110 年 國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

此題主要在測試消費者理論中，關於效用函數、間接效用函數、支出函數、需求函數與受補償需求函數等基本概念的理解，以及對這些函數性質的判斷能力。

(a) 考量當某財貨價格為零時，消費者選擇的行為。
當 $P_X = 0$ 時，消費者購買 $X$ 的成本為零。若 $X$ 是消費者所偏好的財貨（即 $U$ 函數對 $X$ 的邊際效用大於零），則消費者會將所有所得 $I$ 都用來購買 $X$（假設 $Y$ 的價格 $P_Y > 0$）。此時，預算線將會與 $X$ 軸重疊，且消費者會選擇預算線上消費 $X$ 最多的點，也就是將所有所得花在 $X$ 上。此點是存在的，並非沒有最適解。因此，此敘述為偽。

(b) 考量消費者偏好「越多越好」的假設對財貨是否為正常財的影響。
「越多越好」的假設（即 $U$ 對 $X$ 和 $Y$ 的邊際效用均大於零）僅保證消費者會將所得花在財貨上以提高效用，但並不能保證 $X$ 和 $Y$ 必定是正常財。正常財的定義是，當所得增加時，對該財貨的需求量會增加。而劣等財則是所得增加時，需求量會減少。即使邊際效用為正，消費者也可能在所得增加時減少對某些財貨的需求，轉而購買其他更偏好的財貨。因此，此敘述為不確定。

(c) 考量受補償需求曲線的斜率。
受補償需求函數 $X^C(P_X, P_Y, U)$ 表示在維持固定效用 $U$ 的條件下，消費者為購買 $X$ 所需的數量，這是在考慮了替代效果的影響。根據 Slutsky 方程式，需求曲線的總效果等於所得效果加上替代效果。受補償需求曲線僅反映替代效果。一般情況下，替代效果是負的，意味著當某財貨價格上漲時，消費者會減少對該財貨的購買，轉而購買相對便宜的替代品。因此，受補償需求曲線的斜率通常為負。然而，對於某些特殊情況，例如極端的劣等財，其替代效果為負，但所得效果為負且大於替代效果，導致總需求曲線斜率為正。但受補償需求曲線僅考慮替代效果，一般情況下斜率為負。但是，如果 $X$ 是劣等財，且 $U$ 很高，則可能出現 $X^C$ 斜率為正的情況（但這比較少見，通常指正常財）。更常見的討論是，當 $X$ 是正常財時，其受補償需求曲線斜率為負。題目中未說明 $X$ 是否為正常財，僅假設偏好越多越好。若 $X$ 為正常財，則 $X^C$ 斜率為負。若 $X$ 為劣等財，則 $X^C$ 斜率為負。因此，一般情況下，受補償需求曲線斜率為負。然而，此題的敘述是「一定」為負，這需要更嚴謹的證明。根據 Slutsky 方程式，$\frac{\partial X^C}{\partial P_X} = \frac{\partial X}{\partial P_X} - \frac{\partial X}{\partial I} \cdot X$。這裡的 $\frac{\partial X^C}{\partial P_X}$ 是 $X^C$ 的斜率。

此題主要測試廠商理論中，關於生產函數、成本函數、要素需求函數與利潤函數之間的關係，以及對這些函數性質的判斷能力。

(a) 考量生產函數的規模報酬與邊際成本的關係。
題目給定的條件 $F(tK,tL) > tF(K,L)$ 表示生產函數具有遞增的規模報酬 (Increasing Returns to Scale, IRS)。當生產函數具有遞增規模報酬時，產量增加的比例大於要素投入增加的比例。在廠商理論中，邊際成本 (Marginal Cost, MC) 與平均成本 (Average Cost, AC) 的關係，以及規模報酬與平均成本的關係是密切相關的。
一般而言，當規模報酬遞增時，廠商的平均成本會隨著產量增加而遞減。而邊際成本通常會先下降，然後上升。如果廠商的平均成本在遞減，則邊際成本通常也處於遞減階段或處於平均成本的最低點之前。
然而，題目問的是「邊際成本一定是在遞減的階段」。雖然遞增規模報酬通常伴隨著平均成本的遞減，但邊際成本的行為則不一定總是遞減。例如，在某些特定的生產函數下，即使是遞增規模報酬，邊際成本也可能先遞減後遞增，或者在某個範圍內遞增。
因此，僅憑遞增規模報酬，不能斷定邊際成本「一定」在遞減階段。此敘述為不確定。

(b) 考量利潤極大化條件與邊際成本的關係。
在完全競爭市場中，廠商的利潤極大化條件是邊際收益 (Marginal Revenue, MR) 等於邊際成本 (MC)，且此時邊際成本必須是遞增的。由於完全競爭市場下，廠商面對的產品價格 $P$ 是外生給定的，因此邊際收益等於價格，即 $MR = P$。所以，利潤極大化的條件是 $P = MC$。
若邊際成本是遞減的，廠商會傾向於無限增加產量以降低邊際成本，這樣無法達到利潤極大化。因此，為了達到利潤極大化，邊際成本曲線在 $P=MC$ 的交點處必須是向上傾斜的，也就是說，邊際成本必須處於遞增階段。此敘述為真。

(c) 考量成本函數的齊次性。
成本函數 $C(Q,v,w)$ 表示在給定產量 $Q$ 和要素價格 $v,w$ 的情況下，達到該產量所需的最低總成本。
如果生產函數 $F(K,L)$ 具有常數規模報酬 (Constant Returns to Scale, CRS)，則成本函數 $C(Q,v,w)$ 對於產量 $Q$ 是齊次為 1 的，即 $C(tQ,v,w) = tC(Q,v,w)$。

此題主要測試消費者在面對風險時的決策，包括預期效用最大化、保險的購買決策以及風險規避的行為。

(a) 比較兩地的預期效用。
Bryan 的效用函數為 $u(x) = \sqrt{x}$，這是一個凹函數，表示 Bryan 是風險規避者。
在 Rainbow River：

• 50% 機率遇到 flash flood，價值為 $0。
• 50% 機率 no flood，價值為 $1000。 預期價值$E[V_{Rainbow}] = 0.5 \times 0 + 0.5 \times 1000 = 500$。 預期效用$E[U_{Rainbow}] = 0.5 \times u(0) + 0.5 \times u(1000) = 0.5 \times \sqrt{0} + 0.5 \times \sqrt{1000} = 0.5 \times 0 + 0.5 \times 10\sqrt{10} \approx 0.5 \times 31.62 \approx 15.81$。

在 Rose River：

• 75% 機率遇到 flash flood，價值為 $0。
• 25% 機率 no flood，價值為 $3600。 預期價值$E[V_{Rose}] = 0.75 \times 0 + 0.25 \times 3600 = 900$。 預期效用$E[U_{Rose}] = 0.75 \times u(0) + 0.25 \times u(3600) = 0.75 \times \sqrt{0} + 0.25 \times \sqrt{3600} = 0.75 \times 0 + 0.25 \times 60 = 15$。

比較預期效用：$E[U_{Rainbow}] \approx 15.81 > E[U_{Rose}] = 15$。
因此，Bryan 應該選擇建在 Rainbow River。

經濟解釋：雖然 Rose River 在 no flood 時的價值遠高於 Rainbow River，但其 flash flood 的機率更高（75% vs 50%），且 no flood 時的價值 $3600$ 相對於 flash flood 時的 $0$ 價值，使得 Rose River 的預期價值 $900$ 高於 Rainbow River 的 $500$。然而，由於 Bryan 的效用函數是凹的（風險規避），他更看重確定性。Rainbow River 的風險（50% 的 flash flood）相較於 Rose River 的風險（75% 的 flash flood）較低，使得其預期效用更高。

【答案】Bryan 應該建在 Rainbow River，因為其預期效用（約 15.81）高於 Rose River（15）。

(b) 判斷在哪個地點購買更多保險，並解釋。
保險的提供方式是：支付 $0.8$ 元，可以獲得 $1$ 元的賠償。這意味著保險的賠率 (odds) 是 $1/0.8 = 1.25$。
對於一個風險規避者，保險的購買意願取決於其預期效用是否能被提升。保險的購買可以降低風險（減少效用變異），但需要支付保費。
我們需要計算在購買保險後，兩地的預期效用。假設 Bryan 在某地點購買了保險。
對於 Rainbow River：

• 50% 機率 flash flood (價值 0)。若購買保險，假設他購買了 $B$ 元的保險。
• 50% 機率 no flood (價值 1000)。
  若發生 flash flood，其淨損失為 $1000 - B$ （如果 $B$ 是對應 no flood 時的價值）。
  這裡的保險是針對 flash flood 時的損失進行補償。
  假設 Bryan 購買了足夠的保險以彌補 flash flood 時的全部損失。
  在 Rainbow River：
• 正常情況（no flood）：價值 $1000$。
• Flash flood 時：價值 $0$。損失為 $1000$。
  若購買保險，為了完全補償 $1000$ 的損失，需要支付 $1000 \times 0.8 = 800$ 元的保費。
  這樣，在 no flood 時，他的淨價值為 $1000 - 800 = 200$。
  在 flash flood 時，他的淨價值為 $0$（損失）$+ 1000$（賠償）$- 800$（保費）$= 200$。
  在 Rainbow River，購買完全保險後，他的價值變為確定值 $200$。
  預期效用（購買完全保險）：$u(200) = \sqrt{200} \approx 14.14$。
  比較未購買保險時的預期效用 $15.81$。購買完全保險後，預期效用反而下降了。這表示對於 Rainbow River，Bryan 不會購買完全保險。

在 Rose River：

• 正常情況（no flood）：價值 $3600$。
• Flash flood 時：價值 $0$。損失為 $3600$。
  若購買保險，為了完全補償 $3600$ 的損失，需要支付 $3600 \times 0.8 = 2880$ 元的保費。
  這樣，在 no flood 時，他的淨價值為 $3600 - 2880 = 720$。
  在 flash flood 時，他的淨價值為 $0$（損失）$+ 3600$（賠償）$- 2880$（保費）$= 720$。
  在 Rose River，購買完全保險後，他的價值變為確定值 $720$。
  預期效用（購買完全保險）：$u(720) = \sqrt{720} \approx 26.83$。
  比較未購買保險時的預期效用 $15$。購買完全保險後，預期效用大幅提升。這表示對於 Rose River，Bryan 會願意購買保險。

我們可以通過比較「保險的公平價格」與「風險保費」來判斷。
對於 Rainbow River：

• 損失是 $1000$。
• Flash flood 機率 $p = 0.5$。
• 公平保險價格（ actuarially fair price）為 $p \times \text{Loss} = 0.5 \times 1000 = 500$。
• 實際保險價格為 $0.8 \times 1000 = 800$。
  由於實際保險價格 $800 > 500$（公平價格），Bryan 不會購買保險。
  相反，他會願意支付風險保費 (risk premium) 來避免風險。風險保費是願意支付的最大金額，使得購買保險後的預期效用等於未購買保險時的預期效用。
  $u(1000 - RP - 0.8 \times 1000) \times 0.5 + u(0 - 0.8 \times 1000) \times 0.5 = u(1000) \times 0.5 + u(0) \times 0.5$
  $u(1000 - RP - 800) \times 0.5 + u(-800) \times 0.5 = u(1000) \times 0.5 + u(0) \times 0.5$
  由於效用函數是 $\sqrt{x}$，所以 $x$ 必須是非負的。這裡的 $-800$ 是指支付的保費，不是指價值。
  Let $B$ be the amount of insurance purchased. The cost is $0.8B$.
  Rainbow River:
  If no flood: $1000 - 0.8B$.
  If flood: $0 + B - 0.8B = B - 0.8B = 0.2B$.
  Expected utility without insurance: $0.5 \sqrt{0} + 0.5 \sqrt{1000} \approx 15.81$.
  Expected utility with insurance $B$: $0.5 \sqrt{B - 0.8B} + 0.5 \sqrt{1000 - B}$.
  We want to find $B$ that maximizes this. Or, we can consider the case where the value is $1000$. The loss is $1000$. The premium for full coverage is $0.8 \times 1000 = 800$.
  If fully insured: $1000 - 800 = 200$ (no flood) and $0 + 1000 - 800 = 200$ (flood). Expected utility is $\sqrt{200} \approx 14.14$.
  Since $14.14 < 15.81$, Bryan will not buy full insurance for Rainbow River. He might buy partial insurance if it increases his utility, but the question implies a decision to buy or not to buy, or how much. Given the options, it's about willingness.

For Rose River:

• Loss is $3600$.
• Flash flood probability $p = 0.75$.
• Fair insurance price is $p \times \text{Loss} = 0.75 \times 3600 = 2700$。
• Actual insurance price is $0.8 \times 3600 = 2880$。
  Here, the actual insurance price $2880$ is higher than the fair price $2700$. However, the expected utility calculation is more direct.
  Expected utility without insurance: $0.75 \sqrt{0} + 0.25 \sqrt{3600} = 15$。
  If fully insured: $3600 - 2880 = 720$ (no flood) and $0 + 3600 - 2880 = 720$ (flood). Expected utility is $\sqrt{720} \approx 26.83$.
  Since $26.83 > 15$, Bryan is willing to buy insurance for Rose River. He will buy full insurance.

Graph:
Horizontal axis: Value (wealth). Vertical axis: Utility.
The utility function $u(x) = \sqrt{x}$ is concave.

核心觀念

本題考比較完全競爭與獨占性競爭的市場結構，以及自由進出下的長期均衡。關鍵在於分辨廠商面對的需求曲線：完全競爭廠商是價格接受者，需求曲線水平；獨占性競爭廠商因產品有差異，面對向右下斜的需求曲線。

長期自由進出會使兩種市場的經濟利潤都歸零，但兩種市場的價格與成本關係、均衡產量並不相同。

（a）共同特徵

兩者都有許多廠商，且廠商可以自由進入或退出市場。在長期均衡中，進入與退出會調整市場需求及利潤，使廠商的經濟利潤歸零：

$$P=ATC$$

這代表價格等於平均總成本；並不代表廠商沒有會計利潤，而是經濟利潤為零。

（b）主要差異

主要差異是產品是否有差異，這決定了單一廠商面對的需求曲線形狀。

• **完全競爭：**產品同質，單一廠商是價格接受者，面對水平需求曲線，且 $P=AR=MR$。
• **獨占性競爭：**產品有差異，廠商有一定定價能力，面對向右下斜的需求曲線；因此邊際收益曲線在需求曲線之下，通常有 $P>MR$。

（c）長期均衡圖形與差異

完全競爭廠商

價格、成本
  │                         MC
  │                        /
P₀│───────────────●───────/──── D = AR = MR
  │              / \     /
  │             /   \___/       ATC
  │
  └─────────────┼────────────── 數量
                Qpc

完全競爭廠商在 $P=MC$ 的位置選擇產量。長期自由進出使經濟利潤歸零；因長期均衡時 $P=ATC$，均衡點落在平均總成本的最低點：

$$P=MR=MC=\min ATC$$

因此完全競爭廠商以有效規模生產，達到生產效率；同時 $P=MC$，達到配置效率。

獨占性競爭廠商