109 年 國立政治大學經濟學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考查單一母體平均數的右尾檢定，以及第二類錯誤（Type II error）。

• 原先平均購物時間為 $\mu_0=0.75$ 小時。

• 餐廳加入後，研究目的在判斷平均時間是否增加，因此採右尾檢定：

  $H_0:\mu=0.75,\qquad H_1:\mu>0.75$

• 第二類錯誤是「實際平均數已增加，但檢定結果未拒絕虛無假設」。

• 已知母體標準差 $\sigma=0.10$，樣本數 $n=45$，故樣本平均數的標準誤為：

題目未明確給定顯著水準，因此依題目提供的樣本平均數 $0.80$，將 $0.80$ 視為拒絕域的臨界值。

解題方法

當實際平均數為 $\mu=0.79$ 小時時，第二類錯誤表示樣本平均數未達到臨界值 $0.80$：

$\beta=P(\bar X<0.80\mid \mu=0.79)$

由中央極限定理，樣本平均數近似服從常態分配：

$\bar X\sim N\left(0.79,\frac{0.10}{\sqrt{45}}\right)$

標準化：

因此：

此題為多重迴歸分析的應用，包含全體迴歸係數的顯著性檢定 (Global Test) 和個別迴歸係數的顯著性檢定。

核心觀念：

• ANOVA 表： 用來評估迴歸模型的整體解釋力。
• F 檢定 (Global Test)： 檢定所有自變數的迴歸係數是否同時顯著不為零。
• t 檢定 (Individual Coefficient Test)： 檢定單一自變數的迴歸係數是否顯著不為零。
• 多重共線性 (Multicollinearity)： 自變數之間高度相關，可能導致迴歸係數的標準誤增大，使得個別係數檢定結果不顯著。

(1) 全體迴歸係數顯著性檢定 (Global Test)

a. 假設設定：

• 虛無假設 ($H_0$)：所有迴歸係數皆為零，表示模型中沒有任何自變數能顯著解釋應變數。
  $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta_5 = 0$
• 對立假設 ($H_a$)：至少有一個迴歸係數不為零，表示模型中至少有一個自變數能顯著解釋應變數。
  $H_a: \text{At least one } \beta_i \neq 0, \text{ for } i=1, 2, 3, 4, 5$

b. 檢定統計量 (Test Statistic)：
全體迴歸係數檢定通常使用 F 統計量。
$F = \frac{\text{Regression Mean Square}}{\text{Residual Mean Square}} = \frac{MSR}{MSE}$

從 ANOVA 表中，我們需要計算 MSR 和 MSE。

• 總平方和 (Total SS) = 140
• 迴歸平方和 (Regression SS) = 100
• 殘差平方和 (Residual Error SS) = Total SS - Regression SS = 140 - 100 = 40
• 迴歸自由度 (Regression DF) = Total DF - Residual DF = 25 - 20 = 5
• 殘差自由度 (Residual Error DF) = 20
• 總自由度 (Total DF) = 25

計算平均平方和：

• $MSR = \frac{\text{Regression SS}}{\text{Regression DF}} = \frac{100}{5} = 20$
• $MSE = \frac{\text{Residual Error SS}}{\text{Residual Error DF}} = \frac{40}{20} = 2$

所以，F 統計量為：
$F = \frac{20}{2} = 10$

c. 決策規則 (Decision Rule)：
我們使用 0.05 的顯著水準 ($\alpha = 0.05$)。
此 F 檢定是基於 F 分配，其自由度為 (Regression DF, Residual Error DF)，即 (5, 20)。
我們需要查 F 分配表，找出在 $\alpha = 0.05$ 和自由度 (5, 20) 下的臨界值 $F_{\alpha, df_1, df_2}$。
查表可知，$F_{0.05, 5, 20} \approx 3.23$。
決策規則：如果計算出的 F 統計量大於臨界值 ($F > 3.23$)，則拒絕虛無假設 $H_0$。

d. 結論：
計算出的 F 統計量為 10，大於臨界值 3.23。
因此，我們拒絕虛無假設 $H_0$。
這表示至少有一個迴歸係數（$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4, \beta_5$）顯著不為零，整體迴歸模型是顯著的。

【答案】

• 假設： $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta_5 = 0$；$H_a:$ 至少有一個 $\beta_i \neq 0$。
• 檢定統計量： $F = 10$。
• 決策規則： 在 $\alpha = 0.05$ 下，若 $F > F_{0.05, 5, 20} \approx 3.23$，則拒絕 $H_0$。
• 結論： 由於 $10 > 3.23$，拒絕 $H_0$，模型整體顯著。

此題為雙因子變異數分析 (Two-Way ANOVA) 的應用，用來檢定兩個類別因子（廣告顏色和廣告尺寸）對連續型反應變數（讀者評分）是否有顯著影響。

核心觀念：

• 雙因子變異數分析 (Two-Way ANOVA)： 檢定兩個因子主效應 (Main Effects) 和交互作用效應 (Interaction Effect)。
• 假設設定：
  • 主效應：檢定各因子本身對反應變數的影響。
  • 交互作用：檢定一個因子對反應變數的影響是否依賴於另一個因子的水準。
• ANOVA 表： 總變異分解為不同效應的變異。
• F 檢定： 用於檢定各效應是否顯著。

數據整理：
首先，我們需要將表格中的數據整理成適合進行雙因子 ANOVA 的格式。
因子 A：尺寸 (Size)，有 3 個水準 (Small, Medium, Large)。
因子 B：顏色 (Color)，有 4 個水準 (Red, Blue, Orange, Green)。
反應變數：評分 (Rating)。
每個組合 (cell) 只有一個觀察值，這表示我們無法直接檢定交互作用效應，因為交互作用的變異無法從純粹的隨機誤差中分離出來。在這種情況下，我們通常假設交互作用不存在 (或視為零)，然後檢定兩個主效應。

計算步驟 (無重複實驗設計，無法檢定交互作用)：

由於每個組合只有一個觀察值，我們無法計算 cell 內的變異來估計純粹誤差。
在這種情況下，通常兩種處理方式：

1. 假設交互作用不存在： 將交互作用項視為零，將其變異併入誤差項中，然後檢定兩個主效應。
2. 使用其他方法： 例如，如果我們有足夠的理由相信其中一個因子（例如尺寸）的效應是固定的，而另一個因子（顏色）的效應是隨機的，可以使用特定模型。

然而，根據題目「Is there a difference in the effectiveness of an advertisement by color and by size?」，最直接的解釋是檢定兩個主效應。在沒有重複實驗的情況下，我們無法檢定交互作用，也不能進行標準的雙因子 ANOVA。
但是，如果題目是期望我們進行標準的 ANOVA，那麼「無重複實驗」意味著我們無法進行交互作用檢定。
在這種情況下，我們通常會假設交互作用為零，然後將其變異併入誤差項，再檢定主效應。

另一種常見的解釋是，題目可能暗示我們進行的是「獨立樣本 t 檢定」或「單因子 ANOVA」的變體。
例如，我們可以分別檢定：

• 尺寸是否有影響？ (將顏色合併)
• 顏色是否有影響？ (將尺寸合併)

讓我們嘗試最標準的雙因子 ANOVA 設定，並指出其局限性。

數據總計：

• 尺寸 (A)：a = 3 水準 (Small, Medium, Large)
• 顏色 (B)：b = 4 水準 (Red, Blue, Orange, Green)
• 總觀察數：N = a * b = 3 * 4 = 12
• 總平均值 ($\bar{y}_{..}$) = (2+3+3+8 + 3+5+6+7 + 6+7+8+8) / 12 = (16 + 21 + 29) / 12 = 66 / 12 = 5.5

計算各水準平均值：

• 尺寸：
  • Small: $\bar{y}_{S.} = (2+3+3+8) / 4 = 16 / 4 = 4.0$
  • Medium: $\bar{y}_{M.} = (3+5+6+7) / 4 = 21 / 4 = 5.25$
  • Large: $\bar{y}_{L.} = (6+7+8+8) / 4 = 29 / 4 = 7.25$
• 顏色：
  • Red: $\bar{y}_{.R} = (2+3+6) / 3 = 11 / 3 \approx 3.67$
  • Blue: $\bar{y}_{.B} = (3+5+7) / 3 = 15 / 3 = 5.0$
  • Orange: $\bar{y}_{.O} = (3+6+8) / 3 = 17 / 3 \approx 5.67$
  • Green: $\bar{y}_{.G} = (8+7+8) / 3 = 23 / 3 \approx 7.67$

計算平方和：

• 總平方和 (Total SS)：
  $SS_{Total} = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (y_{ij} - \bar{y}_{..})^2$
  $SS_{Total} = (2-5.5)^2 + (3-5.5)^2 + (3-5.5)^2 + (8-5.5)^2 + (3-5.5)^2 + (5-5.5)^2 + (6-5.5)^2 + (7-5.5)^2 + (6-5.5)^2 + (7-5.5)^2 + (8-5.5)^2 + (8-5.5)^2$
  $SS_{Total} = (-3.5)^2 + (-2.5)^2 + (-2.5)^2 + (2.5)^2 + (-2.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2 + (2.5)^2 + (2.5)^2$
  $SS_{Total} = 12.25 + 6.25 + 6.25 + 6.25 + 6.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 6.25 = 55.0$

• 尺寸主效應平方和 (Size SS)：
  $SS_{Size} = b \sum_{i=1}^a (\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..})^2$
  $SS_{Size} = 4 \times [ (4.0-5.5)^2 + (5.25-5.5)^2 + (7.25-5.5)^2 ]$
  $SS_{Size} = 4 \times [ (-1.5)^2 + (-0.25)^2 + (1.75)^2 ]$
  $SS_{Size} = 4 \times [ 2.25 + 0.0625 + 3.0625 ] = 4 \times 5.375 = 21.5$

• 顏色主效應平方和 (Color SS)：
  $SS_{Color} = a \sum_{j=1}^b (\bar{y}_{.j} - \bar{y}_{..})^2$
  $SS_{Color} = 3 \times [ (3.67-5.5)^2 + (5.0-5.5)^2 + (5.67-5.5)^2 + (7.67-5.5)^2 ]$
  $SS_{Color} = 3 \times [ (-1.83)^2 + (-0.5)^2 + (0.17)^2 + (2.17)^2 ]$
  $SS_{Color} = 3 \times [ 3.3489 + 0.25 + 0.0289 + 4.7089 ] = 3 \times 8.3367 \approx 25.01$

• 交互作用平方和 (Size*Color SS)：
  由於每個 cell 只有一個觀察值，我們無法計算。
  $SS_{Size*Color} = 0$ (在這種情況下，我們通常假設為 0)

• 誤差平方和 (Error SS)：
  在無重複實驗設計中，誤差項通常包含交互作用項。
  $SS_{Error} = SS_{Total} - SS_{Size} - SS_{Color}$
  $SS_{Error} = 55.0 - 21.5 - 25.01 = 8.49$

ANOVA 表 (假設交互作用為零，併入誤差)：

此題考驗對獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test) 的應用，用來比較兩個獨立群體（日班和夜班工人）的平均值是否有顯著差異。

核心觀念：

• 獨立樣本 t 檢定： 用於比較兩個獨立樣本的平均數。
• 假設設定：
  • $H_0: \mu_1 = \mu_2$ (兩個班次的平均閒置時間相同)
  • $H_a: \mu_1 \neq \mu_2$ (兩個班次的平均閒置時間不同)
  • 其中 $\mu_1$ 是日班的平均閒置時間，$\mu_2$ 是夜班的平均閒置時間。
• 變異數同質性檢定 (Homogeneity of Variances Test)： 在進行 t 檢定之前，通常需要檢定兩個樣本的變異數是否相等。常用的方法是 Levene's test 或 F-test。若變異數不相等，則使用 Welch's t-test。
• t 統計量公式：
  • 若變異數相等：$t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$，其中 $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$。
  • 若變異數不等 (Welch's)：$t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$，自由度計算較複雜 (Welch-Satterthwaite equation)。

數據整理：

• 日班 (Day Shift, 樣本 1)：

  • 數據：92, 103, 116, 81, 89
  • 樣本數 $n_1 = 5$
  • 樣本平均值 $\bar{x}_1 = (92+103+116+81+89) / 5 = 481 / 5 = 96.2$
  • 樣本變異數 $s_1^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x}_1)^2}{n_1-1}$
    $s_1^2 = \frac{(92-96.2)^2 + (103-96.2)^2 + (116-96.2)^2 + (81-96.2)^2 + (89-96.2)^2}{4}$
    $s_1^2 = \frac{(-4.2)^2 + (6.8)^2 + (19.8)^2 + (-15.2)^2 + (-7.2)^2}{4}$
    $s_1^2 = \frac{17.64 + 46.24 + 392.04 + 231.04 + 51.84}{4} = \frac{738.8}{4} = 184.7$
  • 樣本標準差 $s_1 = \sqrt{184.7} \approx 13.59$

• 夜班 (Evening Shift, 樣本 2)：

  • 數據：96, 114, 80, 82, 88, 91
  • 樣本數 $n_2 = 6$
  • 樣本平均值 $\bar{x}_2 = (96+114+80+82+88+91) / 6 = 551 / 6 \approx 91.83$
  • 樣本變異數 $s_2^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x}_2)^2}{n_2-1}$
    $s_2^2 = \frac{(96-91.83)^2 + (114-91.83)^2 + (80-91.83)^2 + (82-91.83)^2 + (88-91.83)^2 + (91-91.83)^2}{5}$
    $s_2^2 = \frac{(4.17)^2 + (22.17)^2 + (-11.83)^2 + (-9.83)^2 + (-3.83)^2 + (-0.83)^2}{5}$
    $s_2^2 = \frac{17.39 + 491.51 + 139.95 + 96.63 + 14.67 + 0.69}{5} = \frac{760.84}{5} \approx 152.17$
  • 樣本標準差 $s_2 = \sqrt{152.17} \approx 12.34$

變異數同質性檢定 (F-test)：

• $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
• $H_a: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$

此題考驗對配對樣本 t 檢定 (Paired Samples t-test) 的應用，用於檢定同一組對象（本例為同一間手術室）在兩種不同處理（使用新肥皂前 vs. 使用新肥皂後）下的平均值是否存在顯著差異。

核心觀念：

• 配對樣本 t 檢定： 用於比較來自同一母體或配對樣本的兩組測量值。其核心是分析兩組測量值之差 (difference) 的平均數。
• 假設設定：
  • 我們關心的是「使用前後的差異」是否顯著降低。因此，我們定義差異 $d = \text{Before} - \text{After}$。
  • 虛無假設 ($H_0$)：使用新肥皂後，平均污染水平沒有降低。也就是說，使用前後的平均差異不大於或等於零。
    $H_0: \mu_d \le 0$
  • 對立假設 ($H_a$)：使用新肥皂後，平均污染水平顯著降低。也就是說，使用前後的平均差異大於零。
    $H_a: \mu_d > 0$
  • 這是一個單尾檢定 (right-tailed test)。

數據整理：
首先，計算每間手術室使用前後的污染水平差異 ($d_i$)。

• 樣本數 (手術室數量) $n = 8$。
• 計算差異的樣本平均值 ($\bar{d}$)：
  $\bar{d} = \frac{-0.2 + 4.1 + 1.6 + 1.8 + 3.1 + 2.0 + 2.9 + 9.6}{8} = \frac{25.1}{8} = 3.1375$
• 計算差異的樣本標準差 ($s_d$)：
  首先計算差異的平方和 $\sum (d_i - \bar{d})^2$。
  $d_i - \bar{d}$:
  -0.2 - 3.1375 = -3.3375
  4.1 - 3.1375 = 0.9625
  1.6 - 3.1375 = -1.5375
  1.8 - 3.1375 = -1.3375
  3.1 - 3.1375 = -0.0375
  2.0 - 3.1375 = -1.1375
  2.9 - 3.1375 = -0.2375
  9.6 - 3.1375 = 6.4625