114 年 國立臺灣大學商學研究所甲組《經濟學（A）》

本題考驗個人跨期消費決策中的借貸限制。

假設今年的消費為 $C_1$，明年的消費為 $C_2$。
你今年擁有的所得為 $Y_1 = 100$。
你明年將獲得的所得為 $Y_2 = 120$。
市場利率為 $r = 25\% = 0.25$。
這表示將 1 元存入銀行，明年可得 $1.25$ 元；反之，可以借入 1 元，明年需償還 $1.25$ 元。
你的生命在明年結束，故所有借貸皆需在明年償還。

借貸限制（Budget Constraint）可以表示為：
$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$

在不考慮任何借貸的情況下，你今年的消費能力是 $Y_1 = 100$。
如果你想借錢，你今年的消費 $C_1$ 可以超過 $Y_1$。
假設你今年借了 $B$ 元（$B>0$）。則今年你的可用資金為 $Y_1 + B = 100 + B$。

核心觀念

本題測驗跨期消費理論（Intertemporal Consumption Choice）中「利率變動對消費者福利（效用水準）的影響」，核心概念包含：

1. 跨期預算限制式（Intertemporal Budget Constraint）：
   以現值表示： $$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$$ 其中 $C_1, C_2$ 為第一期與第二期的消費，$Y_1, Y_2$ 為第一期與第二期的稟賦（所得），$r$ 為實質利率。
2. 稟賦點（Endowment Point）與身分判定：
   • 若 $C_1^* < Y_1$：第一期儲蓄，為「借出者／儲蓄者」（Lender / Saver）。
   • 若 $C_1^* > Y_1$：第一期借款，為「借入者／借貸者」（Borrower）。
3. 顯示性偏好（Revealed Preference）與效用變動：
   當利率 $r$ 上升時，跨期預算線會以「稟賦點 $(Y_1, Y_2)$」為支點順時針旋轉（斜率絕對值 $1+r$ 變陡）：
   • 若消費者為借入者，原消費點落在新的預算集合之外，但仍可能受到負向福利衝擊；當其維持借款時效用必下降。
   • 若消費者為儲蓄者，原消費組合依然在新預算集合內部或邊界，由顯示性偏好可知其效用必定提升（至少不低於原水準）。

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解題方法

1. 資訊檢驗：
   題目僅提供原最適消費組合 $(C_1^*, C_2^*) = (100, 120)$ 以及利率上升至 $30\%$。
   然而，跨期預算限制式的樞軸點是稟賦點 $(Y_1, Y_2)$，消費者的福利變化取決於其在利率變動前的身分：
   • 情況一（儲蓄者）：若稟賦為 $(Y_1, Y_2) = (150, 65)$，則 $C_1^* = 100 < Y_1$，消費者為儲蓄者。利率上升時，預算線順時針旋轉，原點 $(100, 120)$ 位於新預算集合的嚴格內部，消費者必定能達到更高的無異曲線，效用增加（Utility increases）。
   • 情況二（借入者）：若稟賦為 $(Y_1, Y_2) = (50, 175)$，則 $C_1^* = 100 > Y_1$，消費者為借入者。

本題考驗壟斷廠商在多市場定價與產量決策。壟斷者在不同市場銷售時，會選擇使各市場的邊際收益（MR）等於總邊際成本（MC），且各市場的邊際收益相等。

首先，我們需要導出兩個市場的總收益（TR）及其邊際收益（MR）。
市場 1：
逆需求函數：$P_1 = 120 - Q_1$
總收益：$TR_1 = P_1 \times Q_1 = (120 - Q_1) Q_1 = 120Q_1 - Q_1^2$
邊際收益：$MR_1 = \frac{dTR_1}{dQ_1} = 120 - 2Q_1$

市場 2：
逆需求函數：$P_2 = 60 - 0.5Q_2$
總收益：$TR_2 = P_2 \times Q_2 = (60 - 0.5Q_2) Q_2 = 60Q_2 - 0.5Q_2^2$
邊際收益：$MR_2 = \frac{dTR_2}{dQ_2} = 60 - Q_2$

壟斷者的總產量為 $Q = Q_1 + Q_2$。
總邊際成本函數為：$MC = \frac{2}{9}Q = \frac{2}{9}(Q_1 + Q_2)$。

壟斷者追求利潤最大化，會使各市場的邊際收益相等，且等於總邊際成本。
條件為：$MR_1 = MR_2 = MC$

我們從 $MR_1 = MR_2$ 開始：
$120 - 2Q_1 = 60 - Q_2$
$Q_2 = 2Q_1 - 60$ (式 1)

本題要求計算在利潤最大化產量點時，兩市場的需求價格彈性的絕對值。

首先，我們需要回顧第 3 題的結果：
利潤最大化產量為 $Q_1 = 50$ 和 $Q_2 = 40$。

接下來，我們需要計算對應的價格 $P_1$ 和 $P_2$。
市場 1：$P_1 = 120 - Q_1 = 120 - 50 = 70$。
市場 2：$P_2 = 60 - 0.5Q_2 = 60 - 0.5(40) = 60 - 20 = 40$。

需求價格彈性（Price Elasticity of Demand）的公式為：
$\varepsilon = \frac{dQ}{dP} \times \frac{P}{Q}$

我們需要先求出需求函數的導數 $\frac{dQ}{dP}$。
市場 1 的逆需求函數是 $P_1 = 120 - Q_1$。
將其轉換為需求函數：$Q_1 = 120 - P_1$。
因此，$\frac{dQ_1}{dP_1} = -1$。

市場 2 的逆需求函數是 $P_2 = 60 - 0.5Q_2$。
將其轉換為需求函數：$0.5Q_2 = 60 - P_2 \implies Q_2 = 120 - 2P_2$。
因此，$\frac{dQ_2}{dP_2} = -2$。

現在，我們計算兩個市場在利潤最大化點的彈性：

市場 1 的彈性 $|\varepsilon_1|$：
$\varepsilon_1 = \frac{dQ_1}{dP_1} \times \frac{P_1}{Q_1} = (-1) \times \frac{70}{50} = -1.4$。
彈性的絕對值 $|\varepsilon_1| = 1.4$。

市場 2 的彈性 $|\varepsilon_2|$：
$\varepsilon_2 = \frac{dQ_2}{dP_2} \times \frac{P_2}{Q_2} = (-2) \times \frac{40}{40} = -2$。
彈性的絕對值 $|\varepsilon_2| = 2$。

所以，兩個市場在利潤最大化點的價格彈性絕對值分別為 $|\varepsilon_1| = 1.4$ 和 $|\varepsilon_2| = 2$。

我們檢查選項：
(a) $|\varepsilon_1| = 1$ and $|\varepsilon_2| = 1.5$

本題考驗壟斷廠商的產量與價格決定。壟斷廠商會選擇使邊際收益（MR）等於邊際成本（MC）的產量，然後根據需求曲線決定價格。

給定的逆需求函數為：$P = 6 - 0.2Q$
給定的邊際成本為：$MC = 2$ (因為是常數，所以總邊際成本函數為 $MC = 2$)

首先，計算總收益（TR）：
$TR = P \times Q = (6 - 0.2Q)Q = 6Q - 0.2Q^2$

接著，計算邊際收益（MR）：
$MR = \frac{dTR}{dQ} = 6 - 0.4Q$

為了找到利潤最大化的產量，我們令 $MR = MC$：
$6 - 0.4Q = 2$
$4 = 0.4Q$
$Q = \frac{4}{0.4} = \frac{4}{4/10} = 4 \times \frac{10}{4} = 10$

本題考驗政府干預市場（從壟斷轉為競爭，但設有數量限制）造成的無謂損失（deadweight loss, DWL）。

首先，我們需要確定在競爭市場下的均衡點。
競爭市場的特徵是價格等於邊際成本。
逆需求函數：$P = 6 - 0.2Q$
邊際成本：$MC = 2$
在競爭市場下，均衡價格 $P_{comp}$ 和均衡產量 $Q_{comp}$ 滿足 $P_{comp} = MC$。
$6 - 0.2Q_{comp} = 2$
$0.2Q_{comp} = 4$
$Q_{comp} = \frac{4}{0.2} = 20$ 加侖。
均衡價格 $P_{comp} = 2$ 元。

然而，政府由於短缺，將總供應量限制在 $Q_{limit} = 15$ 加侖。
政府將此 15 加侖以「市場價格」分配。這裡的「市場價格」應該是指在競爭下的價格 $P_{comp} = 2$。
雖然題幹說「市場價格」，但更準確的理解是，政府設定了一個最高供應量，並且在該供應量下進行分配。

在競爭市場下，若無限制，均衡產量為 20 加侖，價格為 2 元。
在 $Q=20$ 時，需求曲線上的價格為 2 元。
在 $Q=15$ 時，需求曲線上的價格為 $P = 6 - 0.2(15) = 6 - 3 = 3$ 元。
在 $Q=15$ 時，邊際成本為 $MC = 2$ 元。

由於政府限制供應量為 15 加侖，而競爭市場的潛在均衡產量是 20 加侖，這表示政府的供應限制低於了社會的有效需求。
在 $Q = 15$ 的產量水平，消費者願意支付的最高價格是 3 元（來自需求曲線），而生產該單位的邊際成本是 2 元。
如果政府允許市場自由運作（只要不超過 15 加侖），價格會上升到 3 元。

然而，題幹說「政府分配 an equal amount per week to each of the randomly selected consumer at the market price」。
這裡的「market price」是指競爭下的價格 2 元，還是指在 15 加侖限制下的價格 3 元，或者是指政府強加的某個價格？

本題考驗外部性（externality）的圖形判讀，特別是負外部性（negative externality）造成的社會成本。

圖中：

• 需求曲線 (D) 代表產品的邊際效益（Marginal Benefit, MB），由於是競爭產業，這也代表邊際私人效益（Marginal Private Benefit, MPB）。
• $MC_{private}$ 代表廠商生產產品的邊際私人成本（Marginal Private Cost, MPC）。
• $MC_{social}$ 代表生產產品的邊際社會成本（Marginal Social Cost, MSC）。
• $MSC = MPC + MEC$，其中 $MEC$ 是邊際外部成本（Marginal External Cost）。

外部性造成的總成本，通常體現在社會邊際成本與私人邊際成本之間的差異。
在圖形中，$MC_{social}$ 在 $MC_{private}$ 之上，這表示存在正的邊際外部成本（即污染造成的額外成本）。
$MEC(Q) = MC_{social}(Q) - MC_{private}(Q)$。

問題要求的是「total externality caused by the production」，在沒有政府干預的情況下。
這通常是指在市場均衡產量下，由外部性造成的總損失。
在競爭市場中，廠商的生產決策是基於私人邊際成本，所以均衡產量會落在 $D$（或 $MPB$）與 $MC_{private}$ 的交點。
圖中，需求曲線 (D) 與 $MC_{private}$ 的交點是 $B$。對應的產量是 $Q_B$。

然而，題目問的是「total externality caused by the production」，並且提到「政府不 impose any tax」。
這暗示我們要考慮的是，在某個產量水平下，由外部性造成的總成本。
通常，外部性造成的總成本，是指從 0 產量到某個產量水平，邊際外部成本（MEC）的累積總和。
累積的邊際外部成本就是總外部成本。

在圖中，邊際外部成本 $MEC(Q)$ 就是 $MC_{social}(Q) - MC_{private}(Q)$。
這在圖上是垂直距離，也就是 $MC_{social}$ 和 $MC_{private}$ 之間的區域。
從產量 0 到 $Q_B$（競爭市場均衡點），總外部成本就是曲線 $CH$ (或 $BG$) 下方、曲線 $BF$ (或 $BE$) 上方的區域。
這個區域是 $C+D+G+H$。

然而，題目問的是「total externality caused by the production」。
最常見的解讀是，在社會最優產量下的外部性總量，或是市場均衡產量下的外部性總量。
在競爭市場中，均衡產量是 $Q_B$，此時的價格為 $P_B$。
在 $Q_B$ 處，邊際外部成本是 $H$（$MC_{social}$ 和 $MC_{private}$ 的垂直距離）。

核心觀念

本題考的是「外部成本、皮古稅與搬遷決策」的比較。

皮古稅使廠商將鄰居承受的外部成本納入生產決策，因此原本的產量為課稅均衡產量 $Q_0$。當皮古稅取消後，廠商的私人成本下降，產量增加至 $Q_1$，且 $Q_1>Q_0$。

鄰居是否搬遷，取決於：

• 留在原地所承受的污染損害；
• 搬遷所需支付的成本。

若搬遷成本高於留在原地的損害，鄰居會留下；若搬遷成本低於留在原地的損害，鄰居會搬走。

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解題方法

設搬遷成本為 $M$。

1. 皮古稅存在時

在原本的皮古稅制度下，鄰居一直住在廠商附近，表示搬遷成本至少不低於原產量 $Q_0$ 所造成的污染損害。

由圖中面積表示，原本的外部損害為：

$$C+G$$

因此：

$$M>C+G$$

2. 皮古稅取消後

皮古稅取消，產量由 $Q_0$ 增加至 $Q_1$。污染損害除了原本的 $C+G$ 外，還增加了由產量增加所造成的 $D+H$：

$$\text{新的污染損害} = C+G+D+H$$

題目說鄰居全部搬走，表示搬遷成本低於搬遷前在 $Q_1$ 產量下所承受的污染損害。因此：

$$M<C+G+D+H$$

綜合兩個條件：

$$C+G<M<C+G+D+H$$

所以搬遷成本必須大於 $C+G$，但小於 $C+G+D+H$。

核心觀念

1. 生產效率（Production Efficiency）與成本極小化（Cost Minimization）：
   在達成給定的總產量目標（$Q_a + Q_b = Q = 25$）且生產要素不受限的前提下，生產效率要求整個體系的總生產成本極小化： $$\min_{Q_a, Q_b \ge 0} TC = TC_a(Q_a) + TC_b(Q_b) \quad \text{s.t.} \quad Q_a + Q_b = 25$$
2. 邊際成本比較法（Marginal Cost Comparison）與角解（Corner Solution）：
   • 當廠商的邊際成本（$MC$）為常數且不相等時，最適分配原則是「優先分配給邊際成本較低的廠商生產」。
   • 若成本函數中含有固定成本（Fixed Cost），則需同時考量是否開工（即比較全由單一廠商生產的總成本，以及兩者共同分攤生產時的總成本）。

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解題方法

步驟一：計算兩廠商的邊際成本與總成本結構

由題意已知兩廠商生產蘋果的總成本函數為：

• 廠商 A： $$TC_a(Q_a) = 100Q_a \implies MC_a = \frac{dTC_a}{dQ_a} = 100$$
• 廠商 B： $$TC_b(Q_b) = 30 + 5Q_b \implies MC_b = \frac{dTC_b}{dQ_b} = 5$$ （當 $Q_b > 0$ 時產生固定成本 30；若 $Q_b = 0$ 且為長期決策則成本為 0，但在本題任何情況下比較如下）。

步驟二：比較可能的產量分配策略之總成本

目標為總產量 $Q_a + Q_b = 25$。由於 $MC_b = 5 \ll MC_a = 100$，B 的每一單位邊際生產成本皆遠低於 A。

1. 若全部由 B 生產（$Q_a = 0, Q_b = 25$）：

   $$TC = TC_a(0) + TC_b(25) = 0 + (30 + 5 \times 25) = 30 + 125 = 155$$

2. 若全部由 A 生產（$Q_a = 25, Q_b = 0$）：

   $$TC = TC_a(25) + TC_b(0) = 100 \times 25 + 0 = 2500$$

3. 若由 A 與 B 共同生產（$Q_a > 0$ 且 $Q_b > 0$，其中 $Q_a + Q_b = 25$）：

本題考驗生產可能性曲線（PPC）的形狀，以及其與機會成本的關係。

PPC 代表一個生產者（或一個經濟體）在資源有限的情況下，可以生產的兩種產品的所有可能組合。
PPC 的斜率代表了其中一種產品的機會成本（以另一種產品衡量）。

題目給定 B 的總成本函數，用於生產蘋果：$TC_b = 30 + 5Q_b$。
這意味著 B 生產蘋果的邊際成本（MC）是固定的，即 $MC_b = 5$。

題目要求 B 生產橙子（Y 軸）和蘋果（X 軸）的 PPC 形狀。
我們需要知道 B 生產橙子的邊際成本。
雖然題目沒有直接給出 B 生產橙子的成本函數，但它提到「A's and B's inputs can be used to produce oranges, also in a competitive market」。
並且，在第 9 題中，我們發現 B 生產蘋果的邊際成本是 5。

如果 B 生產蘋果的邊際成本是固定的 5，這意味著生產一個蘋果所花費的資源（例如勞動、資本等）是恆定的。
假設 B 擁有的總資源是固定的。
如果 B 用這些資源生產蘋果，其邊際成本是 5。
如果 B 用這些資源生產橙子，其機會成本是多少？

通常，PPC 的斜率代表了機會成本。
如果 PPC 是線性的（直線），則機會成本是恆定的。
如果 PPC 是非線性的（曲線），則機會成本是變動的。

在第 9 題中，我們得知 B 生產蘋果的邊際成本是 5。
這暗示 B 生產蘋果的機會成本是恆定的。
如果 B 生產蘋果的機會成本是恆定的，那麼 PPC 的斜率也是恆定的。
這意味著 PPC 應該是一條直線。

PPC 的斜率是負的，因為為了生產更多的一種產品，必須放棄生產另一種產品。
所以，PPC 應該是一條向下傾斜的直線。

為什麼 PPC 是線性的？
這通常發生在：

1. 邊際轉換率（Marginal Rate of Transformation, MRT）是恆定的。
2. 邊際轉換率是兩種產品邊際成本之比。
   $MRT_{apple, orange} = \frac{MC_{apple}}{MC_{orange}}$。

本題考驗公共財（public good）的供給決定，以及社會最適產量的計算。

公共財的特徵是「非敵對性」（non-rivalrous）和「非排他性」（non-excludable）。
對於公共財，其社會最適供給量是在社會邊際效益（SMB）等於社會邊際成本（SMC）時達到的。
對於只有兩位居民 A 和 B 的公共財，社會邊際效益是他們各自需求曲線（願意支付的價格）的垂直加總。
社會邊際成本就是供給曲線的邊際成本。

首先，我們需要將個人的需求函數（價格對數量的函數）轉換為邊際效益函數（數量對價格的函數）。
A 的需求函數：$Q_a = 100 - P_a$。轉換為 A 願意支付的價格（邊際效益）：$P_a = 100 - Q_a$。
由於 A 願意支付的價格代表其對第 $Q_a$ 個單位的邊際效益，我們可以用 $MB_a$ 表示：$MB_a(Q) = 100 - Q$。

B 的需求函數：$Q_b = 50 - 0.5P_b$。轉換為 B 願意支付的價格（邊際效益）：$0.5P_b = 50 - Q_b \implies P_b = 100 - 2Q_b$。

本題要求計算在第 11 題確定的社會最適產量下，第 x 個街燈的總支付意願。
社會最適產量是 $Q^* = 40$（由第 11 題計算得出）。
因此，x = 40。

「第 x 個街燈」指的是邊際上的街燈。
對於公共財，個人願意支付的價格代表他們對該公共財的邊際效益。
社會總支付意願（即社會邊際效益 SMB）是所有受益者願意支付的價格的總和。
SMB = $MB_a(Q) + MB_b(Q)$。

在第 11 題的計算中，我們導出了 SMB 函數：
SMB = $200 - 3Q$。

核心觀念

街燈具有公共財性質，最適數量由「邊際社會效益」等於「邊際成本」決定：

$$MSB(Q^*)=MC(Q^*)$$

最適數量下的總剩餘為總效益減總成本：

$$TS(Q^*)=TB(Q^*)-TC(Q^*)$$

若以圖形表示，總剩餘就是從 $0$ 到 $Q^*$ 之間，邊際社會效益曲線下方、邊際成本曲線上方的面積。

解題方法

題目僅提供問題文字與選項，未提供街燈的邊際社會效益函數、邊際成本函數、需求曲線、成本曲線或相關圖形。因此無法求出最適數量 $Q^*$，也無法計算：

$$TS(Q^*)=\int_0^{Q^*}\bigl[MSB(Q)-MC(Q)\bigr]\,dQ$$

在缺少上述必要資料的情況下，$1250$、$2500$、$\frac{32500}{17}$ 與 $4750$ 均沒有可由題目內容支持的推導。若原試題前文另有提供函數或圖形，必須搭配前文資料計算；就目前完整呈現的資訊而言，正確選擇為「以上皆非」。

選項分析

本題考驗 GDP 的計算，特別是關於二手資產的交易以及租金收入。

GDP（國內生產毛額）衡量的是一個國家在一定時期內生產的所有最終商品和服務的市場價值。
GDP 的計算不包括二手資產的交易，因為這些資產的價值已經在它們首次生產的時期被計入 GDP。
但是，與這些資產相關的「服務」，例如租金收入，是當期 GDP 的一部分。

題目情境：

1. 2021 年初，公寓建成並以 500 萬美元售出。這 500 萬美元在 2021 年計入 GDP（作為投資或消費，取決於買家）。
2. 2022 年初，Trump 以 600 萬美元的價格購買了該公寓（二手交易）。這筆 600 萬美元的交易本身不計入 2022 年的 GDP，因為它不是當期生產的商品或服務。

本題考驗 GDP 的組成部分，特別是關於新建築物的銷售如何計入 GDP。

GDP 的計算方法有支出法，其組成部分包括：
$Y = C + I + G + (X-M)$
其中：

• C: 消費 (Consumption)
• I: 投資 (Investment)，包括固定資本形成總額（住宅、設備、建築物）、存貨變動和企業對知識產權產品的投資。
• G: 政府購買 (Government Purchases)
• (X-M): 淨出口 (Net Exports)

題目中提到「An apartment was built at the beginning of 2021 and sold at 5 million dollars immediately.」
這是一個新建造的公寓。
新建築物的建造被視為投資（I），具體來說是住宅投資。
公寓的銷售價格 500 萬美元代表了該公寓在 2021 年的生產價值。

如果該公寓是由個人購買用於自住，那麼這筆支出被計入消費（C）。
如果該公寓是由開發商購買並用於出租，或者作為企業的資產，那麼這筆支出被計入投資（I）。

核心觀念

本題考查「中央銀行貨幣」與「商業銀行存款創造」的區別。

商業銀行資產負債表必須符合：

$$\text{資產}=\text{負債}$$

銀行的資產包括：

• 法定準備金（Required Reserve）
• 超額準備金（Excess Reserve）
• 放款（Loan）

銀行的負債主要是存款（Deposit）。

因此，銀行持有的總準備金為：

$$\text{總準備金} = \text{法定準備金} + \text{超額準備金}$$

解題方法

題目指出中央銀行最初投入貨幣，且家庭不持有現金，所有貨幣都存入商業銀行。因此，中央銀行投入的貨幣最後表現在商業銀行的「準備金」項目中。

由資產負債表可得：

$$\text{總準備金}=600+150=750$$

銀行資產總額為：

$$750+14250=15000$$

負債為存款：

$$\text{Deposit}=15000$$

兩者相等，符合資產負債表平衡。

所以，中央銀行最初投入經濟體系的貨幣為：

$$\boxed{750}$$

題目選項中沒有 750，因此應選「以上皆非」。

選項分析

核心觀念

本題考查「存款創造乘數」與「貨幣供給」的關係。若只考慮法定準備率，且假設銀行沒有超額準備、民眾不持有現金，則貨幣乘數為：

$$m=\frac{1}{rr}$$

貨幣供給為：

$$M=m \times MB=\frac{MB}{rr}$$

其中：

• $M$：貨幣供給
• $MB$：貨幣基數（monetary base）
• $rr$：法定準備率（required reserve rate）

解題方法

題目給定：

$$rr=0.03$$

因此貨幣乘數為：

$$m=\frac{1}{0.03}=33.\overline{3}$$

本題題幹未提供貨幣基數。依選項設計，採用原題通常隱含的貨幣基數 $MB=750$：

$$M=\frac{750}{0.03}$$ $$M=25{,}000$$

因此正確選項為 $(e)$。

選項分析

• (a) 12500：錯誤。
  此數值不符合 $MB=750$ 且 $rr=0.03$ 時的貨幣供給計算。

本題考驗生產函數與 GDP 成長的關係，特別是資本存量變動對產出的影響，以及折舊率為零的假設。

生產函數為 $Y = A K^{1/3}H^{2/3}$。
其中 Y 是總產出 (GDP)，A 是技術水平，K 是資本存量，H 是生產效率單位。
題目假設資本折舊率為零，這意味著資本存量 K 在沒有額外投資的情況下不會減少。

2018 年，資本 K 增加了 6%。這是一次性的資本流入。
資本增加量為 $\Delta K_{2018}$。
假設 2017 年的資本存量為 $K_{2017}$。
那麼 $K_{2018} = K_{2017} \times (1 + 0.06)$。

題目問的是，資本流入對 2019 年的 GDP 成長的影響。
2018 年的資本增加是「一次性的」，並且「沒有發生在 2019 年」。
這意味著，在 2019 年，除了技術 A 和效率 H 可能的變動外，資本存量 K 相對於 2018 年沒有因為「資本流入」而進一步增加。
由於折舊率為零，2019 年的資本存量 $K_{2019}$ 將等於 2018 年的資本存量 $K_{2018}$，除非有其他因素（如投資或折舊）。
題目明確指出「capital influx was only a one-time shot, which did not happen in 2019」，且「capital depreciation rate is always zero」。
這意味著，2019 年的資本存量 $K_{2019}$ 相對於 2018 年的水平，沒有因為「資本流入」而增加。
也就是說，2019 年的資本存量 $K_{2019}$ 相對於 2018 年的水平，沒有因為「資本流入」而增加。

本題考驗生產函數的總成長分析，特別是利用對數微分法（或百分比變化）來計算產出成長率。

生產函數為 $Y = A K^{1/3}H^{2/3}$。
我們要計算 Y 的成長率，假設 H 保持不變。
對生產函數取自然對數：
$\ln Y = \ln A + \frac{1}{3}\ln K + \frac{2}{3}\ln H$

對時間 t 微分（或取百分比變化）：
$\frac{dY}{Y} = \frac{dA}{A} + \frac{1}{3}\frac{dK}{K} + \frac{2}{3}\frac{dH}{H}$
或者，用百分比符號表示：
$\%\Delta Y = \%\Delta A + \frac{1}{3}\%\Delta K + \frac{2}{3}\%\Delta H$

核心觀念

本題考查貨幣市場均衡與成長率分解。

均衡條件為：

$$\frac{M^s}{P}=\frac{M^d}{P}=A\frac{Y}{R}$$

其中：

• $M^s$：名目貨幣供給
• $P$：物價水準
• $M^s/P$：實質貨幣供給
• $Y$：實質所得
• $R$：名目利率
• $A$：貨幣需求的技術參數
• $\pi$：通貨膨脹率，即物價水準成長率
• $g_M$：名目貨幣供給成長率

解題方法

先將均衡式改寫為：

$$M^s=P\cdot A\frac{Y}{R}$$

兩邊取成長率，得到：

$$g_M=\pi+g_A+g_Y-g_R$$

因此，通貨膨脹率為：

$$\pi=g_M-g_A-g_Y+g_R$$

題目給定：

$$g_Y=4\%,\qquad g_R=0,\qquad g_A=-1\%$$

代入：

$$\pi=g_M-(-1\%)-4\%+0$$ $$\pi=g_M-3\%$$

令 $x$ 軸為名目貨幣供給成長率 $g_M$，$y$ 軸為通貨膨脹率 $\pi$，則曲線為：

$$\pi=g_M-3\%$$

所以：

• $y$ 軸截距：令 $g_M=0$，得 $\pi=-3\%$
• 斜率：$g_M$ 的係數為 $1$

選項分析

（a）$1\%$，$0.5$：錯誤。

由均衡式推導出的 $y$ 軸截距為 $-3\%$，不是 $1\%$；斜率也應為 $1$，不是 $0.5$。

（b）$-3\%$，$0.5$：錯誤。

本題考驗電子支付工具普及對貨幣需求的影響。

貨幣需求 (Money Demand) 通常與交易動機、預防動機和投機動機有關。
在傳統的凱因斯模型中，貨幣需求與所得 (Y) 和名目利率 (R) 有關。
$M^d = f(Y, R)$，其中 Y 是正向關係，R 是負向關係。

電子支付工具（如 LINE pay, Apple Pay）的普及，主要影響的是「交易動機」下的貨幣需求。
這些工具使得支付更加便捷，減少了對現金的需求。
人們可以更方便地進行交易，而不需要持有大量的現金。

選項分析：
(a) Money demand will decrease because consumers do not need to use as much cash。

• 電子支付工具的普及，確實會減少對現金的需求。
• 如果人們對現金的需求減少，而現金是貨幣供應量的一部分，那麼總的貨幣需求（包括現金和銀行存款）可能會受到影響。
• 許多貨幣需求的模型將現金持有量作為一個要素。如果人們減少持有現金，他們可能會將資金轉移到其他資產，或者減少總的貨幣持有量。
• 這是最直接且合理的解釋。

(b) Money demand will increase because consumers tend to purchase more。

• 電子支付的便利性可能會鼓勵一些人進行更多的消費。
• 如果消費增加，交易量增加，那麼出於交易動機的貨幣需求可能會增加。
• 然而，便利性本身並不一定意味著總的貨幣需求會增加，因為支付方式的改變。它可能只是改變了貨幣的形式（從現金到電子餘額）。
• 這種說法不夠直接，且可能不是主要原因。

(c) Money demand will remain unchanged because electronic payment tools, just like cr

核心觀念

本題考的是 Cobb-Douglas 生產函數下的要素需求，以及資本價格 $r$ 改變對勞動需求 $L$ 的影響。

生產函數為：

$$Y=AK^{0.5}L^{0.5}$$

其中：

• $K$：資本投入
• $L$：勞動投入
• $A$：生產技術
• $w$：工資率
• $r$：資本使用成本或利息率

在固定產量 $Y$ 下，廠商會選擇成本最小的資本與勞動組合。

解題方法

廠商的成本函數為：

$$C=wL+rK$$

成本最小化的條件是兩項生產要素的邊際技術替代率等於其相對價格：

$$\frac{MP_L}{MP_K}=\frac{w}{r}$$

由生產函數可得：

$$MP_L=\frac{\partial Y}{\partial L} =\frac{1}{2}AK^{0.5}L^{-0.5}$$ $$MP_K=\frac{\partial Y}{\partial K} =\frac{1}{2}AK^{-0.5}L^{0.5}$$

因此：

$$\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{K}{L}$$

成本最小化條件為：

$$\frac{K}{L}=\frac{w}{r}$$

整理得：

$$K=\frac{w}{r}L$$

代回生產函數：

$$Y=A\left(\frac{w}{r}L\right)^{0.5}L^{0.5}$$ $$Y=A\left(\frac{w}{r}\right)^{0.5}L$$

因此勞動需求為：

$$L=\frac{Y}{A}\left(\frac{r}{w}\right)^{0.5}$$

在 $Y$、$A$ 與 $w$ 固定下：

$$L\propto r^{0.5}$$

核心觀念

本題的核心觀念為勞動需求工資彈性（Wage Elasticity of Labor Demand, $\varepsilon_{L}^w$）與要素邊際報酬遞減法則。

1. 勞動需求工資彈性定義： $$\varepsilon_{L}^w = \frac{\% \Delta L^d}{\% \Delta w} = \frac{\mathrm{d} L^d}{\mathrm{d} w} \cdot \frac{w}{L^d}$$ 若工資率變動百分比為 $\% \Delta w = +10\%$，則勞動需求量的變動百分比為： $$\% \Delta L^d = \varepsilon_{L}^w \times (\% \Delta w) = \varepsilon_{L}^w \times 10\%$$
2. 勞動需求曲線斜率為負（要素需求法則）：
   在一般的利潤極大化決策下（$P \cdot MP_L = w$），因勞動邊際產出遞減（$\frac{\partial MP_L}{\partial L} < 0$），工資上漲必然導致廠商減少僱用勞動，因此勞動需求彈性通常為負值（$\varepsilon_{L}^w < 0$）。
3. 題組背景關聯（生產函數設定）：
   在台大商研所此份試卷的上游題組中，廠商通常給定特定的柯布—道格拉斯生產函數（Cobb-Douglas Production Function，例如常見的短期 $Q = \sqrt{L}$ 或 $Q = A K^\alpha L^\beta$）。若題組未指定特定彈性數值，或者其彈性值導出的變動量未落在 (a) 至 (d) 的固定數值中，變動量的大小完全取決於該生產函數的技術參數與市場結構；即使為獨立單題，在缺乏具體勞動需求函數或彈性數值的情況下，不可能無條件得出固定為 $+10\%$、$-10\%$、$+5\%$ 或 $-5\%$ 的常數結論。若上游小題推導出之勞動需求工資彈性非 $-1$ 或 $-0.5$（例如彈性絕對值不等於 $1$ 或 $0.5$），亦對應至選項 (e)。

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解題方法

1. 確立變動方向：
   根據要素需求法則，工資 $w$ 與勞動需求量 $L^d$ 呈反向變動關係：

   $$\frac{\mathrm{d} L^d}{\mathrm{d} w} < 0 \implies \varepsilon_{L}^w < 0$$

   當工資上升 $10\%$（$\% \Delta w = +10\%$）時，勞動需求量必然下降（$\% \Delta L^d < 0$）。因此變動率必為負數，可直接排除正向變動的選項 (a) 與 (c)。

2. 計算變動幅度：

   • 欲使勞動需求量剛好下降 $10\%$（即 $\% \Delta L^d = -10\%$），必須滿足勞動需求工資彈性剛好為單一彈性： $$\varepsilon_{L}^w = \frac{-10\%}{10\%} = -1$$
   • 欲使勞動需求量剛好下降 $5\%$（即 $\% \Delta L^d = -5\%$），必須滿足勞動需求工資彈性剛好為： $$\varepsilon_{L}^w = \frac{-5\%}{10\%} = -0.5$$

本題考驗個人跨期消費決策中的借貸限制。

假設今年的消費為 $C_1$，明年的消費為 $C_2$。
你今年擁有的所得為 $Y_1 = 100$。
你明年將獲得的所得為 $Y_2 = 120$。
市場利率為 $r = 25\% = 0.25$。
這表示將 1 元存入銀行，明年可得 $1.25$ 元；反之，可以借入 1 元，明年需償還 $1.25$ 元。
你的生命在明年結束，故所有借貸皆需在明年償還。

借貸限制（Budget Constraint）可以表示為：
$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$

在不考慮任何借貸的情況下，你今年的消費能力是 $Y_1 = 100$。
如果你想借錢，你今年的消費 $C_1$ 可以超過 $Y_1$。
假設你今年借了 $B$ 元（$B>0$）。則今年你的可用資金為 $Y_1 + B = 100 + B$。

核心觀念

本題測驗跨期消費理論（Intertemporal Consumption Choice）中「利率變動對消費者福利（效用水準）的影響」，核心概念包含：

1. 跨期預算限制式（Intertemporal Budget Constraint）：
   以現值表示： $$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r}$$ 其中 $C_1, C_2$ 為第一期與第二期的消費，$Y_1, Y_2$ 為第一期與第二期的稟賦（所得），$r$ 為實質利率。
2. 稟賦點（Endowment Point）與身分判定：
   • 若 $C_1^* < Y_1$：第一期儲蓄，為「借出者／儲蓄者」（Lender / Saver）。
   • 若 $C_1^* > Y_1$：第一期借款，為「借入者／借貸者」（Borrower）。
3. 顯示性偏好（Revealed Preference）與效用變動：
   當利率 $r$ 上升時，跨期預算線會以「稟賦點 $(Y_1, Y_2)$」為支點順時針旋轉（斜率絕對值 $1+r$ 變陡）：
   • 若消費者為借入者，原消費點落在新的預算集合之外，但仍可能受到負向福利衝擊；當其維持借款時效用必下降。
   • 若消費者為儲蓄者，原消費組合依然在新預算集合內部或邊界，由顯示性偏好可知其效用必定提升（至少不低於原水準）。

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解題方法

1. 資訊檢驗：
   題目僅提供原最適消費組合 $(C_1^*, C_2^*) = (100, 120)$ 以及利率上升至 $30\%$。
   然而，跨期預算限制式的樞軸點是稟賦點 $(Y_1, Y_2)$，消費者的福利變化取決於其在利率變動前的身分：
   • 情況一（儲蓄者）：若稟賦為 $(Y_1, Y_2) = (150, 65)$，則 $C_1^* = 100 < Y_1$，消費者為儲蓄者。利率上升時，預算線順時針旋轉，原點 $(100, 120)$ 位於新預算集合的嚴格內部，消費者必定能達到更高的無異曲線，效用增加（Utility increases）。
   • 情況二（借入者）：若稟賦為 $(Y_1, Y_2) = (50, 175)$，則 $C_1^* = 100 > Y_1$，消費者為借入者。

本題考驗壟斷廠商在多市場定價與產量決策。壟斷者在不同市場銷售時，會選擇使各市場的邊際收益（MR）等於總邊際成本（MC），且各市場的邊際收益相等。

首先，我們需要導出兩個市場的總收益（TR）及其邊際收益（MR）。
市場 1：
逆需求函數：$P_1 = 120 - Q_1$
總收益：$TR_1 = P_1 \times Q_1 = (120 - Q_1) Q_1 = 120Q_1 - Q_1^2$
邊際收益：$MR_1 = \frac{dTR_1}{dQ_1} = 120 - 2Q_1$

市場 2：
逆需求函數：$P_2 = 60 - 0.5Q_2$
總收益：$TR_2 = P_2 \times Q_2 = (60 - 0.5Q_2) Q_2 = 60Q_2 - 0.5Q_2^2$
邊際收益：$MR_2 = \frac{dTR_2}{dQ_2} = 60 - Q_2$

壟斷者的總產量為 $Q = Q_1 + Q_2$。
總邊際成本函數為：$MC = \frac{2}{9}Q = \frac{2}{9}(Q_1 + Q_2)$。

壟斷者追求利潤最大化，會使各市場的邊際收益相等，且等於總邊際成本。
條件為：$MR_1 = MR_2 = MC$

我們從 $MR_1 = MR_2$ 開始：
$120 - 2Q_1 = 60 - Q_2$
$Q_2 = 2Q_1 - 60$ (式 1)

本題要求計算在利潤最大化產量點時，兩市場的需求價格彈性的絕對值。

首先，我們需要回顧第 3 題的結果：
利潤最大化產量為 $Q_1 = 50$ 和 $Q_2 = 40$。

接下來，我們需要計算對應的價格 $P_1$ 和 $P_2$。
市場 1：$P_1 = 120 - Q_1 = 120 - 50 = 70$。
市場 2：$P_2 = 60 - 0.5Q_2 = 60 - 0.5(40) = 60 - 20 = 40$。

需求價格彈性（Price Elasticity of Demand）的公式為：
$\varepsilon = \frac{dQ}{dP} \times \frac{P}{Q}$

我們需要先求出需求函數的導數 $\frac{dQ}{dP}$。
市場 1 的逆需求函數是 $P_1 = 120 - Q_1$。
將其轉換為需求函數：$Q_1 = 120 - P_1$。
因此，$\frac{dQ_1}{dP_1} = -1$。

市場 2 的逆需求函數是 $P_2 = 60 - 0.5Q_2$。
將其轉換為需求函數：$0.5Q_2 = 60 - P_2 \implies Q_2 = 120 - 2P_2$。
因此，$\frac{dQ_2}{dP_2} = -2$。

現在，我們計算兩個市場在利潤最大化點的彈性：

市場 1 的彈性 $|\varepsilon_1|$：
$\varepsilon_1 = \frac{dQ_1}{dP_1} \times \frac{P_1}{Q_1} = (-1) \times \frac{70}{50} = -1.4$。
彈性的絕對值 $|\varepsilon_1| = 1.4$。

市場 2 的彈性 $|\varepsilon_2|$：
$\varepsilon_2 = \frac{dQ_2}{dP_2} \times \frac{P_2}{Q_2} = (-2) \times \frac{40}{40} = -2$。
彈性的絕對值 $|\varepsilon_2| = 2$。

所以，兩個市場在利潤最大化點的價格彈性絕對值分別為 $|\varepsilon_1| = 1.4$ 和 $|\varepsilon_2| = 2$。

我們檢查選項：
(a) $|\varepsilon_1| = 1$ and $|\varepsilon_2| = 1.5$