112 年 國立清華大學科技管理研究所甲組《統計學》

本題主要在檢定三個獨立樣本的平均數是否相等，以及變異數是否相等。

核心觀念：

• 變異數分析 (ANOVA)：用於檢定三個或三個以上獨立樣本的平均數是否相等。
• F 檢定 (F-test for equality of variances)：用於檢定兩個或多個獨立樣本的變異數是否相等。

解題過程：

Part a: 檢定電池平均壽命是否存在差異

由於我們有三個獨立的樣本，且欲檢定它們的平均數是否相等，因此適合使用單因子變異數分析 (One-way ANOVA)。

1. 設定虛無假說與對立假說：

   • $H_0$: $\mu_{Existing} = \mu_{New1} = \mu_{New2}$ (所有產品的平均電池壽命相同)
   • $H_1$: 至少有一個產品的平均電池壽命不同於其他產品。

2. 計算統計量：

   • 樣本數 $n_1 = n_2 = n_3 = 30$
   • 樣本平均數 $\bar{x}_1 = 19.57$, $\bar{x}_2 = 20.13$, $\bar{x}_3 = 21.34$
   • 樣本標準差 $s_1 = 0.24$, $s_2 = 0.18$, $s_3 = 0.22$
   • 樣本變異數 $s_1^2 = 0.24^2 = 0.0576$, $s_2^2 = 0.18^2 = 0.0324$, $s_3^2 = 0.22^2 = 0.0484$
   • 總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 30 + 30 + 30 = 90$
   • 組間變異數 (Between-group variance, MSB)：
     • 總平均數 $\bar{x}_{total} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2 + n_3\bar{x}_3}{N} = \frac{30(19.57) + 30(20.13) + 30(21.34)}{90} = \frac{587.1 + 603.9 + 640.2}{90} = \frac{1831.2}{90} \approx 20.3467$
     • SSB = $\sum_{i=1}^3 n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{total})^2 = 30(19.57 - 20.3467)^2 + 30(20.13 - 20.3467)^2 + 30(21.34 - 20.3467)^2$
       SSB = $30(-0.7767)^2 + 30(-0.2167)^2 + 30(0.9933)^2$
       SSB = $30(0.6033) + 30(0.0469) + 30(0.9866)$
       SSB = $18.10 + 1.41 + 29.60 = 49.11$
     • MSB = $\frac{SSB}{k-1} = \frac{49.11}{3-1} = \frac{49.11}{2} = 24.555$ (其中 $k=3$ 是組數)
   • 組內變異數 (Within-group variance, MSW)：
     • SSW = $\sum_{i=1}^3 (n_i - 1)s_i^2 = (30-1)(0.24^2) + (30-1)(0.18^2) + (30-1)(0.22^2)$
       SSW = $29(0.0576) + 29(0.0324) + 29(0.0484)$
       SSW = $1.66944 + 0.9396 + 1.4036 = 4.01264$
     • MSW = $\frac{SSW}{N-k} = \frac{4.01264}{90-3} = \frac{4.01264}{87} \approx 0.04612$
   • F 統計量 = $\frac{MSB}{MSW} = \frac{24.555}{0.04612} \approx 532.4$

3. 決定臨界值與做出決策：

   • 顯著水準 $\alpha = 0.05$
   • 自由度：分子自由度 $df_1 = k-1 = 3-1 = 2$；分母自由度 $df_2 = N-k = 90-3 = 87$
   • 查 F 分配表，在 $\alpha = 0.05$, $df_1 = 2$, $df_2 = 87$ 的情況下，臨界值 $F_{crit}$ 約為 3.09 (使用 $df_2 = 80$ 或 $100$ 的近似值)。

本題要求計算兩種股票年報酬率的相關係數。

核心觀念：

• 期望值 (Expected Value)：衡量隨機變數的平均值。
• 變異數 (Variance) 與標準差 (Standard Deviation)：衡量隨機變數的離散程度。
• 共變異數 (Covariance)：衡量兩個隨機變數聯合變動的程度。
• 相關係數 (Correlation Coefficient)：標準化後的共變異數，衡量兩個隨機變數之間線性相關的強度與方向。

解題過程：

首先，我們需要計算 Stock X 和 Stock Y 的期望值、變異數和標準差，以及它們的共變異數。

1. 計算 Stock X 的期望值 $E(X)$：
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-200)(0.4) + (0)(0.4) + (400)(0.2)$
$E(X) = -80 + 0 + 80 = 0$

2. 計算 Stock Y 的期望值 $E(Y)$：
$E(Y) = \sum y_i P(y_i) = (100)(0.4) + (-20)(0.4) + (-150)(0.2)$
$E(Y) = 40 - 8 + (-30) = 2$

3. 計算 Stock X 的變異數 $Var(X)$：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
首先計算 $E(X^2)$:
$E(X^2) = (-200)^2(0.4) + (0)^2(0.4) + (400)^2(0.2)$
$E(X^2) = (40000)(0.4) + 0 + (160000)(0.2)$
$E(X^2) = 16000 + 32000 = 48000$
$Var(X) = 48000 - (0)^2 = 48000$

4. 計算 Stock Y 的變異數 $Var(Y)$：
$Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$
首先計算 $E(Y^2)$:

本題要求計算二項分配中，至少發生特定次數的機率。

核心觀念：

• 二項分配 (Binomial Distribution)：描述在固定試驗次數下，每次試驗成功機率固定的獨立伯努努利試驗中，成功次數的機率分布。
• 累積分堆機率 (Cumulative Probability)：計算隨機變數小於或等於某個值的機率。

解題過程：

1. 定義隨機變數與參數：

   • 令 $X$ 為一天內，50 個線上零售訂單中，被判定為詐欺的訂單數量。
   • 由於每個訂單是否為詐欺是獨立事件，且詐欺的機率固定，因此 $X$ 服從二項分配。
   • 試驗次數 $n = 50$。
   • 單次試驗成功的機率（訂單為詐欺的機率）$p = 0.12$。
   • 因此，$X \sim Binomial(n=50, p=0.12)$。

2. 設定欲計算的機率：
   我們要求的是「五個或更多」訂單為詐欺的機率，即 $P(X \ge 5)$。

3. 計算方法：
   直接計算 $P(X \ge 5)$ 需要計算 $P(X=5) + P(X=6) + \dots + P(X=50)$，這會非常繁瑣。
   因此，我們通常使用其補集來計算：
   $P(X \ge 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)]$

   二項分配的機率質量函數 (PMF) 為：
   $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

   代入參數 $n=50, p=0.12, 1-p=0.88$:

   • $P(X=0) = \binom{50}{0} (0.12)^0 (0.88)^{50} \approx 1 \times 1 \times 0.001343 \approx 0.001343$
   • $P(X=1) = \binom{50}{1} (0.12)^1 (0.88)^{49} \approx 50 \times 0.12 \times 0.001526 \approx 0.009156$
   • $P(X=2) = \binom{50}{2} (0.12)^2 (0.88)^{48} \approx 1225 \times 0.0144 \times 0.001734 \approx 0.030572$

核心觀念

本題考查二項分配、標準化，以及以常態分配近似二項分配。

由於每位學生無法分辨兩種飲料，猜中品牌的機率為

$$p=\frac12.$$

若共有 $n$ 位學生，令 $X$ 表示答對人數，則

$$X\sim \operatorname{Binomial}\left(n,\frac12\right),$$

其平均數與標準差分別為

$$E(X)=np=\frac n2,$$ $$\sigma_X=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{\frac n4}=\frac{\sqrt n}{2}.$$

題目比較的是：

1. 100 位學生中答對超過 65 人；
2. 500 位學生中答對超過 55%。

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解題方法

一、100 位學生中超過 65 人答對

令

$$X\sim \operatorname{Binomial}\left(100,\frac12\right).$$

題意為

$$P(X>65)=P(X\geq 66).$$

其平均數與標準差為

$$\mu_X=100\left(\frac12\right)=50,$$ $$\sigma_X=\sqrt{100\left(\frac12\right)\left(\frac12\right)}=5.$$

使用常態近似並採用連續性修正：

$$P(X\geq 66)\approx P\left(Z>\frac{65.5-50}{5}\right).$$

因此

$$P(X\geq 66) \approx P(Z>3.10) \approx 0.001.$$

精確二項分配機率為

$$P(X\geq 66) = \sum_{x=66}^{100} \binom{100}{x} \left(\frac12\right)^{100} \approx 0.0009.$$

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二、500 位學生中超過 55% 答對

令

$$Y\sim \operatorname{Binomial}\left(500,\frac12\right).$$

超過 $55\%$ 表示答對人數超過

$$500(0.55)=275,$$

所以事件為

$$P(Y>275)=P(Y\geq 276).$$

其平均數與標準差為

$$\mu_Y=500\left(\frac12\right)=250,$$

本題主要在檢定四個不同年齡層群體中，達到數據流量上限的比例是否存在顯著差異，並詢問事後比較的方法。

核心觀念：

• 卡方檢定 (Chi-Squared Test for Independence/Homogeneity)：用於檢定兩個類別變數之間是否獨立，或比較不同群體在某類別變數上的比例分佈是否相同。
• 多重比較 (Multiple Comparisons) / 事後檢定 (Post-hoc tests)：在整體檢定結果顯著後，用於找出具體是哪些群體之間存在差異。

解題過程：

Part a: 檢定不同年齡層群體比例是否存在差異

這是一個典型的比例檢定問題，我們有四個獨立的群體（年齡層），每個群體都有一個比例（達到數據流量上限的比例）。我們需要檢定這四個比例是否相等。適合使用卡方檢定 (Chi-squared test for homogeneity)。

1. 設定虛無假說與對立假說：

   • $H_0$: 四個年齡層群體中，達到數據流量上限的比例均相等。($p_1 = p_2 = p_3 = p_4$)
   • $H_1$: 至少有一個年齡層群體的比例不同於其他群體。

2. 整理數據：

   • 樣本大小：每個群體 $n_i = 200$ (i=1: 18-29, i=2: 30-49, i=3: 50-64, i=4: 65+)
   • 觀察比例：$\hat{p}_1 = 0.48$, $\hat{p}_2 = 0.38$, $\hat{p}_3 = 0.25$, $\hat{p}_4 = 0.19$
   • 計算各組達到上限的人數 (觀察次數 $O_{i1}$)：
     • 18-29歲：$O_{11} = n_1 \times \hat{p}_1 = 200 \times 0.48 = 96$
     • 30-49歲：$O_{21} = n_2 \times \hat{p}_2 = 200 \times 0.38 = 76$
     • 50-64歲：$O_{31} = n_3 \times \hat{p}_3 = 200 \times 0.25 = 50$
     • 65+歲：$O_{41} = n_4 \times \hat{p}_4 = 200 \times 0.19 = 38$
   • 計算各組未達到上限的人數 (觀察次數 $O_{i2}$)：
     • 18-29歲：$O_{12} = 200 - 96 = 104$
     • 30-49歲：$O_{22} = 200 - 76 = 124$
     • 50-64歲：$O_{32} = 200 - 50 = 150$
     • 65+歲：$O_{42} = 200 - 38 = 162$

3. 計算總體比例與預期次數：

   • 總樣本數 $N = 4 \times 200 = 800$
   • 總體達到上限的比例 $\hat{p}_{total} = \frac{\sum O_{i1}}{N} = \frac{96 + 76 + 50 + 38}{800} = \frac{260}{800} = 0.325$
   • 總體未達到上限的比例 $\hat{q}_{total} = 1 - 0.325 = 0.675$
   • 計算各組的預期次數 $E_{i1}$ (達到上限) 和 $E_{i2}$ (未達到上限)：
     • $E_{11} = n_1 \times \hat{p}_{total} = 200 \times 0.325 = 65$
     • $E_{12} = n_1 \times \hat{q}_{total} = 200 \times 0.675 = 135$
     • $E_{21} = n_2 \times \hat{p}_{total} = 200 \times 0.325 = 65$
     • $E_{22} = n_2 \times \hat{q}_{total} = 200 \times 0.675 = 135$
     • $E_{31} = n_3 \times \hat{p}_{total} = 200 \times 0.325 = 65$
     • $E_{32} = n_3 \times \hat{q}_{total} = 200 \times 0.675 = 135$
     • $E_{41} = n_4 \times \hat{p}_{total} = 200 \times 0.325 = 65$
     • $E_{42} = n_4 \times \hat{q}_{total} = 200 \times 0.675 = 135$

4. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
   $\chi^2 = \sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^2 \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

   • $\frac{(96-65)^2}{65} = \frac{31^2}{65} = \frac{961}{65} \approx 14.78$
   • $\frac{(104-135)^2}{135} = \frac{(-31)^2}{135} = \frac{961}{135} \approx 7.12$

本題要求在 0.05 的顯著水準下，檢定三種不同手機產品的平均電池壽命是否存在差異。這是一個典型的單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 問題。

核心觀念：

• 單因子變異數分析 (One-way ANOVA)：用於檢定三個或三個以上獨立樣本的平均數是否相等。

解題過程：

1. 設定虛無假說與對立假說：

   • $H_0$: $\mu_{Existing} = \mu_{New1} = \mu_{New2}$ (所有產品的平均電池壽命相同)
   • $H_1$: 至少有一個產品的平均電池壽命不同於其他產品。

2. 資料整理：

   • 樣本數：$n_{Existing} = 30$, $n_{New1} = 30$, $n_{New2} = 30$
   • 樣本平均數：$\bar{x}_{Existing} = 19.57$, $\bar{x}_{New1} = 20.13$, $\bar{x}_{New2} = 21.34$
   • 樣本標準差：$s_{Existing} = 0.24$, $s_{New1} = 0.18$, $s_{New2} = 0.22$
   • 樣本變異數：$s_{Existing}^2 = 0.24^2 = 0.0576$, $s_{New1}^2 = 0.18^2 = 0.0324$, $s_{New2}^2 = 0.22^2 = 0.0484$
   • 總樣本數 $N = 30 + 30 + 30 = 90$
   • 組數 $k = 3$

3. 計算變異數分析所需統計量：

   • 總平均數 $\bar{x}_{total}$：
     $\bar{x}_{total} = \frac{\sum n_i \bar{x}_i}{N} = \frac{30(19.57) + 30(20.13) + 30(21.34)}{90} = \frac{587.1 + 603.9 + 640.2}{90} = \frac{1831.2}{90} \approx 20.3467$
   • 組間平方和 (Sum of Squares Between, SSB)：
     SSB $= \sum_{i=1}^k n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{total})^2$

本題要求找出可以用來檢定電池壽命變異是否存在差異的統計測試程序。

核心觀念：

• 變異數同質性檢定 (Tests for Homogeneity of Variances)：用於檢定兩個或多個樣本的變異數是否相等。

解題過程：

我們有三個獨立的樣本（Existing, New1, New2），每個樣本都有其變異數的估計值（$s_1^2=0.0576, s_2^2=0.0324, s_3^2=0.0484$）。我們要判斷這三個變異數之間是否存在顯著差異。

以下是幾種常用的統計測試程序：

1. Bartlett's Test for Homogeneity of Variances：

   • 這是最常見的用於檢定多個樣本變異數同質性的方法。
   • 它假設樣本是從服從常態分配的母體中抽取的。
   • 虛無假說 $H_0$: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2$ (所有群體的變異數相等)。
   • 對立假說 $H_1$: 至少有一個群體的變異數不同。
   • 此檢定會計算一個 $\chi^2$ 統計量，並與 $\chi^2$ 分配比較。

2. Levene's Test for Homogeneity of Variances：

   • Levene's Test 是一種對樣本是否服從常態分配的假設較為穩健的變異數同質性檢定。
   • 它透過計算每個樣本點到其組內平均數的絕對偏差，然後對這些偏差進行單因子變異數分析 (ANOVA)。

本題要求在 0.05 的顯著水準下，檢定四個不同年齡層群體中，達到數據流量上限的比例是否存在顯著差異。這是一個用於檢定兩個類別變數之間關係的卡方檢定問題，具體而言是檢定比例的同質性 (homogeneity of proportions)。

核心觀念：

• 卡方檢定 (Chi-Squared Test)：用於檢定觀察頻率與期望頻率之間的差異是否顯著。在此處，用於檢定不同群體（年齡層）在某個類別變數（達到數據流量上限）上的比例分佈是否相同。

解題過程：

1. 設定虛無假說與對立假說：

   • $H_0$: 四個年齡層群體中，達到數據流量上限的比例均相等。($p_{18-29} = p_{30-49} = p_{50-64} = p_{65+}$)
   • $H_1$: 至少有一個年齡層群體的比例不同於其他群體。

2. 整理數據：

   • 樣本大小：每個群體 $n = 200$。
   • 觀察到的比例（達到上限）：
     • 18-29歲：$\hat{p}_1 = 0.48$
     • 30-49歲：$\hat{p}_2 = 0.38$
     • 50-64歲：$\hat{p}_3 = 0.25$
     • 65+歲：$\hat{p}_4 = 0.19$
   • 計算各組達到上限的人數 (觀察次數 $O_{i1}$)：
     • $O_{11} = 200 \times 0.48 = 96$
     • $O_{21} = 200 \times 0.38 = 76$
     • $O_{31} = 200 \times 0.25 = 50$
     • $O_{41} = 200 \times 0.19 = 38$
   • 計算各組未達到上限的人數 (觀察次數 $O_{i2}$)：
     • $O_{12} = 200 - 96 = 104$
     • $O_{22} = 200 - 76 = 124$
     • $O_{32} = 200 - 50 = 150$
     • $O_{42} = 200 - 38 = 162$

3. 計算總體比例與期望次數：

   • 總樣本數 $N = 4 \times 200 = 800$
   • 總體達到上限的比例 $\hat{p}_{total} = \frac{\text{總觀察次數（達到上限）}}{N} = \frac{96 + 76 + 50 + 38}{800} = \frac{260}{800} = 0.325$
   • 總體未達到上限的比例 $\hat{q}_{total} = 1 - 0.325 = 0.675$
   • 計算各組的期望次數 $E_{ij}$：
     • $E_{11} = 200 \times 0.325 = 65$ (18-29歲，達到上限)
     • $E_{12} = 200 \times 0.675 = 135$ (18-29歲，未達上限)

本題在 Part a 的卡方檢定結果顯著之後，要求找出能夠進一步確定具體是哪些年齡組之間比例存在差異的統計測試程序。這涉及到事後檢定（Post-hoc tests）或多重比較（Multiple Comparisons）。

核心觀念：

• 事後檢定 (Post-hoc Tests)：當整體檢定（如卡方檢定或 ANOVA）顯示群體間存在顯著差異時，用於確定哪些具體群體對此差異有貢獻。
• 多重比較校正 (Multiple Comparison Correction)：由於進行多次檢定會增加第一類錯誤（誤判為顯著）的機率，需要對顯著水準進行調整。

解題過程：

在 Part a 中，我們使用了卡方檢定來檢定四個年齡組的比例是否相同。檢定結果顯示比例存在顯著差異。現在需要找出是哪些年齡組之間的比例不同。

以下是常用的方法：

1. 成對卡方檢定 (Pairwise Chi-Squared Tests) 配合 Bonferroni 校正：
   • 方法： 對所有可能的年齡組配對進行獨立的 2x2 卡方檢定。共有 $\binom{4}{2} = 6$ 對配對：
     • 18-29 vs 30-49
     • 18-29 vs 50-64
     • 18-29 vs 65+
     • 30-49 vs 50-64
     • 30-49 vs 65+
     • 50-64 vs 65+
   • Bonferroni 校正： 由於進行了 6 次檢定，為了控制整體第一類錯誤率（Family-wise error rate, FWER）在 $\alpha=0.05$，我們需要將每次檢定的顯著水準降低。