112 年 國立臺灣大學商學研究所甲組《經濟學（A）》

核心觀念

本題涉及三個觀念：

1. 總成本極小化：對總成本函數 $TC(q)$ 微分，令一階導數等於 $0$。
2. 邊際成本：邊際成本為總成本對產量的導數：
   $MC(q)=\frac{dTC(q)}{dq}$
3. 範疇經濟（economies of scope）：通常用於多產品生產，若共同生產多種產品的成本低於分開生產，才稱為範疇經濟。單一產品的成本函數無法直接判定範疇經濟。

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解題方法

題目給定代表性廠商的總成本函數：

$TC(q)=10+q^2-q$

先分別檢驗各選項，再判斷是否確實只有一個錯誤敘述。

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選項分析

a. The total cost is minimized at $q=1$。

求總成本的一階導數：

$\frac{dTC}{dq}=2q-1$

令一階導數為 $0$：

$2q-1=0$

$q=\frac{1}{2}$

由於：

$\frac{d^2TC}{dq^2}=2>0$

所以總成本在 $q=\frac{1}{2}$ 時達到最小，而不是 $q=1$。

因此，a 錯誤。

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b. The marginal cost is $MC=q-1$。

邊際成本為總成本的一階導數：

$MC(q)=\frac{dTC}{dq}=2q-1$

因此正確的邊際成本是：

$MC=2q-1$

並非 $q-1$。

因此，b 錯誤。

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核心觀念

本題考查完全競爭市場的長期均衡。長期中廠商可以自由進出市場，因此均衡條件為：

$$p_{LR}=\min AC(q)$$

對仍在生產的代表性廠商，利潤最大化條件為：

$$p=MC(q)$$

因此長期均衡時必須同時滿足：

$$MC(q^*)=AC(q^*)=p_{LR}$$

題目省略了第 1 題的成本函數；以下依本題選項所對應的設定，假設單一廠商的長期總成本為：

$$C(q)=\frac{1}{2}q^2-q+10$$

解題方法

先求邊際成本與平均成本：

$$MC(q)=C'(q)=q-1$$ $$AC(q)=\frac{C(q)}{q} =\frac{1}{2}q-1+\frac{10}{q}$$

長期均衡時，廠商生產在平均成本最低點，因此令 $MC=AC$：

$$q-1=\frac{1}{2}q-1+\frac{10}{q}$$

消去 $-1$：

$$q=\frac{1}{2}q+\frac{10}{q}$$

兩邊乘以 $q$：

$$q^2=\frac{1}{2}q^2+10$$

因此：

$$\frac{1}{2}q^2=10$$ $$q^2=20$$

由於產量必須為正：

$$q^*=2\sqrt{5}$$

再由完全競爭廠商的定價條件 $p=MC(q)$：

$$p_{LR}=MC(q^*)=q^*-1$$

所以：

$$p_{LR}=2\sqrt{5}-1$$

選項分析

• a. $p_{LR}=2\sqrt{5}-1,\ q^*=2\sqrt{5}$：正確。

核心觀念

本題考察交叉價格彈性與租稅政策的成本效益權衡。

若兩種商品的交叉價格彈性為負，表示一種商品漲價時，另一種商品的需求量也下降，兩者是互補品：

$$E_{xy}=\frac{\%\Delta Q_y}{\%\Delta P_x}<0$$

題幹指出電子煙稅提高後，青少年吸電子煙與狂飲酒的情形都減少。若將稅負視為推高電子煙價格，則電子煙價格上升伴隨酒精消費下降，符合互補品的需求關係。

解題方法

先從題幹辨認「電子煙價格上升」對「酒精消費量」的影響，再判斷兩者的商品關係。接著評估其他選項是否能由經濟學原理支持：稅收效果須看需求對價格的反應；稅率設計則須衡量減少青少年使用的效益，以及電子煙對成年戒菸者的作用。

選項分析

a. 正確。 電子煙稅提高後，青少年狂飲酒也減少，表示電子煙價格上升時，酒精需求量下降；依交叉價格彈性判準，兩者對這群青少年而言是互補品。

核心觀念

本題考的是：

• 第三級價格歧視：對不同消費者群體分別訂價。
• 獨占廠商利潤最大化條件：對每一類市場分別滿足
  $MR_i=MC.$
• 需求函數、反需求函數與邊際收益的推導。

由於兩類消費者彼此區隔，且邊際成本固定為 $MC=2$，廠商會分別選擇各市場的價格與數量，使各市場的邊際收益等於共同的邊際成本。

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解題方法與計算

類型 1 消費者

需求函數為

$q_1(p)=\frac{54}{p^2}.$

先整理成反需求函數：

$p_1=\sqrt{\frac{54}{q_1}}=\sqrt{54}q_1^{-1/2}.$

類型 1 的總收益為

$$TR_1=p_1q_1 =\sqrt{54}q_1^{1/2}.$$

因此邊際收益為

$$MR_1=\frac{dTR_1}{dq_1} =\frac{1}{2}\sqrt{54}q_1^{-1/2} =\frac{p_1}{2}.$$

利潤最大化時：

$MR_1=MC,$

所以

$\frac{p_1}{2}=2,$

得到

$p_1=4.$

代回需求函數：

$$q_1=\frac{54}{4^2} =\frac{54}{16} =\frac{27}{8}.$$

因此類型 1 的最適結果為

$\boxed{p_1=4,\qquad q_1=\frac{27}{8}}.$

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類型 2 消費者

需求函數為

$q_2(p)=\frac{16}{p^3}.$

反需求函數為

$$p_2=\left(\frac{16}{q_2}\right)^{1/3} =16^{1/3}q_2^{-1/3}.$$

類型 2 的總收益為

$$TR_2=p_2q_2 =16^{1/3}q_2^{2/3}.$$

因此邊際收益為

$$MR_2=\frac{dTR_2}{dq_2} =\frac{2}{3}16^{1/3}q_2^{-1/3} =\frac{2p_2}{3}.$$

利潤最大化時：

$MR_2=MC,$

所以

$\frac{2p_2}{3}=2.$

得到

$p_2=3.$

代回需求函數：

$$q_2=\frac{16}{3^3} =\frac{16}{27}.$$

因此類型 2 的最適結果為

$\boxed{p_2=3,\qquad q_2=\frac{16}{27}}.$

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選項分析

(a) $q_1=2,\ p_1=3,\ q_2=4,\ p_2=2$

錯誤。

此題考察對「壟斷競爭市場」特徵的理解，包括廣告投入、長期利潤以及生產效率。

我們逐一分析這三個敘述：

1. Companies in a monopolistically competitive industry are more likely to invest in advertisements than companies in perfectly competitive markets.
   在完全競爭市場中，廠商的產品是同質的，且廠商眾多，個別廠商的市場佔有率極小，對市場價格沒有影響力。因此，廠商沒有動機進行廣告投入，因為廣告無法顯著增加其產品的需求或提高價格。
   在壟斷競爭市場中，廠商的產品存在差異化（例如品牌、包裝、品質、服務等），這使得每個廠商都擁有一些市場力量，面對的是向下傾斜的需求曲線。為了在眾多提供相似產品的競爭者中脫穎而出，吸引更多消費者，廠商會投入廣告和促銷來建立品牌形象、傳達產品特色、區別於競爭對手。因此，壟斷競爭廠商比完全競爭廠商更有可能投資廣告。
   這個敘述是正確的。

2. Companies in a monopolistically competitive industry make a positive profit in the long-run market equilibrium.
   壟斷競爭市場的長期均衡與完全競爭市場不同，但與壟斷市場有相似之處。在壟斷競爭市場中，雖然存在產品差異化和一定的市場力量，但由於廠商數量較多且進入壁壘較低，當現有廠商獲得正經濟利潤時，新的廠商會被吸引進入市場。隨著新廠商的進入，現有廠商面臨的需求曲線會向左移動（因為市場份額被稀釋），需求彈性也會增加。這個過程會持續到所有廠商的經濟利潤降至零為止。

本題的核心觀念為公共財自願捐贈賽局（Voluntary Contribution Mechanism for Public Goods）與納許均衡（Nash Equilibrium）的求解。兩位個體在無法觀察對方決策的情況下同時決定捐贈量，各自追求自身效用極大化。求解關鍵在於分別導出兩人的反應函數（Best Response Function），再聯立求得對稱納許均衡點，最終將均衡捐贈量代入生產函數計算公共財總產出。

完整解題過程

步驟一：建立個體 1 與個體 2 的效用極大化問題

公共財的生產函數為：
$y = f(k, l) = \sqrt{k} + \sqrt{l} + \frac{\sqrt{kl}}{4}$

其中個體 1 捐贈勞動 $l \ge 0$，效用函數為 $u_1(y, l) = y - l$；個體 2 捐贈資本 $k \ge 0$，效用函數為 $u_2(y, k) = y - k$。

步驟二：求解反應函數（Best Response Functions）

1. 個體 1 的最適化決策（給定個體 2 的捐贈量 $k$）：
個體 1 的目標為選擇 $l$ 以極大化自身效用：
$\max_{l} u_1 = \sqrt{k} + \sqrt{l} + \frac{\sqrt{k}}{4}\sqrt{l} - l$

對 $l$ 一階微分（FOC）：
$\frac{\partial u_1}{\partial l} = \frac{1}{2\sqrt{l}} + \frac{\sqrt{k}}{8\sqrt{l}} - 1 = 0$

整理可得：
$\frac{1}{2\sqrt{l}} \left( 1 + \frac{\sqrt{k}}{4} \right) = 1 \implies \sqrt{l} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{k}}{8}$

2. 個體 2 的最適化決策（給定個體 1 的捐贈量 $l$）：
個體 2 的目標為選擇 $k$ 以極大化自身效用：
$\max_{k} u_2 = \sqrt{k} + \sqrt{l} + \frac{\sqrt{l}}{4}\sqrt{k} - k$

對 $k$ 一階微分（FOC）：
$\frac{\partial u_2}{\partial k} = \frac{1}{2\sqrt{k}} + \frac{\sqrt{l}}{8\sqrt{k}} - 1 = 0$

核心觀念

本題考查的核心觀念為寡占市場（Oligopoly）的古諾模型（Cournot Model）與非合作賽局之納許均衡（Nash Equilibrium）。在廠商生產同質產品且同時決定產量的設定下，各廠商會在給定其他競爭對手產量不變的前提下，追求自身利潤極大化。解題關鍵在於建立廠商的利潤函數、求得邊際收益等於邊際成本的一階條件（FOC）以導出反應函數（Reaction Function），並利用廠商間的對稱性（Symmetry）求解對稱納許均衡產量與均衡市場價格。

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完整解題過程

1. 建立廠商利潤函數

根據題目設定，市場共有 3 家廠商（$i = 1, 2, 3$），生產同質產品。市場反需求函數為：
$p(q_1, q_2, q_3) = A - B(q_1 + q_2 + q_3)$

設市場總產量為 $Q = q_1 + q_2 + q_3$，各廠商的邊際成本均為 $c$，且無固定成本。
廠商 $i$ 的利潤函數 $\pi_i$ 表示為總收益減去總成本：
$\pi_i = p(q_1, q_2, q_3) \cdot q_i - c q_i = [A - B(q_1 + q_2 + q_3) - c] q_i$

2. 求解廠商的一階極大化條件（FOC）

在古諾競爭中，廠商 $i$ 視其他廠商的產量 $q_j$（$j \neq i$）為給定常數，選擇自身最適產量 $q_i$ 以極大化利潤。對 $q_i$ 求一階偏微分並令其等於零：
$\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = A - B(q_1 + q_2 + q_3) - c - B q_i = 0$

將市場總產量 $Q$ 代入簡化，可得最佳反應式：
$A - c - B Q - B q_i = 0$

核心觀念

題目設定中，薯條只有搭配漢堡時才有價值；若薯條超過可搭配的漢堡數量，超出的薯條可以直接丟棄。因此，$10$ 份薯條、$0$ 個漢堡的組合，實際上可視為丟掉全部薯條後的 $(0,0)$。

又題目明示漢堡不存在飽和點，表示漢堡愈多愈好；至少在薯條可丟棄的前提下，多出的漢堡不會使效用下降。

解題方法

由可丟棄薯條可得：

$$(10\text{ 份薯條},0\text{ 個漢堡}) \sim (0,0)$$

考慮另一組合 $(A\text{ 份薯條},17\text{ 個漢堡})$。無論 $A$ 為何，消費者都可以把全部薯條丟棄，保留 $17$ 個漢堡，得到 $(0,17)$。

由「漢堡無飽和」可知：

$$(0,17) \succ (0,0)$$

因此：

此題考驗的是消費者在時間約束下的效用最大化問題，通常使用拉格朗日乘數法求解。

Ms. Chen 有 24 小時的時間，需要分配給休閒 (L) 和工作 (H)。
總時間約束：$L + H = 24$。
工作收入：每小時工作支付 2 NTD。
消費品 C 的價格為 1 NTD。
因此，消費 C 的金額等於工作所賺取的總收入。
消費 $C = 2 \times H$。
從時間約束 $H = 24 - L$，代入消費函數：
$C = 2 \times (24 - L) = 48 - 2L$。
這就是 Ms. Chen 的預算約束式（以 L 表示 C）：$C = 48 - 2L$。

Ms. Chen 的效用函數為 $U(C, L) = LC^2$。
我們需要最大化 $U(C, L)$，同時滿足預算約束 $C = 48 - 2L$。

將預算約束代入效用函數：
$U(L) = L(48 - 2L)^2$。
我們需要找到 L 來最大化 $U(L)$。

方法一：直接微分。
$U(L) = L(48^2 - 2 \cdot 48 \cdot 2L + (2L)^2)$
$U(L) = L(2304 - 192L + 4L^2)$
$U(L) = 2304L - 192L^2 + 4L^3$

對 L 求導，並令導數為零：
$\frac{dU}{dL} = 2304 - 384L + 12L^2 = 0$
除以 12：
$192 - 32L + L^2 = 0$
$L^2 - 32L + 192 = 0$

我們可以用二次公式求解 L：
$L = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(1)(192)}}{2(1)}$
$L = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 768}}{2}$
$L = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{2}$
$L = \frac{32 \pm 16}{2}$

有兩個可能的解：
$L_1 = \frac{32 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$L_2 = \frac{32 - 16}{2} = \frac{16}{2} = 8$

我們需要判斷哪個是最大值。通常，休閒時間 L 必須小於總時間 24 小時，且大於 0。
如果 $L=24$，則工作時間 $H=0$，消費 $C=0$，效用 $U(0, 24) = 24 \cdot 0^2 = 0$。這顯然不是最大值。

此題考驗消費者在預算約束下的效用最大化問題，其中效用函數為準線性效用函數。

消費者有兩種商品 x 和 y。
效用函數：$u(x, y) = \sqrt{x} + y$。
所得 (Income, I) = $\frac{1}{10}$。
價格：$p_x = 1$, $p_y = 1$。

預算約束式為：$p_x x + p_y y = I$
$1 \cdot x + 1 \cdot y = \frac{1}{10}$
$x + y = \frac{1}{10}$

消費者目標是最大化 $u(x, y) = \sqrt{x} + y$，同時滿足 $x + y = \frac{1}{10}$。

方法一：代入法。
從預算約束式，我們可以得到 $y = \frac{1}{10} - x$。
將 y 代入效用函數：
$U(x) = \sqrt{x} + (\frac{1}{10} - x)$
$U(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{10} - x$

為了最大化 $U(x)$，我們對 x 求導，並令導數為零：
$\frac{dU}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$
令 $\frac{dU}{dx} = 0$:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0$
$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$
$1 = 2\sqrt{x}$
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

現在我們需要檢查這個解是否可行。
由於 $x+y = \frac{1}{10}$，且 $x, y \ge 0$。
如果 $x = \frac{1}{4}$，那麼 $y = \frac{1}{10} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 5}{20} = -\frac{3}{20}$。
這是一個無效的解，因為 $y$ 不能為負。

這意味著，最優解發生在邊界上。
對於準線性效用函數 $u(x, y) = \sqrt{x} + y$，其中 y 是代表「其他所有商品」或「貨幣」。
當價格為 $p_x=1, p_y=1$ 時。
我們要求 $\frac{MU_x}{p_x} = \frac{MU_y}{p_y}$。
$MU_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$MU_y = \frac{\partial u}{\partial y} = 1$

所以，內部解的條件是：
$\frac{1/(2\sqrt{x})}{1} = \frac{1}{1}$
$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$
$2\sqrt{x} = 1$
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{4}$。

由於 $x = 1/4$ 導致 $y$ 為負，這表示內部解不存在。
在這種情況下，最優解一定在邊界上。
邊界條件是 $x=0$ 或 $y=0$。

情況 1：假設 $x=0$。
如果 $x=0$, 則 $y = \frac{1}{10} - 0 = \frac{1}{10}$。
此時的效用 $u(0, \frac{1}{10}) = \sqrt{0} + \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$。

情況 2：假設 $y=0$。
如果 $y=0$, 則 $x = \frac{1}{10} - 0 = \frac{1}{10}$。
此時的效用 $u(\frac{1}{10}, 0) = \sqrt{\frac{1}{10}} + 0 = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
$\sqrt{10} \approx 3.16$, 所以 $\frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.316$.
而 $\frac{1}{10} = 0.1$.
所以 $u(\frac{1}{10}, 0) > u(0, \frac{1}{10})$.

我們比較邊界解和內部解的條件。
當 $x = 1/4$, $y = -3/20$.
這意味著，在所有可行的 $(x, y)$ 組合中，當 x 增加時，MRS_x/MRS_y 的值會增加。
$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{1/(2\sqrt{x})}{1} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
此比值代表了消費者願意用多少 y 交換 1 單位 x。
當 x 變小時，$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 變大。
當 x 變小時，y 變大（因為 $x+y=1/10$）。
所以，當 y 越多，x 越少時，$\frac{MU_x}{MU_y}$ 越大。
這意味著，消費者非常願意用 y 交換 x。
在 $x=1/4$ 時，$\frac{MU_x}{MU_y} = 1$.
然而，由於預算約束 $x \le 1/10$, 我們能達到的最大 x 值是 $1/10$ (當 $y=0$ 時)。
在 $x=1/10$ 時，$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{1}{2\sqrt{1/10}} = \frac{1}{2/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx \frac{3.16}{2} \approx 1.58$.
由於 $\frac{MU_x}{MU_y} > 1$ (MRS_xy > 1), 這意味著消費者願意用更多 y 來換取 x。

核心觀念

本題考查交換經濟中的競爭均衡，核心條件包括：

1. 消費者在給定價格與所得下，選擇使效用最大的消費組合。
2. 競爭均衡必須滿足市場出清：
   $x_A+x_B=10,\qquad y_A+y_B=10$
3. 內部最適解滿足邊際替代率等於價格比：
   $\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{p_x}{p_y}$

兩位消費者的禀賦為：

$\omega_A=(10,0),\qquad \omega_B=(0,10)$

因此，A 的所得為 $10p_x$，B 的所得為 $10p_y$。

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解題方法：先求個別需求，再使用市場出清

一、消費者 A 的需求

A 的效用函數為：

$u_A(x_A,y_A)=x_A^2y_A$

邊際效用為：

$MU_{x_A}=2x_Ay_A,\qquad MU_{y_A}=x_A^2$

因此：

$$\frac{MU_{x_A}}{MU_{y_A}} =\frac{2x_Ay_A}{x_A^2} =\frac{2y_A}{x_A} =\frac{p_x}{p_y}$$

A 的預算限制為：

$p_xx_A+p_yy_A=10p_x$

由 Cobb-Douglas 效用函數，A 將所得的 $\frac{2}{3}$ 用於購買 $x$，$\frac{1}{3}$ 用於購買 $y$，所以：

$$x_A=\frac{2}{3}\cdot\frac{10p_x}{p_x} =\frac{20}{3}$$ $$y_A=\frac{1}{3}\cdot\frac{10p_x}{p_y} =\frac{10p_x}{3p_y}$$

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二、消費者 B 的需求

B 的效用函數為：

$u_B(x_B,y_B)=x_By_B^2$

邊際效用為：

$MU_{x_B}=y_B^2,\qquad MU_{y_B}=2x_By_B$

因此：

$$\frac{MU_{x_B}}{MU_{y_B}} =\frac{y_B}{2x_B} =\frac{p_x}{p_y}$$

B 的預算限制為：

$p_xx_B+p_yy_B=10p_y$

B 將所得的 $\frac{1}{3}$ 用於購買 $x$，$\frac{2}{3}$ 用於購買 $y$，因此：

$$x_B=\frac{1}{3}\cdot\frac{10p_y}{p_x} =\frac{10p_y}{3p_x}$$ $$y_B=\frac{2}{3}\cdot\frac{10p_y}{p_y} =\frac{20}{3}$$

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三、利用市場出清求價格比

市場出清條件要求：

$x_A+x_B=10$

代入需求函數：

$\frac{20}{3}+\frac{10p_y}{3p_x}=10$

$\frac{10p_y}{3p_x}=\frac{10}{3}$

因此：

$\frac{p_y}{p_x}=1$

也就是：

$p_x=p_y$

代入價格比後，兩位消費者的均衡消費為：

此題考驗對第二價格拍賣（Vickrey auction）的貝氏納許均衡（Bayes-Nash Equilibrium, BNE）的理解。

在第二價格密封投標拍賣中，規則如下：

1. 每個投標人 $i$ 知道自己的真實價值 $v_i$。
2. 所有投標人的價值 $v_i$ 獨立同分佈於 [0, 1] 的均勻分佈。
3. 每個投標人 $i$ 提交一個標價 $b_i \in [0, 1]$。
4. 最高標價者贏得拍賣品。
5. 獲勝者支付第二高的標價。
6. 如果出現並列最高標價，則通過隨機方式（例如，各 1/2 的機率）決定獲勝者。

我們要判斷兩個策略是否構成貝氏納許均衡。

判斷敘述 1：每個投標人 $i$ 誠實投標（$b_i = v_i$）是否為貝氏納許均衡。

在第二價格拍賣中，誠實投標（bidding truthfully）是一個占優策略（dominant strategy）。這意味著，無論其他投標人如何出價，對任何投標人來說，誠實地按照自己的真實價值出價總是能帶來最好的預期結果（或至少不差於其他策略）。

我們來驗證一下。假設投標人 2 的出價是 $b_2$。投標人 1 的真實價值是 $v_1$。投標人 1 的策略是 $b_1 = v_1$。
投標人 1 的支付（利潤）取決於其出價 $b_1$ 和投標人 2 的出價 $b_2$。

情況 1：投標人 1 誠實出價 $b_1 = v_1$。
a. 如果 $v_1 > b_2$ (投標人 1 的價值高於投標人 2 的出價)：投標人 1 贏得拍賣，支付 $b_2$。淨效用為 $v_1 - b_2$。
b. 如果 $v_1 < b_2$ (投標人 1 的價值低於投標人 2 的出價)：投標人 1 輸掉拍賣，支付 0。淨效用為 0。
c. 如果 $v_1 = b_2$：投標人 1 贏得拍賣的機率為 1/2，輸掉的機率為 1/2。預期淨效用為 $\frac{1}{2}(v_1 - b_2) + \frac{1}{2}(0) = 0$（因為 $v_1=b_2$）。

情況 2：投標人 1 虛假出價，例如 $b_1' \neq v_1$。
a. 如果 $b_1' > b_2$ 且 $v_1 > b_2$：投標人 1 贏得拍賣，支付 $b_2$。淨效用 $v_1 - b_2$。與誠實出價相同。
b. 如果 $b_1' > b_2$ 且 $v_1 < b_2$：投標人 1 贏得拍賣，支付 $b_2$。淨效用 $v_1 - b_2$。與誠實出價不同，此處投標人 1 贏得拍賣但支付 $b_2$ 導致淨效用 $v_1 - b_2 < 0$。如果誠實出價 ($v_1 < b_2$) 則輸掉拍賣，效用為 0。因此，這種虛假出價（$b_1' > b_2$ 但 $v_1 < b_2$）會降低效用。
c. 如果 $b_1' < b_2$ 且 $v_1 > b_2$：投標人 1 輸掉拍賣，支付 0。淨效用為 0。與誠實出價 ($v_1 > b_2$) 贏得拍賣並支付 $b_2$ 的效用 $v_1 - b_2 > 0$ 相比，這種虛假出價（$b_1' < b_2$ 但 $v_1 > b_2$）會降低效用。
d. 如果 $b_1' < b_2$ 且 $v_1 < b_2$：投標人 1 輸掉拍賣，支付 0。淨效用為 0。與誠實出價 ($v_1 < b_2$) 輸掉拍賣效用為 0，相同。

總結來說，誠實出價 $b_1 = v_1$ 至少能保證投標人 1 在 $v_1 > b_2$ 時贏得拍賣並獲得正效用，並且不會因為虛假出價而輸掉本來能贏得且獲利的拍賣，也不會因為虛假出價而贏得拍賣但支付超過其真實價值的價格。
因此，誠實投標是第二價格拍賣的占優策略。既然是占優策略，它自然也是貝氏納許均衡。
敘述 1 是正確的。

判斷敘述 2：投標人 1 總是出價 1，投標人 2 總是出價 0 ($b_1(v_1) = 1, b_2(v_2) = 0$) 是否為貝氏納許均衡。

我們需要檢查這個策略組合是否滿足納許均衡的條件，即在對方採取此策略的情況下，我方沒有理由偏離。
假設投標人 2 總是出價 $b_2 = 0$。
投標人 1 的策略是 $b_1 = 1$。
投標人 1 的真實價值是 $v_1 \in [0, 1]$。

投標人 1 的支付：
投標人 1 總是出價 $b_1 = 1$。投標人 2 總是出價 $b_2 = 0$。
由於 $b_1 > b_2$，投標人 1 總是贏得拍賣。
投標人 1 支付 $b_2 = 0$。
投標人 1 的淨效用為 $v_1 - 0 = v_1$。

核心觀念

本題考查購買力平價（Purchasing Power Parity, PPP）與 PPP 調整後所得的計算。

PPP 的基本概念是：相同商品籃在不同國家應具有相同的購買力。題目給定相同商品籃在各國與美國的價格，因此可求出以美元表示的 PPP 匯率：

$$\text{PPP匯率} = \frac{\text{本國商品籃價格}}{\text{美國商品籃價格}}$$

再將各國以本國貨幣計算的每人所得，除以 PPP 匯率，即可得到 PPP 調整後的美元所得：

$$\text{PPP調整後所得} = \frac{\text{本國每人所得}}{\text{PPP匯率}}$$

解題方法

先計算 Country 1 與美國之間的 PPP 匯率。

Country 1 的商品籃價格為 10 karls，美國為 $2，因此：

$$1\text{美元} = \frac{10\text{ karls}}{2} = 5\text{ karls}$$

Country 1 的每人所得為 3,200 karls，換算成 PPP 調整後美元所得：

$$\frac{3,200\text{ karls}}{5\text{ karls/USD}} = 640\text{美元}$$

再計算 Country 2 的 PPP 匯率。商品籃在 Country 2 的價格為 25 ritz，美國仍為 $2：

$$1\text{美元} = \frac{25\text{ ritz}}{2} = 12.5\text{ ritz}$$

Country 2 的每人所得為 5,500 ritz，換算成 PPP 調整後美元所得：

$$\frac{5,500\text{ ritz}}{12.5\text{ ritz/USD}} = 440\text{美元}$$

因此：

$$640\text{美元}>440\text{美元}$$

Country 1 的 PPP 調整後所得高於 Country 2。

選項分析

• a. The PPP-adjusted income per capita in Country 1 is $3,500.

此題考驗對影響勞動生產率（worker productivity）因素的理解。勞動生產率通常是指每單位勞動投入所能產出的產品或服務量。

我們逐一分析各選項：

a. An increase in the price level
物價水平的上升（通貨膨膨脹）本身並不直接提高勞動的生產能力。雖然某些情況下，預期的通貨膨脹可能影響投資決策，進而間接影響生產率，但物價水平的提高本身並非生產率的直接驅動因素。實際上，嚴重的通貨膨脹可能導致經濟不穩定，反而損害生產率。

b. A increase in the exchange rate
匯率是指一種貨幣相對於另一種貨幣的價值。匯率的變化（例如本國貨幣貶值，匯率上升）會影響進口商品和出口商品的價格。

• 如果本國貨幣貶值（匯率上升，假設匯率定義為外幣/本幣），進口商品會變得更貴。如果經濟高度依賴進口關鍵生產要素（如技術、設備、原材料），這可能會增加生產成本，不利於生產率的提高。
• 出口商品變得更便宜，可能刺激出口，增加生產需求。
• 匯率的變化對生產率的影響是間接且複雜的，不是直接提高勞動者本身的生產能力。

此題考驗對失業率下降、總體經濟變數（如所得、資本、產出）以及「人均所得」與「勞動者所得」之間關係的理解。

題目給定條件：

1. 失業率從 6% 下降到 5%。
2. 總人口不變。
3. 實體資本存量不變。
4. 總產出（Output）不變。

我們需要判斷在這些條件下，哪個敘述是正確的。

首先，我們需要理解幾個關鍵概念：

• 失業率 (Unemployment Rate)：失業人口占勞動力（就業人口 + 失業人口）的比例。
• 勞動力 (Labor Force)：就業人口 + 失業人口。
• 就業人口 (Employed Persons)：在某個時期內，正在工作或暫時離開工作崗位（如休假）的人。
• 總人口 (Total Population)：國家內所有居民的總數。
• 人均所得 (Income Per Capita)：總產出 / 總人口。
• 勞動者所得 (Income Per Worker)：總產出 / 就業人口。

根據題目，總產出 (Output) 和總人口 (Total Population) 保持不變。
因此，人均所得 (Income Per Capita) = 總產出 / 總人口。由於兩者都不變，人均所得也將保持不變。
這直接排除選項 a 和 c。

接下來，我們分析失業率下降對「勞動者所得」的影響。
失業率下降意味著勞動力市場狀況改善，就業機會增加。
失業率 = (失業人口 / 勞動力) × 100%。

核心觀念

本題考查跨期消費與儲蓄決策。基本關係為：

$$S=Y-C$$

其中 $S$ 為儲蓄、$Y$ 為所得、$C$ 為當期消費；儲蓄率為：

$$s=\frac{S}{Y}=\frac{Y-C}{Y}$$

個人通常會依據「一生所得」安排消費。若預期未來所得增加，便可能提高當期消費，因為未來較富裕，當期不必維持過高儲蓄，導致目前儲蓄率下降。

解題方法

逐一判斷各事件對「當期消費」與「當期儲蓄」的影響：

• 若當期消費增加，在所得不變下，儲蓄率下降。
• 若為因應未來所得下降或稅負上升而增加當期儲蓄，儲蓄率上升。
• 利率變動需同時考慮替代效果與所得效果，判斷通常較不明確。

選項分析

(a) 法國利率下降

利率下降會降低延後消費的報酬，使當期消費相對具有吸引力，因此替代效果傾向使儲蓄減少。

但對原本具有正儲蓄的家庭而言，利率下降也會使未來利息所得減少，形成負所得效果，可能促使家庭增加儲蓄。因此，利率下降對儲蓄的總效果並不如其他選項明確。

(b) 經濟學家預測法國明年經濟成長放緩

此題考驗對促進經濟可持續增長（sustained growth）因素的理解。可持續增長意味著經濟能夠長期、穩定地增長，而不會枯竭資源或造成嚴重的社會問題。

我們逐一分析各選項：

a. Building new factories and infrastructure
這是實體資本的積累，是經濟增長的傳統驅動因素。投資於工廠和基礎設施可以提高生產能力，促進短期和中期的經濟增長。然而，如果沒有技術進步和人力資本的提升，僅僅積累實體資本的增長可能是遞減的，且可能面臨資源約束問題。因此，它對「可持續」增長有貢獻，但可能不是最主要的或唯一關鍵的因素。

b. Encouraging a high birthrate
高出生率意味著未來勞動力供應的增加。這可以為經濟增長提供更多的勞動力資源，尤其是在勞動力短缺的國家。然而，高出生率也可能帶來額外的社會負擔，如教育、醫療、就業等壓力。如果沒有足夠的資本積累和技術進步來匹配增加的勞動力，人均產出可能不會顯著提高，甚至可能下降。因此，高出生率本身並不能保證「可持續」的增長，尤其是在人均意義上。

c. Increasing the age at which students may leave school
這意味著延長教育年限，提高勞動力的平均受教育水平，即增加人力資本。

此題考驗對「可持續經濟增長」（sustained growth）與「生活水平」（standard of living）之間關係的理解，特別是對於最貧困群體的影響。

「可持續經濟增長」通常指的是人均產出（人均 GDP）長期、穩定的增長。
「生活水平」通常與人均可支配所得、人均消費、人均產出等指標相關。

關鍵問題在於，經濟增長是否必然惠及所有人，尤其是最貧困的群體。這取決於經濟增長的「包容性」（inclusiveness）或「分配公平性」（distributional fairness）。

選項分析：
a. Their standard of living must have risen.
這是一個強烈的斷言（"must have risen"）。雖然經濟增長通常會提高整體平均生活水平，但這並不保證最貧困群體的生活水平一定會提高。可能存在收入分配惡化、貧富差距擴大的情況，使得經濟增長的好處主要集中在富裕階層，而最貧困群體可能沒有從中受益，甚至可能相對變窮。因此，這個選項過於絕對，不一定正確。

b. Their standard of living must have at least stayed constant.
這是一個較弱的斷言（"must have at least stayed constant"）。這意味著最貧困群體的生活水平不會下降。
然而，在某些經濟增長模式下，即使總體經濟增長，如果分配極不均勻，最貧困群體的實際收入和消費可能會停滯不前，甚至在某些極端情況下（例如，結構性失業加劇、資源被壟斷等）可能下降。

核心觀念

本題測驗總體經濟學中的**費雪方程式（Fisher Equation）與實質利率（Real Interest Rate）**的計算概念。

實質利率衡量的是借貸資金扣除物價膨脹（購買力下降）因素後的實質回報率。名目利率（$i$）、實質利率（$r$）與通貨膨脹率（$\pi$）之間的關係由費雪方程式所定義：

1. 精確形式（Exact Fisher Equation）： $$1 + i = (1 + r)(1 + \pi)$$ 展開可得： $$1 + i = 1 + r + \pi + r \cdot \pi \implies i = r + \pi + r \cdot \pi$$
2. 近似形式（Linear Approximation）：
   當利率與通膨率數值較小時，交乘項 $r \cdot \pi$ 趨近於零，可簡化為大眾所熟知的標準線性公式： $$i \approx r + \pi \implies r \approx i - \pi$$

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解題方法

根據題目給定的條件：

• 名目利率（Nominal interest rate, $i$）$= 6\% = 0.06$
• 通貨膨脹率（Rate of inflation, $\pi$）$= 4\% = 0.04$

步驟一：採用費雪方程式線性近似法計算

$$r = i - \pi = 6\% - 4\% = 2\%$$

步驟二：驗算精確形式
若使用精確公式求解：

$$1 + 0.06 = (1 + r)(1 + 0.04)$$ $$1 + r = \frac{1.06}{1.04} \approx 1.01923 \implies r \approx 1.923\%$$

此題考驗對經濟衰退（recession）特徵的理解。經濟衰退是指經濟活動普遍、持續的下降，通常表現為總產出、總收入、就業和工業生產的顯著下降，而失業率則會上升。

我們逐一分析各選項在衰退期間的變化趨勢：

a. Consumption (消費)
消費支出是總需求的重要組成部分。在經濟衰退期間，由於收入下降、就業不確定性增加、消費者信心減弱，家庭通常會削減其消費支出，特別是非必需品的消費。因此，消費支出通常會在衰退期間下降。

b. Investment (投資)
投資支出（包括企業對廠房、設備、存貨的支出）對經濟前景非常敏感。在經濟衰退期間，企業對未來需求和利潤的預期悲觀，投資意願會大幅降低。

此題再次考驗對經濟衰退（recession）特徵的理解，特別是當實際 GDP 下降時，其他宏觀經濟變數的變化趨勢。

題目已明確指出，在衰退期間，實際 GDP (Real GDP) 下降。我們需要判斷哪個選項也傾向於下降。

a. Real consumption (實際消費)
實際消費是指以固定價格計算的消費支出。如前一題所述，在經濟衰退期間，由於收入下降、就業前景不明朗、消費者信心減弱，家庭的消費支出通常會削減。因此，實際消費傾向於下降。

b. Real investment (實際投資)
實際投資是指以固定價格計算的投資支出。在經濟衰退期間，企業對未來經濟前景的預期悲觀，利潤下降，融資條件可能惡化，這些因素都會導致投資意願大幅下降。

此題考驗在經濟衰退期間，工資彈性（wage flexibility）對就業變化的影響。

在經濟衰退期間，總產出下降，企業對勞動力的需求減少。這會對就業市場產生壓力。

我們考慮兩種情況：

情況 1：工資是剛性的（rigid）。
如果工資剛性，意味著在經濟下行壓力下，工資水平難以下降，或者下降幅度非常小。
當企業面臨產出下降但工資成本卻無法顯著降低時，為了維持利潤或減少損失，企業最直接的反應就是減少勞動力的僱用，即裁員。
因此，在工資剛性的情況下，當經濟衰退時，就業的下降幅度會比較大。

情況 2：工資是靈活的（flexible）。
如果工資是靈活的，意味著在經濟下行壓力下，工資水平可以適當下降。
當企業面臨產出下降時，如果工資能夠隨之下降，那麼勞動力的平均成本就會降低。這使得企業在維持相同產出水平（或下降幅度較小）的情況下，能夠僱傭更多的勞動力。
換句話說，工資下降可以緩衝產出下降對就業的衝擊。

此題考驗資產價格下跌（特別是房價）對總體經濟變數的影響，特別是考慮到「信心」的影響。

關鍵在於「房價突然下跌」和「降低了家庭的信心」。

我們逐一分析各選項：

a. increase in the overall price level (整體物價水平上升)
房價下跌通常會通過財富效應和消費信心下降，導致總需求下降。總需求下降通常會導致物價水平下降，而不是上升。因此，此選項錯誤。

b. increase in the demand for construction workers (對建築工人需求的增加)
房價突然下跌，可能表明房地產市場疲軟，建築活動可能放緩甚至停止。這通常會導致對建築工人的需求下降，而不是增加。因此，此選項錯誤。

此題考驗失業率的計算。

失業率的計算公式為：
失業率 = (失業人口 / 勞動力) × 100%

其中：
勞動力 (Labor Force) = 就業人口 (Employed Persons) + 失業人口 (Unemployed Persons)

題目給定：

1. 非勞動力人口 (Adults not in the labor force) = 6 million。
2. 就業人口 (Employed Persons) = 5 million。
3. 潛在成年工人總數 (Potential adult workers) = 12 million。

核心觀念

本題考查聯邦基金利率（federal funds rate）與公開市場操作（open market operations）的關係。

聯邦基金利率是銀行之間隔夜借貸「超額準備」的利率。銀行體系中的準備金越稀缺，銀行越願意支付較高利率取得準備金，因此：

• 準備金供給增加 $\Rightarrow$ 聯邦基金利率下降
• 準備金供給減少 $\Rightarrow$ 聯邦基金利率上升

公開市場操作是中央銀行透過買賣政府債券，改變銀行體系準備金數量的貨幣政策工具。

解題方法

Fed 若要提高聯邦基金利率，必須減少銀行體系中的準備金供給。

當 Fed 在公開市場上出售債券時：

1. 商業銀行或其他金融機構支付資金向 Fed 買債券。
2. 這筆資金會從銀行體系的準備金中扣除。
3. 銀行可供彼此借貸的準備金數量減少。
4. 準備金變得稀缺，銀行間競爭借入準備金。
5. 聯邦基金利率上升。

因此，Fed 應採取的操作是 sell bonds。

選項分析

(a) sell bonds：正確

Fed 出售債券會從金融體系吸收資金，使銀行體系準備金減少。準備金供給曲線向左移動，聯邦基金利率上升，符合題目要求。

(b) buy bonds：錯誤