113 年 國立臺灣大學土木系碩士班營建管理組《工程統計》

本題主要考驗對 Poisson 過程的理解，以及如何計算特定時間點內事件發生的機率。

核心觀念：
Poisson 過程是一個描述在固定時間或空間間隔內，隨機獨立事件發生次數的機率模型。其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^k}{k!}$
其中：

• $k$ 是事件發生的次數。
• $\lambda$ 是單位時間（或空間）內事件的平均發生率。
• $t$ 是時間（或空間）的間隔長度。
• $\lambda t$ 是在時間間隔 $t$ 內事件的平均發生次數。

題目分析：
題目中提到機車抵達交叉路口遵循 Poisson 過程，平均速率為 $\lambda = 6$ 輛/分鐘。
我們要求的是「 up to a minute will elapse by the time 2 motorcycles have come in to the intersection」的機率。這句話的理解有兩種可能，但最常見且符合統計題的問法是：在「一分鐘」的時間內，抵達的機車數「最多」為 2 輛的機率。

設 $X$ 為在一分鐘內抵達的機車數量。
根據題目，平均速率 $\lambda = 6$ 輛/分鐘。
我們考慮的時間間隔為 $t = 1$ 分鐘。
因此，在 $t=1$ 分鐘內，平均預期的機車數量為 $\lambda t = 6 \times 1 = 6$ 輛。

本題考驗對 Central Limit Theorem (CLT) 的應用，以及如何計算樣本平均值的機率。同時也探討在應用 CLT 時是否需要對原始分佈做假設。

核心觀念：

1. Central Limit Theorem (CLT)：當樣本數 $n$ 足夠大時，不論原始母體的分佈為何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈，其平均值為母體平均數 $\mu$，標準差為 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
2. 樣本平均數的標準誤 (Standard Error of the Mean, SEM)：$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\sigma$ 是母體標準差，$n$ 是樣本數。
3. 常態分佈的機率計算：利用 Z-score $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$ 將樣本平均數轉換為標準常態分佈的得分，再利用標準常態分佈表查詢機率。

題目分析：

• 母體平均旅行時間 $\mu = 18$ 分鐘。
• 母體標準差 $\sigma = 5$ 分鐘。
• 樣本數 $n = 30$ 次。
• 要求計算樣本平均旅行時間 $\bar{X}$ 大於 25 分鐘的機率，即 $P(\bar{X} > 25)$。

第一部分：計算機率

根據 Central Limit Theorem，當 $n=30$ 時，樣本數足夠大，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈近似於常態分佈。

• $\bar{X}$ 的平均值 $\mu_{\bar{X}} = \mu = 18$ 分鐘。

本題考驗對單一樣本平均值的信賴區間估計，以及在進行此類估計時對母體分佈的假設。

核心觀念：

1. 單一樣本平均值的信賴區間 (Confidence Interval for a Single Mean)：
   • 當母體標準差 $\sigma$ 已知時，信賴區間為 $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
   • 當母體標準差 $\sigma$ 未知時，信賴區間為 $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $s$ 是樣本標準差，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是來自 t 分佈的值。
2. t 分佈 (Student's t-distribution)：當母體標準差未知且樣本數不大時，使用 t 分佈來計算信賴區間。t 分佈的形狀取決於自由度 ($df = n-1$)。
3. 信賴水準 (Confidence Level)：表示信賴區間包含母體參數的機率。95% 信賴水準意味著 $\alpha = 0.05$。
4. Central Limit Theorem (CLT) 與常態性假設：當母體標準差未知時，計算信賴區間通常假設母體服從常態分佈。然而，如果樣本數 $n$ 夠大 (例如 $n \ge 30$)，即使母體不服從常態分佈，CLT 也能保證樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈近似常態，進而使 t 分佈的結果近似正確。

題目分析：

• 樣本數據 (旅行速度)：$x_1=10.0, x_2=12.5, x_3=7.5, x_4=9.0, x_5=9.5$ km/h。
• 樣本數 $n = 5$。
• 信賴水準 = 95%，所以 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
• 由於母體標準差未知，我們需要使用樣本標準差 $s$ 和 t 分佈。

第一部分：計算 95% 信賴區間

1. 計算樣本平均數 $\bar{X}$：
   $\bar{X} = \frac{10.0 + 12.5 + 7.5 + 9.0 + 9.5}{5} = \frac{48.5}{5} = 9.7$ km/h。

2. 計算樣本標準差 $s$：
   首先計算樣本變異數 $s^2$：
   $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{X})^2}{n-1}$

本題考驗對卡方適合度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test) 的應用，用於檢定樣本數據是否符合預期的理論分佈。

核心觀念：

1. 卡方適合度檢定：用於檢定一個分類變數的觀察頻率分佈是否與某個理論頻率分佈（例如均勻分佈、常態分佈等）顯著不同。
2. 虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
   • $H_0$：數據符合理論分佈（在此為均勻分佈，即骰子是平衡的）。
   • $H_1$：數據不符合理論分佈（骰子不是平衡的）。
3. 檢定統計量：$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
   • $O_i$ 是第 $i$ 個類別的觀察頻率 (observed frequency)。
   • $E_i$ 是第 $i$ 個類別的期望頻率 (expected frequency)。
   • $k$ 是類別的數量。
4. 自由度 (Degrees of Freedom, df)：對於適合度檢定，自由度為 $df = k - 1 - m$，其中 $k$ 是類別數量，$m$ 是在計算期望頻率時估計的母體參數的數量。在此問題中，我們假設是公平骰子，所以期望頻率是預先知道的（均勻分佈），不需要估計母體參數，故 $m=0$，自由度為 $df = k - 1$。
5. 顯著水準 ($\alpha$)：題目給定 $\alpha = 0.01$。
6. 決策規則：若計算出的 $\chi^2$ 值大於 $\chi^2_{\alpha, df}$（臨界值），則拒絕 $H_0$。

題目分析：

• 骰子被滾動了 $n = 180$ 次。
• 一個標準的骰子有 6 個面，每個面出現的機率應該是相等的（均勻分佈）。
• 我們需要檢定這個骰子是否是平衡的。

第一部分：設定假設與計算期望頻率

• 虛無假設 ($H_0$)：骰子是平衡的，即每個面（1, 2, 3, 4, 5, 6）出現的機率均為 $1/6$。
• 對立假設 ($H_1$)：骰子不是平衡的。
• 類別數量 $k = 6$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.01$。
• 自由度 $df = k - 1 = 6 - 1 = 5$。

在 $H_0$ 為真的情況下，期望每個面出現的次數為：
$E_i = n \times P(\text{面 } i) = 180 \times \frac{1}{6} = 30$ 次，對於所有 $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$。

本題考驗對迴歸分析中變異數分析表 (ANOVA table) 的解讀，以及如何判斷迴歸模型的擬合優度。

核心觀念：

1. 迴歸直線通過原點 (Regression through the Origin)：這表示模型形式為 $y = \beta x + \epsilon$，其中 $\beta$ 是斜率，沒有截距項。
2. 變異數分析表 (ANOVA Table)：將總變異量 (Total Sum of Squares, SST) 分解為迴歸變異量 (Regression Sum of Squares, SSR) 和殘差變異量 (Error Sum of Squares, SSE)。
   • $SST = SSR + SSE$
   • $SST$：總體數據點的總變異量，衡量因變數 $y$ 的總體波動。
   • $SSR$：迴歸模型解釋的變異量，衡量模型通過擬合迴歸線所解釋的 $y$ 的變異。
   • $SSE$：殘差變異量，衡量模型未解釋的 $y$ 的變異（即誤差）。
3. 自由度 (Degrees of Freedom, df)：
   • $df_{Total} = n-1$ (總樣本數減 1)
   • $df_{Regression} = p$ (迴歸模型中的獨立變數數量)。對於通過原點的簡單線性迴歸，$p=1$。
   • $df_{Error} = n-1-p = n-p-1$ (總自由度減去迴歸自由度)。
4. 均方 (Mean Square)：變異數的估計值。
   • $MSR = \frac{SSR}{df_{Regression}}$
   • $MSE = \frac{SSE}{df_{Error}}$
5. F 統計量：用於檢定迴歸模型是否顯著。對於通過原點的迴歸，F 統計量就是 $F = \frac{MSR}{MSE}$。它衡量模型解釋的變異相對於未解釋的變異。
6. 擬合優度 (Goodness-of-Fit)：判斷迴歸線是否良好地描述了數據。常用的指標包括：
   • R-squared ($R^2$)：表示因變數 $y$ 的總變異中，有多少比例可以被迴歸模型解釋。
     • 對於標準迴歸 (有截距)，$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$。
     • 對於通過原點的迴歸，傳統的 $R^2$ 計算方式會改變，因為 $SST = \sum (y_i - \bar{y})^2$ 包含了對 $\bar{y}$ 的依賴，而通過原點的迴歸模型是 $y_i = \hat{\beta} x_i + e_i$。在這種情況下，通常會使用修正的 $R^2$ 或稱 Pseudo $R^2$，其計算方式為 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST'}$，其中 $SST' = \sum y_i^2$（如果迴歸通過原點，則總變異是 $y_i$ 的平方和，而不是 $y_i$ 與其平均值的差的平方和）。
   • F 統計量的值：一個較大的 F 值通常表示迴歸模型是顯著的，即模型比僅僅使用平均值能更好地解釋數據的變異。

題目分析：

• 數據包含 $n=6$ 個觀測值。
• 迴歸模型是通過原點的簡單線性迴歸 ($y = \beta x$)，所以獨立變數數量 $p=1$。
• ANOVA 表已提供。

第一部分：驗證 ANOVA 表的數據

• $n=6$，獨立變數 $p=1$。
• $df_{Total} = n-1 = 6-1 = 5$ (與表中一致)。
• $df_{Regression} = p = 1$ (與表中一致)。