115 年 國立中央大學企業管理學系碩士班丙組《微積分》

本題考驗極限、連續性與可微分性之間的關係。我們逐一檢視選項：

(A) 可微分必連續，但連續不一定可微分。例如，$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 處連續，但不可微分。因此，此敘述錯誤。

(B) 函數 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 處的左導數為 $-1$，右導數為 $1$，兩者不相等，因此在 $x=0$ 處不可微分。對於其他 $x \neq 0$ 的點， $|x|$ 是可微分的。所以此敘述錯誤。

核心觀念

本題考查：

1. 分段函數在指定點的連續性。
2. 左、右極限與雙側極限的判斷。
3. 函數在某點是否可微分。
4. 可去間斷點的判定。

函數在 $x=a$ 連續的條件為：

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

其中雙側極限存在，必須滿足：

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)$$

若極限存在，但不等於函數值，則 $x=a$ 是可去間斷點。

---

解題方法

題目中的分界點是 $x=2$，因此先檢查 $x=2$ 附近的左右極限，再判斷連續性。接著檢查 $x=3$，最後判斷是否存在可去間斷點。

一、判斷 $f$ 在 $x=2$ 是否連續

由左側分段：

$$\lim_{x\to 2^-}f(x) =\lim_{x\to 2^-}(5x+1) =5(2)+1=11$$

由右側分段：

$$\lim_{x\to 2^+}f(x) =\lim_{x\to 2^+}(x^2+7) =2^2+7=11$$

因此雙側極限存在，且

$$\lim_{x\to 2}f(x)=11$$

但題目直接定義：

$$f(2)=13$$

所以：

$$\lim_{x\to 2}f(x)=11\ne 13=f(2)$$

故 $f$ 在 $x=2$ 不連續。

因此敘述 I 錯誤。

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二、判斷 $\lim_{x\to 2}f(x)$ 是否存在

因為左右極限相等：

$$\lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2^+}f(x) =11$$

所以：

$$\lim_{x\to 2}f(x)=11$$

雙側極限存在，故敘述 II「極限不存在」錯誤。

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三、判斷 $f$ 在 $x=3$ 是否可微分

因為 $3>2$，在 $x=3$ 附近函數採用：

$$f(x)=x^2+7$$

此為多項式，在所有實數上皆可微分。因此：

$$f'(x)=2x$$

所以：

核心觀念

判斷函數圖形與導數圖形的配對，使用以下三點：

1. $f'(x)>0$ 時，$f(x)$ 遞增；$f'(x)<0$ 時，$f(x)$ 遞減。
2. $f(x)$ 的水平切線位置，對應 $f'(x)=0$。
3. $f(x)$ 越陡，$|f'(x)|$ 越大；垂直切線則代表導數可能趨近無窮大。

解題方法

觀察選項 (C) 左圖，函數在 $x=0$ 有尖點，左側遞減、右側遞增，且靠近 $x=0$ 時圖形非常陡，遠離原點後斜率逐漸接近 $0$。

此圖形可用 $f(x)=\sqrt{|x|}$ 表示其典型形狀。其導數為

$$f'(x)= \begin{cases} -\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}, & x<0,\\[6pt] \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, & x>0. \end{cases}$$

因此：

$$f'(x)<0\quad (x<0),\qquad f'(x)>0\quad (x>0),$$

並且

$$\lim_{x\to 0^-}f'(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+}f'(x)=+\infty,$$

本題考驗複合函數的定義域與值域。我們需要逐一分析每個選項。
給定 $f(x) = x-5$ 和 $g(x) = \frac{1}{x-1}$。

選項 (A)：判斷 $g \circ f(x)$ 的定義域。
複合函數 $g \circ f(x) = g(f(x))$。
其定義域需要滿足兩點：

1. $x$ 必須在 $f(x)$ 的定義域內。$f(x) = x-5$ 的定義域是所有實數 $\mathbb{R}$。
2. $f(x)$ 的值必須在 $g(x)$ 的定義域內。$g(x) = \frac{1}{x-1}$ 的定義域是 $x \neq 1$。
   所以，我們需要 $f(x) \neq 1$。
   $x-5 \neq 1$
   $x \neq 6$。
   因此，$g \circ f(x)$ 的定義域是 $\{x | x \in \mathbb{R}, x \neq 6\}$。
   選項 (A) 的敘述是正確的。

選項 (B)：判斷 $f \circ g(x)$ 的定義域。
複合函數 $f \circ g(x) = f(g(x))$。
其定義域需要滿足兩點：

1. $x$ 必須在 $g(x)$ 的定義域內。$g(x) = \frac{1}{x-1}$ 的定義域是 $x \neq 1$。
2. $g(x)$ 的值必須在 $f(x)$ 的定義域內。$f(x) = x-5$ 的定義域是所有實數 $\mathbb{R}$。
   所以，我們只需要滿足 $x \neq 1$。
   因此，$f \circ g(x)$ 的定義域是 $\{x | x \in \mathbb{R}, x \neq 1\}$。
   選項 (B) 的敘述是正確的。

選項 (C)：判斷 $g \circ f(x)$ 的值域。
首先計算 $g \circ f(x)$ 的表達式：
$g(f(x)) = g(x-5) = \frac{1}{(x-5)-1} = \frac{1}{x-6}$。
我們已經知道其定義域是 $x \neq 6$。
現在求函數 $h(x) = \frac{1}{x-6}$ 的值域。
令 $y = \frac{1}{x-6}$。
我們想知道 $y$ 可以取哪些值。

本題考驗關於函數性質的敘述，包括凹向性、反曲點和臨界點。我們需要判斷每個敘述的正確性。

敘述 I：
「如果 $f(x)$ 在區間 $(a, b)$ 上是凹向上 (concave up) 的，那麼 $f(x)$ 在區間 $(a, b)$ 上有一個局部極小值。」
凹向上 (concave up) 的定義是：對於區間 $(a,b)$ 內的任意兩點 $x_1, x_2$ 和 $0 < t < 1$，有 $f(tx_1 + (1-t)x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$。
或者，如果二階導數存在，則 $f''(x) \ge 0$ (嚴格凹向上時 $f''(x) > 0$)。
凹向性描述的是函數圖形的彎曲方向，而局部極值描述的是函數值的相對大小。
凹向上並不保證一定有局部極小值。例如，$f(x) = x^2$ 在區間 $(-1, 1)$ 上是凹向上的，它在 $x=0$ 處有一個局部極小值。
但是，考慮函數 $f(x) = x^4$。它在整個實數軸上都是凹向上的 ($f''(x) = 12x^2 \ge 0$)。它在 $x=0$ 處有一個局部極小值。
再考慮一個函數，例如 $f(x) = e^x$。它在任何區間上都是凹向上的，但它沒有局部極小值，因為它是嚴格遞增的。
或者，考慮 $f(x) = x^2$ 在區間 $(0, 1)$ 上。它是凹向上的，但在這個開區間內沒有局部極小值（最小值在邊界 $x=0$ 處，但 $0$ 不在開區間內）。
因此，敘述 I 是錯誤的。

敘述 II：
「$y=f(x)$ 可能在 $(a, f(a))$ 處有一個反曲點，即使 $f'(x)$ 在 $x=a$ 處不存在。」
反曲點 (inflection point) 的定義是：函數圖形的凹向性發生改變的點。
如果 $f''(a)$ 存在，那麼反曲點通常發生在 $f''(a)=0$ 的地方。
但是，反曲點不一定要求 $f''(a)$ 存在。
考慮函數 $f(x) = x^{1/3}$。
在 $x=0$ 處， $f(0)=0$。
$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$。在 $x=0$ 處 $f'(x)$ 不存在（分母為零）。
$f''(x) = \frac{1}{3}(-\frac{2}{3})x^{-5/3} = -\frac{2}{9}x^{-5/3}$。

本題要求判斷關於函數 $f(x) = \frac{x^2-2x-3}{x-1}$ 圖形的敘述中，哪一個是錯誤的。
首先，我們分析函數的性質。
$f(x) = \frac{x^2-2x-3}{x-1}$
分子可以因式分解：$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$。
所以，$f(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{x-1}$。

分析漸近線：

1. 垂直漸近線 (Vertical Asymptote)：
   當分母為零且分子不為零時，存在垂直漸近線。
   分母 $x-1 = 0$ 時，$x=1$。
   此時分子為 $(1-3)(1+1) = (-2)(2) = -4 \neq 0$。
   所以，$x=1$ 是一條垂直漸近線。

2. 水平漸近線 (Horizontal Asymptote)：
   比較多項式分子和分母的次數。
   分子次數是 2，分母次數是 1。
   由於分子次數大於分母次數，不存在水平漸近線。

3. 斜漸近線 (Slant Asymptote)：
   由於分子次數比分母次數多 1，存在斜漸近線。
   我們可以使用多項式長除法來找出斜漸近線。

   $$$$

\begin{array}{c|cc cc}
\multicolumn{2}{r}{x} & -1 \
\cline{2-5}
x-1 & x^2 & -2x & -3 \
\multicolumn{2}{r}{x^2} & -x \
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & -x & -3 \
\multicolumn{2}{r}{} & -x & +1 \
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -4 \
\end{array}
$$
所以，$f(x) = x-1 - \frac{4}{x-1}$。
當 $x \to \pm\infty$ 時，$\frac{4}{x-1} \to 0$。
因此，斜漸近線是 $y = x-1$。

根據以上分析，選項 (A) 說「There are one vertical asymptotes, no horizontal asymptotes and one slant asymptote」是正確的。

分析連續性與極限：
函數 $f(x)$ 在 $x=1$ 處不連續，因為分母為零。
我們來計算 $\lim_{x\to 1} f(x)$：
$\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1} \frac{(x-3)(x+1)}{x-1}$。
當 $x \to 1^+$, $x-1 \to 0^+$, $(x-3)(x+1) \to (-2)(2) = -4$. 所以極限為 $-\infty$。
當 $x \to 1^-$, $x-1 \to 0^-$, $(x-3)(x+1) \to (-2)(2) = -4$. 所以極限為 $+\infty$。

本題考驗對微積分基本定理的理解。題目給出的敘述是：
若函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，且在開區間 $(a, b)$ 上可微分，則存在 $c \in (a,b)$ 使得 $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$。

這個定理是微積分中的一個重要定理，它給出了函數值變化量與導數之間的關係。
我們逐一分析選項：

(A) 極值定理 (The Extreme Value Theorem)：
此定理說明，若函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，則 $f$ 在該區間上必存在最大值和最小值。它保證了極值的存在，但不直接給出導數與函數值變化量的關係。

(B) 中間值定理 (The Intermediate Value Theorem)：
此定理說明，若函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，則對於介於 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之間的任意值 $k$，都存在 $c \in [a, b]$ 使得 $f(c) = k$。

核心觀念

若函數 $F$ 在某區間上可微，且滿足

$$F'(x)=f(x),$$

則稱 $F$ 是 $f$ 的一個反導函數（antiderivative）。

因此，「$F$ 是 $f$ 的反導函數」本身就等價於「$F'(x)=f(x)$」。

此外，微積分基本定理指出：若 $f$ 在區間上連續，則

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

是 $f$ 的一個反導函數，因為

$$F'(x)=f(x).$$

可微函數必定連續，所以每一個在區間上可微的函數都有反導函數。

解題方法

本題直接依據反導函數的定義，並判斷各敘述是否符合微積分基本定理。

關鍵判斷為：

1. 反導函數的導數必須等於原函數。
2. 並非每個函數都具有反導函數，因為不連續函數未必能積分出反導函數。
3. 可微函數必定連續，而連續函數在區間上一定具有反導函數。

選項分析

(A) The derivative of an antiderivative of a function is equal to the function itself

正確。

依反導函數的定義，若 $F$ 是 $f$ 的反導函數，則必須滿足

$$F'(x)=f(x).$$

因此，反導函數的導數就是原函數本身。

(B) Every function has an antiderivative

錯誤。

不是每一個函數都有反導函數。例如，函數

核心觀念

本題考查黎曼和（Riemann sum）、定積分與微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）之間的關係。

對區間 $[a,b]$ 分割為

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,$$

並在每個小區間 $[x_{i-1},x_i]$ 選取代表點 $c_i$，黎曼和為

$$\sum_{i=1}^{n} f(c_i)\Delta x_i, \qquad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$$

當分割的最大寬度趨近於 $0$ 時，若黎曼和極限存在，則定義

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max\Delta x_i\to 0} \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\Delta x_i.$$

微積分基本定理建立了定積分與反導函數之間的連結：

若 $F'(x)=f(x)$，則

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

因此，黎曼和雖然直接用來定義定積分，但定積分又能透過微積分基本定理與反導函數連結。

---

解題方法

逐一判斷四個敘述是否正確，再對照選項。

敘述 I

Riemann sums are only useful for computing definite integrals because they cannot be used to compute antiderivatives.

此敘述錯誤。

黎曼和確實直接用來定義定積分，但微積分基本定理指出：

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

時，在適當條件下有

$$F'(x)=f(x).$$

也就是說，黎曼和所形成的定積分可以產生反導函數。因此不能說黎曼和「不能用來計算反導函數」。

敘述 II

Our integration techniques only apply to definite integrals, so we can't apply them to indefinite integrals

此敘述錯誤。

積分技巧同樣可以應用於不定積分。例如：

$$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C.$$

本題考驗對瑕積分 (improper integral) 收斂性的判斷。我們需要逐一分析每個積分。

選項 (A)：$\int_4^\infty \frac{1}{x(\ln x)^3} dx$
這是一個第二類瑕積分（積分區間無窮）和第一類瑕積分（被積函數在區間內可能無定義，但這裡 $\ln x$ 在 $x \ge 4$ 時有定義且不為零）。
我們可以使用積分判別法或直接計算。考慮變數替換 $u = \ln x$，則 $du = \frac{1}{x} dx$。
當 $x=4$ 時，$u = \ln 4$。
當 $x \to \infty$ 時，$u = \ln x \to \infty$。
積分變為 $\int_{\ln 4}^\infty \frac{1}{u^3} du$。
這是一個 $p$-積分，其中 $p=3$。
由於 $p=3 > 1$，這個積分收斂。
所以，選項 (A) 的積分是收斂的。

選項 (B)：$\int_0^\infty 2xe^{-3x^2} dx$
這是一個瑕積分，積分區間無窮，且被積函數在 $x=0$ 處的值為 0。
我們直接計算這個積分。
令 $u = -3x^2$。則 $du = -6x dx$。
所以，$2x dx = -\frac{1}{3} du$。
當 $x=0$ 時，$u = -3(0)^2 = 0$。
當 $x \to \infty$ 時，$u = -3x^2 \to -\infty$。
積分變為 $\int_0^{-\infty} 2x e^{-3x^2} dx = \int_0^{-\infty} e^u (-\frac{1}{3} du) = -\frac{1}{3} \int_0^{-\infty} e^u du$。
我們將積分上下限交換，並改變符號：
$-\frac{1}{3} \int_0^{-\infty} e^u du = \frac{1}{3} \int_{-\infty}^0 e^u du$。

本題考驗微積分基本定理的應用。
題目給出函數 $F(x)$ 的定義為一個定積分，其上限是 $x$：
$F(x) = \int_0^x \sqrt{t^3+1} dt$。
我們需要求 $F'(2)$。

根據微積分基本定理的第一部分，如果 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，其中 $f(t)$ 在包含 $a$ 和 $x$ 的區間上連續，那麼 $F'(x) = f(x)$。

在這個問題中，我們有：
$a = 0$
$f(t) = \sqrt{t^3+1}$
$F(x) = \int_0^x \sqrt{t^3+1} dt$

本題考驗部分分式分解 (partial fraction decomposition) 的相關概念。
給定的函數是 $f(x) = \frac{x^4+10x^2}{(x^2+1)(x^2+9)}$。
首先，注意到分子的次數 (4) 等於分母的次數 (4)。在進行部分分式分解之前，我們需要先進行多項式長除法，或者將其改寫為帶有常數項的形式。

我們可以將分子寫成：
$x^4+10x^2 = (x^4+10x^2+9) - 9 = (x^2+1)(x^2+9) - 9$。
所以，$f(x) = \frac{(x^2+1)(x^2+9) - 9}{(x^2+1)(x^2+9)} = 1 - \frac{9}{(x^2+1)(x^2+9)}$。

現在我們對 $\frac{9}{(x^2+1)(x^2+9)}$ 進行部分分式分解。
由於分母中的因子 $x^2+1$ 和 $x^2+9$ 都是不可約的二次多項式，我們將進行如下分解：
$\frac{9}{(x^2+1)(x^2+9)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+9}$。
其中 $A, B, C, D$ 是常數。

將等式兩邊同乘以 $(x^2+1)(x^2+9)$：
$9 = (Ax+B)(x^2+9) + (Cx+D)(x^2+1)$
$9 = A(x^3+9x) + B(x^2+9) + C(x^3+x) + D(x^2+1)$
$9 = Ax^3 + 9Ax + Bx^2 + 9B + Cx^3 + Cx + Dx^2 + D$
$9 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (9A+C)x + (9B+D)$

比較等式兩邊的係數：
$x^3$ 的係數：$A+C = 0 \implies C = -A$
$x^2$ 的係數：$B+D = 0 \implies D = -B$
$x$ 的係數：$9A+C = 0$
常數項：$9B+D = 9$

代入 $C = -A$ 到 $9A+C = 0$：
$9A + (-A) = 0 \implies 8A = 0 \implies A = 0$。
由於 $C = -A$，所以 $C = 0$。

代入 $D = -B$ 到 $9B+D = 9$：
$9B + (-B) = 9 \implies 8B = 9 \implies B = \frac{9}{8}$。
由於 $D = -B$，所以 $D = -\frac{9}{8}$。

因此，我們得到 $A=0, B=\frac{9}{8}, C=0, D=-\frac{9}{8}$。
所以，部分分式分解為：
$\frac{9}{(x^2+1)(x^2+9)} = \frac{0x+\frac{9}{8}}{x^2+1} + \frac{0x-\frac{9}{8}}{x^2+9} = \frac{9/8}{x^2+1} - \frac{9/8}{x^2+9}$。

現在我們回到原函數 $f(x) = 1 - \frac{9}{(x^2+1)(x^2+9)}$。
$f(x) = 1 - \left( \frac{9/8}{x^2+1} - \frac{9/8}{x^2+9} \right)$

本題要求計算一個極限。當 $x \to 0$ 時，分子 $e^0+e^0-2 = 1+1-2=0$，分母 $1-\cos(0) = 1-1=0$。
這是 $\frac{0}{0}$ 型的未定式，我們可以使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule) 或泰勒展開來求解。

方法一：使用羅必達法則
對分子和分母分別求導：
分子導數：$\frac{d}{dx}(e^x+e^{-x}-2) = e^x - e^{-x}$。
分母導數：$\frac{d}{dx}(1-\cos 3x) = -(-\sin 3x) \cdot 3 = 3\sin 3x$。

再次計算極限：
$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{3\sin 3x}$。
當 $x \to 0$ 時，分子 $e^0 - e^0 = 1-1=0$。
分母 $3\sin(0) = 0$。
仍然是 $\frac{0}{0}$ 型，再次使用羅必達法則。

對分子和分母再次求導：
分子導數：$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}$。
分母導數：$\frac{d}{dx}(3\sin 3x) = 3(\cos 3x) \cdot 3 = 9\cos 3x$。

計算極限：
$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{9\cos 3x}$。
當 $x \to 0$ 時：
分子：$e^0 + e^0 = 1+1 = 2$。
分母：$9\cos(0) = 9(1) = 9$。

所以，極限值為 $\frac{2}{9}$。

本題要求根據給定的函數 $f(x)$ 的圖形，計算定積分 $\int_0^7 f(x) dx$。
定積分在圖形上表示的是函數曲線下的面積。我們需要觀察圖形，確定函數在不同區間的定義，然後分段計算積分。

從圖形中，我們可以觀察到函數 $f(x)$ 在區間 $[0, 7]$ 內的形狀：

• 在區間 $[0, 2]$，函數 $f(x)$ 是一條直線。
• 在區間 $[2, 4]$，函數 $f(x)$ 是一條直線。
• 在區間 $[4, 6]$，函數 $f(x)$ 是一條直線。
• 在區間 $[6, 7]$，函數 $f(x)$ 是一條直線。

我們需要確定這段直線的方程式，或者直接計算直線下的面積（梯形或三角形）。

1. 區間 $[0, 2]$：
在這個區間，函數圖形從點 $(0, -2)$ 到點 $(2, 2)$。
這是一條直線。
我們可以計算這個梯形的面積（下底為 0, 上底為 2, 高度為 2, 但有負值部分）。
或者，我們可以將其視為一個三角形和一個負的三角形。
從 $x=0$ 到 $x=2$，函數值從 $-2$ 變到 $2$。
它與 x 軸的交點在哪裡？
直線斜率 $m = \frac{2 - (-2)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$。
直線方程式為 $y - (-2) = 2(x - 0) \implies y+2 = 2x \implies y = 2x-2$。
令 $y=0$，則 $2x-2=0 \implies x=1$。
所以，在 $x=1$ 處，函數與 x 軸相交。
在 $[0, 1]$ 區間，函數是負的。面積為 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 1 \times |-2| = 1$。由於在 x 軸下方，面積為 $-1$。
在 $[1, 2]$ 區間，函數是正的。面積為 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times (2-1) \times 2 = 1$。
所以，在 $[0, 2]$ 區間的積分值為 $-1 + 1 = 0$。
或者，直接計算 $\int_0^2 (2x-2) dx = [x^2-2x]_0^2 = (2^2-2(2)) - (0^2-2(0)) = (4-4) - 0 = 0$。

2. 區間 $[2, 4]$：
在這個區間，函數圖形從點 $(2, 2)$ 到點 $(4, -2)$。
這是一條直線。
直線斜率 $m = \frac{-2 - 2}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2$。
直線方程式為 $y - 2 = -2(x - 2) \implies y - 2 = -2x + 4 \implies y = -2x + 6$。
令 $y=0$，則 $-2x+6=0 \implies x=3$。
所以，在 $x=3$ 處，函數與 x 軸相交。
在 $[2, 3]$ 區間，函數是正的。面積為 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times (3-2) \times 2 = 1$。
在 $[3, 4]$ 區間，函數是負的。

本題要求使用梯形法則 (Trapezoidal Rule) 來估計土地的面積。
梯形法則的公式為：
$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{2} [f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$， $n$ 是子區間的數量。

從圖形和表格中，我們可以得到以下資訊：

• 積分區間是 $[0, 120]$ (x 的範圍)。
• 子區間的數量 $n$ 可以從表格中看出，x 的值是等距的，間隔為 10。所以 $\Delta x = 10$。
• 總共有 $120/10 + 1 = 13$ 個數據點，所以有 $12$ 個子區間。 $n=12$。
• 函數值 $f(x)$ 是表格中的 Y 值。

我們將數據點代入梯形法則公式：
$a = 0$, $b = 120$, $n = 12$, $\Delta x = 10$。
$x_0=0, y_0=75$
$x_1=10, y_1=81$
$x_2=20, y_2=84$
$x_3=30, y_3=76$
$x_4=40, y_4=67$
$x_5=50, y_5=68$

本題要求計算函數 $f$ 在某一點的導數值。我們知道一個複合函數的表達式，需要透過連鎖法則 (chain rule) 來求解。

已知 $f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = x$。
我們令 $u = \frac{x-1}{x+1}$。
我們需要找到 $f'(2)$。這意味著我們需要找到當 $u=2$ 時對應的 $x$ 值。
令 $\frac{x-1}{x+1} = 2$。
$x-1 = 2(x+1)$
$x-1 = 2x+2$
$x-1-2 = 2x-x$
$x = -3$。

現在我們對等式 $f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = x$ 兩邊同時對 $x$ 求導。
使用連鎖法則：
左邊的導數是 $f'(u) \cdot \frac{du}{dx}$。
右邊的導數是 $\frac{d}{dx}(x) = 1$。

本題要求使用全微分 (total differential) 來近似計算 $\sqrt{(2.95)^2 + (3.95)^2}$ 的值。
我們定義一個函數 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$。
我們需要近似計算 $f(2.95, 3.95)$。
我們選擇一個已知且接近 $(2.95, 3.95)$ 的點作為基準點 $(a, b)$。
一個好的選擇是 $(a, b) = (3, 4)$，因為 $f(3, 4) = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。

現在我們需要找到 $x$ 和 $y$ 的變化量：
$x = 2.95$, $a = 3$。所以 $\Delta x = x - a = 2.95 - 3 = -0.05$。
$y = 3.95$, $b = 4$。所以 $\Delta y = y - b = 3.95 - 4 = -0.05$。

全微分的近似公式是：
$f(a+\Delta x, b+\Delta y) \approx f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)\Delta y$。

我們需要計算函數 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ 的偏導數。
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$。