112 年 國立政治大學經濟學系碩士班《統計學》

本題考驗單因子變異數分析（One-way ANOVA）的應用。題目要求檢定不同餐廳（或說不同種類的餐廳）的平均漢堡銷售量是否存在差異，並計算檢定統計量。

核心觀念： 單因子變異數分析用於比較三個或三個以上獨立樣本的平均數。

步驟：

1. 設定虛無與對立假設：

   • $H_0$: 四家餐廳的平均漢堡銷售量均相等。($\mu_{Metro} = \mu_{Interstate} = \mu_{University} = \mu_{River}$)
   • $H_1$: 至少有一家餐廳的平均漢堡銷售量與其他餐廳不同。

2. 資料整理與計算：
   我們有 4 個處理（餐廳種類）和 6 個觀察值（週數）。

   • 總觀察數 $N = 4 \times 6 = 24$。
   • 總自由度 $df_{Total} = N - 1 = 23$。

   各組（餐廳）的統計量：

   • Metro:
     • Sum ($S_M$) = $124 + 234 + 430 + 105 + 240 + 310 = 1443$
     • Mean ($\bar{x}_M$) = $1443 / 6 = 240.5$
     • Sum of Squares ($SS_M$) = $\sum (x_{M,i} - \bar{x}_M)^2 = (124-240.5)^2 + ... + (310-240.5)^2 = 113701.5$
   • Interstate:
     • Sum ($S_I$) = $160 + 220 + 290 + 245 + 205 + 260 = 1380$
     • Mean ($\bar{x}_I$) = $1380 / 6 = 230$
     • Sum of Squares ($SS_I$) = $\sum (x_{I,i} - \bar{x}_I)^2 = (160-230)^2 + ... + (260-230)^2 = 45100$
   • University:
     • Sum ($S_U$) = $320 + 340 + 290 + 310 + 280 + 270 = 1810$
     • Mean ($\bar{x}_U$) = $1810 / 6 = 301.67$
     • Sum of Squares ($SS_U$) = $\sum (x_{U,i} - \bar{x}_U)^2 = (320-301.67)^2 + ... + (270-301.67)^2 = 4062.67$
   • River:
     • Sum ($S_R$) = $190 + 230 + 240 + 170 + 180 + 205 = 1215$
     • Mean ($\bar{x}_R$) = $1215 / 6 = 202.5$
     • Sum of Squares ($SS_R$) = $\sum (x_{R,i} - \bar{x}_R)^2 = (190-202.5)^2 + ... + (205-202.5)^2 = 5012.5$

   總體平均數：

   • 總和 ($S_{Total}$) = $1443 + 1380 + 1810 + 1215 = 5848$

核心觀念

本題考察「卡方適合度檢定（chi-square goodness-of-fit test）」，用來判斷樣本觀察到的各類別比例，是否符合既定的母體比例。

假設：

• $H_0$：觀眾收視比例仍為 ABC、CBS、NBC 各 $30\%$，有線電視 $10\%$。
• $H_1$：實際收視比例不符合上述指導比例。

卡方檢定統計量為

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為在 $H_0$ 成立下的期望次數。

解題方法

樣本數為 $n=500$。依據既定比例，各類別的期望次數為：

因此，

本題考驗配對樣本 t 檢定（Paired Samples t-test），用於檢定兩個相關樣本（在此為同一受試者前後測的得分）的平均數是否存在顯著差異。題目要求判斷訓練是否有效，這意味著我們需要檢定訓練後的平均分數是否顯著高於訓練前的平均分數。

核心觀念： 配對樣本 t 檢定用於分析成對觀測值之間的差異。

步驟：

1. 計算差異分數 (Difference Scores, $d_i$)：
   題目已說明計算方式為 (post-training survey score - pre-training survey score)。

   • A: $8 - 6 = 2$
   • B: $5 - 5 = 0$
   • C: $10 - 10 = 0$
   • D: $10 - 7 = 3$
   • E: $8 - 6 = 2$
   • F: $6 - 5 = 1$
   • G: $8 - 2 = 6$

2. 計算差異分數的平均數 ($\bar{d}$) 與標準差 ($s_d$)：

   • 樣本數 $n = 7$。
   • 差異分數列表: $2, 0, 0, 3, 2, 1, 6$
   • 平均差異 $\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} = \frac{2+0+0+3+2+1+6}{7} = \frac{14}{7} = 2$。
   • 計算差異分數的變異數 ($s_d^2$)：
     $s_d^2 = \frac{\sum (d_i - \bar{d})^2}{n-1}$
     $s_d^2 = \frac{(2-2)^2 + (0-2)^2 + (0-2)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 + (1-2)^2 + (6-2)^2}{7-1}$
     $s_d^2 = \frac{0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 4^2}{6}$

核心觀念

本題考多元線性迴歸的整體配適度與整體顯著性檢定。

決定係數 $R^2$ 表示應變數總變異中，能由迴歸模型解釋的比例：

整體 $F$ 檢定則檢驗五個斜率係數是否同時為零。若拒絕虛無假設，代表至少有一個解釋變數與年銷售額有線性關係。

解題方法

（1）計算迴歸解釋的變異百分比

題目給出迴歸平方和 $SSR=1593.81$、誤差平方和 $SSE=9.08$，所以總平方和為：

因此：

換算成百分比：

答：迴歸模型解釋了約 $99.43\%$ 的年銷售額變異。

（2）進行整體 $F$ 檢定

令 $\beta_1,\ldots,\beta_5$ 為五個解釋變數的母體迴歸係數，檢定假設為：

共有 $n=10$ 筆資料、$k=5$ 個解釋變數，因此自由度為：