109 年 國立臺灣大學商學研究所甲組《經濟學（A）》

核心觀念

這題考兩期消費選擇。Rebecca 在兩期消費間分配所得，使效用最大；最適選擇須符合「兩期邊際效用比率等於兩期價格比率」。

效用函數為

$$U(C_1,C_2)=C_1^{1/2}+0.80C_2^{1/2}$$

因此兩期邊際效用分別為

$$MU_1=\frac{\partial U}{\partial C_1}=\frac{1}{2\sqrt{C_1}}, \qquad MU_2=\frac{\partial U}{\partial C_2}=\frac{0.80}{2\sqrt{C_2}}=\frac{0.40}{\sqrt{C_2}}$$

以第一期為計價基準，跨期預算限制為

$$C_1+\frac{C_2}{1+r}=Y_1+\frac{Y_2}{1+r}$$

其中 $r$ 為利率，題目給定 $Y_1=3Y_2$。

解題方法

最適時，將一單位第一期消費轉為第二期消費的邊際效用交換比率，須等於相對價格。由預算限制可得：

$$\frac{MU_1}{MU_2}=1+r$$

題目要求兩期消費相同，令 $C_1=C_2=C$，代入邊際效用：

核心觀念

本題的核心考點包含兩大部分：

1. 凹偏好（Concave Preferences）下的消費者最適選擇：
   效用函數為 $U(X, Y) = \max(X, Y)$，其無異曲線向原點凹陷（嚴格凹），邊際替代率遞增。消費者的最適解必落在預算線的端點（角解，Corner Solution），即比較將全部所得單獨購買 $X$ 或單獨購買 $Y$ 所帶來的效用，選擇效用較大者。
2. 等值變量（Equivalent Variation, EV）的定義：
   $EV$ 衡量當價格改變後，若以「原價格體系（基期價格）」為評價基準，為了使消費者達到「新價格體系下的效用效用水準（$u_1$）」，必須從消費者原本的所得中扣除（或補償）多少金額。
   其嚴格定義式為支出函數（Expenditure Function）的差額： $$EV = E(P^0, u^0) - E(P^0, u^1) = I_0 - E(P^0, u^1)$$ 其中：
   • $P^0 = (P_X^0, P_Y^0)$ 為變動前的價格。
   • $I_0$ 為原所得。
   • $u_1$ 為價格變動後達到的最適效用水準。
   • $E(P^0, u^1)$ 代表在原價格體系下，達到新效用 $u_1$ 所需花費的最低支出。

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解題方法與推導步驟

第一步：求價格變動前的最適消費與效用水準（基期）

• 給定條件：所得 $I =$$600，$P_X^0 = 0.5$，$P_Y^0 = 1$。
• 若全買 $X$：$X = \frac{600}{0.5} = 1200$，$Y = 0$，效用為 $U(1200, 0) = \max(1200, 0) = 1200$。
• 若全買 $Y$：$X = 0$，$Y = \frac{600}{1} = 600$，效用為 $U(0, 600) = \max(0, 600) = 600$。
• 消費者會選擇效用較大者，因此： $$(X_0^*, Y_0^*) = (1200, 0),\quad u_0 = 1200$$

第二步：求價格變動後的最適消費與效用水準（新期）

• 價格變動後：$P_X^1 = 2$，$P_Y^1 = 1$，所得仍為 $I =$$600。
• 若全買 $X$：$X = \frac{600}{2} = 300$，$Y = 0$，效用為 $U(300, 0) = \max(300, 0) = 300$。
• 若全買 $Y$：$X = 0$，$Y = \frac{600}{1} = 600$，效用為 $U(0, 600) = \max(0, 600) = 600$。
• 此時全買 $Y$ 帶來的效用較高，因此新最適選擇為： $$(X_1^*, Y_1^*) = (0, 600),\quad u_1 = 600$$

第三步：計算在原價格體系下達到新效用 $u_1 = 600$ 的最低支出 $E(P^0, u_1)$

• 原價格體系為 $P_X^0 = 0.5$，$P_Y^0 = 1$。
• 目標效用為 $u_1 = 600$，即要求 $\max(X, Y) = 600$：

本題考驗稅收對市場效率的影響，特別是死重損失 (Deadweight Loss, DWL) 與稅額變動的關係。

首先，我們需要了解死重損失的計算方式。死重損失是由於稅收扭曲了市場均衡，導致交易量減少，從而造成的總剩餘（消費者剩餘加上生產者剩餘）的損失。
對於一個線性的需求曲線和水平的供給曲線，死重損失的面積可以表示為一個三角形。
令需求曲線為 $P = a - bQ$，其中 $a>0, b>0$。
令供給曲線為 $P = c$ (水平供給線，這裡因為是市場，所以可以假設是市場供給，但若題目說「市場」有水平供給曲線，通常是指固定成本或邊際成本固定，這時我們可以視為 $P=c$ 或 $MC=c$。)
然而，題目說「市場」有水平的供給曲線，這通常意味著邊際成本是固定的。但對於稅收的影響，我們更關注需求曲線的斜率。

假設初始稅額為 $t_0$。
在有稅的情況下，市場均衡價格會上升，交易量會減少。
令原來的市場均衡價格為 $P_0$（無稅時），此時 $P_0 = a - bQ_0$ 且 $P_0 = c$ (假設無稅時，供給價格為 $c$)。
當徵收稅額 $t_0$ 後，需求者支付的價格為 $P_D$，供給者收到的價格為 $P_S$。
$P_D = P_S + t_0$。
需求曲線：$P_D = a - bQ$
供給曲線：$P_S = c$
所以，$a - bQ = c + t_0$。
$bQ = a - c - t_0$
$Q_0' = \frac{a-c-t_0}{b}$ (有稅時的交易量)
死重損失 $DWL_0 = \frac{1}{2} \times t_0 \times (Q_0 - Q_0')$
其中 $Q_0 = \frac{a-c}{b}$ 是無稅時的交易量。
$Q_0 - Q_0' = \frac{a-c}{b} - \frac{a-c-t_0}{b} = \frac{t_0}{b}$。
所以，$DWL_0 = \frac{1}{2} \times t_0 \times \frac{t_0}{b} = \frac{1}{2b} t_0^2$。

現在，政府將稅額加倍，即新的稅額為 $t_1 = 2t_0$。
新的均衡交易量 $Q_1' = \frac{a-c-t_1}{b} = \frac{a-c-2t_0}{b}$。
新的死重損失 $DWL_1 = \frac{1}{2} \times t_1 \times (Q_0 - Q_1')$
$Q_0 - Q_1' = \frac{a-c}{b} - \frac{a-c-2t_0}{b} = \frac{2t_0}{b}$。
所以，$DWL_1 = \frac{1}{2} \times (2t_0) \times \frac{2t_0}{b} = \frac{1}{2b} (2t_0)^2 = \frac{1}{2b} (4t_0^2) = 4 \times \frac{1}{2b} t_0^2 = 4 \times DWL_0$。

根據這個計算，當稅額加倍時，死重損失會變成原來的四倍。
這意味著，死重損失與稅額的平方成正比。

本題考驗古諾競爭模型 (Cournot Competition) 的變形，即兩寡占廠商（棒球隊）在決定價格以最大化收入（因為邊際成本為零，收入即利潤）時的均衡。這裡的競爭是類似於史特克伯格模型 (Stackelberg Model) 的情況，即一方認為另一方的價格是固定的，但實際上雙方都會考慮對方的價格。由於題目明確指出「Each team believes the other's price is independent of its own choice of price」，這意味著我們需要建立一個類似於納許均衡 (Nash Equilibrium) 的模型，其中每個球隊都根據對方給定的價格來設定自己的價格。

設球隊 A 的需求函數為 $Q_A = 10 - 2P_A + P_B$ (以十萬張為單位)。
設球隊 B 的需求函數為 $Q_B = 20 + P_A - 2P_B$ (以十萬張為單位)。
邊際成本 $MC_A = MC_B = 0$。
收入函數為 $R = P \times Q$。
球隊 A 的收入函數為 $R_A(P_A, P_B) = P_A \times Q_A = P_A (10 - 2P_A + P_B) = 10P_A - 2P_A^2 + P_A P_B$。
球隊 B 的收入函數為 $R_B(P_A, P_B) = P_B \times Q_B = P_B (20 + P_A - 2P_B) = 20P_B + P_A P_B - 2P_B^2$。

每個球隊的目標是最大化自己的收入，假設對方價格固定。

對於球隊 A：
對 $P_A$ 微分 $R_A$，並令其等於 0：
$\frac{\partial R_A}{\partial P_A} = 10 - 4P_A + P_B = 0$
$4P_A = 10 + P_B$
$P_A = \frac{10 + P_B}{4}$ (這是球隊 A 的反應函數)

核心觀念

本題的核心為個體經濟學中廠商理論的長期成本極小化問題（Long-Run Cost Minimization）與成本函數推導：

1. 最適要素投入比例條件：在內生解（內部解）成立下，廠商追求成本極小化的必要條件為邊際技術替代率等於要素相對價格比： $$MRTS_{XY} = \frac{MP_X}{MP_Y} = \frac{p_X}{p_Y}$$
2. 條件要素需求函數（Conditional Factor Demand Functions）：將最適要素投入比例代入生產函數，可解出產量 $Q$ 與要素需求量 $X(Q)$、$Y(Q)$ 之間的關係。
3. 長期成本函數與邊際成本：
   • 總成本函數：$TC(Q) = p_X \cdot X(Q) + p_Y \cdot Y(Q)$
   • 邊際成本：$MC(Q) = \frac{dTC(Q)}{dQ}$
4. 規模報酬與成本結構：Cobb-Douglas 生產函數 $Q = A X^\alpha Y^\beta$，其次方和 $\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，代表生產技術具備**規模報酬固定（Constant Returns to Scale, CRTS）**的特性。在要素價格固定下，CRTS 隱含長期總成本函數為產量的線性函數，平均成本（$AC$）與邊際成本（$MC$）恆為常數且彼此相等。

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解題方法

步驟一：設定成本極小化問題

給定要素價格 $p_X = 1$、$p_Y = 4$，廠商生產產量 $Q$ 的成本極小化規劃為：

$$\min_{X, Y} TC = 1 \cdot X + 4 \cdot Y \quad \text{s.t.} \quad 8 X^{1/2} Y^{1/2} = Q$$

步驟二：求要素最適投入比例（擴張線方程式）

計算要素 $X$ 與 $Y$ 的邊際產量（Marginal Product）：

$$MP_X = \frac{\partial Q}{\partial X} = 8 \cdot \frac{1}{2} X^{-1/2} Y^{1/2} = 4 X^{-1/2} Y^{1/2}$$ $$MP_Y = \frac{\partial Q}{\partial Y} = 8 \cdot \frac{1}{2} X^{1/2} Y^{-1/2} = 4 X^{1/2} Y^{-1/2}$$

由成本極小化之一階條件：

$$MRTS_{XY} = \frac{MP_X}{MP_Y} = \frac{4 X^{-1/2} Y^{1/2}}{4 X^{1/2} Y^{-1/2}} = \frac{Y}{X} = \frac{p_X}{p_Y} = \frac{1}{4}$$

整理可得擴張線（Expansion Path）：

$$X = 4Y$$

步驟三：求條件要素需求函數

將 $X = 4Y$ 代回生產函數：

$$Q = 8 (4Y)^{1/2} Y^{1/2} = 8 \cdot 2 \cdot Y = 16Y$$

解得：

核心觀念

1. 里昂提夫（Leontief）生產函數的成本極小化：
   生產函數具有固定比例特徵 $Q = (\min\{X_1, 5X_2\})^{1/2}$。為避免要素浪費並達到成本極小，最適要素配置必定落在摺折線頂點上，即滿足：
   $X_1 = 5X_2 = Q^2$
2. 總成本函數（Total Cost Function, $TC$）與邊際成本（Marginal Cost, $MC$）：
   根據條件要素需求函數求出總成本 $TC(Q) = W_1 X_1(Q) + W_2 X_2(Q)$，再經由一階微分求得邊際成本 $MC(Q) = \frac{dTC}{dQ}$。
3. 完全競爭廠商之短期供給函數：
   在 $P \ge \min AVC$ 的條件下，廠商利潤極大化的定價法則為價格等於邊際成本（$P = MC$），移項解出 $Q$ 即為供給函數 $Q^s(P)$。

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解題方法

步驟 1：推導條件要素需求函數（Conditional Factor Demands）

由生產函數 $Q = (\min\{X_1, 5X_2\})^{1/2}$，兩邊平方得：
$Q^2 = \min\{X_1, 5X_2\}$

在成本極小化決策下，兩要素的投入量滿足固定比例關係：
$X_1 = 5X_2 = Q^2$

由此可得要素 1 與要素 2 的需求函數：
$X_1(Q) = Q^2$
$X_2(Q) = \frac{1}{5}Q^2$

步驟 2：推導總成本函數 $TC(Q)$

已知要素價格為 $W_1 = 5$、 $W_2 = 25$，代入總成本定義：
$TC(Q) = W_1 X_1 + W_2 X_2 = 5(Q^2) + 25\left(\frac{1}{5}Q^2\right) = 5Q^2 + 5Q^2 = 10Q^2$

核心觀念

本題考查「邊際成本定價」與固定成本對利潤的影響。

• 邊際成本為總成本對產量的導數：

  $MC=\frac{dC(Q)}{dQ}$

• 廠商被要求以邊際成本定價時，管制條件為：

  $P=MC$

• 需求曲線決定消費者願意購買的數量，因此需同時滿足：

  $P=80-6Q$

• 利潤為總收益減總成本：

  $\pi=TR-TC=P\cdot Q-C(Q)$

其中，$800$ 是固定成本，即使產量為正仍然必須負擔。

解題方法

1. 求邊際成本

總成本函數為：

$C(Q)=800+8Q$

因此：

$MC=\frac{dC(Q)}{dQ}=8$

2. 套用邊際成本定價

法律要求價格等於邊際成本，所以：

$P=MC=8$

將此價格代入反需求函數：

$8=80-6Q$

$6Q=72$

$Q=12$

因此，在邊際成本定價下，廠商供給數量為 $12$ 單位。

3. 計算總收益與總成本

總收益為：

$TR=P\cdot Q=8\cdot 12=96$

總成本為：

$TC=800+8(12)=800+96=896$

4. 計算利潤

$\pi=TR-TC=96-896=-800$

所以廠商會損失 $$800$。

也可直接觀察：價格等於邊際成本時，營收 $P Q$ 恰好抵銷變動成本 $8Q$，但仍須負擔固定成本 $800$，因此利潤為：

$\pi=-800$

選項分析

(a) the firm's profits will be zero.

錯誤。價格等於邊際成本只代表總收益剛好抵銷變動成本，廠商仍須支付固定成本 $800

核心觀念

本題考查：

• 生產可能性與時間配置
• 機會成本
• 競爭市場下的預算線
• $U(F,C)=FC$ 的效用最大化

Robinson 每天有 $10$ 小時：

• 每小時可捕魚 $3$ 條，因此魚的生產力為 $3$
• 每小時可採椰子 $6$ 顆，因此椰子的生產力為 $6$

魚的機會成本為：

$$\frac{6\text{ 顆椰子}}{3\text{ 條魚}}=2$$

也就是每增加 $1$ 條魚，必須放棄 $2$ 顆椰子。因此，若椰子價格為 $1$，魚的價格必須為：

$$p_F=2$$

解題方法一：直接由生產可能性求最適消費

設捕魚時間為 $t$ 小時，則採椰子時間為 $10-t$ 小時。

因此：

$$F=3t$$ $$C=6(10-t)$$

效用為：

$$U(F,C)=FC=3t\cdot 6(10-t)$$ $$U(t)=18t(10-t)$$

展開並微分：

$$U(t)=180t-18t^2$$ $$U'(t)=180-36t$$

令邊際效用為零：

$$180-36t=0$$ $$t=5$$

所以最適時間配置為捕魚 $5$ 小時、採椰子 $5$ 小時。最適消費為：

$$F=3(5)=15$$ $$C=6(5)=30$$

解題方法二：轉換成競爭市場的預算線

若將全部時間用於採椰子，每天可生產 $60$ 顆椰子。由於椰子價格為 $1$，所得為：

$$I=60$$

魚的相對價格必須等於其機會成本：

$$p_F=\frac{6}{3}=2$$

因此市場預算線為：

$$2F+C=60$$

對於效用函數 $U=FC$，最適消費會使支出平均分配在兩種商品上：

$$p_FF=p_CC=\frac{I}{2}=30$$

所以：

$$2F=30\Rightarrow F=15$$ $$C=30$$

核心觀念

本題考的是：

• 納許均衡（Nash equilibrium）
• 純策略均衡與混合策略均衡
• 混合策略均衡的無差異條件（indifference condition）
• 最佳回應（best response）

在混合策略均衡中，只要某玩家以正機率混合使用兩種策略，則對手所採用的機率必須使該玩家在兩種策略之間無差異。

令玩家的策略為：

• $S$：Swerve，轉向
• $D$：Drive Straight，直行

報酬矩陣為：

	對手 $S$	對手 $D$
自己 $S$	$(0,0)$	$(0,32)$
自己 $D$	$(32,0)$	$(-48,-48)$

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解題方法：先確認純策略均衡

若對手選擇 $S$：

• 自己選 $S$ 得 $0$
• 自己選 $D$ 得 $32$

因此最佳回應是 $D$。

若對手選擇 $D$：

• 自己選 $S$ 得 $0$
• 自己選 $D$ 得 $-48$

因此最佳回應是 $S$。

所以兩個純策略均衡為：

$$(D,S),\qquad (S,D)$$

這與題目所述的「有兩個純策略均衡」一致。

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求混合策略均衡

設對手選擇 Swerve 的機率為 $p$，選擇 Drive Straight 的機率為 $1-p$。

自己選擇 Swerve 時，不論對手採取何種策略，報酬皆為 $0$，因此：

$$EU(S)=0$$

自己選擇 Drive Straight 時：

• 對手以機率 $p$ 轉向，自己得到 $32$
• 對手以機率 $1-p$ 直行，自己得到 $-48$

因此：

$$EU(D)=32p+(-48)(1-p)$$

整理得：

$$EU(D)=32p-48+48p=80p-48$$

混合策略均衡要求玩家在 $S$ 與 $D$ 之間無差異：

$$EU(S)=EU(D)$$

因此：

$$0=80p-48$$ $$80p=48$$ $$p=0.60$$

所以每位玩家都應：

$$P(S)=0.60,\qquad P(D)=0.40$$

此時：

$$EU(S)=0$$

且：

$$EU(D)=32(0.6)-48(0.4)=19.2-19.2=0$$

兩種策略確實具有相同期望報酬，故構成混合策略均衡。

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核心觀念

本題考查：

• 負外部性與外部成本；
• 單一所有權下的聯合利潤極大化；
• 損害賠償制度下，外部成本由造成損害的一方負擔；
• 利潤極大化的一階條件。

機場班機數 $X$ 會降低住宅開發商的利潤，外部損害為 $XY$。因此，機場與住宅開發是否由同一家公司經營，會影響兩者是否將外部效果納入決策。

一、單一公司經營：求 $H_1$

若機場與住宅開發由同一家公司所有，公司會極大化總利潤：

$$\Pi=(22X-X^2)+(26Y-Y^2-XY)$$

對 $X$ 與 $Y$ 分別微分：

$$\frac{\partial \Pi}{\partial X}=22-2X-Y=0$$ $$\frac{\partial \Pi}{\partial Y}=26-2Y-X=0$$

整理得：

$$2X+Y=22$$ $$X+2Y=26$$

由第一式得：

$$Y=22-2X$$

代入第二式：

$$X+2(22-2X)=26$$ $$-3X=-18$$ $$X=6$$

因此：

$$Y=22-2(6)=10$$

所以：

$$H_1=10$$

二、獨立經營且機場支付損害賠償：求 $H_2$

1. 機場的決策

機場原本的利潤為：

$$22X-X^2$$

因為班機造成住宅開發商的損害 $XY$，機場必須支付該筆賠償，因此機場的淨利潤為：

$$\Pi_A=22X-X^2-XY$$

固定 $Y$ 下，機場選擇 $X$ 使利潤最大：

$$\frac{\partial \Pi_A}{\partial X}=22-2X-Y=0$$

因此：

$$2X+Y=22$$

2. 開發商的決策

開發商原本的利潤為：

$$26Y-Y^2-XY$$

但開發商會收到機場支付的損害賠償 $XY$，所以其總收入為：

$$\Pi_D=(26Y-Y^2-XY)+XY$$

損害與賠償相互抵銷：

$$\Pi_D=26Y-Y^2$$

因此開發商選擇 $Y$ 使下式最大：

核心觀念

本題考查公共財的效率供給條件。音樂是純公共財，三人可同時消費同一數量 $m$；餅乾是純私人財，每人的消費量分別為 $C_A,C_B,C_C$。

公共財的效率條件為 Samuelson 條件：

$$\sum_i MRS_{m,C_i}=MC_m$$

也就是三人對音樂的邊際替代率總和，等於增加一小時音樂所需的邊際成本。

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解題方法

每人的效用函數為：

$$U_i=C_i m$$

以 Albert 為例，其邊際效用為：

$$MU_{C_A}=\frac{\partial U_A}{\partial C_A}=m$$ $$MU_m=\frac{\partial U_A}{\partial m}=C_A$$

因此 Albert 願意以多少餅乾交換一小時音樂，即其邊際替代率為：

$$MRS_{m,C_A}=\frac{MU_m}{MU_{C_A}} =\frac{C_A}{m}$$

同理：

$$MRS_{m,C_B}=\frac{C_B}{m},\qquad MRS_{m,C_C}=\frac{C_C}{m}$$

三人的邊際替代率總和為：

$$\sum_i MRS_{m,C_i} =\frac{C_A+C_B+C_C}{m}$$

三人的總財富為：

$$30+50+20=100$$

音樂每小時成本為 $10$，因此資源限制為：

$$C_A+C_B+C_C+10m=100$$

整理得：

$$C_A+C_B+C_C=100-10m$$

代入 Samuelson 條件：

$$\frac{100-10m}{m}=10$$

解得：

$$100-10m=10m$$ $$100=20m$$ $$m=5$$

因此，效率的音樂消費量為 $5$ 小時。此時三人合計消費餅乾：

$$100-10(5)=50$$

亦可直接由總效用驗算。三人總效用為：

核心觀念

本題的核心觀念為勞動市場的信號發射模型（Spence Signaling Model）與完全競爭勞動市場中的均衡分析（Separating Equilibrium 與 Pooling Equilibrium）。

1. 完全競爭勞動市場定價原則：
   廠商為零利潤（或依邊際產出給薪）。

   • 若能完全區分勞工類型（Separating），各類勞工的工資等於其各自的邊際產出：$w_H = MP_H$、$w_L = MP_L$。
   • 若無法區分勞工類型（Pooling），所有勞工領取相同的平均邊際產出工資：$w_{\text{pool}} = \mathbb{E}[MP]$。

2. 信號成本（Signaling Cost）與單一交叉條件（Single-Crossing Property）：
   高生產力者的信號成本必須低於低生產力者，教育或受訓才能作為有效信號。

3. 分離均衡（Separating Equilibrium）的存在條件（激勵相容條件，Incentive Compatibility Constraint, IC）：
   要使「高生產力者發射信號（修課）、低生產力者不發射信號（不修課）」構成均衡，必須滿足：

   • 高生產力勞工的激勵相容條件（$IC_H$）：
     修課後的淨報酬 $\ge$ 不修課的淨報酬。
   • 低生產力勞工的激勵相容條件（$IC_L$）：
     不修課的淨報酬 $\ge$ 假裝為高生產力者（修課）的淨報酬。

4. 混同均衡（Pooling Equilibrium）檢驗：
   若所有人都不修課，市場給付平均工資。檢驗是否有任何類型有誘因偏離。

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解題方法

1. 整理題目基本參數

• 低生產力勞工（L型）：邊際產出 $MP_L = 10$，修個體經濟學之成本 $c_L = 9$。
• 高生產力勞工（H型）：邊際產出 $MP_H = 12$，修個體經濟學之成本 $c_H = 5$。
• 兩類勞工人口比例各半（$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$）。
• 若市場混同（所有人薪資相同），競爭市場給付的平均工資為： $$w_{\text{pool}} = 0.5 \times 10 + 0.5 \times 12 = 11$$

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2. 檢驗是否存在分離均衡（Separating Equilibrium）

在分離均衡中，廠商對修課者認定為高生產力並給予薪資 $w_H = 12$，對未修課者認定為低生產力並給予薪資 $w_L = 10$。

• 檢驗高生產力勞工（H型）的選擇：
  • 修課的淨收益： $$w_H - c_H = 12 - 5 = 7$$
  • 不修課的淨收益（被視為L型）： $$w_L = 10$$
  • 決策比較：因為 $10 > 7$（不修課的淨收益大於修課），高生產力勞工寧可不修課領 $$10$，也不願意花費 $$5$ 的成本去修課領 $$12$。
  • $IC_H

Friedman 規則是指貨幣供應量增長率應設定為零，或者更準確地說，應設定為一個使名目利率等於零的貨幣增長率。其核心思想是，通貨緊縮（或零通貨膨率）可以最小化貨幣持有成本，從而達到社會福利最大化。

Friedman 規則主張，為了使經濟達到最有效率的狀態，名目利率 (nominal interest rate, $i$) 應該為零。
根據費雪方程式 (Fisher Equation)，名目利率 $i$ 與實質利率 $r$ 和預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 之間的關係是：$i = r + \pi^e$。
如果名目利率 $i=0$，則 $0 = r + \pi^e$。
假設實質利率 $r$ 是由實質因素決定的，並且在長期內相對穩定（例如，由儲蓄和投資決定）。
如果 $r > 0$（這通常是預期的），那麼為了使 $i=0$，預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 必須是負數，即 $\pi^e = -r$。
負的預期通貨膨脹率意味著預期的通貨緊縮 (deflation)。

因此，如果實施 Friedman 規則，經濟將經歷通貨緊縮。

本題考驗在浮動匯率制度下，貨幣供給增加對國內利率和匯率的影響。這通常使用蒙代爾-弗萊明模型 (Mundell-Fleming Model) 或資產市場模型 (Asset Market Model) 來分析。

分析過程：

1. 貨幣供給增加對國內利率的影響：
   在貨幣市場上，貨幣供給增加（假設貨幣需求不變）會導致貨幣供給曲線右移。在 LM 曲線 (LM curve) 上，這會使 LM 曲線右移。對於給定的總體經濟狀況，貨幣供給的增加會降低均衡名目利率。

   • 詳細解釋： 貨幣供給增加，意味著市場上的貨幣量變多。在其他條件不變的情況下，貨幣的「價格」（即利率）會下降，以刺激人們持有更多的貨幣。因此，國內利率會下降。

2. 國內利率下降對匯率的影響（在浮動匯率下）：

   • 利率平價條件 (Interest Parity Condition)： 在開放經濟體系下，國際資本會流向利率較高的國家。

本題考驗經常帳戶順差 (Current Account Surplus) 對總體經濟的影響。經常帳戶順差表示一個國家在國際貿易和投資中的淨資產增加。

經常帳戶順差的含義：
經常帳戶順差意味著一個國家的出口收入大於進口支出，或者說，該國對外淨借出資金（或淨投資於國外）。
經常帳戶順差 (CA Surplus) = 淨國外借貸 (Net Foreign Lending) > 0。
這表示該國的總儲蓄 (Savings, S) 大於國內投資 (Investment, I)。
$S - I = CA$。
所以，CA Surplus 表示 $S > I$。

經常帳戶順差的主要影響：

1. 對消費的影響： 當一個國家儲蓄大於投資時，它可以用這部分額外的儲蓄來對外投資，或者允許國內的居民和企業以較低的利率獲得資金（因為有外部資金流入或本國資金流出）。
   • 平滑消費 (Smoothing Consumption)： 經常帳戶順差允許一個國家在面對短期衝擊（如經濟衰退、自然災害）時，通過向國外借款或動用對外資產來維持國內的消費水平。反之，經常帳戶逆差則表示該國在消費時是借款的，這也可能用於平滑消費。
   • 更直接的影響： 經常帳戶順差意味著該國正在積累對外淨資產。這意味著該國的國民（包括政府、企業和個人）在未來可以獲得更多的淨收入。這可以支持未來的消費和投資。

Seigniorage 是指政府通過發行貨幣而獲得的收入。
當政府發行貨幣，其面值（名義價值）通常高於印刷和鑄造這些貨幣的實際成本。這個差額就是政府通過發行貨幣所獲得的收入。

詳細解釋：

1. 發行貨幣的成本： 印刷紙幣和鑄造硬幣需要實際的生產成本，例如紙張、油墨、金屬、設計、印刷過程等。
2. 貨幣的面值： 政府發行的貨幣具有法定的面值，例如一張 100 元的紙幣，其面值是 100 元。
3. Seigniorage 的來源： Seigniorage 是面值與生產成本之間的差額。例如，如果印刷一張 100 元紙幣的成本是 5 元，那麼政府就通過發行這張紙幣獲得了 95 元的 seigniorage。
4. 與通貨膨脹的關係： 政府可以通過增加貨幣供應量來獲取 seigniorage。

本題考驗勞動供給曲線的斜率，以及收入效應 (Income Effect) 和替代效應 (Substitution Effect) 在短期和長期中的作用。

勞動供給曲線與工資的關係：
勞動供給曲線描述了勞動者在不同實質工資率下願意提供的勞動量。
通常，勞動供給曲線向上傾斜，表示工資越高，勞動者越願意工作。
然而，在某些情況下，勞動供給曲線可能向後彎曲 (backward-bending)，表示在達到某個工資水平後，工資進一步提高反而會導致勞動者提供的勞動量減少。

收入效應與替代效應：
當實質工資率發生變化時，會產生兩種效應：

1. 替代效應 (Substitution Effect)： 工資提高，意味著休閒 (leisure) 的機會成本增加。勞動者會傾向於用休閒來替代工作，即增加工作時間。替代效應總是使得工資提高時，勞動供給增加。
2. 收入效應 (Income Effect)： 工資提高，意味著勞動者的實際收入增加。如果休閒是一種正常品 (normal good)，那麼收入增加會使得勞動者願意購買更多的休閒，即減少工作時間。收入效應總是使得工資提高時，勞動供給減少。

勞動供給曲線的斜率：
勞動供給曲線的最終斜率取決於替代效應和收入效應的相對大小。

• 向上傾斜的勞動供給曲線： 替代效應大於收入效應。工資提高導致工作時間增加。
• 向後彎曲的勞動供給曲線： 在某個點之後，收入效應大於替代效應。工資提高反而導致工作時間減少。

題目要求：
題目問的是「當前時期勞動供給與當前時期實質工資正相關」的假設（即勞動供給曲線向上傾斜）是如何被證明的。
這意味著，在工資提高時，勞動者提供的勞動量增加。
這發生在替代效應大於收入效應時。

核心觀念

Interest rate spread（利率差、利差）是指金融交易中兩種利率之間的差額。在銀行與金融中介的語境下，最常見的定義是：

$$\text{Interest rate spread} = \text{lending interest rate} - \text{borrowing interest rate}$$

其中：

• lending interest rate：金融機構貸款給借款人的利率。
• borrowing interest rate：金融機構取得資金或支付給資金提供者的利率。

利差反映金融機構提供金融中介服務的收益來源之一。若銀行貸款利率為 5%，資金取得成本為 2%，則利差為 3 個百分點。

解題方法

本題屬於定義辨識題，切入點是辨別「一般利差」與其他特定利率差異的名稱。

題目直接詢問 interest rate spread 的通常意義。金融學與銀行學中，利率差通常指：

$$\text{貸款利率} - \text{借款或資金成本利率}$$

因此，最符合標準定義的是「lending and borrowing interest rates 之間的差異」。

【答案】為 (b)。

選項分析

(a) the difference between long-term and short-term interest rates.

長期利率與短期利率之間的差異，稱為 term spread（期限利差），常表示為：

$$\text{Term spread} = \text{長期利率} - \text{短期利率}$$

這是利差的一種特殊形式，但不是本題所指的通常定義，因此錯誤。

(b) the difference between lending and borrowing interest rates.

本題考驗跨期選擇模型中，消費平滑 (Consumption Smoothing) 的概念如何體現在消費者行為中。

跨期選擇模型：
消費者在不同時期（例如，現在和未來）之間分配其資源（收入或財富），以最大化其跨期總效用。

消費平滑 (Consumption Smoothing)：
消費者希望將其消費在不同時期內盡可能地保持穩定，而不是在某一時期消費很高，而在另一時期消費很低。這是因為邊際效用遞減的原理：消費越高，邊際效用越低。因此，將消費從高邊際效用的時期轉移到低邊際效用的時期，可以提高總效用。

消費平滑如何在模型中體現：

1. 消費者無異曲線的曲率 (Curvature of Indifference Curves)：
   • 在跨期選擇模型中，無異曲線表示在不同時期消費組合下，消費者獲得相同總效用的組合。
   • 如果消費者希望平滑消費，他們會傾向於在兩個時期之間進行交換，以使消費水平趨於平均。
   • 這意味著，如果一個時期的消費遠高於另一個時期，他們願意放棄一些高消費時期的消費，以換取低消費時期消費的增加。
   • 這種跨期交換的意願，以及他們對消費差異的厭惡程度，體現在無異曲線的斜率和曲率上。
   • 更深的曲率 (Higher curvature) 意味著消費者對消費波動更為厭惡，更傾向於消費平滑。他們願意為獲得更平滑的消費路徑而支付更高的代價（例如，接受較低的總效用）。

本題考驗影響全要素生產率 (Total Factor Productivity, TFP) 的因素。全要素生產率衡量的是經濟體系中所有要素（如勞動和資本）的投入效率，即在給定要素投入下所能產生的產出量。它反映了技術水平、管理效率、制度環境等綜合因素。

影響 TFP 的因素：

• 技術進步 (Technological Progress)： 包括研發投入、新技術的創造和應用。
• 學習效應 (Learning by Doing)： 隨著生產經驗的積累，生產效率會提高。
• 人力資本 (Human Capital)： 勞動力的教育水平、技能和健康狀況。
• 制度和政策 (Institutions and Policies)： 包括產權保護、法律體系、市場開放程度、貿易政策、金融市場發展、政府監管等。
• 資源配置效率 (Efficiency of Resource Allocation)： 要素在不同部門、不同企業之間的配置效率。
• 規模經濟 (Economies of Scale)。

選項分析：
(a) differences in the size of population:
* 人口規模本身並不直接決定 TFP。雖然人口規模可能影響某些因素（如市場規模、勞動力供給、研發投入的潛在規模），但它不是 TFP 的直接決定因素。
* 例如，一個人口眾多但技術落後、制度效率低下的國家，其 TFP 可能遠低於一個人口較少但技術先進、制度完善的國家。
* 因此，人口規模的差異本身不必然導致 TFP 的差異。

本題考驗宏觀經濟學中，用於預測經濟變量的指標類別。

指標的分類：
在宏觀經濟分析中，我們經常使用各種經濟指標來監測和預測經濟狀況。這些指標根據其與經濟週期（特別是實際 GDP 的變動）的相對時間關係，可以分為幾類：

1. 先行指標 (Leading Indicators)：

   • 這些指標的變動往往發生在整體經濟（例如實際 GDP）變動之前。
   • 它們能夠預示未來經濟活動的趨勢。
   • 例子：建築許可申請數量、股票價格、消費者信心指數、新訂單指數。

2. 同步指標 (Coincident Indicators)：

   • 這些指標的變動與整體經濟的變動大致同時發生。
   • 它們反映了當前經濟活動的狀況。
   • 例子：工業生產指數、個人收入、非農業部門就業人數。

本題考驗跨期選擇模型中，終身所得 (Lifetime Income) 的計算。終身所得是指一個人一生中預期可以獲得的總收入，折算到現值。

在一個兩期模型中（第一期和第二期），假設：

• 第一期收入為 $Y_1$，稅收為 $T_1$。
• 第二期收入為 $Y_{t+1}$ (題目中的 $Y_{t+1}$ 應為 $Y_2$)，稅收為 $T_{t+1}$ (題目中的 $T_{t+1}$ 應為 $T_2$)。
• 實質利率為 $r$。

終身所得 $W$ 通常是指將未來所有期的收入折算到現值（第一期）的總和。
在兩期模型中，終身所得 $W$ 是第一期淨收入加上第二期淨收入的現值。

第一期淨收入 = $Y_1 - T_1$。
第二期淨收入 = $Y_{t+1} - T_{t+1}$ (這裡我們假設 $t+1$ 指的是第二期)。
將第二期淨收入折算到第一期（現值）的公式是：$\frac{Y_{t+1} - T_{t+1}}{1+r}$。

因此，終身所得 $W$ 的計算公式是：
$W = (\text{第一期淨收入}) + (\text{第二期淨收入的現值})$
$W = (Y_1 - T_1) + \frac{Y_{t+1} - T_{t+1}}{1+r}$。

核心觀念

本題考查兩期消費選擇模型。在利率為 $0$、兩期總資源為 $W$，且效用函數為

$$U(c_t,c_{t+1})=\ln c_t+\beta\ln c_{t+1},\qquad 0<\beta<1$$

時，消費者會在兩期之間配置資源，使總效用最大。

預算限制為

$$c_t+c_{t+1}=W。$$

其中，$\beta$ 為未來效用的折現因子；$\beta$ 越大，表示越重視下一期消費。

解題方法

將預算限制代入效用函數：

$$U(c_t)=\ln c_t+\beta\ln(W-c_t)。$$

對 $c_t$ 微分並令一階條件為零：

$$\frac{dU}{dc_t} =\frac{1}{c_t}-\frac{\beta}{W-c_t}=0。$$

因此，

$$\frac{1}{c_t}=\frac{\beta}{W-c_t}。$$

交叉相乘：

$$W-c_t=\beta c_t。$$

整理得：

$$W=(1+\beta)c_t，$$

所以當期最適消費為

$$c_t^*=\frac{W}{1+\beta}。$$

再由預算限制求得下一期消費：

$$c_{t+1}^* =W-c_t^* =W-\frac{W}{1+\beta} =\frac{\beta W}{1+\beta}。$$

故最適消費組合為

$$(c_t^*,c_{t+1}^*) = \left( \frac{W}{1+\beta}, \frac{\beta W}{1+\beta} \right)。$$

選項分析

• (a)

$$\left(\frac{\beta W}{1+\beta},\frac{(1+\beta)W}{1+\beta}\right) = \left(\frac{\beta W}{1+\beta},W\right)$$

第一項與正確答案不符，且兩期消費總和為