p$ 值是在虛無假設 $H0$ 成立的前提下，觀察到目前樣本結果或更極端結果的機率。判斷規則為： $$ \begin{cases} p	ext{-value}\leq \alpha & 	ext{拒絕 }H0,\ p	ext{-value}\alpha & 	ext{不拒絕 }H0. \end{cases} $$ 「不拒絕 $H0$」不代表已證明 $H0$ 為真，只表示證據尚未達到設定的顯著水準。 解題方法 題目給定 $p	ext{-value}=0.033$，顯著水準為 $\alpha=0.01$。比較兩者： $$ 0.0330.01 $$ 因此，樣本證據未達到 $1\%$ 顯著水準，結論為不拒絕 $H0$。 選項分析

Question 13

The time between landings of airplanes at the Taoyuan airport follows an exponential distribution with a mean of 30 seconds.

Find the probability that there will be between a 15-second and a 45-second gap between landings at the Taoyuan airport. (Note: $e=2.7183$ )

(A) $0.6065$
(B) $0.2231$
(C) $0.8297$
(D) $0.3834$

Accepted Answer

核心觀念

等待時間 $X$ 服從指數分配，平均數為 $30$ 秒。指數分配的平均數為 $1/\lambda$ ，因此

\lambda=\frac{1}{30}

其累積分配函數為

F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0

題目要求間隔「介於 15 秒與 45 秒之間」的機率，也就是 $P(15<X<45)$ 。

解題方法

利用累積分配函數相減：

\begin{aligned} P(15<X<45) &=F(45)-F(15)\\ &=(1-e^{-45/30})-(1-e^{-15/30})\\ &=e^{-0.5}-e^{-1.5} \end{aligned}

依題目提供的 $e=2.7183$ 計算：

e^{-0.5}\approx 0.6065,\qquad e^{-1.5}\approx 0.2231

因此

Question 14

Assume that $(X1,X2,X3)$ is a random sample collected from a population with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$. Consider three point estimators of $\mu$: $$\hat{\mu}1=X2,\qquad \hat{\mu}2=X1-X2+X3,\qquad \hat{\mu}3=\frac{X1+2X2+X3}{4}.$$ Which of the following statements is correct? (A) $\hat{\mu}1$, $\hat{\mu}2$ and $\hat{\mu}3$ are all unbiased. (B) $\hat{\mu}1$, $\hat{\mu}2$ and $\hat{\mu}3$ are all biased. (C) $\hat{\mu}1$ is more efficient. (D) $\hat{\mu}2$ is more efficient.

Accepted Answer

核心觀念

估計量 $\hat{\mu}$ 若滿足 $E(\hat{\mu})=\mu$ ，稱為 $\mu$ 的不偏估計量。不偏估計量之間比較效率時，變異數較小者效率較高。

由於 $(X_1,X_2,X_3)$ 是從同一母體抽取的隨機樣本，三個觀察值彼此獨立，且各自滿足

E(X_i)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2.

解題方法

先逐一計算三個估計量的期望，判斷是否不偏；再比較它們的變異數，判斷效率。

估計量 $\hat{\mu}_1=X_2$ ：

E(\hat{\mu}_1)=E(X_2)=\mu, \qquad \operatorname{Var}(\hat{\mu}_1)=\sigma^2.

因此 $\hat{\mu}_1$ 不偏。

估計量 $\hat{\mu}_2=X_1-X_2+X_3$ ：

E(\hat{\mu}_2) =E(X_1)-E(X_2)+E(X_3) =\mu-\mu+\mu =\mu.

因此 $\hat{\mu}_2$ 不偏。利用樣本觀察值彼此獨立，線性組合的變異數為各項變異數乘上係數平方後加總：

\operatorname{Var}(\hat{\mu}_2) =\operatorname{Var}(X_1)+\operatorname{Var}(X_2)+\operatorname{Var}(X_3) =3\sigma^2.

估計量 $\hat{\mu}_3=\dfrac{X_1+2X_2+X_3}{4}$ ：

E(\hat{\mu}_3) =\frac{E(X_1)+2E(X_2)+E(X_3)}{4} =\frac{\mu+2\mu+\mu}{4} =\mu.

因此 $\hat{\mu}_3$ 不偏。其變異數為

Question 15

Which of the following is an appropriate null hypothesis?

(A) The sample mean is not larger than 10.
(B) The sample mean is larger than 10.
(C) The population mean is larger than 10.
(D) The population mean is not larger than 10.

Accepted Answer

核心觀念 假設檢定的假設要描述母體參數，而不是樣本統計量。樣本平均數 $\bar{x}$ 是由樣本資料計算出的統計量，用來推論母體平均數 $\mu$。 虛無假設 $H0$ 通常包含等號，將「沒有足夠證據推翻」的主張放在 $H0$；若要檢定母體平均數是否大於 10，假設可寫為： $$ H0:\mu\leq 10,\qquad H1:\mu10 $$ 實際計算檢定統計量時，通常以邊界值 $\mu=10$ 作為虛無假設下的基準。 解題方法 先確認各選項描述的是母體參數還是樣本統計量，再檢查虛無假設是否包含等號。符合「母體平均數不大於 10」且含有等號的敘述，就是適當的虛無假設。 選項分析 - (A) The sample mean is not larger than 10. 描述的是樣本平均數 $\bar{x}$，不是母體平均數 $\mu$，因此不適合作為假設檢定的母體假設。

Question 16

For a given sample size $n$, if the level of significance $\alpha$ is increased, the power of the test: (A) Will decrease. (B) Will increase. (C) Will remain the same. (D) Cannot be determined.

Accepted Answer

核心觀念

檢定力（power）是「對立假設為真時，正確拒絕虛無假設的機率」：

\text{Power}=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_1\text{ 為真})=1-\beta

顯著水準 $\alpha$ 是在 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$ 的機率上限。固定樣本數與檢定方法時，提高 $\alpha$ 會放寬拒絕 $H_0$ 的條件，使拒絕域擴大；因此在 $H_1$ 為真時，更容易落入拒絕域，檢定力會提高。

解題方法

比較不同顯著水準下的拒絕域即可。當 $\alpha$ 增加，檢定的拒絕域會擴大，故在對立假設為真時：

P(\text{拒絕 }H_0\mid H_1\text{ 為真})\text{ 增加}

等價地，第二類錯誤機率 $\beta$ 下降，而檢定力 $1-\beta$ 上升。以固定樣本數的右尾檢定為例，拒絕條件為 $Z>z_{1-\alpha}$ ；

Question 17

The test for the equality of two population variances is based on:

(A) The difference between the two sample variances.
(B) The difference between the two population variances.
(C) The ratio of the two sample variances.
(D) The difference between the sample variances divided by the difference between the sample means.

Accepted Answer

核心觀念

本題考「兩母體變異數是否相等」的檢定。設兩個獨立母體的變異數分別為 $\sigma_1^2$ 、 $\sigma_2^2$ ，虛無假設為：

H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2

在母體為常態分配的假設下，檢定統計量使用兩個樣本變異數的比值：

F=\frac{S_1^2}{S_2^2}

若 $H_0$ 成立，則 $F$ 服從自由度為 $(n_1-1,n_2-1)$ 的 $F$ 分配，其中 $n_1$ 、 $n_2$ 分別是兩組樣本數。

解題方法

題幹問檢定兩母體變異數相等時，檢定依據為何。由 $F$ 檢定統計量可知，實際計算時比較的是兩個樣本變異數的比值，再根據 $F$ 分配判斷是否有足夠證據拒絕 $H_0$ 。

因此，正確選項是 (C)。

Question 18

Which of the following components in an ANOVA table are not additive? (A) Sum of squares (B) Degrees of freedom (C) Mean squares (D) It is not possible to tell.

Accepted Answer

核心觀念 ANOVA（變異數分析）表利用平方和與自由度分解資料的總變異。平方和與自由度可依來源分解後相加；均方則是平方和除以自由度的比值，通常不具可加性。 解題方法 原卷第 5 頁第 18 題詢問 ANOVA 表中哪個成分「不可加總」，選項依序為平方和、自由度、均方，以及無法判斷。判斷關鍵是比較各成分的分解關係與定義。 以單因子 ANOVA 為例： $$ SS{	ext{總}} = SS{	ext{組間}} + SS{	ext{組內}} $$ $$ df{	ext{總}} = df{	ext{組間}} + df{	ext{組內}} $$ 可見平方和與自由度都能加總。均方的定義則是： $$ MS = \frac{SS}{df} $$

Question 19

The principal focus of the control chart is the attempt to separate special or assignable causes of variation from common causes of variation.

What cause of variation can be reduced only by changing the system?

(A) Common causes
(B) Special or assignable causes
(C) Total causes
(D) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 管制圖用來區分製程變異的兩種來源： - 共同原因：變異來自製程系統本身，持續存在於日常運作中。要降低這類變異，必須改善或改變整個系統。 - 特殊原因／可歸屬原因：由特定、非日常的因素造成；找出原因後，可針對該因素採取措施。 解題方法 原卷第 19 題問：「哪一種變異原因只能透過改變系統來降低？」選項依序是共同原因、特殊或可歸屬原因、總原因、以上皆非。題幹也指出管制圖的重點是區分特殊原因與共同原因。 依變異來源判斷：共同原因是系統本身所造成，要降低它就須改善系統；特殊原因則可在辨識出具體原因後，直接處理該原因。因此答案是共同原因。 選項分析

Question 20

In performing a regression analysis involving two numerical variables, we are assuming:

(A) The variances of $X$ and $Y$ are equal.
(B) That $X$ and $Y$ are independent.
(C) The expected value of $Y$ for each $X$ value is the same.
(D) The variation around the line of regression is the same for each $X$ value.

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是簡單線性迴歸的基本假設。對每個給定的 $X=x$，$Y$ 的條件平均數以一條直線表示： $$ E(Y\mid X=x)=\beta0+\beta1x $$ 觀測值會散布在迴歸線周圍，且假設這種散布程度對不同的 $X$ 值相同，也就是誤差項具有相同變異數： $$ \operatorname{Var}(\varepsilon\mid X=x)=\sigma^2 $$ 這項假設稱為等變異性（homoscedasticity）。 解題方法 逐一比對各選項與迴歸假設。題目問的是「進行迴歸分析時所作的假設」，因此關鍵在於：迴歸線周圍的誤差變異是否隨 $X$ 改變。若各個 $X$ 值下的誤差變異相同，就符合等變異性假設，對應選項 (D)。 選項分析 - (A) 錯誤。 迴歸分析不要求 $X$ 與 $Y$ 的變異數相等。模型關心的是給定 $X$ 時，$Y$ 相對於迴歸線的變異數是否相同；

Question 21

Let $X$, $Y$, and $Z$ be uncorrelated random variables with variances $\sigmaX^2$, $\sigmaY^2$, and $\sigmaZ^2$, respectively. Let $$U=Z+X\qquad	ext{and}\qquad V=Z+Y.$$ (1) Find $\operatorname{Cov}(U,V)$. (4 pts) (2) Find $ho{UV}$. (4 pts)

Accepted Answer

核心觀念

本題考「不相關隨機變數的線性組合」之共變異數與相關係數。

共變異數具有雙線性：

\operatorname{Cov}(A+B,C+D) = \operatorname{Cov}(A,C)+\operatorname{Cov}(A,D) +\operatorname{Cov}(B,C)+\operatorname{Cov}(B,D).

此外， $\operatorname{Cov}(A,A)=\operatorname{Var}(A)$ 。題目中的 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 兩兩不相關，因此它們彼此的共變異數皆為 $0$ 。

解題方法

（1）求 $\operatorname{Cov}(U,V)$

將 $U=Z+X$ 與 $V=Z+Y$ 代入共變異數定義的線性展開式：

\begin{aligned} \operatorname{Cov}(U,V) &=\operatorname{Cov}(Z+X,Z+Y)\\ &=\operatorname{Cov}(Z,Z)+\operatorname{Cov}(Z,Y) +\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(X,Y)\\ &=\operatorname{Var}(Z)+0+0+0\\ &=\sigma_Z^2. \end{aligned}

兩個線性組合共同包含 $Z$ ，所以共變異數只留下 $Z$ 的變異數；其餘交叉共變異數皆因不相關而為 $0$ 。

（2）求 $\rho_{UV}$

相關係數的定義為：

Question 22

The average time a professional baseball player used to take to run from home base to first base was 3.79 seconds.

Last year, he underwent repair surgery due to a knee injury while baserunning. Although he has now fully recovered, the coach suspects that the professional baseball player's baserunning speed is not up to the past level and wants to conduct a hypothesis test.

(1) Please state the null hypothesis and alternative hypothesis. (3 pts)

(2) After setting the significance level to $0.05$ , the coach decides to conduct 4 baserunning tests from home base to first base. What test statistic should he choose? Please also describe the conditions of use and sampling distribution. (6 pts)

(3) Please describe the rejection region. (3 pts)

(4) The baserunning times are recorded as $3.87$ , $3.78$ , $3.91$ and $4.04$ . What is the value of the test statistic? (3 pts)

(5) What is the conclusion about this test? (3 pts)

Accepted Answer

核心觀念

這題要檢定手術後的平均跑壘時間是否增加。跑壘時間越長代表速度越慢，因此教練的懷疑應寫成母體平均時間大於過去的 $3.79$ 秒。

樣本數只有 $4$ ，且母體標準差未知，故使用單一母體平均數的 $t$ 檢定。若各次測量互相獨立，且跑壘時間母體為常態分配，則檢定統計量在虛無假設邊界 $\mu=3.79$ 下服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配。

解題方法與答案

(1) 虛無假設與對立假設

令 $\mu$ 表示手術後的母體平均跑壘時間。因檢定方向是確認時間是否增加：

H_0:\mu\leq 3.79 \qquad\text{對}\qquad H_1:\mu>3.79

計算檢定統計量時，虛無假設以其邊界值 $\mu_0=3.79$ 作為基準。

(2) 檢定統計量、使用條件與抽樣分配

母體標準差未知，以樣本標準差 $s$ 估計，使用單一樣本 $t$ 統計量：

t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}

其中， $\bar{x}$ 是樣本平均數， $s$ 是樣本標準差， $n=4$ ， $\mu_0=3.79$ 。

使用條件為：

各次跑壘測量為隨機且彼此獨立。
母體跑壘時間為常態分配；由於樣本數很小，常態假設尤其重要。
母體標準差未知，故以樣本標準差估計。

在 $H_0$ 的邊界 $\mu=\mu_0$ 下，檢定統計量服從自由度 $n-1=3$ 的 $t$ 分配：

T\sim t(3)

(3) 拒絕域

Question 23

A model relating a person's wage ($wage$) to observed education ($educ$) and other unobserved factors ($u$) is specified as $$wage=\beta0+\beta1 educ+u,$$ where $wage$ is measured in dollars per hour and $educ$ is years of education. (1) Please state the population regression function. (3 pts) (2) The following table contains the years of education and wages per hour for 8 laborers. Please estimate the relationship between $wage$ and $educ$ using OLS. (4 pts) | labor | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | $wage$ | $16$ | $20$ | $20$ | $18$ | $22$ | $24$ | $30$ | $26$ | | $educ$ | $12$ | $12$ | $14$ | $14$ | $16$ | $16$ | $18$ | $18$ | (3) Please complete the following ANOVA table. (4 pts) | Source | DF | SS | MS | $F$ | $\PrF$ | |---|---|---|---|---|---|…

Accepted Answer

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的母體迴歸函數、最小平方法估計、變異分析表，以及迴歸係數的顯著性檢定。主要公式為：

\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar y-\hat{\beta}_1\bar x

其中 $S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2$ 、 $S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ 。變異分析中， $SST=SSR+SSE$ ，而檢定單一斜率是否為零時，可使用 $t$ 檢定；其平方等於迴歸的 $F$ 檢定統計量。

解題方法

依原卷圖，8 位勞工的教育年數依序為 $12,12,14,14,16,16,18,18$ ，每小時工資依序為 $16,20,20,18,22,24,30,26$ 。圖中的變異分析表另列誤差平方和 $28.4$ ，模型檢定的 $p$ 值為 $0.002599$ 。

(1) 母體迴歸函數

對教育年數給定時，工資的條件期望為：

E(wage\mid educ)=\beta_0+\beta_1 educ

其中 $\beta_0$ 是母體截距， $\beta_1$ 表示教育年數每增加一年，母體平均每小時工資的改變量。

(2) 以 OLS 估計迴歸式

令 $x=educ$ 、 $y=wage$ 。由資料得：

\bar x=\frac{120}{8}=15,\qquad \bar y=\frac{176}{8}=22

S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2=40,\qquad S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=68

因此斜率與截距估計值為：

\hat{\beta}_1=\frac{68}{40}=1.7

\hat{\beta}_0=22-(1.7)(15)=-3.5

估計的迴歸式為：

\widehat{wage}=-3.5+1.7\,educ

解讀為教育年數每增加一年，估計的平均每小時工資增加 $$1.70。

(3) 完成 ANOVA 表

模型自由度為 $1$ ，誤差自由度為 $n-2=6$ ，校正總自由度為 $n-1=7$ 。

由迴歸估計可得：

SSR=\hat{\beta}_1 S_{xy}=(1.7)(68)=115.6

題圖列出 $SSE=28.4$ ，所以：

SST=SSR+SSE=115.6+28.4=144

MSR=\frac{SSR}{1}=115.6,\qquad MSE=\frac{SSE}{6}=\frac{28.4}{6}=4.7333

F=\frac{MSR}{MSE}=\frac{115.6}{4.7333}\approx24.4225

Source	DF	SS	MS	$F$	$\Pr>F$
Model	(a) ____	(d) ____	(f) ____	(h) ____	$0.002599$
Error	(b) ____	$28.4$	(g) ____
Corrected Total	(c) ____	(e) ____

114 年 國立中央大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

第 1 題2 分

第 2 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 3 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 4 題2 分

核心觀念

解題方法

第 5 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 6 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 7 題2 分

核心觀念

解題方法

第 8 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 9 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 10 題2 分

第 11 題2 分

第 12 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 13 題2 分

核心觀念

解題方法

第 14 題2 分

核心觀念

解題方法

第 15 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 16 題2 分

核心觀念

解題方法

第 17 題2 分

核心觀念

解題方法

第 18 題2 分

第 19 題2 分

第 20 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 1 題8 分

核心觀念

解題方法

第 2 題18 分

核心觀念

解題方法與答案

第 3 題24 分

核心觀念

解題方法

(1) 母體迴歸函數

(2) 以 OLS 估計迴歸式

(3) 完成 ANOVA 表

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