111 年 國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考查四個重要觀念：

1. 完全互補偏好與正常財

   • 最適消費組合位於折點。
   • 正常財是指所得增加時，需求量增加的財貨。

2. 補償變量與均等變量

   • 補償變量（CV）：價格變動後，使消費者恢復原效用所需補償的金額。
   • 均等變量（EV）：在原價格下，使消費者達到價格變動後效用所需扣除的金額。

3. 固定規模報酬與長期成本函數

   • 固定規模報酬會使成本函數具有一次齊次性。

4. 長期邊際成本與短期邊際成本

   • 長期平均成本必定不高於短期平均成本，但長期邊際成本不一定不高於短期邊際成本。

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a. 完全互補偏好下的需求與正常財

題目給定：

$$U(X,Y)=\min[X^2,Y^{0.5}]$$

由於效用函數為完全互補型，最適消費組合必須位於折點，因此：

$$X^2=Y^{0.5}$$

兩邊平方後得到：

$$Y=X^4$$

設所得為 $M$，$X$ 與 $Y$ 的價格分別為 $P_X$ 與 $P_Y$，預算限制為：

$$P_X X+P_Y Y=M$$

將 $Y=X^4$ 代入預算限制：

$$P_X X+P_Y X^4=M$$

因此，$X$ 的需求量 $X^*$ 滿足：

$$P_X X^*+P_Y(X^*)^4=M$$

由於左式隨 $X^*$ 單調增加，所得 $M$ 增加時，$X^*$ 必定增加。又因為：

$$Y^*=(X^*)^4$$

所以 $Y^*$ 也會增加。

因此，所得增加時，$X$ 與 $Y$ 的需求量皆增加，兩者都是正常財。

判定：真。

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b. 價格上升時，補償變量大於均等變量

題目給定：

$$U(X,Y)=X^2Y^{0.5}$$

這是 Cobb-Douglas 效用函數。其支出比例為：

$$\frac{2}{2+0.5}=\frac{4}{5}$$

因此，$X$ 財貨的支出比例為 $4/5$，$Y$ 財貨的支出比例為 $1/5$。

Cobb-Douglas 效用函數的支出函數可寫成：

$$e(P_X,P_Y,U)=A U^{0.4}P_X^{0.8}P_Y^{0.2}$$

其中 $A$ 為正的常數。

設 $X$ 的價格由 $P_X$ 上升至 $P_X'$，且：

$$P_X'>P_X$$

初始所得為 $M$，初始效用為 $U_0$，價格上升後的效用為 $U_1$。

初始狀態下：

$$e(P_X,P_Y,U_0)=M$$

價格上升後，消費者仍以所得 $M$ 消費，因此：

$$e(P_X',P_Y,U_1)=M$$

補償變量

價格上升後，恢復原先效用 $U_0$ 所需的補償金額為：

$$CV=e(P_X',P_Y,U_0)-e(P_X,P_Y,U_0)$$

令：

$$R=\left(\frac{P_X'}{P_X}\right)^{0.8}>1$$

則：

$$CV=M(R-1)$$

均等變量

在原價格下，達到價格上升後效用 $U_1$ 所需減少的所得為：

$$EV=e(P_X,P_Y,U_0)-e(P_X,P_Y,U_1)$$

由於：

$$e(P_X,P_Y,U_1) =M\left(\frac{P_X}{P_X'}\right)^{0.8} =\frac{M}{R}$$

所以：

$$EV=M\left(1-\frac{1}{R}\right)$$

比較兩者：

$$CV-EV =M\left(R-1-1+\frac{1}{R}\right)$$

核心觀念

成本函數定義為在生產至少 $q$ 單位產出下，廠商所能達成的最低成本：

$$C(q,w,r)=\min_{L,K\ge 0}\{wL+rK:F(L,K)\ge q\}.$$

本題的生產函數為

$$F(L,K)=L^2\min(L,K),$$

其關鍵在於依照 $L$ 與 $K$ 的大小分成兩種情況：

• 若 $K\ge L$，則 $F(L,K)=L^3$。
• 若 $K\le L$，則 $F(L,K)=L^2K$。

由於投入價格為正，成本極小化時會令生產限制恰好成立，即 $F(L,K)=q$。

解題方法一：$K\ge L$ 的情況

當 $K\ge L$ 時，

$$q=L^3 \quad\Longrightarrow\quad L=q^{1/3}.$$

為滿足 $K\ge L$，最省成本的選擇是令 $K=L$，因此

$$K=q^{1/3}.$$

成本為

$$C_1(q,w,r)=(w+r)q^{1/3}.$$

解題方法二：$K\le L$ 的情況

當 $K\le L$ 時，

$$q=L^2K \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{q}{L^2}.$$

代入成本函數，得到

$$C=wL+rK =wL+r\frac{q}{L^2}.$$

而 $K\le L$ 要求

$$\frac{q}{L^2}\le L \quad\Longrightarrow\quad L^3\ge q \quad\Longrightarrow\quad L\ge q^{1/3}.$$

先求無限制下的成本極小點：

$$\frac{dC}{dL} =w-\frac{2rq}{L^3}=0.$$

因此

$$L^3=\frac{2rq}{w} \quad\Longrightarrow\quad L^* =\left(\frac{2rq}{w}\right)^{1/3}.$$

此解必須滿足 $L^*\ge q^{1/3}$，所以

$$\left(\frac{2rq}{w}\right)^{1/3}\ge q^{1/3} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2r}{w}\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad w\le 2r.$$

核心觀念

本題探討個體經濟學中經典的「勞動供給決策」（Labor Supply Decision）與「史魯茲基方程式」（Slutsky Equation）的應用，涵蓋以下核心理論：

1. 稟賦經濟下的消費者選擇：時間稟賦為 $T = 24$，休閒為 $n$，工作時數為 $h = 24 - n$。將預算限制式改寫為完全所得（Full Income）形式：$c + wn = 24w + V$。
2. 勞動供給的史魯茲基方程式（Slutsky Equation for Labor Supply）：
   工資率 $w$ 同時代表「休閒的機會成本（相對價格）」與「時間稟賦的價值」。因此，工資上升的總效果可拆解為替代效果（Substitution Effect, SE）與稟賦所得效果（Endowment Income Effect, IE）： $$\frac{\partial h}{\partial w} = \left. \frac{\partial h}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} + h \frac{\partial h}{\partial V}$$ 其中：
   • 替代效果：$\left. \frac{\partial h}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} > 0$（工資上升使休閒相對昂貴，勞動者減少休閒、增加工作）。
   • 所得效果：$h \frac{\partial h}{\partial V}$。若休閒為正常財，則 $\frac{\partial n}{\partial V} > 0 \implies \frac{\partial h}{\partial V} < 0$，工資上升使名目總所得增加，帶動休閒增加、勞動供給減少。
3. Cobb-Douglas 偏好的特殊性：在 Cobb-Douglas 效用函數且非勞動所得 $V=0$ 下，休閒需求與工資率無關，導致勞動供給線完全垂直（替代效果與所得效果剛好完全抵消）。
4. 實證計量模型的參數辨識：在線性迴歸模型 $h_t = \alpha + \beta w_t + \delta V_t + u_t$ 中，邊際工資效果與邊際非勞動所得效果分別對應 $\beta$ 與 $\delta$，可直接代入史魯茲基方程式以分離出替代效果。

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解題方法與詳細推導

(a) 推導未受補償勞動供給函數的史魯茲基方程式 (Slutsky Equation)

步驟一：設定消費者極大化問題並建立恆等式

將原限制式 $h = 24 - n$ 與 $c = wh + V$ 整理為標準的形式：

$$c + wn = 24w + V = M(w, V)$$

其中 $M(w, V) \equiv 24w + V$ 為完全所得（Full Income）。

令未受補償的勞動供給函數為 $h(w, V)$，受補償（Hicksian）勞動供給函數為 $h^c(w, u)$。
根據對偶性（Duality），在達到效用目標 $u = v(w, V)$（間接效用函數）時，兩者具備以下恆等關係：

$$h^c(w, v(w, V)) \equiv h(w, V)$$

步驟二：對工資率 $w$ 微分

利用全微分連鎖律對 $w$ 微分：

$$\frac{\partial h^c}{\partial w} + \frac{\partial h^c}{\partial u} \frac{\partial v(w, V)}{\partial w} = \frac{\partial h(w, V)}{\partial w}$$

根據間接效用函數的定義與 Roy's Identity，對所得與工資的偏微分關係為：

$$\frac{\partial v}{\partial w} = \lambda \cdot h$$ $$\frac{\partial v}{\partial V} = \lambda$$

其中 $\lambda$ 為貨幣的邊際效用。因此可得：

$$\frac{\partial v}{\partial w} = h \cdot \frac{\partial v}{\partial V}$$

代入微分式中：

$$\frac{\partial h^c}{\partial w} + h \left( \frac{\partial h^c}{\partial u} \frac{\partial v}{\partial V} \right) = \frac{\partial h}{\partial w}$$

再由對非勞動所得 $V$ 的連鎖律：$\frac{\partial h}{\partial V} = \frac{\partial h^c}{\partial u} \frac{\partial v}{\partial V}$，代換括號項，移項整理即可得勞動供給的史魯茲基方程式：

$$\frac{\partial h}{\partial w} = \left. \frac{\partial h^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} + h \frac{\partial h}{\partial V}$$

另一種常見且嚴謹的推導路徑（從休閒需求轉換）：

令休閒需求為 $n(w, M)$，其中 $M = 24w + V$。
根據標準商品的史魯茲基方程式：

$$\frac{\partial n}{\partial w} = \left. \frac{\partial n^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} - n \frac{\partial n}{\partial M}$$

因 $M$ 是 $w$ 的函數（$\frac{\partial M}{\partial w} = 24$），$w$ 對未受補償休閒需求的總微分為：

$$\frac{dn}{dw} = \frac{\partial n}{\partial w} + \frac{\partial n}{\partial M}\frac{\partial M}{\partial w} = \left. \frac{\partial n^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} - n \frac{\partial n}{\partial M} + 24 \frac{\partial n}{\partial M} = \left. \frac{\partial n^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} + (24 - n) \frac{\partial n}{\partial M}$$

由於 $h = 24 - n$：

• $\frac{dh}{dw} = -\frac{dn}{dw}$
• 替代效果：$\left. \frac{\partial h^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} = -\left. \frac{\partial n^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}}$
• 所得效果：因為增加非勞動所得 $V$ 等同於增加完全所得 $M$（$\frac{\partial n}{\partial V} = \frac{\partial n}{\partial M}$），故 $\frac{\partial h}{\partial V} = -\frac{\partial n}{\partial V} = -\frac{\partial n}{\partial M}$。

將上述關係代入：

$$-\frac{dh}{dw} = -\left. \frac{\partial h^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} - h \left( -\frac{\partial h}{\partial V} \right) \implies \frac{\partial h}{\partial w} = \left. \frac{\partial h^c}{\partial w} \right|_{u=\bar{u}} + h \frac{\partial h}{\partial V}$$

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(b) Cobb-Douglas 效用函數且 $V=0$ 時的抵消效果證明

步驟一：求未受補償需求函數與勞動供給函數

消費者最適化問題為：

$$\max_{c, n} \; u(c, n) = c^\alpha n^{1-\alpha} \quad \text{s.t.} \quad c + wn = 24w$$

根據 Cobb-Douglas 效用函數性質，消費者會將總預算（完全所得 $24w$）以固定比例配置於各項財貨：

$$wn = (1-\alpha)(24w) \implies n^* = 24(1-\alpha)$$ $$c^* = \alpha(24w)$$

因此，未受補償的勞動供給為：

$$h(w, 0) = 24 - n^* = 24 - 24(1-\alpha) = 24\alpha$$

這題考驗勞動市場的單獨買者壟斷 (monopsony) 模型，以及最低工資的影響。題目包含勞動供給曲線、勞動需求曲線、利潤極大化、以及最低工資下的結果比較。

給定資訊：
勞動供給曲線：$l = 80w$。這表示勞動供給的價格函數，即 $w = l/80$。
勞動需求曲線：$l = 400 - 40MRP_l$。這表示勞動的邊際要素收益 (Marginal Revenue Product of Labor, $MRP_l$) 與需求量 $l$ 的關係。
David 是壟斷買者，所以他的勞動需求曲線是基於 $MRP_l$。

a. How many workers will David hire to maximize his profits, and what wage will he pay?

壟斷買者 (monopsonist) 的利潤極大化條件是讓邊際要素成本 (Marginal Factor Cost, MFC) 等於邊際要素收益 (Marginal Revenue Product, MRP)。
首先，我們需要從勞動供給曲線 $w = l/80$ 推導出 MFC。
總要素成本 (Total Factor Cost, TFC) = $w \cdot l = (l/80) \cdot l = l^2/80$。
MFC 是 TFC 對 $l$ 的微分：
$MFC = \frac{d(TFC)}{dl} = \frac{d(l^2/80)}{dl} = \frac{2l}{80} = \frac{l}{40}$。

David 的勞動需求是基於 $MRP_l$。從勞動需求曲線 $l = 400 - 40MRP_l$，我們可以解出 $MRP_l$：
$40MRP_l = 400 - l$
$MRP_l = \frac{400-l}{40} = 10 - \frac{l}{40}$。

利潤極大化條件：$MFC = MRP_l$。
$\frac{l}{40} = 10 - \frac{l}{40}$。
$\frac{2l}{40} = 10$。
$\frac{l}{20} = 10$。
$l = 200$。

所以，David 會僱用 200 名工人。
接下來，我們需要找出工人可以獲得的工資 $w$。我們將 $l=200$ 代入勞動供給曲線：
$w = l/80 = 200/80 = 20/8 = 2.5$。

David 會支付每小時 $2.5$ 元的工資。

【答案】David 將僱用 200 名工人，並支付每小時 $2.5$ 元的工資。

b. Assume that the government implements a minimum wage law covering all workers. How many workers will David hire, and how much unemployment will there be if the minimum wage is set at $4 per hour?

最低工資 $w_{min} = 4$。
在壟斷買者市場中，最低工資的影響取決於其設定的水平。
如果最低工資低於壟斷買者原本支付的工資 ($2.5$)，則沒有影響。
如果最低工資高於壟斷買者原本支付的工資，則會影響。
在這裡，$w_{min} = 4 > 2.5$。

當政府設定最低工資 $w_{min} = 4$ 時，David 必須支付至少 $4$ 元的工資。
David 的 MFC 曲線現在變為水平的，直到 $l$ 的某個值，然後再爬升。
或者，我們可以這樣想：
David 必須支付 $w=4$。
在 $w=4$ 的條件下，勞動供給是多少？
$l = 80w = 80 \times 4 = 320$。
所以，在 $w=4$ 時，有 320 名工人願意工作。

David 的勞動需求是基於 $MRP_l = 10 - l/40$。
David 會僱用工人直到 $MRP_l$ 等於他必須支付的邊際成本。
由於最低工資為 $4$，他必須支付的工資是 $4$。
但是，在壟斷買者模型中，工人數量會影響他必須支付的工資。
如果他僱用 $l$ 名工人，他必須支付的工資是 $w(l) = l/80$。
最低工資 $w_{min}=4$ 意味著 $w(l) \ge 4$。
所以， $l/80 \ge 4 \implies l \ge 320$。

David 的利潤極大化條件是 $MRP_l = MFC$。
但是，最低工資改變了 MFC 的結構。
如果 David 僱用 $l$ 名工人，而 $l \le 320$ 且 $w_{min}=4$，則他實際支付的工資是 $w=4$。
此時，他的邊際要素成本 MFC 是 $4$ (如果 $l \le 320$)。
因為他支付的工資是 $4$，所以他願意僱用的工人數量是使得 $MRP_l = 4$。
$10 - l/40 = 4$
$l/40 = 6$
$l = 240$。

所以，David 會僱用 240 名工人。
在 $w=4$ 的情況下，勞動供給是 $l = 80w = 80 \times 4 = 320$。
願意工作的工人有 320 人，但 David 只僱用了 240 人。
失業人數 = 勞動供給 - 僱用人數
失業人數 = $320 - 240 = 80$。

【答案】David 將僱用 240 名工人，失業人數為 80 人。

c. How does a minimum wage imposed under monopsony differ in results as compared with a minimum wage imposed under perfect competition? Use a graph to explain.

壟斷買者市場下的最低工資：

1. 工資水平：最低工資會提高原來的工資水平 (如果 $w_{min} > w_{monopsony}$)。
2. 僱用水平：僱用水平可能會增加、減少或保持不變。
   • 如果最低工資設定在 $w_{monopsony}$ 和 $w_{perfect competition}$ 之間，僱用水平會增加。
   • 如果最低工資設定得太高，超過了 $MRP_l$曲線與 $w_{min}$ 的交點，則僱用水平會下降。
3. 失業：如果最低工資導致勞動供給超過需求，則會產生失業。

完全競爭市場下的最低工資：

1. 工資水平：最低工資通常設定在市場均衡工資之上，以提高工人收入。
2. 僱用水平：由於勞動供給曲線向上傾斜，勞動需求曲線向下傾斜，最低工資會導致勞動供給大於勞動需求，從而減少僱用量。
3. 失業：最低工資直接導致失業，因為供給大於需求。

圖形解釋：

我們需要繪製一個圖，包含：

• 縱軸：工資 (w)
• 橫軸：勞動人數 (l)
• 勞動供給曲線 (S)：向上傾斜 ($w = l/80$)
• David 的邊際要素收益曲線 (MRP)：向下傾斜 ($MRP_l = 10 - l/40$)
• David 的邊際要素成本曲線 (MFC)：向上傾斜 ($MFC = l/40$)

步驟：

1. 壟斷買者均衡 (Monopsony Equilibrium)：

   • 找到 $MRP_l$ 和 $MFC$ 的交點，確定僱用量 $l_{mono}$。
   • 在 $l_{mono}$ 處，找到供給曲線上的工資 $w_{mono}$。
   • 圖上標示 $l_{mono}$ 和 $w_{mono}$。

2. 完全競爭均衡 (Perfect Competition Equilibrium)：

   • 找到供給曲線 $S$ 和需求曲線 $MRP_l$ 的交點，確定僱用量 $l_{pc}$ 和工資 $w_{pc}$。
   • 圖上標示 $l_{pc}$ 和 $w_{pc}$。

3. 壟斷買者市場下的最低工資 ($w_{min} = 4$)：

   • 在圖上畫一條水平線 $w = 4$。
   • 找到 $w = 4$ 與勞動供給曲線 S 的交點，這是願意工作的工人數量 $l_S = 80 \times 4 = 320$。
   • David 的邊際成本現在是 $w_{min}=4$ 直到 $l=320$，然後才回到 MFC 曲線。
   • David 會根據 $MRP_l$ 曲線僱用工人，直到 $MRP_l$ 等於他必須支付的邊際成本。
   • 新的邊際成本是 $w_{min}=4$。David 會僱用工人直到 $MRP_l = 4$。
   • $10 - l/40 = 4 \implies l/40 = 6 \implies l = 240$。
   • 所以，僱用量為 $l_{min\_mono} = 240$。
   • 支付的工資為 $w_{min} = 4$。
   • 失業人數 = $l_S - l_{min\_mono} = 320 - 240 = 80$。

4. 完全競爭市場下的最低工資：

   • 假設最低工資設定在 $w_{pc}$ 以上，例如 $w_{min}' > w_{pc}$。
   • 在 $w_{min}'$ 處，勞動供給 $l_S' = 80 w_{min}'$。
   • 勞動需求 $l_D'$ 滿足 $MRP_l = w_{min}'$。
   • 僱用量為 $l_{min\_pc} = l_D'$。
   • 失業人數 = $l_S' - l_{min\_pc}$。

比較結果：

• 在壟斷買者市場，最低工資 $w_{min}=4$ 提高了工資 (從 $2.5$ 到 $4$)，並增加了僱用量 (從 $200$ 到 $240$)，同時產生了 $80