111 年 國立政治大學經濟學系碩士班《統計學》

本題考驗機率密度函數的基本性質、期望值計算以及累積分布函數的推導。

核心觀念：

1. 機率密度函數的積分必須等於 1。
2. 連續隨機變數的期望值定義。
3. 累積分布函數是機率密度函數的積分。

解題步驟：

(a) 求 $k$
根據機率密度函數的性質，函數在整個定義域上的積分必須等於 1。
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
在本題中，$f(x) = kx^2$ 僅在 $0 < x < 3$ 上非零，因此：
$\int_{0}^{3} kx^2 dx = 1$
$k \int_{0}^{3} x^2 dx = 1$
$k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 1$
$k \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 1$
$k \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 1$
$k (9) = 1$
$k = \frac{1}{9}$
因此，機率密度函數為 $f(x) = \frac{1}{9}x^2$，對於 $0 < x < 3$。

【答案】$k = \frac{1}{9}$

(b) 求 $E[X]$
連續隨機變數 $X$ 的期望值定義為：
$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
將 $f(x) = \frac{1}{9}x^2$ 代入，積分範圍為 $0 < x < 3$：
$E[X] = \int_{0}^{3} x \left( \frac{1}{9}x^2 \right) dx$
$E[X] = \frac{1}{9} \int_{0}^{3} x^3 dx$
$E[X] = \frac{1}{9} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{3}$
$E[X] = \frac{1}{9} \left( \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right)$
$E[X] = \frac{1}{9} \left( \frac{81}{4} - 0 \right)$
$E[X] = \frac{1}{9} \times \frac{81}{4}$
$E[X] = \frac{9}{4}$

【答案】$E[X] = \frac{9}{4}$

本題考驗聯合機率分佈、條件期望值、隨機變數函數的期望值以及迭代期望定律。

核心觀念：

1. 條件機率與條件期望值的計算。
2. 隨機變數函數的期望值計算。
3. 迭代期望定律 (Law of Iterated Expectations)：$E[Y] = E[E[Y|X]]$。

解題步驟：

首先，我們需要先計算邊際機率與條件機率。
由聯合機率分佈表，我們可以得到：
$P(X=1, Y=1) = 0.10$
$P(X=1, Y=2) = 0.20$
$P(X=2, Y=1) = 0.60$
$P(X=2, Y=2) = 0.10$

計算邊際機率：
$P(X=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 0.10 + 0.20 = 0.30$
$P(X=2) = P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = 0.60 + 0.10 = 0.70$
(驗算：$P(X=1) + P(X=2) = 0.30 + 0.70 = 1.00$)

$P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = 0.10 + 0.60 = 0.70$
$P(Y=2) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) = 0.20 + 0.10 = 0.30$
(驗算：$P(Y=1) + P(Y=2) = 0.70 + 0.30 = 1.00$)

(a) 求 $E[Y | X = 1]$
條件期望值 $E[Y | X = 1]$ 是在已知 $X=1$ 的條件下，對 $Y$ 的期望值。首先，我們需要計算條件機率 $P(Y=y | X=1)$。
$P(Y=1 | X=1) = \frac{P(X=1, Y=1)}{P(X=1)} = \frac{0.10}{0.30} = \frac{1}{3}$
$P(Y=2 | X=1) = \frac{P(X=1, Y=2)}{P(X=1)} = \frac{0.20}{0.30} = \frac{2}{3}$

現在，計算條件期望值：
$E[Y | X = 1] = \sum_{y} y P(Y=y | X=1)$
$E[Y | X = 1] = (1) \times P(Y=1 | X=1) + (2) \times P(Y=2 | X=1)$
$E[Y | X = 1] = (1) \times \frac{1}{3} + (2) \times \frac{2}{3}$
$E[Y | X = 1] = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$

【答案】$E[Y | X = 1] = \frac{5}{3}$

(b) 求 $E[Y | X]$ 的機率分佈
$E[Y | X]$ 是一個隨機變數，它的值取決於 $X$ 的值。$X$ 有兩個可能的值：1 和 2。
我們已經計算了當 $X=1$ 時的條件期望值：$E[Y | X=1] = \frac{5}{3}$。
現在我們需要計算當 $X=2$ 時的條件期望值 $E[Y | X=2]$。

首先計算條件機率 $P(Y=y | X=2)$：
$P(Y=1 | X=2) = \frac{P(X=2, Y=1)}{P(X=2)} = \frac{0.60}{0.70} = \frac{6}{7}$

核心觀念

估計量 $W$ 的偏誤定義為 $E(W)-\mu$。在獨立同分配的隨機樣本下，樣本平均數的期望值與變異數分別為

$$E(\overline X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\overline X)=\frac{\sigma^2}{n}.$$

判斷一致性時，可計算均方誤差；若均方誤差隨 $n\to\infty$ 趨近於零，則估計量一致。

解題方法

(a) 利用期望值的線性性質：

$$E(W)=E\left(\frac{n-1}{n}\overline X\right) =\frac{n-1}{n}E(\overline X) =\frac{n-1}{n}\mu.$$

因此偏誤為

$$\operatorname{Bias}(W)=E(W)-\mu =\frac{n-1}{n}\mu-\mu =-\frac{\mu}{n}.$$

所以 $\mu\ne 0$ 時，$W$ 是有偏估計量，偏誤為 $-\mu/n$；若 $\mu=0$，偏誤則為零。

(b) 固定 $\mu$ 並令 $n\to\infty$：

$$\lim_{n\to\infty}\operatorname{Bias}(W) =\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{\mu}{n}\right)=0.$$

因此，偏誤會趨近於零。

(c) 常數倍隨機變數的變異數會乘上該常數的平方：

本題考驗條件期望值與協方差的關係，以及如何利用迭代期望定律證明兩個隨機變數獨立或無關。

核心觀念：

1. 條件期望值的性質：$E[E[Y|X]] = E[Y]$。
2. 協方差 (Covariance) 的定義：$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$。
3. 如何利用條件期望值計算 $E[XY]$。

解題步驟：

我們被告知 $E[Y | X] = E[Y]$。
根據迭代期望定律 (Law of Iterated Expectations)，我們知道：
$E[Y] = E[E[Y | X]]$
將已知條件 $E[Y | X] = E[Y]$ 代入上式：
$E[Y] = E[E[Y]]$
由於 $E[Y]$ 是一個常數，常數的期望值就是它本身，所以這個式子是恆成立的，它本身並沒有直接給出 $X$ 和 $Y$ 之間的關係。

我們需要計算協方差 $Cov(X,Y)$。定義為：
$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$

為了證明 $Cov(X,Y) = 0$，我們需要證明 $E[XY] = E[X]E[Y]$。
我們可以利用條件期望值來計算 $E[XY]$。考慮 $E[XY]$：
$E[XY] = E[E[XY | X]]$ (迭代期望定律)

本題考驗對 log-linear 迴歸模型中係數的解釋，以及如何計算條件期望值的期望值。

核心觀念：

1. log-linear 模型中，自變數每增加一個單位，應變數的對數平均值會改變多少。
2. 迭代期望定律：$E[Y] = E[E[Y|X]]$。

解題步驟：

給定的模型是：
$E[\log(\text{wage}) | \text{educ, exper}] = \beta_0 + \beta_1 \text{educ} + \beta_2 \text{exper}$
其中 $\beta_0 = 1.05$, $\beta_1 = 0.10$, $\beta_2 = 0.08$。

(a) 解釋 $\beta_1$
$\beta_1$ 是在控制了工作經驗 (exper) 的情況下，教育年數 (educ) 對薪資對數 (log(wage)) 的影響。
在 log-linear 模型中，當應變數是 log(Y) 且自變數是 X 時，$E[\log(Y)|X] = \beta_0 + \beta_1 X$。
其中 $\beta_1$ 表示自變數 $X$ 每增加一個單位，應變數的對數 $E[\log(Y)]$ 平均會增加 $\beta_1$ 個單位。
因此，$\beta_1 = 0.10$ 的解釋是：
在其他條件（即工作經驗 exper）相同的情況下，教育年數 (educ) 每增加一年，預期薪資的對數 (log(wage)) 平均會增加 0.10。
這也可以轉換成薪資本身百分比的改變。因為 $\log(wage)$ 的改變 $\Delta \log(\text{wage}) \approx \frac{\Delta \text{wage}}{\text{wage}}$ (當 $\Delta \text{wage}$ 很小時)。
所以，薪資的預期百分比改變為 $\beta_1 \times 100\%$。
0.10 的意思是，教育年數每增加一年，預期薪資會增加約 $0.10 \times 100\% = 10\%$。

【答案】在其他條件（工作經驗）相同的情況下，教育年數每增加一年，預期薪資的對數平均會增加 0.10，相當於預期薪資平均增加約 10%。

核心觀念

本題考查供需均衡、聯立方程式，以及迴歸斜率的共變異數表示式：

$$\gamma_1=\frac{\operatorname{Cov}(P,Q)}{\operatorname{Var}(P)}.$$

其中假設 $\beta_1+\beta_2\neq 0$；在一般經濟學設定下，$\beta_1,\beta_2>0$。

---

(a) 均衡價格與均衡數量

均衡時需求量等於供給量，因此令兩式相等：

$$-\beta_1P+e_1=\beta_2P+e_2.$$

整理價格項：

$$(\beta_1+\beta_2)P=e_1-e_2.$$

所以均衡價格為

$$\boxed{P=\frac{e_1-e_2}{\beta_1+\beta_2}}.$$

將價格代回需求式：

$$Q=-\beta_1\left(\frac{e_1-e_2}{\beta_1+\beta_2}\right)+e_1.$$

通分整理：

$$Q=\frac{-\beta_1e_1+\beta_1e_2+(\beta_1+\beta_2)e_1} {\beta_1+\beta_2},$$

因此

$$\boxed{Q=\frac{\beta_2e_1+\beta_1e_2}{\beta_1+\beta_2}}.$$

---

(b) 計算 $\operatorname{Cov}(P,e_1)$

由 (a)：

$$P=\frac{e_1-e_2}{\beta_1+\beta_2}.$$

利用共變異數的線性性質：

$$\operatorname{Cov}(P,e_1) = \frac{1}{\beta_1+\beta_2} \operatorname{Cov}(e_1-e_2,e_1).$$

進一步展開：

$$\operatorname{Cov}(e_1-e_2,e_1) = \operatorname{Cov}(e_1,e_1) - \operatorname{Cov}(e_2,e_1).$$

根據題目條件：

$$\operatorname{Cov}(e_1,e_1)=\operatorname{Var}(e_1)=1,$$

且

$$\operatorname{Cov}(e_2,e_1)=\operatorname{Cov}(e_1,e_2)=0.$$

因此

$$\boxed{\operatorname{Cov}(P,e_1)=\frac{1}{\beta_1+\beta_2}}.$$

這表示均衡價格與需求誤差項並不獨立。價格本身受到需求衝擊 $e_1$ 影響，因此直接以價格解釋數量時會產生內生性問題。

---

(c) 計算迴歸斜率 $\gamma_1$

迴歸式為

$$Q_i=\gamma_0+\gamma_1P_i+u_i,$$

並且滿足

$$E[u_i]=0,\qquad E[P_iu_i]=0.$$

由於 $E[P_i u_i]=0$，迴歸斜率可寫為

$$\gamma_1=\frac{\operatorname{Cov}(P,Q)}{\operatorname{Var}(P)}.$$

第一步：計算 $\operatorname{Var}(P)$

由

$$P=\frac{e_1-e_2}{\beta_1+\beta_2},$$

可得

$$\operatorname{Var}(P) = \frac{\operatorname{Var}(e_1-e_2)} {(\beta_1+\beta_2)^2}.$$

因為 $\operatorname{Cov}(e_1,e_2)=0$：

本題考驗對 log-linear 生產函數的解釋、估計量變異數的計算、假設檢定（特別是關於規模報酬的檢定）以及聯立方程模型中的內生性問題對估計量的影響。

核心觀念：

1. log-linear 模型係數的解釋。
2. 線性組合估計量的變異數計算。
3. 假設檢定，特別是關於規模報酬的檢定。
4. 內生性問題（遺漏變數偏誤）對迴歸係數的影響。

解題步驟：

給定的模型是 log-linear 生產函數：
$\log(Y) = \beta_0 + \beta_1 \log(L) + \beta_2 \log(K) + u$
OLS 估計結果：$\hat{\beta}_0 = 1.220$, $\hat{\beta}_1 = 0.954$, $\hat{\beta}_2 = 0.256$。
樣本大小 $n = 525$。
估計的協方差矩陣：
$\widehat{Cov}(\hat{\beta}) = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \times 10^{-4}$
從協方差矩陣中，我們可以讀出：
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_0) = 5 \times 10^{-4}$
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = 4 \times 10^{-4}$
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_2) = 1 \times 10^{-4}$
$\widehat{Cov}(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2) = 2 \times 10^{-4}$

(a) 解釋 $\beta_1$
在 log-linear 生產函數模型中，$\beta_1$ 代表勞動投入 $\log(L)$ 每增加一個單位，產出對數 $\log(Y)$ 平均的改變量。
這表示勞動的邊際產出彈性 (elasticity of output with respect to labor)。
所以，$\beta_1 = 0.954$ 的解釋是：
在資本投入 $K$ 不變的情況下，勞動投入 $L$ 每增加 1%，預期產出 $Y$ 平均會增加 0.954%。
或者說，$\log(L)$ 每增加一個單位（即 $L$ 增加到原來的 $e$ 倍），$\log(Y)$ 平均增加 0.954。

【答案】在資本投入不變的情況下，勞動投入每增加 1%，預期產出平均增加 0.954%。

(b) 求 $\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2$ 的標準誤 (standard error)。
標準誤是變異數的平方根。我們需要計算 $\widehat{Var}(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2)$。
令 $W = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2$。
$\widehat{Var}(W) = \widehat{Var}(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2)$
利用變異數的性質：$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y)$。
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) = \widehat{Var}(\hat{\beta}_1) + \widehat{Var}(\hat{\beta}_2) + 2 \widehat{Cov}(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2)$
從協方差矩陣中讀取值：
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = 4 \times 10^{-4}$
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_2) = 1 \times 10^{-4}$
$\widehat{Cov}(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2) = 2 \times 10^{-4}$

代入計算：
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) = (4 \times 10^{-4}) + (1 \times 10^{-4}) + 2 (2 \times 10^{-4})$
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) = 4 \times 10^{-4} + 1 \times 10^{-4} + 4 \times 10^{-4}$
$\widehat{Var}(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) = (4 + 1 + 4) \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-4}$
標準誤是變異數的平方根：
$SE(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) = \sqrt{\widehat{Var}(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2)} = \sqrt{9 \times 10^{-4}}$
$SE(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) = 3 \times 10^{-2} = 0.03$

【答案】$\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2$ 的標準誤為 0.03。

(c) 檢定恆定規模報酬 (constant returns to scale) 的假設檢定。
在 Cobb-Douglas 生產函數 $\log(Y) = \beta_0 + \beta_1 \log(L) + \beta_2 \log(K) + u$ 中，規模報酬由 $\beta_1 + \beta_2$ 的值決定：

• 若 $\beta_1 + \beta_2 = 1$，表示恆定規模報酬 (Constant Returns to Scale, CRS)。
• 若 $\beta_1 + \beta_2 > 1$，表示遞增規模報酬 (Increasing Returns to Scale, IRS)。
• 若 $\beta_1 + \beta_2 < 1$，表示遞減規模報酬 (Decreasing Returns to Scale, DRS)。

我們感興趣的檢定是恆定規模報酬，即 $\beta_1 + \beta_2 = 1$。
因此，檢定假設為：
虛無假設 $H_0: \beta_1 + \beta_2 = 1$
對立假設 $H_1: \beta_1 + \beta_2 \ne 1$ (通常對規模報酬的檢定，對立假設是不等於 1)

檢定統計量 (t 檢定統計量) 的形式為：
$t = \frac{(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) - (\text{hypothesized value})}{SE(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2)}$
其中，hypothesized value 是我們在虛無假設下聲稱的值，即 1。
$t = \frac{(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2) - 1}{SE(\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2)}$

【答案】
檢定假設：$H_0: \beta_1 + \beta_2 = 1$ vs $H_1: \beta_1 + \beta_2 \ne 1$。