114 年 國立臺灣海洋大學航運管理學系碩士班乙組《統計學》

本題考驗對卡方檢定（Chi-squared test）的應用，特別是獨立性檢定或適合度檢定，在此情境下，由於我們比較的是「前後」兩個時間點的比例差異，屬於比例檢定的一種。由於樣本數較大，我們可以使用卡方檢定來檢驗前後支持率是否有顯著差異。

核心觀念： 比例檢定（Proportion Test），卡方獨立性檢定。

解題步驟：

1. 建立假設：

   • 虛無假設 $H_0$：前後支持率沒有顯著差異。
   • 對立假設 $H_1$：前後支持率有顯著差異。

2. 計算期望次數（Expected Frequencies）：
   在虛無假設成立的情況下，我們預期前後的總支持比例應該是相同的。
   總樣本數為 $60 + 50 = 110$。
   總支持 A 的人數為 $41 + 30 = 71$。
   總支持 B 的人數為 $19 + 20 = 39$。

   • Before Debate - Candidate A: 期望次數 = (Before Debate Total / Overall Total) * Total Candidate A = $(60 / 110) * 71 \approx 38.73$
   • Before Debate - Candidate B: 期望次數 = (Before Debate Total / Overall Total) * Total Candidate B = $(60 / 110) * 39 \approx 21.27$
   • After Debate - Candidate A: 期望次數 = (After Debate Total / Overall Total) * Total Candidate A = $(50 / 110) * 71 \approx 32.27$
   • After Debate - Candidate B: 期望次數 = (After Debate Total / Overall Total) * Total Candidate B = $(50 / 110) * 39 \approx 17.73$

   （註：這裡的計算是基於總體比例不變的假設，進一步計算會發現，更精確的卡方檢定是針對「前後」兩個群體，其內部比例是否相同。如果我們直接比較「前後」兩個時間點的比例，則可以採用比例檢定。考慮到題目給的是 $\chi^2$ 值，通常用於 $2 \times k$ 或 $r \times c$ 表格的獨立性檢定。這裡我們將其視為一個 $2 \times 2$ 的列聯表，檢驗「時間點」與「支持對象」是否獨立。）

   若將此視為一個 $2 \times 2$ 列聯表，檢驗「時間點」與「支持對象」的獨立性：
   總計：60 (Before) + 50 (After) = 110
   總計：71 (A) + 39 (B) = 110

   • 期望次數 E(ij) = (Row i Total * Column j Total) / Grand Total
     • $E(\text{Before, A}) = (60 * 71) / 110 \approx 38.73$
     • $E(\text{Before, B}) = (60 * 39) / 110 \approx 21.27$
     • $E(\text{After, A}) = (50 * 71) / 110 \approx 32.27$
     • $E(\text{After, B}) = (50 * 39) / 110 \approx 17.73$

3. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
   $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
   其中 $O_{ij}$ 為觀察次數，$E_{ij}$ 為期望次數。

   • $\chi^2 = \frac{(41 - 38.73)^2}{38.73} + \frac{(19 - 21.27)^2}{21.27} + \frac{(30 - 32.27)^2}{32.27} + \frac{(20 - 17.73)^2}{17.73}$

本題主要考驗對虛擬變數（Dummy Variables）在迴歸分析中應用的理解，特別是如何處理「參考組」的選擇以及不同虛擬變數組合下的迴歸係數解釋。

核心觀念： 虛擬變數迴歸模型，參考組的選擇。

在迴歸模型中，當我們有 $k$ 個類別的類別變數時，通常需要建立 $k-1$ 個虛擬變數，並選擇其中一個類別作為「參考組」（Reference Group）。

題目中定義了三個類別：Science (S), Engineering (E), Management (M)。
$D_1$ 代表 Science。
$D_2$ 代表 Engineering。
$D_3$ 代表 Management。

由於有三個類別，我們需要 $3-1=2$ 個虛擬變數。

原始模型： $\hat{Y} = 69 + 45D_1 + 18D_2$
在這個模型中，$D_1$ 和 $D_2$ 被使用。根據虛擬變數的慣例，未被使用的類別（即 Management）通常是參考組。
讓我們來驗證這個假設：

• Science (D1=1, D2=0): $\hat{Y} = 69 + 45(1) + 18(0) = 69 + 45 = 114$
• Engineering (D1=0, D2=1): $\hat{Y} = 69 + 45(0) + 18(1) = 69 + 18 = 87$
• Management (D1=0, D2=0): $\hat{Y} = 69 + 45(0) + 18(0) = 69$

從係數解釋來看：

• 截距項 69 代表當所有虛擬變數為 0 時的平均 Y 值。在這裡，當 $D_1=0$ (非 Science) 且 $D_2=0$ (非 Engineering) 時，Y 的平均值是 69。這正好對應了 Management (D3=1) 的情況。因此，Management 是參考組。
• $D_1$ 的係數 45 表示，相較於參考組 (Management)，Science 畢業生的平均年薪高出 45。
• $D_2$ 的係數 18 表示，相較於參考組 (Management)，Engineering 畢業生的平均年薪高出 18。

(a) Derive the regression equation for Y in terms of $D_1$ and $D_3$.
在這個部分，我們需要將 Science (由 $D_1$ 代表) 和 Management (由 $D_3$ 代表) 作為虛擬變數。
這意味著 Engineering 將成為新的參考組。
新的虛擬變數組合：

• Science: $D_1=1, D_3=0$
• Management: $D_1=0, D_3=1$
• Engineering: $D_1=0, D_3=0$

我們需要找到新的截距項和係數 $\beta'_1, \beta'_3$，使得迴歸方程為 $\hat{Y} = \beta'_0 + \beta'_1 D_1 + \beta'_3 D_3$。

利用原始模型的結果來推導：

• Management (D1=0, D2=0): $\hat{Y} = 69$
  在新的模型中，Management 是參考組 ($D_1=0, D_3=0$)，所以新的截距項 $\beta'_0$ 應該是 Management 的平均年薪。
  $\beta'_0 = 69$

• Science (D1=1, D2=0): $\hat{Y} = 114$
  在新的模型中，Science 是 $D_1=1, D_3=0$。
  $\hat{Y} = \beta'_0 + \beta'_1 (1) + \beta'_3 (0) = \beta'_0 + \beta'_1$
  $114 = 69 + \beta'_1$
  $\beta'_1 = 114 - 69 = 45$
  這表示相較於參考組 (Engineering)，Science 畢業生的平均年薪高出 45。

• Engineering (D1=0, D2=1): $\hat{Y} = 87$
  在新的模型中，Engineering 是參考組 ($D_1=0, D_3=0$)。
  $\hat{Y} = \beta'_0 + \beta'_1 (0) + \beta'_3 (0) = \beta'_0$
  所以，Engineering 的平均年薪是 $\beta'_0 = 69$。
  但是，我們從原始模型知道 Engineering 的平均年薪是 87。這表示我們推導過程有誤，或者對參考組的理解需要調整。

  正確的思路：
  當我們選擇 $D_1$ (Science) 和 $D_3$ (Management) 作為虛擬變數時，Engineering 成為參考組。

  • Engineering (參考組): $D_1=0, D_3=0$。平均年薪為 $E(Y | \text{Eng}) = 87$。
    在新的模型 $\hat{Y} = \beta'_0 + \beta'_1 D_1 + \beta'_3 D_3$ 中，當 $D_1=0, D_3=0$ 時，$\hat{Y} = \beta'_0$。
    所以，新的截距項 $\beta'_0 = 87$。

本題涉及簡單線性迴歸模型中，對迴歸係數 $\beta$ 的兩種不同估計式，並探討其估計量的性質（偏差與效率）。

核心觀念： 簡單線性迴歸、Ordinary Least Squares (OLS) 估計式、估計量的偏差 (Bias)、估計量的效率 (Efficiency)。

首先，我們需要辨識這兩個 $\hat{\beta}$ 的公式。
第一個公式：$\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - Y_{i-1})(X_i - X_{i-1})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - X_{i-1})^2}$
這個公式看起來像是利用了時間序列資料的差分（Differencing）概念，但其形式並非標準的 OLS 估計式。如果 $Y_{i-1}$ 和 $X_{i-1}$ 指的是前一個觀測值，這暗示了資料是有順序性的。然而，標準的線性迴歸模型通常假設觀測值是獨立同分布的，不考慮順序。如果這是一個時間序列模型，則需要考慮 ARMA 結構等，但題目明確給的是 $Y = \alpha + \beta X + u$ 的簡單線性迴歸模型。在標準的 OLS 架構下，我們應該是基於總體平均值來計算。

第二個公式：$\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}$
這個公式是標準的 Ordinary Least Squares (OLS) 對簡單線性迴歸模型 $Y = \alpha + \beta X + u$ 的迴歸係數 $\beta$ 的估計式。

a. Is $\hat{\beta}$ an unbiased estimator for $\beta$? (5%)

這個問題有點模稜兩可，因為題目給了兩個 $\hat{\beta}$ 的公式，但標示為同一個符號 $\hat{\beta}$。我們需要先確定題目問的是哪一個。通常，在沒有特別說明的情況下，當提到迴歸係數的估計量時，指的是 OLS 估計量。

情況一：如果題目問的是標準 OLS 估計式（第二個公式）
$\hat{\beta}_{OLS} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}$
在標準的 OLS 假設下（包括：線性關係、隨機抽樣、誤差項的期望值為零 $E(u_i)=0$、誤差項的同質變異數 $Var(u_i)=\sigma^2$、誤差項之間不相關 $Cov(u_i, u_j)=0$ for $i \neq j$、解釋變數 $X$ 不是隨機變數或與 $u$ 不相關 $Cov(X_i, u_i)=0$），OLS 估計量 $\hat{\beta}$ 是 $\beta$ 的一個不偏估計量。
證明：
$Y_i = \alpha + \beta X_i + u_i$
$Y_i - \bar{Y} = (\alpha + \beta X_i + u_i) - (\alpha + \beta \bar{X} + \bar{u})$
$Y_i - \bar{Y} = \beta (X_i - \bar{X}) + (u_i - \bar{u})$
$\hat{\beta} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})[\beta (X_i - \bar{X}) + (u_i - \bar{u})]}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$
$\hat{\beta} = \frac{\beta \sum (X_i - \bar{X})^2 + \sum (X_i - \bar{X})(u_i - \bar{u})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$
$\hat{\beta} = \beta + \frac{\sum (X_i - \bar{X})(u_i - \bar{u})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$
取期望值：
$E(\hat{\beta}) = E\left(\beta + \frac{\sum (X_i - \bar{X})(u_i - \bar{u})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}\right)$
$E(\hat{\beta}) = \beta + E\left(\frac{\sum (X_i - \bar{X})(u_i - \bar{u})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}\right)$
由於 $\sum (X_i - \bar{X})^2$ 是常數（如果 X 是固定的），或者可以看作與 $u_i$ 無關的項，我們關注 $E\left(\sum (X_i - \bar{X})(u_i - \bar{u})\right)$。
$E\left(\sum (X_i - \bar{X})(u_i - \bar{u})\right) = \sum (X_i - \bar{X}) E(u_i - \bar{u})$
$E(u_i - \bar{u}) = E(u_i) - E(\bar{u})$
根據 OLS 假設，$E(u_i) = 0$，所以 $E(\bar{u}) = E(\frac{1}{n}\sum u_i) = \frac{1}{n}\sum E(u_i) = \frac{1}{n}\sum 0 = 0$。
因此，$E(u_i - \bar{u}) = 0 - 0 = 0$。
所以，$E\left(\sum (X_i - \bar{X})(u_i - \bar{u})\right) = \sum (X_i - \bar{X}) \cdot 0 = 0$。
故，$E(\hat{\beta}) = \beta + 0 = \beta$。
所以，標準 OLS 估計量是 $\beta$ 的一個不偏估計量。

情況二：如果題目問的是第一個公式
$\hat{\beta}_{diff} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - Y_{i-1})(X_i - X_{i-1})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - X_{i-1})^2}$
這個公式是基於差分後的變數進行迴歸。假設 $Y_i = \alpha + \beta X_i + u_i$ 成立。
那麼 $Y_{i-1} = \alpha + \beta X_{i-1} + u_{i-1}$。
$Y_i - Y_{i-1} = (\alpha + \beta X_i + u_i) - (\alpha + \beta X_{i-1} + u_{i-1})$
$Y_i - Y_{i-1} = \beta (X_i - X_{i-1}) + (u_i - u_{i-1})$
令 $\Delta Y_i = Y_i - Y_{i-1}$，$\Delta X_i = X_i - X_{i-1}$，$\Delta u_i = u_i - u_{i-1}$。
則 $\Delta Y_i = \beta \Delta X_i + \Delta u_i$。
現在，第一個公式可以寫成：
$\hat{\beta}_{diff} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\Delta Y_i)(\Delta X_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta X_i)^2}$
將 $\Delta Y_i = \beta \Delta X_i + \Delta u_i$ 代入：
$\hat{\beta}_{diff} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\beta \Delta X_i + \Delta u_i)(\Delta X_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta X_i)^2}$
$\hat{\beta}_{diff} = \frac{\beta \sum_{i=1}^{n} (\Delta X_i)^2 + \sum_{i=1}^{n} (\Delta u_i)(\Delta X_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta X_i)^2}$
$\hat{\beta}_{diff} = \beta + \frac{\sum_{i=1}^{n} (\Delta u_i)(\Delta X_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta X_i)^2}$
取期望值：
$E(\hat{\beta}_{diff}) = \beta + E\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} (\Delta u_i)(\Delta X_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta X_i)^2}\right)$
$E(\hat{\beta}_{diff}) = \beta + E\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} (u_i - u_{i-1})(\Delta X_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta X_i)^2}\right)$

在標準 OLS 假設下，我們假設 $u_i$ 是獨立同分布的，且 $E(u_i)=0$。
但是，$\Delta u_i = u_i - u_{i-1}$ 具有自相關性：
$Cov(\Delta u_i, \Delta u_j) = Cov(u_i - u_{i-1}, u_j - u_{j-1})$

本題為一統計報告解讀題，包含 ANOVA 表格填寫、決定係數計算與解釋，以及判斷統計結果的一致性。

核心觀念： ANOVA 表格、決定係數 ($R^2$)、F 檢定、t 檢定、迴歸分析結果解釋。

a. Complete the ANOVA table in Table 1. (10%)

ANOVA 表格中的關係式：

• Sum of Squares (SS): Regression SS + Residual SS = Total SS
• Degrees of Freedom (df): Regression df + Residual df = Total df
• Mean Square (MS): MS = SS / df
• F-statistic: $F = \frac{\text{Regression MS}}{\text{Residual MS}}$

從 Table 1 提供的數據：

• Residual SS = 123.731
• Total SS = 831.510
• Regression df = 9
• Residual df = 14
• F = (d), P = 0.000

計算步驟：

1. Total df (e):
   Total df = Regression df + Residual df = 9 + 14 = 23
   所以，(e) = 23。

2. Regression SS (a):
   Regression SS = Total SS - Residual SS = 831.510 - 123.731 = 707.779
   所以，(a) = 707.779。

3. Regression MS (b):
   Regression MS = Regression SS / Regression df = 707.779 / 9 = 78.64211...
   保留適當位數，約為 78.642。
   所以，(b) = 78.642。

4. Residual MS (c):
   Residual MS = Residual SS / Residual df = 123.731 / 14 = 8.837928...
   保留適當位數，約為 8.838。
   所以，(c) = 8.838。

5. F-statistic (d):
   F = Regression MS / Residual MS = 78.642 / 8.838 = 8.89827...
   所以，(d) = 8.898。

填寫完成的 ANOVA 表格：

Model	Sum of Squares	df	Mean Square	F	P
Regression	707.779	9	78.642	8.898	0.000
Residual	123.731	14	8.838
Total	831.510	23

(a) 答案： (a) = 707.779, (b) = 78.642, (c) = 8.838, (d) = 8.898, (e) = 23

b. Determine the coefficient of determination and its interpretation. (5%)

決定係數 ($R^2$) 表示模型中因變數 Y 的總變異中，有多少比例可以被自變數 $X_1, \dots, X_9$ 所解釋。
$R^2 = \frac{\text{Regression SS}}{\text{Total SS}}$

計算 $R^2$：
$R^2 = \frac{707.779}{831.510} \approx 0.85114$

決定係數： $R^2 \approx 0.851$

解釋：
這個模型（$M_1$，包含 $X_1$ 到 $X_9$）解釋了房屋銷售價格 (Y) 總變異的約 85.1%。這表示自變數的組合（建築特徵和稅務）能夠很好地預測房屋的銷售價格。

(b) 答案： $R^2 \approx 0.851$。此模型解釋了房屋銷售價格總變異的 85.1%。

c. Do the conclusions from Tables 1 and 2 contradict each other? If so, what are the reasons for the inconsistency? How can this issue be resolved? Please provide a detailed explanation. (2%, 3%, 5%)

分析 Table 1 (ANOVA)：

• F 統計量為 8.898，對應的 P 值為 0.000。
• 由於 P 值 (0.000) 小於常規的顯著水準 (如 $\alpha = 0.05$)，我們拒絕虛無假設 $H_0$: $\beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_9 = 0$。
• 結論：至少有一個自變數對 Y 有顯著的線性影響。模型整體是顯著的。

核心觀念

本題考查「條件機率」：

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

其中：

• $A$：兩次投擲中，至少有一顆骰子出現 $3$ 點。
• 在已知事件 $A$ 發生後，只需在符合條件的結果中重新計算機率。

以下採通常解讀：「其中一骰子出現 3 點」表示至少一顆骰子出現 $3$ 點，兩顆同時為 $3$ 點亦包含在內。

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建立條件樣本空間

以有順序的結果 $(X,Y)$ 表示第一次與第二次投擲結果。原本共有

$$6\times 6=36$$

種等可能結果。

事件 $A$ 為至少一顆骰子出現 $3$ 點：

• 第一顆為 $3$：$(3,1),(3,2),\ldots,(3,6)$，共 $6$ 種。
• 第二顆為 $3$：$(1,3),(2,3),\ldots,(6,3)$，共 $6$ 種。
• $(3,3)$ 被重複計算一次。

因此：

$$|A|=6+6-1=11$$

在條件 $A$ 下，這 $11$ 種結果等可能。

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（a）另一骰子為奇數的機率

奇數點數為 $1,3,5$。

符合「至少一顆為 $3$，且另一顆為奇數」的結果為：

本題考驗對二項分佈的常態近似，以及進行機率計算。

核心觀念： 二項分佈、常態近似、條件機率、樣本比例。

題目情境：
一個大樣本調查顯示，認為「明年景氣和今年差不多」的比例是 $p = 0.48$。
現在從這個群體中抽取一個樣本，樣本大小為 $n = 150$。
我們想知道在這個 150 人的樣本中，回答「差不多」的人數 (設為隨機變數 $X$) 少於 125 人的機率。

a. 請以常態分配求出此 150 位受訪者中,少於125 位回答「明年的景氣和今年差不多」的機率為何? (5%)

這個問題可以看作是從一個比例為 $p=0.48$ 的二項分佈中抽取 $n=150$ 的樣本。
隨機變數 $X$ 服從二項分佈 $B(n, p)$，即 $X \sim B(150, 0.48)$。
我們要求 $P(X < 125)$。

由於 $n$ 很大，我們可以考慮使用常態近似來計算這個機率。
常態近似的條件：$np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$。
$np = 150 \times 0.48 = 72$
$n(1-p) = 150 \times (1 - 0.48) = 150 \times 0.52 = 78$
由於 $72 \ge 5$ 且 $78 \ge 5$，條件滿足，可以使用常態近似。

用常態分佈近似二項分佈 $B(n, p)$，其平均值為 $\mu = np$，標準差為 $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$。
$\mu = np = 72$
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \times 0.48 \times 0.52} = \sqrt{72 \times 0.52} = \sqrt{37.44} \approx 6.1188$

我們要求 $P(X < 125)$。
使用連續性修正 (Continuity Correction)，將離散的 $X < 125$ 轉換為連續的 $X < 124.5$。
我們將 $X=124.5$ 標準化，計算 z 值：
$z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{124.5 - 72}{6.1188} = \frac{52.5}{6.1188} \approx 8.579$

現在我們需要計算 $P(Z < 8.579)$，其中 Z 服從標準常態分佈 $N(0,1)$。
標準常態分佈的機率表中，z 值很少會達到 8.579。z 值大於 3 或 4 時，機率值就非常接近 1 了。
例如，$P(Z < 3) \approx 0.9987$，$P(Z < 4) \approx 0.99997$。

本題考驗連續隨機變數的聯合機率密度函數、邊際機率密度函數、期望值和共變異數的計算。

核心觀念： 聯合機率密度函數 (Joint PDF)、邊際機率密度函數 (Marginal PDF)、期望值 (Expectation)、共變異數 (Covariance)。

給定的聯合機率密度函數 (Joint PDF) 為：
$f(x, y) = ky^2$, for $0 < x < y < 1$
$f(x, y) = 0$, otherwise

積分區域為一個三角形，其頂點為 (0,0), (0,1), (1,1)。

a. 求 k 值。(4%)

對於任何機率密度函數，其在整個定義域上的積分必須等於 1。
$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx \, dy = 1$

在這個問題中，積分區域是 $0 < x < y < 1$。
這可以寫成：$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} ky^2 \, dx \, dy = 1$

先對 x 積分：
$\int_{0}^{y} ky^2 \, dx = ky^2 [x]_0^y = ky^2 (y - 0) = ky^3$

再對 y 積分：
$\int_{0}^{1} ky^3 \, dy = k \left[\frac{y^4}{4}\right]_0^1 = k \left(\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4}\right) = k \frac{1}{4}$

令積分結果等於 1：
$k \frac{1}{4} = 1 \implies k = 4$

所以，k 的值是 4。
聯合 PDF 為 $f(x, y) = 4y^2$, for $0 < x < y < 1$。

b. 求 E(X), E(Y) 及 Cov(X,Y) 之值。(12%)

首先，計算邊際機率密度函數 (Marginal PDF)：

• Marginal PDF of Y, $f_Y(y)$:
  $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx$
  對於 $0 < y < 1$，積分範圍是 $0 < x < y$：
  $f_Y(y) = \int_{0}^{y} 4y^2 \, dx = 4y^2 [x]_0^y = 4y^2 (y) = 4y^3$, for $0 < y < 1$。
  $f_Y(y) = 0$, otherwise。

• Marginal PDF of X, $f_X(x)$:
  $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy$
  對於 $0 < x < 1$，積分範圍是 $x < y < 1$：
  $f_X(x) = \int_{x}^{1} 4y^2 \, dy = 4 \left[\frac{y^3}{3}\right]_x^1 = 4 \left(\frac{1^3}{3} - \frac{x^3}{3}\right) = \frac{4}{3}(1 - x^3)$, for $0 < x < 1$。
  $f_X(x) = 0$, otherwise。

計算 E(Y)：
$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y f_Y(y) \, dy = \int_{0}^{1} y (4y^3) \, dy = \int_{0}^{1} 4y^4 \, dy$
$E(Y) = 4 \left[\frac{y^5}{5}\right]_0^1 = 4 \left(\frac{1^5}{5} - 0\right) = \frac{4}{5} = 0.8$

本題考驗對指數分配和卜瓦松分配的理解與應用。

核心觀念： 指數分配 (Exponential Distribution)、卜瓦松分配 (Poisson Distribution)、無記憶性 (Memoryless Property)。

指數分配：
指數分配常用來描述事件發生的時間間隔。其機率密度函數 (PDF) 為：
$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$, for $x \ge 0$
其中 $\lambda$ 是發生率 (rate parameter)。
平均值 (期望值) 為 $E(X) = 1/\lambda$。
累積分布函數 (CDF) 為 $F(x; \lambda) = 1 - e^{-\lambda x}$, for $x \ge 0$。

卜瓦松分配：
卜瓦松分配常用來描述在固定時間或空間間隔內，隨機事件發生的次數。
$P(N=k; \mu) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}$, for $k = 0, 1, 2, \dots$
其中 $\mu$ 是在該間隔內的平均發生次數。
如果事件發生的平均發生率是 $\lambda$，在時間長度為 $t$ 的區間內，平均發生次數 $\mu = \lambda t$。

a. 令 X 為貨櫃車進入該集散站的間隔時間,請敘述 X 的機率密度函數。(4%)

題目給定：

• 貨櫃車進入集散站的間隔時間呈指數分配。
• 平均間隔時間為 12 分鐘。

根據指數分配的定義，平均值 $E(X) = 1/\lambda$。
所以，$1/\lambda = 12$ 分鐘。
解得 $\lambda = 1/12$ (每分鐘進入的貨櫃車數)。

因此，X 的機率密度函數 (PDF) 為：
$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} = \frac{1}{12} e^{-x/12}$, for $x \ge 0$。
其中 x 的單位是分鐘。

答案 a： $f(x) = \frac{1}{12} e^{-x/12}$, for $x \ge 0$。

b. 有一台貨櫃車在 11:11 進入該集散站,試求下一台貨櫃車在 11:20 前進入集散站的機率為何?(5%)

這個問題利用了指數分配的「無記憶性」(Memoryless Property)。
無記憶性意味著，過去事件發生的時間不會影響未來事件發生的時間。
也就是說，知道一台貨櫃車在 11:11 進入，並不影響下一台貨櫃車何時進入。