本題為基本名詞解釋題，主要在測試考生對統計學中幾個核心概念的理解程度。

(一) 抽樣分配 (sampling distribution)
抽樣分配是指，從母體中重複抽取許多個相同大小的樣本，並對每個樣本計算某一個統計量（例如樣本平均數、樣本比例等），這些統計量所形成的機率分布，就稱為該統計量的抽樣分配。抽樣分配的平均值通常等於母體參數，其變異數則與樣本大小有關。

(二) 相關係數 (correlation coefficient)
相關係數是衡量兩個變數之間線性相關強弱的統計指標，其值介於 -1 到 1 之間。

• 當相關係數為 1 時，表示兩個變數存在完美的正相關。
• 當相關係數為 -1 時，表示兩個變數存在完美的負相關。
• 當相關係數為 0 時，表示兩個變數之間沒有線性相關。
• 值的絕對值越大，表示線性相關越強。
  常用的相關係數有皮爾森積差相關係數 (Pearson correlation coefficient)。

本題考驗考生進行單一樣本平均數的假設檢定。由於母體標準差未知，且樣本數小（$n=5 < 30$），我們將使用 t-檢定。

核心觀念： 單一樣本 t-檢定，用於檢定母體平均數是否等於某特定值，當母體標準差未知時。

步驟：

1. 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
   $H_0: \mu = 22.5$ (混凝土平均內部溫度為 22.5 度)
   $H_1: \mu \neq 22.5$ (混凝土平均內部溫度不為 22.5 度)
   這是一個雙尾檢定 (two-tailed test)。

2. 設定顯著水準 ($\alpha$)：
   題目要求在 5% 的顯著水準下進行檢定，所以 $\alpha = 0.05$。

3. 計算樣本統計量：
   樣本數據：23.01, 22.22, 22.04, 22.62, 22.59
   樣本數 $n = 5$。
   樣本平均數 $\bar{x}$:
   $\bar{x} = \frac{23.01 + 22.22 + 22.04 + 22.62 + 22.59}{5} = \frac{112.48}{5} = 22.496$

   樣本標準差 $s$:
   首先計算樣本變異數 $s^2$:
   $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
   $x_i - \bar{x}$ 的值為：
   $23.01 - 22.496 = 0.514$
   $22.22 - 22.496 = -0.276$
   $22.04 - 22.496 = -0.456$
   $22.62 - 22.496 = 0.124$
   $22.59 - 22.496 = 0.094$

   $(x_i - \bar{x})^2$ 的值為：
   $0.514^2 \approx 0.264196$
   $(-0.276)^2 \approx 0.076176$
   $(-0.456)^2 \approx 0.207936$
   $0.124^2 \approx 0.015376$
   $0.094^2 \approx 0.008836$

   $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \approx 0.264196 + 0.076176 + 0.207936 + 0.015376 + 0.008836 = 0.57252$
   $s^2 = \frac{0.57252}{5-1} = \frac{0.57252}{4} \approx 0.14313$

   樣本標準差 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0.14313} \approx 0.378325$

4. 計算檢定統計量 (t-statistic)：
   $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
   其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的母體平均數，即 22.5。
   $t = \frac{22.496 - 22.5}{0.378325 / \sqrt{5}} = \frac{-0.004}{0.378325 / 2.236068} = \frac{-0.004}{0.16919} \approx -0.02364$

本題考驗考生計算母體平均數的信賴區間，當母體標準差未知且樣本數小時，使用 t 分配。

核心觀念： 單一樣本平均數的信賴區間，母體標準差未知。

步驟：

1. 確定信賴水準 (Confidence Level)：
   題目要求 95% 的信賴區間。

2. 取得樣本統計量：
   從第二題的數據，我們已經計算出：
   樣本數 $n = 5$
   樣本平均數 $\bar{x} = 22.496$
   樣本標準差 $s \approx 0.378325$

3. 確定自由度 (df)：
   自由度 $df = n - 1 = 5 - 1 = 4$。

4. 尋找臨界 t 值：
   對於 95% 的信賴區間，我們需要查找 $t_{\alpha/2, df}$。
   信賴水準為 95%，則 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
   $\alpha/2 = 0.025$。
   自由度 $df = 4$。
   查 t 分配表，在 $df=4$，$t_{0.025, 4} \approx 2.776$。

5. 計算標準誤 (Standard Error)：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的最小平方法。設定迴歸模型為

$$\hat y=a+bx$$

其中：

• $b$ 為迴歸斜率，表示參加研討會次數每增加一次，論文發表數的平均變化量。
• $a$ 為截距。
• 最小平方法的斜率與截距為

$$b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad a=\bar y-b\bar x$$

其中

$$S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}$$ $$S_{xy}=\sum x_iy_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$$

因此，計算迴歸線除了需要 $\sum x_i$、$\sum y_i$、$\sum x_i^2$、$n$ 外，還必須知道交叉乘積和 $\sum x_iy_i$。

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解題方法

（一）求簡單線性迴歸線

由題目資料：

$$n=12,\qquad \sum x_i=4,\qquad \sum y_i=12,\qquad \sum x_i^2=232$$

平均數為

$$\bar x=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{4}{12}=\frac13$$ $$\bar y=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{12}{12}=1$$

先計算 $S_{xx}$：

$$S_{xx} =\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n} =232-\frac{4^2}{12} =232-\frac43 =\frac{692}{3}$$

但是，計算 $S_{xy}$ 尚缺少 $\sum x_iy_i$。令

$$C=\sum x_iy_i$$

則

$$S_{xy} =C-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n} =C-\frac{4\cdot12}{12} =C-4$$

因此斜率只能表示為

$$b=\frac{C-4}{692/3} =\frac{3(C-4)}{692}$$

截距為

$$a=\bar y-b\bar x =1-\frac{b}{3}$$

代入 $b$ 得

$$a=1-\frac{C-4}{692} =\frac{696-C}{692}$$

所以，在補充 $\sum x_iy_i$ 後，迴歸線為

$$\boxed{ \hat y=\frac{696-C}{692} +\frac{3(C-4)}{692}x } \qquad \left(C=\sum x_iy_i\right)$$

題目目前提供的資料不足以得到唯一的數值迴歸線。

核心觀念

本題檢定的虛無假設為：

$$H_0:X\sim \operatorname{Poisson}(1)$$

其中 $X$ 表示一年內發生嚴重雷暴的次數；對立假設為：

$$H_1:X\text{ 不服從 }\operatorname{Poisson}(1)$$

採用卡方適合度檢定統計量：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

其中：

• $O_i$：第 $i$ 組的觀察次數
• $E_i$：在 $H_0$ 成立下的期望次數
• $k$：合併後的組數

由於部分類別的期望次數小於 $5$，必須先合併類別，才能適用卡方近似。

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解題方法

1. 計算各類別的理論機率

Poisson 分布的機率函數為：

$$P(X=x)=\frac{e^{-1}1^x}{x!}$$

因此：

$$P(X=0)=e^{-1}=0.367879$$ $$P(X=1)=e^{-1}=0.367879$$ $$P(X=2)=\frac{e^{-1}}{2}=0.183940$$

原始資料中 $X=3$ 與 $X=4$ 的期望次數均小於 $5$，因此將 $X\geq 3$ 合併為一組。

$$P(X\geq 3) =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)$$ $$=1-e^{-1}\left(1+1+\frac12\right) =0.080301$$

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2. 合併類別並計算期望次數

共有 $n=66$ 年，因此各組期望次數為：

雷暴次數	觀察次數 $O_i$	理論機率	期望次數 $E_i=66p_i$
$0$	$20$	$0.367879$	$24.280$
$1$	$23$	$0.367879$	$24.280$
$2$	$15$	$0.183940$	$12.140$
$\geq 3$	$6+2=8$	$0.080301$	$5.300$