111 年國立清華大學科技管理研究所《統計學》考古題與詳解

Question 1

(20%) Small cars get better gas mileage, but they are not as safe as bigger cars. Small cars accounted for 18% of the vehicles on the road, but accidents involving small cars led to 11,898 fatalities during a recent year (Reader's Digest, May 2000). Assume the probability a small car is involved in an accident is $0.18$. The probability of an accident involving a small car leading to a fatality is $0.128$ and the probability of an accident not involving a small car leading to a fatality is $0.05$. Suppose you learn of an accident involving a fatality. What is the probability a small car was involved? Assume that the likelihood of getting into an accident is independent of car size.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 貝氏定理 - 全機率公式 - 條件機率的辨識 令： - $S$：事故涉及小型車 - $S^c$：事故未涉及小型車 - $F$：事故造成死亡 題目給定： $$ P(S)=0.18,\qquad P(S^c)=0.82 $$ 由於「發生事故的機率與車型大小獨立」，得知發生事故後，涉及小型車的機率仍為： $$ P(S)=0.18 $$ 此外： $$ P(F\mid S)=0.128,\qquad P(F\mid S^c)=0.05 $$ 目標是求： $$ P(S\mid F) $$ 也就是在已知事故造成死亡的條件下，事故涉及小型車的機率。 解題方法 利用貝氏定理： $$ P(S\mid F)=\frac{P(S\cap F)}{P(F)} $$ 其中分子可由乘法法則求得： $$ P(S\cap F)=P(S)P(F\mid S) $$ 因此： $$ P(S\cap F)=0.18(0.128)=0.02304 $$ 分母 $P(F)$ 必須考慮事故涉及小型車與未涉及小型車兩種互斥情況，使用全機率公式： $$ P(F)=P(S)P(F\mid S)+P(S^c)P(F\mid S^c) $$ 代入數值：

Question 2

(20%) The following table shows the joint distribution of two discrete random variable, X and Y.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Y=4 & Y=6 & Y=8 \\ \hline X=-1 & 0.2 & 0 & 0.2 \\ \hline X=0 & 0 & 0.2 & 0 \\ \hline X=1 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\ \hline \end{array}

Calculate the coefficient of correlation between the two variables X and Y.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二維離散型機率分配下的皮爾森相關係數。相關係數定義為 $$ \rho{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)} {\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}} $$ 其中 $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$ 因此需依序計算： $$ E(X),\quad E(Y),\quad E(X^2),\quad E(Y^2),\quad E(XY) $$ --- 解題方法 1. 計算 $E(X)$ 與 $\operatorname{Var}(X)$ 先求 $X$ 的邊際分配： $$ P(X=-1)=0.2+0+0.2=0.4 $$ $$ P(X=0)=0+0.2+0=0.2 $$ $$ P(X=1)=0.2+0.1+0.1=0.4 $$ 因此 $$ E(X)=(-1)(0.4)+0(0.2)+1(0.4)=0 $$ 又 $$ E(X^2)=(-1)^2(0.4)+0^2(0.2)+1^2(0.4)=0.8 $$ 所以 $$ \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 0.8-0^2 = 0.8 $$ --- 2. 計算 $E(Y)$ 與 $\operatorname{Var}(Y)$ 先求 $Y$ 的邊際分配： $$ P(Y=4)=0.2+0+0.2=0.4 $$ $$ P(Y=6)=0+0.2+0.1=0.3 $$ $$ P(Y=8)=0.2+0+0.1=0.3 $$ 因此 $$ E(Y)=4(0.4)+6(0.3)+8(0.3) $$ $$ E(Y)=1.6+1.8+2.4=5.8 $$ 再計算 $$ E(Y^2)=4^2(0.4)+6^2(0.3)+8^2(0.3) $$ $$ E(Y^2)=16(0.4)+36(0.3)+64(0.3) $$ $$ E(Y^2)=6.4+10.8+19.2=36.4 $$ 故

Question 3

(20%) If the inspection division of a county weights and measures department wants to estimate the mean amount of soft-drink fill in 2-liter bottles to within $\pm 0.02$ liter with 95% confidence and also assumes that the standard deviation is $0.06$ liter, what sample size is needed for this study?

Accepted Answer

本題考驗計算所需樣本數以達到指定的信賴區間寬度和信賴水準。

題目要求估計母體平均數 $\mu$ ，使得信賴區間的誤差範圍 (margin of error) $E$ 不超過 $0.02$ 公升，且信賴水準為 $95\%$ 。已知母體標準差 $\sigma = 0.06$ 公升。

樣本數 $n$ 的計算公式為：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2$
其中：

$z_{\alpha/2}$ 是對應於信賴水準的 z 分數。
$\sigma$ 是母體標準差。
$E$ 是允許的誤差範圍 (margin of error)。

Question 4

(20%) You plan to conduct a marketing experiment in which students are to taste one of two different brands of soft drink. Their task is to correctly identify the brand tasted. You select a random sample of 225 students and assume that the students have no ability to distinguish between the two brands. (Hint: If an individual has no ability to distinguish between the two soft drinks, then the two brands are equally likely to be selected.)

a. What is the probability that the sample will have between 50% and 80% of the identifications correct? (10%)
b. Which is more likely to occur—more than 60% correct identifications in the sample of 225 or more than 55% correct identifications in a sample of 400? Explain. (10%)

Accepted Answer

核心觀念 每位學生無法辨識兩種飲料，因此答對的機率為 $$ p=\frac12 $$ 令 $X$ 表示 $225$ 位學生中答對的人數，則各學生的判斷可視為相互獨立，因此 $$ X\sim \operatorname{Binomial}(225,0.5) $$ 其平均數與標準差為 $$ \mu=np=225(0.5)=112.5 $$ $$ \sigma=\sqrt{np(1-p)} =\sqrt{225(0.5)(0.5)} =7.5 $$ 因為 $np=n(1-p)=112.5$ 均遠大於 $5$，可使用常態近似： $$ X\approx N(112.5,7.5^2) $$ 計算離散型二項分配的機率時，須使用連續性修正。 --- (a) 答對比例介於 50% 與 80% 的機率 解題方法 答對比例介於 $50\%$ 與 $80\%$，即 $$ 0.5\leq \frac{X}{225}\leq 0.8 $$ 換算成答對人數： $$ 112.5\leq X\leq 180 $$ 由於 $X$ 必須為整數，因此 $$ X=113,114,\ldots,180 $$ 故精確的二項分配表示為 $$ P(113\leq X\leq180) = \sum{x=113}^{180} \binom{225}{x}(0.5)^{225} $$ 使用常態近似並進行連續性修正： $$ P(113\leq X\leq180) \approx P(112.5<Y<180.5) $$ 其中 $$ Y\sim N(112.5,7.5^2) $$ 標準化得 $$ P(112.5<Y<180.5) = P\left( \frac{112.5-112.5}{7.5} < Z < \frac{180.5-112.5}{7.5} \right) $$ 因此 $$ = P(0<Z<9.0667) $$ $$ =\Phi(9.0667)-\Phi(0) \approx 1-0.5 =0.5000 $$ 由於 $z=9.0667$ 對應的右尾機率極小，上限 $80\%$ 幾乎不會造成實質影響。此結果也符合二項分配在 $p=0.5$ 時以 $112.5$ 為中心對稱的特性：答對人數至少 $113$ 人的機率幾乎正好為 $0.5$。 --- (b) 比較兩種情況的發生機率 第一種情況：225 人中超過 60% 答對 令 $X\sim\operatorname{Binomial}(225,0.5)$。 $$ 0.6(225)=135 $$ 「超過 $60\%$」表示答對人數必須大於 $135$，所以

Question 5

(20%) Suppose that managers of a major book publisher believe that the occurrence of typographical errors in the books the company publishes is Poisson distributed with a mean of $0.2$ per page. Because of some customer quality complaints, the managers have arranged to conduct a test to determine if the error distribution still holds. A total of $400$ pages were randomly selected, and the number of errors per page was counted. These data are summarized in the following frequency distribution:

Errors	Frequency
0	335
1	56
2	7
3	2
Total	400

Conduct the appropriate hypothesis test using a significance level equal to $0.05$ . Discuss the results.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. Poisson 分配 2. 卡方適合度檢定（chi-square goodness-of-fit test） 3. 期望次數過小時的組別合併 4. 卡方檢定統計量與自由度的計算 若每頁錯字數 $X$ 服從平均數為 $0.2$ 的 Poisson 分配，則 $$ X\sim \operatorname{Poisson}(0.2) $$ 其機率質量函數為 $$ P(X=x)=\frac{e^{-0.2}(0.2)^x}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots $$ 本題欲檢定實際錯字分布是否仍符合此 Poisson 分配。 --- 解題方法 1. 設定假設 虛無假設與對立假設為 $$ H0:X\sim \operatorname{Poisson}(0.2) $$ $$ H1:X	ext{ 不服從 }\operatorname{Poisson}(0.2) $$ 這是整體分配的適合度檢定，因此採用卡方適合度檢定。 --- 2. 計算各組理論機率與期望次數 原始資料為： | 每頁錯字數 | 實際次數 | |---:|---:| | 0 | 335 | | 1 | 56 | | 2 | 7 | | 3 | 2 | 先計算理論機率： 錯字數為 0 $$ P(X=0)=e^{-0.2}=0.8187308 $$ 因此期望次數為 $$ E0=400(0.8187308)=327.4923 $$ 錯字數為 1 $$ P(X=1)=e^{-0.2}(0.2)=0.1637462 $$ $$ E1=400(0.1637462)=65.4985 $$ 錯字數至少為 2 由於 $$ P(X=2)=0.0163746 $$ 其期望次數為 $$ 400(0.0163746)=6.5498 $$ 但 $X=3$ 的期望次數只有 $$ 400P(X=3) =400\left(\frac{e^{-0.2}(0.2)^3}{3!}ight) \approx 0.4367 $$ 小於通常要求的 5，因此必須將 $X=2$ 與 $X=3$ 以上合併成同一組： $$ P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1) $$ $$ P(X\geq 2)=1-0.8187308-0.1637462=0.0175230 $$ 所以 $$ E{\geq 2}=400(0.0175230)=7.0092 $$ 合併後的觀察次數與期望次數如下： | 組別 | 觀察次數 $Oi$ | 期望次數 $Ei$ | |---:|---:|---:| | $X=0$ | 335 | 327.4923 | | $X=1$ | 56 | 65.4985 | | $X\geq 2$ | $7+2=9$ | 7.0092 | 所有期望次數均大於 5，符合卡方近似的使用條件。 --- 3.…

111 年國立清華大學科技管理研究所《統計學》

第 1 題20 分

核心觀念

解題方法

第 2 題20 分

核心觀念

解題方法

1. 計算 $E(X)$ 與 $\operatorname{Var}(X)$

2. 計算 $E(Y)$ 與 $\operatorname{Var}(Y)$

第 3 題20 分

第 4 題20 分

核心觀念

(a) 答對比例介於 50% 與 80% 的機率

解題方法

(b) 比較兩種情況的發生機率

第一種情況：225 人中超過 60% 答對

第 5 題20 分

核心觀念

解題方法

1. 設定假設

2. 計算各組理論機率與期望次數

錯字數為 0

錯字數為 1

錯字數至少為 2

3. 計算卡方檢定統計量

其他考古題

111 年清華大學的其他科目

清華大學《統計學》其他年度

其他學校的企管與商學考古題

111 年 國立清華大學科技管理研究所《統計學》

第 1 題20 分

核心觀念

解題方法

第 2 題20 分

核心觀念

解題方法

1. 計算 E(X)E(X)E(X) 與 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)Var(X)

2. 計算 E(Y)E(Y)E(Y) 與 Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y)Var(Y)

第 3 題20 分

第 4 題20 分

核心觀念

(a) 答對比例介於 50% 與 80% 的機率

解題方法

(b) 比較兩種情況的發生機率

第一種情況：225 人中超過 60% 答對

第 5 題20 分

核心觀念

解題方法

1. 設定假設

2. 計算各組理論機率與期望次數

錯字數為 0

錯字數為 1

錯字數至少為 2

3. 計算卡方檢定統計量

其他考古題

111 年清華大學的其他科目

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其他學校的企管與商學考古題

111 年國立清華大學科技管理研究所《統計學》

1. 計算 $E(X)$ 與 $\operatorname{Var}(X)$

2. 計算 $E(Y)$ 與 $\operatorname{Var}(Y)$