108 年 國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

此題為兩題獨立的 True or False 題，分別考驗學生對卡特爾協議的理解以及吉芬財的定義。

(a) False。
在一個一次性的同時賽局中，如果企業之間能夠成功地達成共謀（collude）來瓜分獨占者的利潤，這通常是一種優勢策略。然而，這句話的關鍵在於「best strategy」（最佳策略）。雖然共謀可以帶來比競爭更高的利潤，但它本身並不總是「最佳」的，因為它依賴於所有參與者的合作，而賽局理論中的囚徒困境（Prisoner's Dilemma）模型就說明了，即使共謀利潤較高，個別企業仍有誘因去背叛協議以追求自身最大利益，尤其是在一次性賽局中，若不存在嚴厲的懲罰機制，背叛的可能性較高。更重要的是，即使企業成功共謀，如何「split the joint monopolist's payoff」本身也可能是一個複雜的談判過程，不一定能保證所有參與者都認為該分割方式是最佳的。此外，如果存在其他更有效率的市場結構或策略（例如，技術創新、差異化產品等），共謀未必是絕對的最佳策略。

核心觀念

本題為純交換經濟模型（Pure Exchange Economy）的經典考題，測驗核心包括：

1. 稟賦點與初始效用：計算在無交易狀態下的自給自足效用（Autarky Utility）。
2. 柏拉圖效率（Pareto Efficiency）與邊際替代率（MRS）：在純交換經濟中，若兩消費者的邊際替代率在初始稟賦點不相等（$MRS_R \neq MRS_S$），則存在互利交易空間（Gains from Trade），可達成柏拉圖改善（Pareto Improvement）。
3. 瓦拉斯一般均衡（Walrasian / Competitive Equilibrium）：
   • 設定計價物（Numeraire，$P_y = 1$），肉的相對價格為 $P$。
   • 求解 Cobb-Douglas 偏好下的個體需求函數。
   • 透過市場結清條件（Market Clearing Condition）求出均衡相對價格 $P^*$ 與均衡配置（Equilibrium Allocation）。
4. 艾吉渥斯盒狀圖（Edgeworth Box）幾何分析：繪製契約線（Contract Curve）、初始稟賦點（$\omega$）、無異曲線（Indifference Curves）與交易預算線。

---

解題方法與完整推導

符號與基本數據設定

• 商品：肉（$x$）、水（$y$）。
• 參與者：
  • Robin（$R$）：初始稟賦 $\omega_R = (e_{xR}, e_{yR}) = (5, 6)$，效用函數 $u_R(x_R, y_R) = x_R^{1/3} y_R^{2/3}$
  • Sarah（$S$）：初始稟賦 $\omega_S = (e_{xS}, e_{yS}) = (3, 10)$，效用函數 $u_S(x_S, y_S) = x_S^{1/2} y_S^{1/2}$
• 市場總資源量：
  • 總肉量：$X = e_{xR} + e_{xS} = 5 + 3 = 8$（kg）
  • 總水量：$Y = e_{yR} + e_{yS} = 6 + 10 = 16$（liters）

---

(a) 計算消費各自初始稟賦時的效用

將初始稟賦分別代入兩者的效用函數：

1. Robin 的初始效用：

$$u_R(5, 6) = 5^{1/3} \cdot 6^{2/3} = (5 \cdot 36)^{1/3} = 180^{1/3} = \sqrt[3]{180} \approx 5.65$$

2. Sarah 的初始效用：

$$u_S(3, 10) = 3^{1/2} \cdot 10^{1/2} = \sqrt{30} \approx 5.48$$

---

(b) 是否存在柏拉圖改善（Pareto Improvement）？為什麼？

結論：存在柏拉圖改善。

證明與理由：
計算兩者在初始稟賦點 $\omega$ 的邊際替代率（$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y}$）：

1. Robin 的邊際替代率：

$$MRS_R(x_R, y_R) = \frac{\frac{\partial u_R}{\partial x_R}}{\frac{\partial u_R}{\partial y_R}} = \frac{\frac{1}{3} x_R^{-2/3} y_R^{2/3}}{\frac{2}{3} x_R^{1/3} y_R^{-1/3}} = \frac{1}{2} \frac{y_R}{x_R}$$

在初始點 $\omega_R = (5, 6)$：

$$MRS_R(5, 6) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$$

2. Sarah 的邊際替代率：

$$MRS_S(x_S, y_S) = \frac{\frac{\partial u_S}{\partial x_S}}{\frac{\partial u_S}{\partial y_S}} = \frac{\frac{1}{2} x_S^{-1/2} y_S^{1/2}}{\frac{1}{2} x_S^{1/2} y_S^{-1/2}} = \frac{y_S}{x_S}$$

在初始點 $\omega_S = (3, 10)$：

$$MRS_S(3, 10) = \frac{10}{3} \approx 3.33$$

由於 $MRS_R(\omega) = 0.6 \neq 3.33 = MRS_S(\omega)$，雙方的無異曲線在稟賦點不相切（斜率不同）。

• 對肉的邊際主觀評價：$MRS_S > MRS_R$（Sarah 願意用多達 $\frac{10}{3}$ 單位的去交換 1 單位肉；而 Robin 只要獲得 $0.6$ 單位的就願意放棄 1 單位肉）。
• 兩者可透過「Robin 給 Sarah 肉，Sarah 給 Robin 水」進行互利交換，形成一個晶狀改善區域（Lens-shaped area），使至少一人效用提高且無人受損，故存在柏拉圖改善空間。

---

(c) 透過交易達成柏拉圖最適（競爭均衡價格與配置推導）

依題目提示，令水的價格為計價物（$P_y = 1$），肉的價格為 $P$（即 $P_x = P$）。

步驟 1：求解 Robin 的最優需求

Robin 面臨的所得為其稟賦總價值：

$$I_R = P \cdot e_{xR} + 1 \cdot e_{yR} = 5P + 6$$

在 Cobb-Douglas 效用函數 $u_R = x_R^{1/3} y_R^{2/3}$ 下，肉與水的支出份額分別為 $\frac{1}{3}$ 與 $\frac{2}{3}$：

$$x_R^*(P) = \frac{\frac{1}{3} I_R}{P} = \frac{5P + 6}{3P} = \frac{5}{3} + \frac{2}{P}$$ $$y_R^*(P) = \frac{\frac{2}{3} I_R}{1} = \frac{2(5P + 6)}{3} = \frac{10P + 12}{3}$$

步驟 2：求解 Sarah 的最優需求

Sarah 面臨的所得為：

$$I_S = P \cdot e_{xS} + 1 \cdot e_{yS} = 3P + 10$$

在 Cobb-Douglas 效用函數 $u_S = x_S^{1/2} y_S^{1/2}$ 下，肉與水的支出份額各為 $\frac{1}{2}$：

$$x_S^*(P) = \frac{\frac{1}{2} I_S}{P} = \frac{3P + 10}{2P} = \frac{3}{2} + \frac{5}{P}$$ $$y_S^*(P) = \frac{\frac{1}{2} I_S}{1} = \frac{3P + 10}{2}$$

步驟 3：由市場結清條件求解均衡價格 $P^*$

肉市場結清條件（總需求 = 總供給）：

$$x_R^*(P) + x_S^*(P) = X$$ $$\left(\frac{5}{3} + \frac{2}{P}\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{5}{P}\right) = 8$$ $$\frac{19}{6} + \frac{7}{P} = 8 \implies \frac{7}{P} = 8 - \frac{19}{6} = \frac{29}{6}$$ $$P^* = \frac{42}{29} \approx 1.448$$

(依瓦拉斯法則 Walras' Law，水市場亦同時結清：$y_R^* + y_S^* = \frac{29P + 54}{6} = \frac{29(42/29) + 54}{6} = 16 = Y$)

步驟 4：計算均衡消費配置與交易量

將 $P^* = \frac{42}{29}$ 代入需求函數：

• Robin 的最終配置：

$$x_R^* = \frac{5}{3} + \frac{2}{42/29} = \frac{5}{3} + \frac{58}{42} = \frac{128}{42} = \frac{64}{21} \approx 3.05\text{ kg}$$ $$y_R^* = \frac{10\left(\frac{42}{29}\right) + 12}{3} = \frac{\frac{420}{29} + \frac{348}{29}}{3} = \frac{768}{87} = \frac{256}{29} \approx 8.83\text{ liters}$$

• Sarah 的最終配置：

$$x_S^* = 8 - x_R^* = 8 - \frac{64}{21} = \frac{104}{21} \approx 4.95\text{ kg}$$ $$y_S^* = 16 - y_R^* = 16 - \frac{256}{29} = \frac{208}{29} \approx 7.17\text{ liters}$$

• 交易行為（Net Trades）：
  • Robin 出售（出口） $5 - \frac{64}{21} = \frac{41}{21}\text{ kg}$ 的肉，換取（進口） $\frac{256}{29} - 6 = \frac{82}{29}\text{ liters}$ 的水。

核心觀念

本題考察：

• 兩段式區塊訂價（two-block pricing）
• 獨占廠商的利潤極大化
• 需求曲線、邊際收益曲線與邊際成本曲線
• 區塊訂價與統一訂價下的產量比較
• 市場力量與無謂損失（deadweight loss）

已知反需求函數與成本函數為

$$P(Q)=\alpha-\beta Q$$ $$C(Q)=Q^2+\gamma Q$$

因此邊際成本為

$$MC(Q)=C'(Q)=2Q+\gamma$$

若第一區塊售出 $Q_1$，總銷售量為 $Q_2$，則第二區塊的數量為 $Q_2-Q_1$。

因為需求曲線向下傾斜：

• 第一區塊價格為 $P_1=P(Q_1)$；
• 第二區塊價格為 $P_2=P(Q_2)$。

---

解題方法

廠商的總收益為

$$TR=P(Q_1)Q_1+P(Q_2)(Q_2-Q_1)$$

代入需求函數：

$$TR=(\alpha-\beta Q_1)Q_1+(\alpha-\beta Q_2)(Q_2-Q_1)$$

整理得

$$TR=\alpha Q_2-\beta Q_1^2-\beta Q_2^2+\beta Q_1Q_2$$

利潤函數為

$$\pi(Q_1,Q_2) =TR-C(Q_2)$$

因此

$$\pi =\alpha Q_2-\beta Q_1^2-\beta Q_2^2+\beta Q_1Q_2-Q_2^2-\gamma Q_2$$

即

$$\pi =(\alpha-\gamma)Q_2-\beta Q_1^2-\beta Q_2^2+\beta Q_1Q_2-Q_2^2$$

---

（a）最適銷售數量

第一步：對 $Q_1$ 微分

$$\frac{\partial \pi}{\partial Q_1} =-2\beta Q_1+\beta Q_2=0$$

所以

$$Q_2=2Q_1$$

亦即

$$Q_1=\frac{Q_2}{2}$$

第二步：對 $Q_2$ 微分

$$\frac{\partial \pi}{\partial Q_2} =\alpha-\gamma-2\beta Q_2+\beta Q_1-2Q_2=0$$

整理為

$$\alpha-\gamma+\beta Q_1-(2\beta+2)Q_2=0$$

代入 $Q_1=Q_2/2$：

$$\alpha-\gamma+\frac{\beta Q_2}{2}-(2\beta+2)Q_2=0$$

因此

$$\alpha-\gamma-\left(\frac{3\beta}{2}+2\right)Q_2=0$$

得到

$$\boxed{Q_2=\frac{2(\alpha-\gamma)}{3\beta+4}}$$

進而

$$\boxed{Q_1=\frac{\alpha-\gamma}{3\beta+4}}$$

由於 $\alpha>\gamma>0$，故 $Q_1,Q_2$ 均為正，且確實有 $Q_2>Q_1$。

各區塊價格

第一區塊價格：

$$\boxed{P_1=P(Q_1) =\alpha-\frac{\beta(\alpha-\gamma)}{3\beta+4}}$$

第二區塊價格：

$$\boxed{P_2=P(Q_2) =\alpha-\frac{2\beta(\alpha-\gamma)}{3\beta+4}}$$

因為 $Q_2>Q_1$ 且需求曲線向下傾斜，所以

$$P_1>P_2$$

最適性確認

利潤函數對 $(Q_1,Q_2)$ 的 Hessian 矩陣為

$$H= \begin{bmatrix} -2\beta & \beta\\ \beta & -2\beta-2 \end{bmatrix}$$

其第一個主子式為 $-2\beta<0$，行列式為

$$(-2\beta)(-2\beta-2)-\beta^2 =3\beta^2+4\beta>0$$

因此利潤函數為嚴格凹函數，上述一階條件給出的解即為唯一的利潤極大解。

---

（b）圖形與價格關係

統一訂價下，廠商選擇需求曲線與邊際收益曲線所決定的獨占產量 $Q^*$，滿足

$$MR(Q^*)=MC(Q^*)$$

其中

$$MR(Q)=\alpha-2\beta Q$$

圖形應包含：

• 需求曲線 $D$
• 邊際收益曲線 $MR$
• 邊際成本曲線 $MC$
• 第一區塊價格 $P_1$
• 第二區塊價格 $P_2$
• 統一訂價 $P^*$
• $Q_1$、$Q^*$、$Q_2$

示意圖如下：

核心觀念

本題考察：

• 期望效用
• 確定等值（certainty equivalent, CE）
• 風險貼水（risk premium）
• 風險厭惡者的效用函數具有遞增且凹的特性。

令金錢樹的報酬為隨機變數 $X$：

$$X= \begin{cases} 100, & \text{機率為 }\pi,\\ 20, & \text{機率為 }1-\pi. \end{cases}$$

其期望報酬為：

$$E(X)=100\pi+20(1-\pi)=20+80\pi.$$

若 Barney 不持有金錢樹，單純保有初始財富 $w$，效用為 $u(w)$。

---

（a）持有金錢樹時的最低出售價格

Barney 持有金錢樹時，若不出售，最終財富為：

• 金錢樹成長為 100 時：$w+100$
• 金錢樹成長為 20 時：$w+20$

因此持有金錢樹的期望效用為：

$$\pi u(w+100)+(1-\pi)u(w+20).$$

若以確定金額 $p_s$ 出售，最終可確定擁有 $w+p_s$，效用為：

$$u(w+p_s).$$

最低出售價格使 Barney 對「持有金錢樹」與「出售後取得確定金額」無差異，因此滿足：

$$u(w+p_s) = \pi u(w+100)+(1-\pi)u(w+20).$$

由於 $u$ 遞增，最低出售價格為：

$$\boxed{ p_s = u^{-1}\left[\pi u(w+100)+(1-\pi)u(w+20)\right]-w }$$

這個 $p_s$ 就是金錢樹相對於初始財富 $w$ 的確定等值。

由凹函數的 Jensen 不等式：

$$\pi u(w+100)+(1-\pi)u(w+20) \leq u\left(w+20+80\pi\right),$$

所以：

$$p_s\leq 20+80\pi.$$

若效用函數嚴格凹，且 $0<\pi<1$，則：

$$p_s<20+80\pi.$$

---

（b）未持有金錢樹時的最高購買價格

Barney 不持有金錢樹時，不購買的效用為：

$$u(w).$$

若以價格 $p_b$ 購買金錢樹，購買後的最終財富為：

• 金錢樹成長為 100 時：$w-p_b+100$
• 金錢樹成長為 20 時：$w-p_b+20$

因此購買後的期望效用為：

$$\pi u(w-p_b+100)+(1-\pi)u(w-p_b+20).$$

最高購買價格使購買與不購買恰好無差異：

$$\pi u(w-p_b+100) + (1-\pi)u(w-p_b+20) = u(w).$$

因此最高購買價格 $p_b$ 是下列方程式的解：

$$\boxed{ \pi u(w-p_b+100) + (1-\pi)u(w-p_b+20) = u(w) }$$

一般而言，沒有給定具體的 $u(\cdot)$，無法將 $p_b$ 化為單一數字。

同樣利用凹性可得：

$$p_b\leq 20+80\pi.$$

若以價格 20 購買，低報酬狀態下的財富仍為 $w$，高報酬狀態下則為 $w+80$，因此在嚴格遞增且嚴格凹的情況下：

$$p_b>20.$$

故通常有：

$$20<p_b<20+80\pi.$$

---

（c）購買價格與出售價格是否相等？

結論

一般而言，購買價格與出售價格不相等，且在 Barney 具有嚴格凹的效用函數、金錢樹確實具有風險時：

$$\boxed{p_s>p_b}$$

也就是：

• 最低出售價格較高；
• 最高購買價格較低。

---

確定等值與風險貼水

金錢樹的期望報酬為：

$$E(X)=20+80\pi.$$

持有金錢樹時，其確定等值增加額為 $p_s$。因此出售時的風險貼水為：

$$RP_s=E(X)-p_s.$$

由於效用函數凹，風險厭惡者不願以期望報酬完全等值的確定金額，故：

$$p_s<E(X).$$

購買時，Barney 必須先支付價格 $p_b$，使自己的財富從 $w$ 降為 $w-p_b$，再承擔金錢樹的風險。其最高願付價格必須滿足：

$$p_b = \text{在財富 }w-p_b\text{ 下承擔該風險所願意支付的確定等值}.$$