113 年 國立清華大學科技管理研究所甲組《統計學》

本題考驗二項分布的近似以及常態分布的應用。

一個簡單的二項分布問題，我們將使用常態近似來求解。

令 $X$ 為這 400 位成人中吸菸的人數。
已知吸菸的機率 $p = 0.25$，樣本數 $n = 400$。
$X$ 服從二項分布 $B(n, p)$，即 $X \sim B(400, 0.25)$。

二項分布的平均數為 $\mu = np = 400 \times 0.25 = 100$。
二項分布的變異數為 $\sigma^2 = np(1-p) = 400 \times 0.25 \times (1-0.25) = 400 \times 0.25 \times 0.75 = 100 \times 0.75 = 75$。
標準差為 $\sigma = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.732 = 8.66$。

由於 $n$ 夠大，且 $np = 100 > 5$ 且 $n(1-p) = 400 \times 0.75 = 300 > 5$，我們可以利用常態分布來近似二項分布。

本題考驗根據樣本資料建構母體標準差的信賴區間。

我們需要根據樣本資料，建構母體標準差 $\sigma$ 的 95% 信賴區間。
當母體變異數 $\sigma^2$ 未知時，我們通常使用卡方分布 (Chi-squared distribution) 來建構 $\sigma^2$ 的信賴區間，進而推導出 $\sigma$ 的信賴區間。

首先，計算樣本的平均數 $\bar{x}$ 和樣本標準差 $s$。
樣本數 $n=8$。
樣本數據：18.0, -12.5, 15.2, 11.6, 8.5, -2.8, -17.7, 12.3

計算樣本平均數 $\bar{x}$:
$\bar{x} = \frac{18.0 - 12.5 + 15.2 + 11.6 + 8.5 - 2.8 - 17.7 + 12.3}{8}$
$\bar{x} = \frac{44.6}{8} = 5.575$

計算樣本變異數 $s^2$：
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
首先計算平方和 $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$:
$(18.0 - 5.575)^2 = (12.425)^2 = 154.380625$
$(-12.5 - 5.575)^2 = (-18.075)^2 = 326.705625$
$(15.2 - 5.575)^2 = (9.625)^2 = 92.640625$
$(11.6 - 5.575)^2 = (6.025)^2 = 36.300625$
$(8.5 - 5.575)^2 = (2.925)^2 = 8.555625$
$(-2.8 - 5.575)^2 = (-8.375)^2 = 70.140625$
$(-17.7 - 5.575)^2 = (-23.275)^2 = 541.725625$
$(12.3 - 5.575)^2 = (6.725)^2 = 45.225625$

核心觀念

本題考查兩個觀念：

1. 兩個獨立母體平均數差異的單尾檢定：判斷年資較深的顧問 A 是否具有較高的母體平均服務評分。
2. 二元變數與連續變數的相關係數：當 $X$ 為 $0$、$1$ 二元變數，$Y$ 為連續評分時，可使用點二系列相關係數（point-biserial correlation）。

令：

• 顧問 A：$n_1=16,\ \bar{x}_1=6.82,\ s_1=0.64$
• 顧問 B：$n_2=10,\ \bar{x}_2=6.25,\ s_2=0.75$

樣本平均數差為：

$$\bar{x}_1-\bar{x}_2=6.82-6.25=0.57$$

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a. 檢定顧問 A 的母體平均評分是否較高

假設

令 $\mu_1$ 為顧問 A 的母體平均服務評分，$\mu_2$ 為顧問 B 的母體平均服務評分。

因題目要檢定顧問 A 是否較高，採右尾檢定：

$$H_0:\mu_1-\mu_2\leq 0$$ $$H_1:\mu_1-\mu_2>0$$

顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

由於題目未明確要求兩母體變異數相等，採用 Welch 兩獨立樣本 $t$ 檢定。

檢定統計量

Welch $t$ 統計量為：

$$t= \frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-0} {\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$

代入數值：

$$t= \frac{6.82-6.25} {\sqrt{\frac{0.64^2}{16}+\frac{0.75^2}{10}}}$$ $$= \frac{0.57} {\sqrt{0.0256+0.05625}} = \frac{0.57}{0.2861} \approx 1.99$$

Welch 自由度為：

$$\nu= \frac{ \left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2 }{ \frac{\left(s_1^2/n_1\right)^2}{n_1-1} + \frac{\left(s_2^2/n_2\right)^2}{n_2-1} } \approx 16.94$$

可取自由度 $\nu\approx 17$。

臨界值與判定

右尾檢定、$\alpha=0.05$、自由度約為 $17$：

$$t_{0.05,17}\approx 1.740$$

比較：

$$t=1.99>1.740$$

因此拒絕 $H_0$。其單尾 $p$ 值約為：

$$p\approx 0.031<0.05$$

結論

在顯著水準 $0.05$ 下，有充分統計證據支持：

$$\mu_1>\mu_2$$

也就是說，年資較深的顧問 A，其母體平均服務評分顯著高於顧問 B。

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b. 計算 $X$ 與 $Y$ 的相關係數

方法一：點二系列相關係數

當 $X$ 是二元變數、$Y$ 是連續變數時，相關係數可用：

$$r_{pb} = \frac{\bar{Y}_1-\bar{Y}_0}{s_Y} \sqrt{\frac{n_1n_0}{n^2}}$$

其中：

本題考驗卡方獨立性檢定 (Chi-squared Test of Independence)。

我們需要檢定購買的機票類型（First Class, Business Class, Economy Class）是否與飛行類型（Domestic, International）獨立。

步驟 1：設定虛無假設與對立假設
$H_0$: 機票類型與飛行類型是獨立的。
$H_1$: 機票類型與飛行類型不是獨立的（即存在關聯）。

步驟 2：計算邊際總計和總計

Type of Ticket	Domestic (Col 1)	International (Col 2)	Row Total
First Class	30	25	55
Business Class	90	120	210
Economy Class	520	130	650
Column Total	640	275	915 (N)

總樣本數 $N = 915$。

步驟 3：計算期望次數 $E_{ij}$
在虛無假設（獨立性）下，期望次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{N}$

• $E_{11}$ (First Class, Domestic): $\frac{55 \times 640}{915} = \frac{35200}{915} \approx 38.4699$
• $E_{12}$ (First Class, International): $\frac{55 \times 275}{915} = \frac{15125}{915} \approx 16.5301$
• $E_{21}$ (Business Class, Domestic): $\frac{210 \times 640}{915} = \frac{134400}{915} \approx 146.8852$
• $E_{22}$ (Business Class, International): $\frac{210 \times 275}{915} = \frac{57750}{915} \approx 63.1148$
• $E_{31}$ (Economy Class, Domestic): $\frac{650 \times 640}{915} = \frac{416000}{915} \approx 454.6448$
• $E_{32}$ (Economy Class, International): $\frac{650 \times 275}{915} = \frac{178750}{915} \approx 195.3552$

本題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)。

我們需要檢定不同的溫度水平（50°C, 60°C, 70°C）是否對化學製程的平均產量有顯著影響。

步驟 1：設定虛無假設與對立假設
令 $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ 分別為溫度水平 50°C, 60°C, 70°C 下的母體平均產量。
$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ (所有溫度水平下的平均產量都相同)
$H_1: \text{至少有一個 } \mu_i \text{ 不同}$ (至少有一個溫度水平對平均產量有顯著影響)

步驟 2：整理數據並計算基本統計量
有 3 個處理組（溫度水平），每個組有 4 個觀察值。
總觀察數 $N = 3 \times 4 = 12$。

Temperature	50°C ($i=1$)	60°C ($i=2$)	70°C ($i=3$)
	34	30	23
	24	35	29
	34	32	28
	25	36	25
Sum ($T_i$)	$34+24+34+25 = 117$	$30+35+32+36 = 133$	$23+29+28+25 = 105$
Mean ($\bar{x}_i$)	$117/4 = 29.25$	$133/4 = 33.25$	$105/4 = 26.25$
Sum of Squares ($SS_i$)	$34^2+24^2+34^2+25^2 = 1156+576+1156+625 = 3513$	$30^2+35^2+32^2+36^2 = 900+1225+1024+1296 = 4445$	$23^2+29^2+28^2+25^2 = 529+841+784+625 = 2779$

總平均數 $\bar{x}_{grand} = \frac{T_1 + T_2 + T_3}{N} = \frac{117 + 133 + 105}{12} = \frac{355}{12} \approx 29.5833$

步驟 3：計算變異數分析表 (ANOVA Table)

a. 計算總平方和 (Total Sum of Squares, SST)
$SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}^2 - \frac{(\sum x_{ij})^2}{N}$
$\sum x_{ij}^2 = 3513 + 4445 + 2779 = 10737$
$\frac{(\sum x_{ij})^2}{N} = \frac{(355)^2}{12} = \frac{126025}{12} \approx 10502.0833$
$SST = 10737 - 10502.0833 = 234.9167$

b. 計算組間平方和 (Between Groups Sum of Squares, SSB)
$SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{grand})^2$
$SSB = 4 \times (29.25 - 29.5833)^2 + 4 \times (33.25 - 29.5833)^2 + 4 \times (26.25 - 29.5833)^2$
$SSB = 4 \times (-0.3333)^2 + 4 \times (3.6667)^2 + 4 \times (-3.3333)^2$
$SSB = 4 \times 0.1111 + 4 \times 13.4444 + 4 \times 11.1111$
$SSB = 0.4444 + 53.7776 + 44.4444 = 98.6664$

另一種計算 SSB 的方法：
$SSB = \sum_{i=1}^k \frac{T_i^2}{n_i} - \frac{(\sum T_i)^2}{N}$
$SSB = \frac{117^2}{4} + \frac{133^2}{4} + \frac{105^2}{4} - \frac{355^2}{12}$
$SSB = \frac{13689}{4} + \frac{17689}{4} + \frac{11025}{4} - 10502.0833$
$SSB = 3422.25 + 4422.25 + 2756.25 - 10502.0833$
$SSB = 10600.75 - 10502.0833 = 98.6667$ (與前面計算略有差異，因四捨五入)

c. 計算組內平方和 (Within Groups Sum of Squares, SSW)
$SSW = SST - SSB$
$SSW = 234.9167 - 98.6667 = 136.25$