108 年 國立臺灣海洋大學航運管理學系碩士班乙組《統計學》

此題主要在考驗敘述統計的基本概念，包含共變異數、相關係數、最小平方法直線的計算與應用，以及散佈圖的繪製。

首先，我們需要計算樣本的平均值、樣本變異數、以及樣本共變異數，作為後續計算相關係數與迴歸直線的基礎。

樣本數 $n = 10$。

計算平均值：
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x = \frac{420+610+625+500+400+450+550+650+480+565}{10} = \frac{5250}{10} = 525$
$\bar{y} = \frac{2.80+3.60+3.75+2.50+3.00+2.70+3.50+3.90+2.95+3.30}{10} = \frac{32.00}{10} = 3.20$

計算平方和與交叉乘積和：
$\sum x^2 = 420^2 + 610^2 + 625^2 + 500^2 + 400^2 + 450^2 + 550^2 + 650^2 + 480^2 + 565^2$
$= 176400 + 372100 + 390625 + 250000 + 160000 + 202500 + 302500 + 422500 + 230400 + 319225$
$= 2825850$

$\sum y^2 = 2.80^2 + 3.60^2 + 3.75^2 + 2.50^2 + 3.00^2 + 2.70^2 + 3.50^2 + 3.90^2 + 2.95^2 + 3.30^2$
$= 7.84 + 12.96 + 14.0625 + 6.25 + 9.00 + 7.29 + 12.25 + 15.21 + 8.7025 + 10.89$
$= 104.455$

$\sum xy = (420)(2.80) + (610)(3.60) + (625)(3.75) + (500)(2.50) + (400)(3.00) + (450)(2.70) + (550)(3.50) + (650)(3.90) + (480)(2.95) + (565)(3.30)$
$= 1176 + 2196 + 2343.75 + 1250 + 1200 + 1215 + 1925 + 2535 + 1416 + 1864.5$
$= 17121.25$

a. Calculate the covariance and the correlation coefficient.
樣本共變異數 $s_{xy}$ 的計算公式為：
$s_{xy} = \frac{\sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}}{n-1}$
或是
$s_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}$
我們使用第一種計算方式，需要先計算 $\sum y$。
$\sum y = 32.00$

$s_{xy} = \frac{17121.25 - \frac{(5250)(32.00)}{10}}{10-1} = \frac{17121.25 - \frac{168000}{10}}{9} = \frac{17121.25 - 16800}{9} = \frac{321.25}{9} \approx 35.694$

樣本相關係數 $r$ 的計算公式為：
$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$
其中 $s_x$ 和 $s_y$ 分別是樣本標準差。
$s_x^2 = \frac{\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}}{n-1} = \frac{2825850 - \frac{(5250)^2}{10}}{10-1} = \frac{2825850 - \frac{27562500}{10}}{9} = \frac{2825850 - 2756250}{9} = \frac{69600}{9} \approx 7733.333$
$s_x = \sqrt{7733.333} \approx 87.939$

$s_y^2 = \frac{\sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n}}{n-1} = \frac{104.455 - \frac{(32.00)^2}{10}}{10-1} = \frac{104.455 - \frac{1024}{10}}{9} = \frac{104.455 - 102.4}{9} = \frac{2.055}{9} \approx 0.22833$

本題考驗條件機率、貝氏定理以及聯合機率的計算。我們需要利用題目提供的各項機率資訊，計算出不同事件發生的機率。

首先，定義事件：
A: 服務為 A
B: 服務為 B
C: 服務為 C
O: 服務準時 (on time)
O': 服務遲到 (late)

根據題目資訊，我們有：
$P(A) = 0.60$
$P(B) = 0.30$
$P(C) = 0.10$
（注意：$P(A) + P(B) + P(C) = 0.60 + 0.30 + 0.10 = 1.00$，這三種服務是所有可能情況）

各服務的準時率（條件機率）：
$P(O|A) = 0.80$
$P(O|B) = 0.60$
$P(O|C) = 0.40$

由上述資訊，我們可以推導出各服務遲到的機率：
$P(O'|A) = 1 - P(O|A) = 1 - 0.80 = 0.20$
$P(O'|B) = 1 - P(O|B) = 1 - 0.60 = 0.40$
$P(O'|C) = 1 - P(O|C) = 1 - 0.40 = 0.60$

a. Calculate P(A and O)
「A and O」表示事件 A 發生且事件 O 發生，即服務為 A 且準時送達。
我們可以使用聯合機率的定義：$P(A \cap O) = P(O|A) P(A)$
$P(A \text{ and } O) = P(O|A) P(A) = (0.80)(0.60) = 0.48$

【答案】
$P(A \text{ and } O) = 0.48$

b. If a package was delivered on time, what is the probability that it was service B?
這是一個條件機率問題，我們要求的是在事件 O 發生 (服務準時) 的條件下，事件 B 發生 (服務為 B) 的機率，即 $P(B|O)$。
根據貝氏定理 (Bayes' Theorem)：
$P(B|O) = \frac{P(O|B) P(B)}{P(O)}$

首先，我們需要計算總體準時送達的機率 $P(O)$。由於 A, B, C 是互斥且窮盡的事件，我們可以利用全機率法則 (Law of Total Probability)：
$P(O) = P(O|A)P(A) + P(O|B)P(B) + P(O|C)P(C)$

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的線性轉換：

$Y=aX+b$

所需公式為：

• 機率分配：若 $Y$ 是 $X$ 的一對一轉換，則各結果的機率保持不變。
• 期望值：

$E(aX+b)=aE(X)+b$

• 變異數：

$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$

• 標準差：

$\sigma_Y=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}$

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(a) 求 $Y$ 的機率分配

已知：

$Y=2X+1$

逐一代入 $X=0,1,2,3,4$：

$X$	$p(x)$	$Y=2X+1$	$p(y)$
0	0.05	1	0.05
1	0.35	3	0.35
2	0.25	5	0.25
3	0.20	7	0.20
4	0.15	9	0.15

因此，$Y$ 的機率分配為：

$y$	1	3	5	7	9
$p(y)$	0.05	0.35	0.25	0.20	0.15

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(b) 利用期望值法則求 $Y$ 的平均數

先計算 $X$ 的期望值：

$$E(X)=\sum xp(x)$$ $$E(X)=0(0.05)+1(0.35)+2(0.25)+3(0.20)+4(0.15)$$ $$E(X)=0+0.35+0.50+0.60+0.60=2.05$$

由期望值的線性法則：

$$E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1$$ $$E(Y)=2(2.05)+1=5.10$$

所以，$Y$ 的平均數為：

$\boxed{E(Y)=5.10}$

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(c) 由 $Y$ 的機率分配直接求變異數與標準差

先由 $Y$ 的機率分配計算 $E(Y)$，並計算 $E(Y^2)$：

$$E(Y^2)=\sum y^2p(y)$$ $$\begin{aligned} E(Y^2) &=1^2(0.05)+3^2(0.35)+5^2(0.25)\\ &\quad +7^2(0.20)+9^2(0.15)\\ &=0.05+3.15+6.25+9.80+12.15\\ &=31.40 \end{aligned}$$

離散型隨機變數的變異數公式為：

$$\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$$

代入 $E(Y)=5.10$：

$$\operatorname{Var}(Y)=31.40-(5.10)^2$$ $$\operatorname{Var}(Y)=31.40-26.01=5.39$$

標準差為：

$$\sigma_Y=\sqrt{5.39}\approx 2.32$$

因此：

$$\boxed{\operatorname{Var}(Y)=5.39}$$ $$\boxed{\sigma_Y\approx 2.32}$$

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核心觀念

本題評量單一母體平均數的區間估計以及**中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）**之核心應用：

1. 母體標準差 $\sigma$ 已知之母體平均數 $\mu$ 信賴區間：
   當母體標準差 $\sigma$ 為已知，且樣本平均數 $\bar{X}$ 服從或近似服從常態分配時，母體平均數 $\mu$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間公式為： $$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
2. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）：
   無論母體分配型態為何（即使非常態分配），只要隨機抽樣的樣本數 $n$ 充分大（一般統計學通則為 $n \ge 30$），樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配（Sampling Distribution）均會近似於常態分配： $$\bar{X} \stackrel{a}{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

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解題方法

整理題目已知條件

• 樣本數：$n = 100$
• 樣本平均數：$\bar{X} = 80,000$（元）
• 母體標準差：$\sigma = 15,000$（元，$\sigma$ 為已知）
• 信心水準：$1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies$ 雙尾臨界值 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$

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a. 計算全體企業平均稅後利潤的 95% 信賴區間

1. 計算樣本平均數的標準誤（Standard Error, $SE$）：

   $$SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15000}{\sqrt{100}} = \frac{15000}{10} = 1500$$

2. 計算最大估計誤差（Margin of Error, $E$）：

   $$E = z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 1500 = 2940$$

3. 建構 95% 信賴區間：

   $$\bar{X} \pm E = 80000 \pm 2940$$
   • 區間下界：$80000 - 2940 = 77060$
   • 區間上界：$80000 + 2940 = 82940$

本題考驗對比例檢定與檢定力的理解。

已知資訊：
第一年合格率 $p_1 = 0.88$。
第二年抽樣：樣本數 $n_2 = 250$。
第二年發現不合格數 = 18。
第二年發現合格數 = $250 - 18 = 232$。
第二年樣本合格率 $\hat{p}_2 = \frac{232}{250} = 0.928$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(a) 試問在顯著水準 a=0.05下,可否認為第二年的產品確有改善?
這是一個比例的單因子檢定問題。我們想檢定第二年的產品合格率是否高於第一年的合格率。
虛無假設 $H_0$: 第二年的合格率不低於第一年，即 $p_2 \le p_1 = 0.88$。
對立假設 $H_1$: 第二年的合格率高於第一年，即 $p_2 > 0.88$。
這是一個右尾檢定。

由於樣本數 $n_2 = 250$ 夠大，我們可以進行 Z 檢定。
檢定統計量為：
$Z = \frac{\hat{p}_2 - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n_2}}}$
其中 $p_0$ 是虛無假設下的比例，在此為 $p_0 = 0.88$。

計算檢定統計量：
$\hat{p}_2 = 0.928$
$p_0 = 0.88$
$1-p_0 = 0.12$
$n_2 = 250$

$Z = \frac{0.928 - 0.88}{\sqrt{\frac{0.88 \times 0.12}{250}}} = \frac{0.048}{\sqrt{\frac{0.1056}{250}}} = \frac{0.048}{\sqrt{0.0004224}} = \frac{0.048}{0.020552} \approx 2.3355$

臨界值：
在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，右尾檢定的臨界值 $z_{0.05}$。
查標準常態分配表， $z_{0.05} \approx 1.645$。

決策規則：如果 $Z > z_{0.05}$，則拒絕 $H_0$。
我們的計算結果 $Z \approx 2.3355$ 大於臨界值 $1.645$。
因此，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：在顯著水準 0.05 下，有足夠的證據認為第二年的產品合格率高於第一年，即產品有改善。

【答案】
在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，拒絕虛無假設，認為第二年的產品確有改善。

(b) 若實際檢驗第二年的產品合格率為93.9%,求此檢定的檢定力(power of test) 1-β為何?
檢定力 $1-\beta$ 是在對立假設為真時，正確地拒絕虛無假設的機率。
在此題中，對立假設為真時，即第二年實際合格率 $p_2 = 0.939$。
虛無假設 $H_0$: $p_2 \le 0.88$。
對立假設 $H_1$: $p_2 > 0.88$。

我們需要計算在 $p_2 = 0.939$ 的情況下，檢定統計量 Z 會落入拒絕域（即 $Z > 1.645$）的機率。
首先，計算當實際比例為 $p_2 = 0.939$ 時，樣本比例 $\hat{p}_2$ 的期望值和標準誤。
此時，我們計算 Z 統計量時，應該使用 $p_2$ 作為實際的母體比例，並使用 $p_0$ 的標準誤來定義拒絕域。
我們計算當實際比例是 $p_{actual} = 0.939$ 時，樣本比例 $\hat{p}_2$ 的值，然後看這個值落入拒絕域的機率。
在虛無假設下，我們拒絕 $H_0$ 的臨界值對應的樣本比例 $\hat{p}_{crit}$ 可以由 $Z_{crit} = 1.645$ 計算得到：
$1.645 = \frac{\hat{p}_{crit} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n_2}}}$
$1.645 = \frac{\hat{p}_{crit} - 0.88}{\sqrt{\frac{0.88 \times 0.12}{250}}} = \frac{\hat{p}_{crit} - 0.88}{0.020552}$
$\hat{p}_{crit} - 0.88 = 1.645 \times 0.020552 \approx 0.03381$
$\hat{p}_{crit} \approx 0.88 + 0.03381 = 0.91381$

現在，我們計算當實際比例為 $p_{actual} = 0.939$ 時，檢定統計量 Z 的值：
$Z_{actual} = \frac{\hat{p}_2 - p_{actual}}{\sqrt{\frac{p_{actual}(1-p_{actual})}{n_2}}}$
這裡的計算方式是錯誤的。檢定力是基於虛無假設下的拒絕域，然後計算在真實情況下（對立假設為真）落在該拒絕域的機率。

本題考驗對變異數同質性檢定（F檢定）的理解與應用。我們需要比較兩個獨立樣本的變異數是否相等。

已知資訊：
男性樣本數 $n_1 = 11$，樣本標準差 $s_1 = 7$。
女性樣本數 $n_2 = 16$，樣本標準差 $s_2 = 5$。
顯著水準 $\alpha = 0.10$。
假設男女生成績皆視為常態母體。

檢定問題：男女生成績的變異數是否有差異。
虛無假設 $H_0$: 男、女生成績的變異數相等，即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$。
對立假設 $H_1$: 男、女生成績的變異數不等，即 $\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$。
這是一個雙尾檢定。

檢定統計量為 F 統計量，其計算公式為：
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ 或 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$。
為了方便查表，我們通常將較大的樣本變異數放在分子。
男性樣本變異數 $s_1^2 = 7^2 = 49$。
女性樣本變異數 $s_2^2 = 5^2 = 25$。
因為 $s_1^2 > s_2^2$，所以我們使用 $F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$。

計算 F 統計量：
$F = \frac{49}{25} = 1.96$

自由度：
分子自由度 $v_1 = n_1 - 1 = 11 - 1 = 10$。
分母自由度 $v_2 = n_2 - 1 = 16 - 1 = 15$。

臨界值：
由於是雙尾檢定，且 $\alpha = 0.10$，我們需要找到 $F_{\alpha/2, v_1, v_2}$ 和 $F_{1-\alpha/2, v_1, v_2}$。

核心觀念

變異數分析（ANOVA）是利用「組間變異」與「組內變異」的比較，檢定多個母體平均數是否相等。以單因子 ANOVA 為例，其模型為

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}, \qquad i=1,\ldots,k,\quad j=1,\ldots,n_i$$

其中：

• $\mu$：總平均數；
• $\tau_i$：第 $i$ 組的處理效果；
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差；
• $k$：組數；
• $n_i$：第 $i$ 組的樣本數。

ANOVA 的基本假設可寫成

$$\varepsilon_{ij}\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,\sigma^2)$$

亦即誤差項須具備「相互獨立、常態分配、變異數相等」三項核心條件。

解題方法：ANOVA 的基本假設

一、觀測值相互獨立

各觀測值必須彼此獨立，表示某一觀測值的大小不會受到其他觀測值影響。

此假設通常透過以下方式確保：

• 從各母體中進行隨機抽樣；
• 將受試者隨機分派至各組；
• 同一受試者不應重複被視為彼此獨立的樣本。

若資料來自同一個人多次測量、時間序列資料、群聚抽樣資料，觀測值間通常具有相關性，不能直接使用一般單因子 ANOVA，須改用重複量測 ANOVA、混合模型或其他適當方法。

獨立性是最重要的假設，因為若觀測值彼此相關，組內變異會被錯誤估計，進而使 $F$ 檢定的顯著性判斷失真。

二、各組母體具有常態分配

對每一組而言，應有

$$Y_{ij}\sim N(\mu_i,\sigma^2)$$

也就是各組母體的應變數大致服從常態分配。

此假設主要是為了使下列統計量具有理論上的 $F$ 分配：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

其中：

• $MS_B$：組間均方；
• $MS_W$：組內均方。

若樣本數夠大，ANOVA 對輕微的非常態通常具有一定穩健性，因為中央極限定理可使樣本平均數趨近常態。不過，若資料具有嚴重偏態、厚尾分配、極端離群值，且各組樣本數很小，$F$ 檢定結果可能受到明顯影響。

常態性應檢查的是「各組的誤差或殘差」，不是只檢查所有原始資料合併後的分配。

三、各組母體變異數相等

各組母體須具有相同變異數，即

$$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma_k^2=\sigma^2$$

此條件稱為變異數同質性。

ANOVA 中的組內均方 $MS_W$ 是共同誤差變異數 $\sigma^2$ 的估計量，因此只有在各組變異數相同時，才能合理地將組內變異作為比較組間變異的基準。

若變異數不相等，且各組樣本數也不相等，特別是樣本數較小的組別具有較大變異數時，傳統 ANOVA 的第一類錯誤率可能受到影響。此時可考慮使用 Welch ANOVA，並搭配適當的事後比較方法。

變異數同質性可利用殘差圖、箱型圖，或 Levene 檢定進行判斷。Bartlett 檢定對非常態資料較敏感，實務上通常優先採用 Levene 檢定。

四、模型具有加法性，且處理效果可由平均數差異表示

在單因子 ANOVA 中，資料被分解為

$$\text{觀測值}=\text{總平均}+\text{處理效果}+\text{隨機誤差}$$

即

本題考驗對簡單線性迴歸模型中最小平方法直線的計算，以及使用變異數分析 (ANOVA) 來檢定迴歸模型的配適度。

已知資訊：
樣本數 $n = 20$
$\Sigma x = 160$
$\Sigma y = 240$
$\Sigma x^2 = 1536$
$\Sigma y^2 = 2965$
$\Sigma xy = 1832$
顯著水準 $\alpha = 0.05$

(a) 求其最小平方迴歸直線方程式。
最小平方法迴歸直線的方程式為 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$。
其中，斜率 $\hat{\beta}_1$ 和截距 $\hat{\beta}_0$ 的計算公式為：
$\hat{\beta}_1 = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2}$
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$

首先，計算樣本平均值：
$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{160}{20} = 8$
$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{240}{20} = 12$

計算斜率 $\hat{\beta}_1$：
$\hat{\beta}_1 = \frac{20(1832) - (160)(240)}{20(1536) - (160)^2}$
$\hat{\beta}_1 = \frac{36640 - 38400}{30720 - 25600}$
$\hat{\beta}_1 = \frac{-1760}{5120} = -\frac{176}{512} = -\frac{11}{32} = -0.34375$

計算截距 $\hat{\beta}_0$：
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 12 - (-0.34375)(8)$
$\hat{\beta}_0 = 12 + 2.75 = 14.75$

因此，最小平方迴歸直線方程式為：
$\hat{y} = 14.75 - 0.34375x$

【答案】
$\hat{y} = 14.75 - 0.34375x$

(b) 在 a=0.05下,請以變異數分析表檢定此直線的配適度。
檢定迴歸直線的配適度，實際上是在檢定自變數 $x$ 對應變數 $y$ 是否有顯著的線性影響，也就是檢定迴歸模型的顯著性。這通常透過 F 檢定來完成，而 F 檢定是基於變異數分析表 (ANOVA table)。

變異數分析表的基本結構：

來源 (Source)	自由度 (df)	總平方和 (SS)	均方 (MS)	F 統計量
迴歸 (Regression)	1	$SSR$	$MSR = SSR/1$	$F = MSR/MSE$
殘差 (Residual/Error)	$n-2$	$SSE$	$MSE = SSE/(n-2)$
總計 (Total)	$n-1$	$SST$

計算各項平方和：
總平方和 $SST = \sum (y_i - \bar{y})^2 = \sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n}$
$SST = 2965 - \frac{(240)^2}{20} = 2965 - \frac{57600}{20} = 2965 - 2880 = 85$