108 年 國立清華大學服務科學研究所科管組《統計學》
第 1 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist wants to test whether among all BoBank employees, women's average salary is lower than men's average salary.
μ denotes the average salary of all BoBank employees.
denotes the average salary in the journalist's sample (208 employees).
- [10%] Which of the following set of hypotheses is appropriate for answering the above question?
a. : and :
b. : and :
c. : and :
d. : and :
e. : and :
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本題在考驗假設檢定的基本觀念,特別是敘述性陳述如何轉換為統計假設。
題目要求檢定「女性平均薪資是否低於男性平均薪資」。這是一個單尾檢定。
首先,我們需要定義母體參數。題目中 代表所有 BoBank 員工的平均薪資,而 代表樣本的平均薪資。由於我們要檢定的是「所有 BoBank 員工」的狀況,因此我們應該使用母體參數 來建立假設。
原題目敘述「女性平均薪資是否低於男性平均薪資」,這意味著我們想證明 。
在假設檢定中,虛無假設 () 通常包含等號,並且是我們希望推翻的陳述。對立假設 () 則代表我們希望找到證據支持的陳述。
因此,若我們要證明 ,則對立假設 應該是 。
相對地,虛無假設 應該是與 相反,且包含等號的情況。
第 2 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist wants to test whether among all BoBank employees, women's average salary is lower than men's average salary.
μ denotes the average salary of all BoBank employees.
denotes the average salary in the journalist's sample (208 employees).
- [10%] The journalist will use her data to test the hypothesis. Which of the following values are necessary for computing the test statistic? (choose all that apply)
a. Average salary of all BoBank employees
b. Average salary of employees in the journalist's sample
c. Average salary of women employees in the journalist's sample
d. Standard deviation of women's salary of all BoBank employees
e. Standard deviation of women's salary in the journalist's sample
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核心觀念
本題考查**獨立雙母體平均數差之假設檢定(Two-Independent-Sample Hypothesis Test for the Difference between Two Means)**中檢定統計量的建立與計算所需條件。
-
母體與假設設定:
- 設女性員工薪資母體為 ,男性員工薪資母體為 。
- 記者欲檢定「全體女性員工平均薪資是否低於男性員工」,屬於單尾雙母體平均數檢定:
- 虛無假設(Null Hypothesis):
- 對立假設(Alternative Hypothesis):
-
檢定統計量(Test Statistic)本質:
檢定統計量純粹由樣本資料計算而來,用以評估樣本結果與虛無假設的偏離程度。在母體標準差未知(Unknown Population Standard Deviations)的實際抽樣檢定情境中,需利用各組子樣本的樣本平均數(Sample Mean)、樣本標準差(Sample Standard Deviation)與樣本數(Sample Size)來構建統計量。
解題方法
進行獨立雙母體平均數差檢定時,檢定統計量公式為:
若假設兩母體變異數相等(Equal Variances),則採用合併樣本變異數(Pooled Sample Variance):
其中:
由上述公式可知,計算檢定統計量所必須具備的樣本數據包括:
- 各組樣本平均數:女性樣本平均薪資 、男性樣本平均薪資 。
- 各組樣本標準差:女性樣本標準差 、男性樣本標準差 。
- 各組樣本數:女性樣本數 、男性樣本數 。
第 3 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist wants to test whether among all BoBank employees, women's average salary is lower than men's average salary.
μ denotes the average salary of all BoBank employees.
denotes the average salary in the journalist's sample (208 employees).
- [10%] Compute the test statistic (assume equal variances of salary for women and men in the population). The value of the test statistic is:
a. lower than -3
b. in the interval [-3, -1)
c. in the interval [-1, 1)
d. in the interval [1, 3]
e. higher than 3
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核心觀念
本題考查「兩母體平均數差異的假設檢定」,比較女性與男性平均薪資是否不同,並檢驗女性平均薪資是否較低。
設定:
欲檢驗女性平均薪資較低,因此:
題目指定女性與男性薪資的母體變異數相等,因此使用「等變異數兩獨立母體平均數 檢定」。
解題方法
設女性樣本數為 、男性樣本數為 ,女性與男性樣本平均數分別為 ,樣本變異數分別為 。
因為假設兩母體變異數相等,先計算合併樣本變異數:
檢定統計量為:
自由度為:
若女性平均薪資低於男性,則 ,所以檢定統計量通常為負值。統計量越小,越支持「女性平均薪資低於男性」的主張。
然而,題目目前提供的資料只有總樣本數 ,未提供:
- 女性與男性各自的樣本數;
- 女性與男性的樣本平均薪資;
- 女性與男性的樣本變異數,或個別薪資資料。
因此無法實際計算 與 ,也無法判定統計量落在哪一個選項區間。
選項分析
第 4 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist wanted to take into account the employee's experience at BoBank. She plotted Salary vs. YrsExp by Gender and fitted two regression lines (one for men and one for women).
Salary vs Experience
100
90
Salary
80
Men: Salary = 30.43 + 1.53 YrsExp
70
60
+
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
YrsExp
Gender
- Female
O Male
Women. Salary = 34.53 + 0.28 * YrsExp
- [10%] What does the scatter plot show about work experience? (Choose all correct statements)
a. Salaries increase as employees work longer at the bank
b. Women with more experience always earn higher salaries than less-experienced women
c. Men with more experience earn higher average salaries than less-experienced men
d. The top 5 highest salaries in the sample belong to the employees with the longest experience
e. The difference between the regression line intercepts for men and for women is statistically significant
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本題要求根據散佈圖和迴歸線,判斷哪些關於工作經驗與薪資關係的陳述是正確的。
我們需要逐一分析每個選項。
a. Salaries increase as employees work longer at the bank.
觀察圖中的兩條迴歸線:
男性:Salary = 30.43 + 1.53 YrsExp
女性:Salary = 34.53 + 0.28 YrsExp
兩條線的斜率 (1.53 和 0.28) 都是正數,這表示隨著工作經驗 (YrsExp) 的增加,預測的薪資 (Salary) 也在增加。這支持了這個陳述。
在散佈圖中,雖然點的分布不完全貼合直線,但整體趨勢是隨著 YrsExp 增加,Salary 呈現上升。
因此,選項 a 是正確的。
b. Women with more experience always earn higher salaries than less-experienced women.
這個陳述使用了「always」這個詞,表示絕對的情況。
迴歸線代表的是「平均」薪資。即使平均薪資隨經驗增加而增加,並不代表對於任何兩個經驗不同的女性員工,經驗較多的那個一定薪資較高。散佈圖中的點顯示了變異性。
例如,一位經驗較少的女性員工,其薪資可能因為其他因素(如職位、績效)而高於一位經驗較多的女性員工。
迴歸線是平均趨勢,不是絕對規則。因此,選項 b 是不正確的。
c. Men with more experience earn higher average salaries than less-experienced men.
這個陳述與選項 a 類似,但只針對男性。
男性的迴歸線斜率是 1.53,為正。這表示隨著工作經驗增加,男性的平均薪資也會增加。
因此,選項 c 是正確的。
d. The top 5 highest salaries in the sample belong to the employees with the longest experience.
觀察散佈圖,薪資最高(Y 軸值最高)的點,其 YrsExp(X 軸值)似乎不一定是最長的。
第 5 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist wanted to take into account the employee's experience at BoBank. She plotted Salary vs. YrsExp by Gender and fitted two regression lines (one for men and one for women).
Salary vs Experience
100
90
Salary
80
Men: Salary = 30.43 + 1.53 YrsExp
70
60
+
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
YrsExp
Gender
- Female
O Male
Women. Salary = 34.53 + 0.28 * YrsExp
- [10%] What does the plot show about gender? (Choose all correct statements)
a. Comparing men and women with the same experience, the average salaries are higher for men.
b. Comparing employees with 30+ years of experience to employees with shorter experience, salary gender gaps look different
c. Women are rare among the top salary employees in the sample
d. The difference between the regression line slope for men and for women is statistically significant
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本題要求根據散佈圖和迴歸線,判斷哪些關於性別與薪資關係的陳述是正確的。
我們需要逐一分析每個選項。
a. Comparing men and women with the same experience, the average salaries are higher for men.
觀察圖中的兩條迴歸線:
男性:Salary = 30.43 + 1.53 YrsExp
女性:Salary = 34.53 + 0.28 YrsExp
在相同的 YrsExp 下,男性預測薪資為 ,女性預測薪資為 。
為了比較,我們計算兩者的差異:
這個差異是會隨 YrsExp 變化的。
當 YrsExp 較小時,例如 YrsExp = 0,差異為 -4.10(女性比男性高)。
當 YrsExp 較大時,例如 YrsExp = 30,差異為 (男性比女性高)。
因此,並非所有情況下男性薪資都高於女性。這個陳述不正確。
b. Comparing employees with 30+ years of experience to employees with shorter experience, salary gender gaps look different.
薪資的性別差距是 。
這個差距是隨著 YrsExp 變化的。
第 6 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist wanted to take into account the employee's experience at BoBank. She plotted Salary vs. YrsExp by Gender and fitted two regression lines (one for men and one for women).
Salary vs Experience
100
90
Salary
80
Men: Salary = 30.43 + 1.53 YrsExp
70
60
+
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
YrsExp
Gender
- Female
O Male
Women. Salary = 34.53 + 0.28 * YrsExp
- [10%] Using the regression models shown inside the chart, predict the average salary expected for a woman working 10 years at BoBank. Choose the appropriate predicted range:
a. < NT30,000 to NT40,001 to NT50,001 to NT60,000
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本題要求使用圖中提供的女性迴歸模型,預測一位工作 10 年的女性員工的平均預期薪資,並選擇正確的價格區間。
圖中顯示女性的迴歸模型為:
Women. Salary = 34.53 + 0.28 * YrsExp
這裡的 Salary 是以「千元 NT
第 7 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist realized she cannot test the hypothesis about men vs. women's average salary with two separate models. So she ran a single linear regression model for all 208 employees, with Salary as a function of Gender, YrsExp, and their interaction Gender x YrsExp. Here is the output:
Coefficient | Std. Error | t value | Pr(>|t|)
---|---|---|---
(Intercept) | 34.5283 | 1.1380 | 30.342 | < 2e-16
GenderMale | -4.0983 | 1.6658 | -2.460 | 0.01472
YrsExp | 0.2800 | 0.1025 | 2.733 | 0.00684
GenderMale xYrsExp | 1.2478 | 0.1367 | 9.130 | < 2e-16
Note: GenderMale = 1 for men and 0 for women
Use the regression output to answer the following questions ($ are rounded)
- [10%] Using the regression model, predict the average salary expected for a woman working 10 years at BoBank. Choose the appropriate predicted range:
a. <NT30,000 to NT40,001 to NT50,001 to NT60,000
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本題要求使用單一迴歸模型,預測一位工作 10 年的女性員工的平均預期薪資,並選擇正確的價格區間。
迴歸模型為:
Salary = (Intercept) + GenderMale * (GenderMale coeff) + YrsExp * (YrsExp coeff) + (GenderMale x YrsExp) * (GenderMale x YrsExp coeff)
其中 GenderMale = 1 代表男性,GenderMale = 0 代表女性。
我們要預測的是女性 (GenderMale = 0) 工作 10 年 (YrsExp = 10) 的薪資。
將 GenderMale = 0 和 YrsExp = 10 代入模型:
Predicted Salary = (Intercept) + 0 * (GenderMale coeff) + 10 * (YrsExp coeff) + (0 x 10) * (GenderMale x YrsExp coeff)
Predicted Salary = (Intercept) + 10 * (YrsExp coeff)
從迴歸輸出中,我們找到對應的係數:
Intercept = 34.5283
YrsExp coeff = 0.2800
第 8 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The journalist realized she cannot test the hypothesis about men vs. women's average salary with two separate models. So she ran a single linear regression model for all 208 employees, with Salary as a function of Gender, YrsExp, and their interaction Gender x YrsExp. Here is the output:
Coefficient | Std. Error | t value | Pr(>|t|)
---|---|---|---
(Intercept) | 34.5283 | 1.1380 | 30.342 | < 2e-16
GenderMale | -4.0983 | 1.6658 | -2.460 | 0.01472
YrsExp | 0.2800 | 0.1025 | 2.733 | 0.00684
GenderMale xYrsExp | 1.2478 | 0.1367 | 9.130 | < 2e-16
Note: GenderMale = 1 for men and 0 for women
Use the regression output to answer the following questions ($ are rounded)
- [10%] For a woman and man who joined BoBank 3 years ago, how will their salaries differ today? Choose the correct answer:
a. The woman will earn NT4000 less than the man
c. The woman will earn on average NT350 less than the man
e. The woman will earn on average NT$350 more than the man
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核心觀念
本題考查「含交互作用項的多元線性迴歸」解讀。
迴歸模型可寫為:
其中:
- 女性:
- 男性:
- :在 時,男性與女性的平均薪資差異
- :男性相較於女性,每增加一年工作年資時,薪資斜率的額外變化
本題的估計模型為:
薪資單位由選項可知為「千元」。
解題方法
題目比較的是「兩位都加入 BoBank 3 年」的女性與男性,因此令:
女性薪資
女性的 ,交互作用項也等於 :
因此女性平均薪資約為 35.3683 千元。
男性薪資
男性的 ,且:
因此:
因此男性平均薪資約為 35.0134 千元。
薪資差異
以男性薪資減女性薪資:
負號表示男性平均薪資較女性少約 0.3549 千元。因此:
第 9 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
The regression model coefficients indicate that (choose all the correct statements)
- [10%] The regression model coefficients indicate that (choose all the correct statements)
a. for each year of experience, men's average salary increases by NT280
c. for each year of experience, the average salary for men increases by NT1528
e. the average starting salary for women is NT$34,528
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本題要求解讀迴歸模型係數的含義,並選出正確的陳述。
迴歸模型為:
Salary = (Intercept) + GenderMale * (GenderMale coeff) + YrsExp * (YrsExp coeff) + (GenderMale x YrsExp) * (GenderMale x YrsExp coeff)
其中:
Intercept = 34.5283
GenderMale coeff = -4.0983
YrsExp coeff = 0.2800
GenderMale x YrsExp coeff = 1.2478
係數單位均為千元 NT$。
我們逐一分析各選項:
a. for each year of experience, men's average salary increases by NT。
1.5278 * 1000 = 1527.8 NT280,這是錯誤的。
b. for each year of experience, women's average salary increases by NT$280
第 10 題10 分
國立清華大學 108 學年度碩士班考試入學試題
系所班組別:服務科學研究所甲組(服務管理組)
考試科目(代碼):統計學(5201)
- [10%] Which of the regression coefficients should the journalist use to test the hypothesis that the effect of years of experience at BoBank on average salary is different across the two genders? (Choose all the correct answers)
a. The intercept
b. GenderMale
c. YrsExp
d. Gender x YrsExp
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核心觀念
本題考查多元迴歸分析(Multiple Regression Analysis)中的「交互作用項」(Interaction Term)與「斜率差異檢定」。
在探討一個連續型自變數 (如年資 )對應變數 (如薪資 )的影響時,若該影響程度受到另一個類別型變數 (如性別虛擬變數 )的調節或改變,即代表兩變數之間存在調節效應(Moderation Effect)或交互作用(Interaction Effect)。
設定迴歸模型如下:
其中:
- :平均薪資()
- :年資()
- :性別虛擬變數(若為男性 ,女性為基準組則 )
- :性別與年資的交互作用項()
由上述模型可導出兩性別的迴歸方程式:
- 女性組():
截距為 ,斜率(年資對薪資的邊際效應)為 。
- 男性組():
截距為 ,斜率(年資對薪資的邊際效應)為 。
因此:
- 兩性別的截距差為 (檢定基準起薪是否有差異)。
- 兩性別的斜率差為 (檢定年資對薪資的邊際增額/累積效果是否有差異)。
解題方法
題目詢問:「記者應使用哪一個迴歸係數來檢定假說——在 BoBank 工作的年資對平均薪資的影響在兩性別之間是否存在差異?(the effect of years of experience ... on average salary is different across the two genders)」