112 年國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》考古題與詳解

Question 1

Problem 1 (19 points)
Jerry purchases only two goods, apples ( $q_1$ ) and oranges ( $q_2$ ). He has an income, $m$ , of 60 dollars.
Suppose the price of an apple is $4, and the price of an orange is$ 2.

a) (2 points) Write down Jerry's budget constraint and plot his budget set. What is the economic interpretation for the slope of the budget line?

b) (4 points) Suppose Jerry's utility function is given by
$U(q_1, q_2) = [(2\ln q_1 + \ln q_2)^2 + 6]^{1/3}$
Can you find a simpler utility function that represents the same preferences? Explain why your proposal is valid.

c) (2 points) Write down the formula for Jerry's MRS. Give an economic interpretation of the MRS.

d) (6 points) What bundle of apples and oranges should Jerry purchase to maximize his utility?

e) (2 points) Following d), how much money would Jerry spend on apples and oranges, respectively?

f) (3 points) Suppose the price of an apple becomes $5.5, and the price of an orange becomes$ 2.5. How much money now would Jerry spend on apples and oranges, respectively?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 預算限制式與預算線斜率 - 單調轉換下的效用函數 - 邊際替代率（MRS） - 內部最適解的切線條件 - Cobb–Douglas 型偏好下的支出比例 --- (a) 預算限制式與預算線 收入為 $m=60$，蘋果價格為 $p1=4$，橘子價格為 $p2=2$，因此預算限制式為 $$ 4q1+2q2\leq 60, \qquad q1,q2\geq 0. $$ 預算線為 $$ 4q1+2q2=60. $$ 整理得 $$ q2=30-2q1. $$ 兩軸截距為： - 全部購買蘋果：$q1=15$ - 全部購買橘子：$q2=30$ 因此預算線連接 $(15,0)$ 與 $(0,30)$，預算集合為預算線下方及其邊界。 預算線斜率為 $$ -\frac{p1}{p2}=-\frac{4}{2}=-2. $$ 經濟意義是：在收入固定下，多購買一單位蘋果，必須放棄 $2$ 單位橘子。其絕對值 $$ \frac{p1}{p2}=2 $$ 代表蘋果相對於橘子的機會成本。 --- (b) 找出較簡單且代表相同偏好的效用函數 令 $$ x=2\ln q1+\ln q2. $$ 原效用函數為 $$ U(q1,q2)=\left[x^2+6ight]^{1/3}. $$ 因為函數 $$ f(z)=(z+6)^{1/3} $$ 對 $z\geq 0$ 嚴格遞增，所以可以取 $$ V(q1,q2)=\left(2\ln q1+\ln q2ight)^2 $$ 作為較簡單的效用函數。因為 $$ U=f(V), $$ 且 $f$ 是嚴格遞增函數，因此兩個消費組合的偏好排序完全相同。 進一步利用對數性質， $$ 2\ln q1+\ln q2 =\ln(q1^2q2), $$ 所以也可以寫成 $$ V(q1,q2)=\left[\ln(q1^2q2)ight]^2. $$ 嚴格的數學注意 原題效用函數含有平方項，因此它不一定偏好較大的 $$ 2\ln q1+\ln q2. $$ 當該項為負時，數值越小反而可能使平方越大。若允許 $q1$ 或 $q2$ 任意接近 $0$，則 $$ 2\ln q1+\ln q2	o-\infty, $$ 導致 $U	o\infty$，最適解不存在。 因此，本題後續小題採用的標準經濟學解讀，是考慮 $$ 2\ln q1+\ln q20 $$ 的相關消費區域。在此區域內，最大化原效用等價於最大化 $$ 2\ln q1+\ln q2. $$ --- (c) MRS 與經濟意義 在上述相關區域內，可使用等價效用函數 $$ V(q1,q2)=2\ln q1+\ln q2. $$ 其邊際效用為 $$ MU1=\frac{\partial V}{\partial q1}=\frac{2}{q1}, $$ $$ MU2=\frac{\p…

Question 2

Problem 2 (6 points)
Answer each of the following questions within 3 sentences. Please give the rationale behind your answers. You don't need to write down any equations.

a) (3 points) When elasticity of demand is high, will a monopoly have a higher or lower margin (i.e., the difference between price and marginal cost)? Why?

b) (3 points) "It is widely known that having a higher education is good for the person himself or herself, but also for the public in general.” Based on this statement, suppose we leave the provision and funding of education entirely to the market. Should we expect a higher or lower average level of education? Why?

Accepted Answer

這組題目考驗對市場結構、獨占定價策略以及外部性的基本理解。 a) 獨占者的定價邊際與需求彈性 當獨占者的需求彈性很高時，表示消費者對價格的變動非常敏感。在這種情況下，獨占者若稍微提高價格，需求量就會大幅下降，這會嚴重影響其利潤。因此，為了維持較高的銷售量並避免潛在的巨大收益損失，獨占者會傾向於將價格設定得更接近其邊際成本。這表示獨占者的定價邊際（價格與邊際成本之差）會較低。 b) 教育的市場供應與外部性

Question 3

Problem 3 (13 points)
We are in the World Cup, and the penalty kicks will now decide the game. The kicker (person 1) can kick the ball in 3 possible directions, {L, M, R}, and the goalie (person 2) needs to decide in which direction among {L, M, R} he should dive for the ball.
The following is the payoff matrix for the two players, and the numbers correspond to the probability that the players will succeed (i.e., the kickers will kick the ball in, or the goalie will make the save.)

Player 1 \ Player 2	L	M	R
L	2/5, 3/5	4/5, 1/5	1, 0
M	3/5, 2/5	0, 1	3/5, 2/5
R	1, 0	4/5, 1/5	1/5, 4/5

The first number in each cell is the payoff for Player 1 (kicker), and the second number is the payoff for Player 2 (goalie).

a) (5 points) Find the pure strategy Nash Equilibrium in this game, if any.

b) (8 points) Find the mixed strategy Nash Equilibrium in this game, if any.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Nash equilibrium、最佳回應，以及混合策略均衡的無差異條件。 由於每個格子的兩位玩家報酬總和皆為 $1$，本題屬於常和賽局。對 Player 1 而言，目標是最大化第一個數字；對 Player 2 而言，目標是最大化第二個數字，也就是最小化第一個數字。 --- a) 純策略 Nash equilibrium Player 1 的最佳回應 固定 Player 2 的策略： - Player 2 選 $L$：Player 1 的報酬為 $$ \frac25,\ \frac35,\ 1 $$ 因此最佳回應為 $R$。 - Player 2 選 $M$：Player 1 的報酬為 $$ \frac45,\ 0,\ \frac45 $$ 因此最佳回應為 $L$ 或 $R$。 - Player 2 選 $R$：Player 1 的報酬為 $$ 1,\ \frac35,\ \frac15 $$ 因此最佳回應為 $L$。 Player 2 的最佳回應 Player 2 追求較高的第二個數字，等價於選擇使 Player 1 報酬最低的方向： - Player 1 選 $L$：Player 1 報酬為 $$ \frac25,\ \frac45,\ 1 $$ 因此 Player 2 的最佳回應為 $L$。 - Player 1 選 $M$：Player 1 報酬為 $$ \frac35,\ 0,\ \frac35 $$ 因此 Player 2 的最佳回應為 $M$。 - Player 1 選 $R$：Player 1 報酬為 $$ 1,\ \frac45,\ \frac15 $$ 因此 Player 2 的最佳回應為 $R$。 將雙方最佳回應交叉比對： - $(L,L)$：Player 1 會改選 $R$。 - $(M,M)$：Player 1 會改選 $L$ 或 $R$。 - $(R,R)$：Player 1 會改選 $L$。 - 其他組合也至少有一位玩家可以獲得更高報酬。 因此不存在雙方互為最佳回應的純策略組合。 --- b) 混合策略 Nash equilibrium 解題方法 在混合策略均衡中，任何被 Player 1 以正機率採用的純策略，期望報酬必須相同；Player 2 亦同理。 本題的均衡會使用 $L$ 與 $R$，而不使用 $M$。令： - Player 1 選 $L$ 的機率為 $p$，選 $R$ 的機率為 $1-p$； - Player 2 選 $L$ 的機率為 $q$，選 $R$ 的機率為 $1-q$； - 雙方選 $M$ 的機率皆為 $0$。 令 Player 1 在 $L$、$R$ 之間無差異 Player 1 選 $L$ 的期望報酬為 $$ u1(L)=\frac25q+1(1-q) =1-\frac35q. $$…

Question 4

Problem 4 (12 points)
A new neighborhood is developed on a new linear street, the interval [0,1]. Three convenience stores will open sequentially, with store 1 choosing its location first, then store 2 will select its site, and finally, store 3 will choose its location. Suppose the homogeneous customers are uniformly distributed on the linear street, and they will only go to the convenience store that is nearest to them.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
(圖示為一條線段，標示範圍為 0 到 1，其中點 X1 標示在 1/4 的位置)

Assume that all convenience stores want to maximize their customer bases. Now, store 1 has already chosen its location at x1=1/4.

a) (8 points) What locations will store 2 and store 3 pick, respectively?

b) (4 points) In the end, what is each store's market share?

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是線性城市模型（Hotelling model）與逆向歸納法。消費者均勻分布於 $[0,1]$，兩家商店之間的無差異消費者位於兩店位置的中點。 若三家商店由左至右的位置為 $y1<y2<y3$，市場占有率為 $$ s1=\frac{y1+y2}{2},\qquad s2=\frac{y3-y1}{2},\qquad s3=1-\frac{y2+y3}{2}. $$ 解題方法：先分析商店 3 令商店 1 的位置為 $$ x1=\frac14, $$ 並令商店 2 選擇 $x2=t$，其中先考慮 $t\frac14$。 商店 3 有三種主要進入位置： 1. 緊鄰商店 2 的右側，市場占有率接近 $$ 1-t. $$ 2. 位於兩家既有商店之間，市場占有率為 $$ \frac{t-\frac14}{2}. $$ 3. 緊鄰商店 1 的左側，市場占有率接近 $$ \frac14. $$ 當 $t<\frac34$ 時， $$ 1-t\frac14\frac{t-\frac14}{2}, $$ 因此商店 3 會選在商店 2 的右側。 當 $t\frac34$ 時， $$ \frac{t-\frac14}{2}\frac141-t, $$ 因此商店 3 會進入兩家商店之間。依對稱性，在等價位置中取中點： $$ x3=\frac{\frac14+t}{2}. $$ 三種市場機會恰好相等的臨界點由 $$ 1-t=\frac14 $$ 決定，因此 $$ t=\frac34. $$ 商店 2 的選址 若 $\frac14<t<\frac34$，商店 3 緊鄰商店 2 的右側，商店 2 的市場占有率為 $$ s2=\frac{t-\frac14}{2}<\frac14. $$ 若 $t\frac34$，商店 3 位於兩店之間。取 $$ x3=\frac{\frac14+t}{2}, $$ 則商店 2 位於最右側，其市場占有率為

Question 5

Problem 5 (25 points) Suppose that a couple's preferences can be represented by the joint utility function

U = \alpha_f \ln(l_f - \bar{l}_f) + \alpha_m \ln(l_m - \bar{l}_m) + (1-\alpha_f-\alpha_m)\ln(x-\bar{x})

where

l_f

is wife's non-market time;

l_m

is husband's non-market time;

\bar{l}_f

is the minimum non-market time necessary for survival;

\bar{l}_m

is the minimum non-market time necessary for survival;

x

is family consumption of market goods;

\bar{x}

is the subsistence level of market goods consumption; and

\alpha_f > 0, \alpha_m > 0

, and

\alpha_f+\alpha_m < 1

because non-market time and market goods are "goods," not "bads." Clearly, U is defined only if

l_f > \bar{l}_f, l_m > \bar{l}_m

, and

x > \bar{x}

. The family's budget constraint is

p x = w_f (T - l_f) + w_m (T - l_m) + y

where

p

is the price of market goods,

w_f

and

w_m

are the wife's and husband's wage rates,

T

is each individual's time endowment, and

y

is the family's non-labor income.

Accepted Answer

核心觀念 本題結合三個重點： 1. 時間配置轉換：由非市場時間 $li$ 改寫為工作時間 $hi=T-li$。 2. Stone–Geary 型 Cobb–Douglas 效用函數：先扣除維生需求，再依固定支出比例分配「超額所得」。 3. Slutsky 分解：將妻子勞動供給對丈夫工資的反應，分成替代效果與所得效果。 令 $$ \gamma=1-\alphaf-\alpham0. $$ --- a) 將效用函數改寫成工作時間形式 由 $$ hf=T-lf,\qquad hm=T-lm $$ 可得 $$ lf-\bar lf=(T-\bar lf)-hf, $$ 以及 $$ lm-\bar lm=(T-\bar lm)-hm. $$ 定義 $$ \bar hf=T-\bar lf,\qquad \bar hm=T-\bar lm. $$ 因此 $$ lf-\bar lf=\bar hf-hf, $$ $$ lm-\bar lm=\bar hm-hm. $$ 所以正確的工作時間表示法為 $$ U=\alphaf\ln(\bar hf-hf) +\alpham\ln(\bar hm-hm) +\gamma\ln(x-\bar x). $$ 其中定義域為 $$ hf<\bar hf,\qquad hm<\bar hm,\qquad x\bar x. $$ 題目所寫的 $\ln(hf-\bar hf)$ 與 $hi=T-li$ 不相容；因為非市場時間是「工作時間上限減去工作時間」，正確形式應為 $\ln(\bar hi-hi)$。 --- b) 推導妻子的勞動供給函數 由預算限制： $$ px=wfhf+wmhm+y. $$ 令 $$ qf=\bar hf-hf=lf-\bar lf, $$ $$ qm=\bar hm-hm=lm-\bar lm, $$ $$ z=x-\bar x. $$ 因為 $$ hf=\bar hf-qf,\qquad hm=\bar hm-qm, $$ 代入預算限制： $$ p(z+\bar x) =wf(\bar hf-qf)+wm(\bar hm-qm)+y. $$ 整理得 $$ pz+wfqf+wmqm=S, $$ 其中 $$ S=wf\bar hf+wm\bar hm+y-p\bar x. $$ $S$ 是扣除維生消費與維生時間後的「超額所得」。 拉格朗日函數為 $$ \mathcal L =\alphaf\ln qf+\alpham\ln qm+\gamma\ln z +\lambda(S-wfqf-wmqm-pz). $$ 一階條件為 $$ \frac{\alphaf}{qf}=\lambda wf, $$ $$ \frac{\alpham}{qm}=\lambda wm, $$ $$ \frac{\gamma}{z}=\lamb…

Question 6

If the firm wishes to maximize profits, how many female and male workers should be hired, and what will the wage rates be for those two groups? How much will NCCU earn in profits per hour on its machinery?

Accepted Answer

核心觀念 NCCU 是勞動市場的獨買者。面對向上斜的勞動供給曲線，雇用一名額外員工時，除了支付該員工的工資，也必須提高同組員工的工資，因此「邊際雇用成本」高於工資。 每位員工每小時可採煤 $2$ 噸，煤價為 \$5，因此每位員工每小時帶來的邊際收益為： $$ MRPL = 2 	imes 5 = \$10 $$ 公司可分別對女性與男性訂定工資，因此兩組勞工各自滿足「邊際收益產品等於邊際雇用成本」。 解題方法 先將兩組勞動供給改寫成反供給函數，再由總工資支出求邊際雇用成本。 女性勞工的供給為 $lf=100wf$，反供給為： $$ wf=\frac{lf}{100} $$ 雇用 $lf$ 名女性的總工資支出為 $wflf$，所以： $$ TEf=\frac{lf^2}{100}, \qquad MEf=\frac{dTEf}{dlf}=\frac{lf}{50} $$ 令女性勞工的邊際雇用成本等於其邊際收益產品： $$ \frac{lf}{50}=10 $$ 因此： $$ lf=500, \qquad wf=\frac{500}{100}=5 $$ 公司應雇用 500 名女性，女性工資為 每小時 \$5。 男性勞工的供給為 $lm=9wm^2$，反供給為： $$ wm=\frac{\sqrt{lm}}{3} $$ 男性勞工的總工資支出及邊際雇用成本為： $$ TEm=\frac{lm^{3/2}}{3}, \qquad MEm=\frac{dTEm}{dlm}=\frac{\sqrt{lm}}{2} $$

Question 7

How will that result compare to one in which NCCU was constrained to pay all workers the same wage based on the value of their marginal product?

Accepted Answer

核心觀念 每位工人的邊際產量都是每小時 $2$ 噸，煤炭價格為每噸 \$5，因此女性與男性工人的邊際產值相同： $$ VMPL=P\cdot MPL=5\cdot 2=10 $$ 在題目所述的「依邊際產值支付相同工資」情況下，兩類工人的工資皆為每小時 \$10。各類工人的雇用量則由該類勞工的供給曲線決定。 解題方法與推導 令共同工資為 $w=10$。 女性勞工供給為 $lf=100wf$，所以： $$ lf=100(10)=1{,}000 $$ 男性勞工供給為 $lm=9wm^2$，所以： $$ lm=9(10)^2=900 $$ 因此，支付共同邊際產值工資時，女性雇用量為 $1{,}000$ 人，男性雇用量為 $900$ 人，總雇用量為 $1{,}900$ 人。 若與前題的歧視性買方獨占結果比較，買方獨占者可以分別對兩類勞工訂定工資，並各自以「邊際要素支出等於邊際產值」決定雇用量。 女性供給的反函數為 $wf=lf/100$，總勞動支出為 $wflf=lf^2/100$，故邊際要素支出為 $lf/50$。令其等於 $VMPL=10$： $$ \frac{lf}{50}=10 \quad\Rightarrow\quad lf=500 $$ 女性工資為 $wf=500/100=5$。

112 年國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

第 1 題19 分

核心觀念

(a) 預算限制式與預算線

(b) 找出較簡單且代表相同偏好的效用函數

嚴格的數學注意

(c) MRS 與經濟意義

第 2 題6 分

第 3 題13 分

a) 純策略 Nash equilibrium

Player 1 的最佳回應

Player 2 的最佳回應

b) 混合策略 Nash equilibrium

解題方法

令 Player 1 在 $L$ 、 $R$ 之間無差異

第 4 題12 分

第 5 題25 分

核心觀念

a) 將效用函數改寫成工作時間形式

b) 推導妻子的勞動供給函數

c) 妻子休閒的邊際所得效果

第 Problem 6-(a) 題15 分

第 Problem 6-(b) 題10 分

核心觀念

解題方法與推導

其他考古題

112 年政治大學的其他科目

政治大學《個體經濟學》其他年度

其他學校的經濟系考古題

112 年 國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

第 1 題19 分

核心觀念

(a) 預算限制式與預算線

(b) 找出較簡單且代表相同偏好的效用函數

嚴格的數學注意

(c) MRS 與經濟意義

第 2 題6 分

第 3 題13 分

a) 純策略 Nash equilibrium

Player 1 的最佳回應

Player 2 的最佳回應

b) 混合策略 Nash equilibrium

解題方法

令 Player 1 在 LLL、RRR 之間無差異

第 4 題12 分

第 5 題25 分

核心觀念

a) 將效用函數改寫成工作時間形式

b) 推導妻子的勞動供給函數

c) 妻子休閒的邊際所得效果

第 Problem 6-(a) 題15 分

第 Problem 6-(b) 題10 分

核心觀念

解題方法與推導

其他考古題

112 年政治大學的其他科目

政治大學《個體經濟學》其他年度

其他學校的經濟系考古題

112 年國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

令 Player 1 在 $L$ 、 $R$ 之間無差異