113 年 國立臺灣海洋大學航運管理學系碩士班乙組《統計學》

本題主要在考驗對基本敘述統計量，特別是協方差、相關係數、迴歸直線的計算與解釋能力。

首先，我們整理數據並計算所需的統計量：
樣本數 $n=8$。
$\sum x = 5+3+7+9+2+4+6+8 = 44$
$\sum y = 20+23+15+11+27+21+17+14 = 148$
$\sum x^2 = 5^2+3^2+7^2+9^2+2^2+4^2+6^2+8^2 = 25+9+49+81+4+16+36+64 = 284$
$\sum y^2 = 20^2+23^2+15^2+11^2+27^2+21^2+17^2+14^2 = 400+529+225+121+729+441+289+196 = 2930$
$\sum xy = (5)(20)+(3)(23)+(7)(15)+(9)(11)+(2)(27)+(4)(21)+(6)(17)+(8)(14) = 100+69+105+99+54+84+102+112 = 725$

計算樣本平均數：
$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{44}{8} = 5.5$
$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{148}{8} = 18.5$

計算樣本變異數：
$SS_x = \sum x^2 - n\bar{x}^2 = 284 - 8(5.5)^2 = 284 - 8(30.25) = 284 - 242 = 42$
$s_x^2 = \frac{SS_x}{n-1} = \frac{42}{7} = 6$

$SS_y = \sum y^2 - n\bar{y}^2 = 2930 - 8(18.5)^2 = 2930 - 8(342.25) = 2930 - 2738 = 192$
$s_y^2 = \frac{SS_y}{n-1} = \frac{192}{7} \approx 27.4286$

(a) Calculate and interpret the covariance between $x$ and $y$. (4%)
計算樣本共變異數 $s_{xy}$：
$SS_{xy} = \sum xy - n\bar{x}\bar{y} = 725 - 8(5.5)(18.5) = 725 - 8(101.75) = 725 - 814 = -89$
$s_{xy} = \frac{SS_{xy}}{n-1} = \frac{-89}{7} \approx -12.714$

解釋：
樣本共變異數為 -12.714。由於共變異數為負值，表示變數 $x$ (年資) 與 $y$ (薪資) 之間存在負向關係，即年資越長，薪資傾向越低，這與一般認知相反，可能表示樣本中存在其他影響因素，或是該樣本的特殊性。

(b) Calculate the coefficient of correlation, and comment on the relationship between $x$ and $y$. (4%)
計算樣本相關係數 $r$：

此題為機率與條件機率的應用題，涉及聯合機率、貝氏定理。

首先，我們定義事件與機率：
$A$: 該次配送由服務 A 負責，$P(A) = 0.60$
$B$: 該次配送由服務 B 負責，$P(B) = 0.30$
$C$: 該次配送由服務 C 負責，$P(C) = 0.10$
$O$: 該次配送準時完成。

已知各服務的準時率（條件機率）：
$P(O|A) = 0.80$ (服務 A 準時的機率)
$P(O|B) = 0.60$ (服務 B 準時的機率)
$P(O|C) = 0.40$ (服務 C 準時的機率)

(a) Calculate $P(A \text{ and } O)$ (4%)
計算服務 A 負責且準時送達的聯合機率。
根據聯合機率的定義：
$P(A \text{ and } O) = P(A \cap O) = P(O|A) P(A)$
$P(A \cap O) = (0.80)(0.60) = 0.48$

【答案】$P(A \text{ and } O) = 0.48$

(b) If a package was delivered on time, what is the probability that it was service B? (4%)
這是求條件機率 $P(B|O)$。
根據條件機率的定義：
$P(B|O) = \frac{P(B \text{ and } O)}{P(O)}$

首先，我們需要計算 $P(O)$，即任意一次配送準時送達的總機率。根據全機率法則：
$P(O) = P(O|A)P(A) + P(O|B)P(B) + P(O|C)P(C)$
$P(O) = (0.80)(0.60) + (0.60)(0.30) + (0.40)(0.10)$
$P(O) = 0.48 + 0.18 + 0.04 = 0.70$

現在可以計算 $P(B|O)$：
$P(B \text{ and } O) = P(O|B)P(B) = (0.60)(0.30) = 0.18$

本題考驗對 Poisson 分布的理解與應用，特別是時間區間的轉換與機率計算。

題目說明：兩小時 (3:00 P.M. 到 5:00 P.M.) 的船隻到港數服從 Poisson 分布，平均數為 12。
設 $N(t_1, t_2)$ 表示在時間區間 $(t_1, t_2)$ 內的到港數。
已知在 2 小時內，平均到港數為 $\lambda_{2hr} = 12$。

Poisson 分布的特性是事件發生的平均率是恆定的。因此，我們可以推算出不同時間區間的平均到港數。
平均到港率 $\lambda_{rate} = \frac{12 \text{ arrivals}}{2 \text{ hours}} = 6 \text{ arrivals per hour}$。

(a) Find the probability that the number of arrivals between 3:30 and 4:00 P.M. is at least 10. (4%)
時間區間是 3:30 P.M. 到 4:00 P.M.，長度為 0.5 小時。
在此 0.5 小時區間內的平均到港數為：
$\lambda_{0.5hr} = \lambda_{rate} \times 0.5 \text{ hours} = 6 \times 0.5 = 3$。
所以，在這個 0.5 小時區間內，到港數 $X \sim \text{Poisson}(\lambda=3)$。

我們要計算 $P(X \ge 10)$。
$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9)$
$P(X \le 9) = \sum_{k=0}^{9} \frac{e^{-3} 3^k}{k!}$

直接計算會比較複雜，通常需要查表或使用統計軟體。
$P(X \le 9) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=9)$
$P(X=0) = e^{-3} \frac{3^0}{0!} \approx 0.0498$
$P(X=1) = e^{-3} \frac{3^1}{1!} \approx 0.1494$
$P(X=2) = e^{-3} \frac{3^2}{2!} \approx 0.2240$
$P(X=3) = e^{-3} \frac{3^3}{3!} \approx 0.2240$

核心觀念

本題評量連續隨機變數之常態分配（Normal Distribution）及其標準化（Standardization）應用，涵蓋以下關鍵觀念與公式：

1. 常態分配之定義與符號：
   設隨機變數 $X$ 代表 IT 系統新進大學畢業生的起薪，則：

   $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

   其中母體平均數 $\mu = 47500$，母體標準差 $\sigma = 4500$。

2. 標準化轉換（$Z$-Transformation）：
   欲求常態隨機變數之機率或分位數，需透過標準化公式將其轉換為標準常態隨機變數 $Z \sim N(0, 1)$：

   $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

3. 百分位數與臨界值（Cutoff / Quantile）之逆轉換：
   若已知機率 $P(X \ge x_0) = \alpha$（即累積機率 $P(X \le x_0) = 1 - \alpha$），由標準常態分配表查得對應的臨界值 $z_\alpha$ 後，可藉由逆運算求得原變數之門檻值：

   $$x_0 = \mu + z_\alpha \cdot \sigma$$

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解題方法

(a) 計算起薪不超過 $42,250 的百分比

步驟一：設定事件機率並進行標準化
欲求 $P(X \le 42250)$：

$$Z = \frac{42250 - 47500}{4500} = \frac{-5250}{4500} = -\frac{7}{6} \approx -1.17$$

步驟二：查標準常態分配累積機率表（$\Phi(z)$）

$$P(X \le 42250) = P(Z \le -1.17) = 1 - \Phi(1.17) = 1 - 0.8790 = 0.1210$$

（若以精確值 $Z = -1.1667$ 線性內插計算，$\Phi(-1.1667) \approx 0.1217$ 即 $12.17\%$）

本題考驗對離散機率分布的理解，包括機率計算和眾數的判斷。

題目給出了一個離散機率分布，描述了銀行對 30 年期股權貸款 (equity loan) 的利率。
我們假設這個分布也適用於房貸 (home loan)，或者題目意在考驗對給定機率分布的讀取能力。

(a) If a bank is selected at random from this distribution, what is the probability that the interest rate charged on a home loan exceeds 7.0%? (4%)
我們要找的機率是 $P(\text{Interest Rate} > 7.0\%)$。
從表格中，大於 7.0% 的利率類別是 7.5% 和 >7.5%。
因此，我們需要將這兩個類別的機率相加：

本題考驗對比例的假設檢定 (Hypothesis Test for Proportions)，特別是獨立樣本比例的比較。

題目情境：
樣本大小：男人 $n_m = 200$，女人 $n_w = 200$。
成功次數：男人回答 Yes $x_m = 104$，女人回答 Yes $x_w = 74$。
顯著水準 $\alpha = 0.01$。
檢定目的：判斷男性預期加薪/升遷的比例是否顯著大於女性。

(a) State the hypothesis test in terms of the population proportion of men and the population proportion of women? (4%)
我們需要建立虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)。
令 $p_m$ 為男性預期加薪/升遷的總體比例。
令 $p_w$ 為女性預期加薪/升遷的總體比例。

虛無假設 ($H_0$)：男性與女性的比例沒有差異，或者男性的比例不顯著大於女性。
$H_0: p_m \le p_w$ 或者 $H_0: p_m - p_w \le 0$

對立假設 ($H_1$)：男性的比例顯著大於女性。
$H_1: p_m > p_w$ 或者 $H_1: p_m - p_w > 0$

這是一個單尾檢定 (right-tailed test)。

【答案】
$H_0: p_m \le p_w$
$H_1: p_m > p_w$

(b) Use a 0.01 level of significance. What is the p-value and what is your conclusion? (8%)
首先，計算樣本比例：
$\hat{p}_m = \frac{x_m}{n_m} = \frac{104}{200} = 0.52$
$\hat{p}_w = \frac{x_w}{n_w} = \frac{74}{200} = 0.37$

在虛無假設 $H_0: p_m = p_w$ 下，我們需要計算一個合併的樣本比例 $\hat{p}_{pooled}$ 來計算標準誤。

核心觀念

本題比較五種檔案管理系統的平均學習時間，但三位操作員的學習速度可能不同，因此採用「隨機完全區集設計」的二因子變異數分析：

• 處理因子：檔案管理系統，共 $t=5$ 種。
• 區集因子：操作員，共 $b=3$ 位。
• 每位操作員均使用五種系統，因此每個系統皆有三筆觀測值。
• 假設模型為

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij},$$

其中 $\tau_i$ 表示系統效果，$\beta_j$ 表示操作員效果。

本題未提供重複觀測，因此不另行估計系統與操作員的交互作用，誤差項包含隨機誤差及未估計的交互作用。

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解題方法

將題目表格解讀為：欄位 $A$ 至 $E$ 代表五種系統，列 $1$ 至 $3$ 代表三位操作員。

1. 基本總計

各操作員總和為

$$R_1=69+72+59+65+75=340,$$ $$R_2=70+73+64+71+68=346,$$ $$R_3=71+68+63+68+76=346.$$

各系統總和為

$$\begin{aligned} C_A&=210,\\ C_B&=213,\\ C_C&=186,\\ C_D&=204,\\ C_E&=219. \end{aligned}$$

總和為

$$T=1032,$$

觀測值總數為

$$N=3\times5=15.$$

校正項為

$$CT=\frac{T^2}{N} =\frac{1032^2}{15} =71001.6.$$

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2. 總平方和

全部觀測值平方和為

$$\sum y_{ij}^2=71300.$$

因此

$$SS_T=\sum y_{ij}^2-CT =71300-71001.6 =298.4.$$

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3. 系統平方和

五種系統各有 $b=3$ 筆資料，因此

$$SS_{\text{系統}} =\frac{210^2+213^2+186^2+204^2+219^2}{3}-CT.$$ $$SS_{\text{系統}} =\frac{213642}{3}-71001.6 =212.4.$$

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4. 操作員平方和

三位操作員各有 $t=5$ 筆資料，因此

$$SS_{\text{操作員}} =\frac{340^2+346^2+346^2}{5}-CT.$$ $$SS_{\text{操作員}} =\frac{355032}{5}-71001.6 =4.8.$$

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5. 誤差平方和

$$SS_E =SS_T-SS_{\text{系統}}-SS_{\text{操作員}}$$ $$SS_E=298.4-212.4-4.8=81.2.$$

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(a) 變異數分析表

自由度如下：

• 總和：$N-1=15-1=14$
• 系統：$t-1=5-1=4$
• 操作員：$b-1=3-1=2$
• 誤差：$(t-1)(b-1)=4\times2=8$

均方為

$$MS_{\text{系統}}=\frac{212.4}{4}=53.10,$$ $$MS_{\text{操作員}}=\frac{4.8}{2}=2.40,$$ $$MS_E=\frac{81.2}{8}=10.15.$$

因此檢定統計量為

$$F_{\text{系統}} =\frac{MS_{\text{系統}}}{MS_E} =\frac{53.10}{10.15} =5.23,$$ $$F_{\text{操作員}} =\frac{MS_{\text{操作員}}}{MS_E} =\frac{2.40}{10.15} =0.24.$$

變異來源	平方和 $SS$	自由度 $df$	均方 $MS$	$F$ 值
系統	$212.4$	$4$	$53.10$	$5.23$
操作員	$4.8$	$2$	$2.40$	$0.24$

本題考驗對簡單線性迴歸的應用，包括迴歸直線的建立、迴歸係數的假設檢定，以及迴歸線的信賴區間估計。

已知數據：
樣本數 $n=12$。
$x$ 的樣本平均數 $\bar{x} = 15.4$ (題目直接給出，通常應由 $\sum x$ 和 $n$ 計算)
$y$ 的樣本平均數 $\bar{y} = 89.2$
$x$ 的平方和 $SSX = 142.5$
$y$ 的平方和 $SSY = 650.3$
$xy$ 的交叉乘積和 $SSXY = 268.7$

(a) Find the best-fitting line for the above data. (4%)
最佳擬合線 (迴歸直線) 的形式為 $\hat{y} = b_0 + b_1 x$。
首先計算斜率 $b_1$：
$b_1 = \frac{SSXY}{SSX} = \frac{268.7}{142.5} \approx 1.8856$

接著計算截距 $b_0$：
$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$
$b_0 = 89.2 - (1.8856)(15.4)$
$b_0 = 89.2 - 29.03864 \approx 60.16136$

迴歸直線方程式為 $\hat{y} \approx 60.161 + 1.886 x$。

【答案】最佳擬合線為 $\hat{y} = 60.161 + 1.886 x$。

(b) Do the data provide sufficient evidence to indicate that a client would get a higher score if the training time is longer? Test using $\alpha=0.05$. (8%)
這是檢定迴歸直線的斜率 $b_1$ 是否顯著大於零。
虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ (訓練時間與得分之間沒有線性關係，或訓練時間越長得分不越高)
對立假設 $H_1: \beta_1 > 0$ (訓練時間越長，得分越高)
這是一個單尾檢定。

首先，我們需要計算檢定統計量 $t$。
$t = \frac{b_1 - \beta_{1,0}}{s_{b_1}}$
其中 $\beta_{1,0} = 0$ (來自 $H_0$)， $s_{b_1}$ 是斜率 $b_1$ 的標準誤。
$s_{b_1} = \frac{s_e}{\sqrt{SSX}}$
其中 $s_e$ 是誤差標準差。
$s_e^2 = \frac{SSE}{n-2}$
$SSE = SSY - b_1 SSXY = 650.3 - (1.8856)(268.7) = 650.3 - 506.57 \approx 143.73$
$s_e^2 = \frac{143.73}{12-2} = \frac{143.73}{10} = 14.373$
$s_e = \sqrt{14.373} \approx 3.791$

$s_{b_1} = \frac{3.791}{\sqrt{142.5}} = \frac{3.791}{11.937} \approx 0.3176$

計算 $t$ 統計量：
$t = \frac{1.8856 - 0}{0.3176} \approx 5.937$

自由度 $df = n-2 = 12-2 = 10$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

核心觀念

本題評量連續隨機變數之常態分配（Normal Distribution）及其標準化（Standardization）應用，涵蓋以下關鍵觀念與公式：

1. 常態分配之定義與符號：
   設隨機變數 $X$ 代表 IT 系統新進大學畢業生的起薪，則：

   $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

   其中母體平均數 $\mu = 47500$，母體標準差 $\sigma = 4500$。

2. 標準化轉換（$Z$-Transformation）：
   欲求常態隨機變數之機率或分位數，需透過標準化公式將其轉換為標準常態隨機變數 $Z \sim N(0, 1)$：

   $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

3. 百分位數與臨界值（Cutoff / Quantile）之逆轉換：
   若已知機率 $P(X \ge x_0) = \alpha$（即累積機率 $P(X \le x_0) = 1 - \alpha$），由標準常態分配表查得對應的臨界值 $z_\alpha$ 後，可藉由逆運算求得原變數之門檻值：

   $$x_0 = \mu + z_\alpha \cdot \sigma$$

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解題方法

(a) 計算起薪不超過 $42,250 的百分比

步驟一：設定事件機率並進行標準化
欲求 $P(X \le 42250)$：

$$Z = \frac{42250 - 47500}{4500} = \frac{-5250}{4500} = -\frac{7}{6} \approx -1.17$$

步驟二：查標準常態分配累積機率表（$\Phi(z)$）

$$P(X \le 42250) = P(Z \le -1.17) = 1 - \Phi(1.17) = 1 - 0.8790 = 0.1210$$

（若以精確值 $Z = -1.1667$ 線性內插計算，$\Phi(-1.1667) \approx 0.1217$ 即 $12.17\%$）

本題考驗對離散機率分布的理解，包括機率計算和眾數的判斷。

題目給出了一個離散機率分布，描述了銀行對 30 年期股權貸款 (equity loan) 的利率。
我們假設這個分布也適用於房貸 (home loan)，或者題目意在考驗對給定機率分布的讀取能力。

(a) If a bank is selected at random from this distribution, what is the probability that the interest rate charged on a home loan exceeds 7.0%? (4%)
我們要找的機率是 $P(\text{Interest Rate} > 7.0\%)$。
從表格中，大於 7.0% 的利率類別是 7.5% 和 >7.5%。
因此，我們需要將這兩個類別的機率相加：