109 年 國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

支出函數定義為：在給定商品價格與目標效用水準下，達到該效用所需的最小支出：

$$E(P_x,P_y,U)=\min_{x,y}\{P_xx+P_yy\mid u(x,y)\ge U\}.$$

正常偏好下，支出函數具有以下重要性質：

1. 價格的零次？ 支出對價格必須是一次齊次函數：

$$E(tP_x,tP_y,U)=tE(P_x,P_y,U),\quad t>0.$$

2. 效用水準單調遞增：目標效用越高，最低支出不會下降。

3. 價格單調不減：商品價格上升，達到相同效用所需的最低支出不會下降。

4. 不以所得為自變數：支出函數的自變數是價格與效用水準，即 $P_x,P_y,U$；所得 $M$ 不屬於支出函數的必要變數。

本題可優先檢查各選項對價格是否一次齊次，再檢查其對 $U$、$P_x$、$P_y$ 的單調性。

---

解題方法

對每個選項分別檢查：

• 將價格同時乘以 $t$，是否滿足 $E(tP_x,tP_y,U)=tE(P_x,P_y,U)$；
• 價格上升時，支出是否不會下降；
• 效用水準上升時，支出是否不會下降；
• 是否錯誤地將所得 $M$ 當作支出函數的必要變數。

只要違反其中一項，即不可能是個別消費者的支出函數。

---

選項分析

a. $E=P_xP_yU$

將兩個價格同時乘以 $t$：

$$E(tP_x,tP_y,U) =(tP_x)(tP_y)U =t^2P_xP_yU =t^2E(P_x,P_y,U).$$

但支出函數必須為價格的一次齊次函數，應為 $tE$，此式卻變成 $t^2E$。

因此，a 不可能是支出函數。

---

b. $E=P_xP_yM$

同樣檢查價格齊次性：

$$E(tP_x,tP_y,M) =(tP_x)(tP_y)M =t^2P_xP_yM =t^2E(P_x,P_y,M).$$

其對價格為二次齊次，違反支出函數對價格的一次齊次性。

此外，該式含有所得 $M$。支出函數應寫成 $E(P_x,P_y,U)$，而不是以所得作為決定最低支出的變數。

因此，b 不可能是支出函數。

---

c. $E=\dfrac{U^2}{P_y}$

將價格同時乘以 $t$：

$$E(tP_x,tP_y,U) =\frac{U^2}{tP_y} =\frac{1}{t}E(P_x,P_y,U).$$

此式對價格呈負一次齊次，而非一次齊次，已經違反支出函數的基本性質。

另外，當 $P_y$ 上升時：

$$\frac{\partial E}{\partial P_y} =-\frac{U^2}{P_y^2}<0.$$

本題主要測試個體經濟學中關於消費者理論、生產者理論與要素市場的基礎概念。

a. 當消費者的偏好滿足嚴格凸性(strictly convex)的假設時,其無異曲線(indifference curve)必定是負斜率。

說明： 此敘述為『真』。

理由：
嚴格凸性偏好意味著，對於任意兩個不同的消費組合 $X_1$ 和 $X_2$ 使得 $U(X_1) = U(X_2) = U_0$，則任意介於 $X_1$ 和 $X_2$ 之間的組合 $tX_1 + (1-t)X_2$ (其中 $0 < t < 1$) 所代表的效用 $U(tX_1 + (1-t)X_2)$ 必定嚴格大於 $U_0$。在圖形上，這表示無異曲線是凸向原點的。

無異曲線的斜率代表邊際替代率 (Marginal Rate of Substitution, MRS)。對於兩種商品 $x$ 和 $y$，MRS 衡量在維持相同效用水平下，消費者願意放棄多少 $y$ 來換取額外一單位的 $x$。其數學表達式為：
$MRS_{xy} = -\frac{dy}{dx} \bigg|_{U=\text{constant}} = \frac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}$
假設消費者偏好於商品 $x$ 和 $y$，即 $\frac{\partial U}{\partial x} > 0$ 且 $\frac{\partial U}{\partial y} > 0$。因此，MRS 的分子和分母均為正。

無異曲線的負斜率意味著 $MRS_{xy} > 0$。若嚴格凸性成立，且消費者偏好於商品，則無異曲線必然是負斜率且凸向原點。

• 負斜率： 為了維持相同的效用水平，當 $x$ 增加時，$y$ 必須減少。這是因為我們假設消費者偏好於更多的商品（非飽足性），即 $\frac{\partial U}{\partial x} > 0$ 且 $\frac{\partial U}{\partial y} > 0$。因此，MRS 的分子和分母都是正的，所以斜率為負。
• 凸向原點： 嚴格凸性假設保證了 MRS 會隨著 $x$ 的增加而遞減（絕對值減小），這使得無異曲線呈現凸向原點的形狀。

若無異曲線斜率為零或無窮大，則表示邊際替代率為零或無窮大，這與嚴格凸性以及偏好於商品（非飽足性）的假設相矛盾。例如，若斜率為零，則表示 $\frac{\partial U}{\partial x} = 0$，即消費者對商品 $x$ 已經飽足，增加 $x$ 不會增加效用，這與嚴格凸性（通常伴隨非飽足性）不符。

因此，在嚴格凸性偏好假設下，無異曲線必定是負斜率。

b. 補償變量(compensating variation)等於均等變量(equivalent variation)的充份必要條件為替代效果(substitution effect)等於所得效果(income effect)。

說明： 此敘述為『偽』。

理由：
補償變量 (CV) 和均等變量 (EV) 是衡量價格變動對消費者福利影響的兩種貨幣衡量方式。

• 補償變量 (CV)： 是指在價格變動後，需要給予（或從消費者那裡拿走）多少額外的所得，才能使消費者回到價格變動前的效用水平。
• 均等變量 (EV)： 是指在價格變動前，消費者願意支付（或需要補貼）多少額外的所得，才能使其在價格變動後的效用水平與價格變動前的效用水平相同。

CV 和 EV 相等的充份必要條件是單一商品市場，或者某項價格變動對所有其他商品的需求影響為零，或者替代效果等於所得效果的絕對值（但這裡的陳述是替代效果等於所得效果，而不是絕對值）。

讓我們從數學上來理解：
假設商品為 $x$，其價格從 $P_x^0$ 變動到 $P_x^1$。

• CV 是指 $E(P_x^1, U_0) - E(P_x^0, U_0)$，其中 $U_0$ 是原始效用水平。
• EV 是指 $E(P_x^0, U_1) - E(P_x^0, U_0)$，其中 $U_1$ 是變動後價格下的最適效用水平。

CV 等於 EV 當且僅當 $E(P_x^1, U_0) = E(P_x^0, U_1)$。
根據 Slutsky 方程 (或 Hicksian decomposition)：
$x_1^d - x_0^d = \text{Substitution Effect} + \text{Income Effect}$
其中 $x_1^d$ 是變動後價格下的需求量，$x_0^d$ 是變動前價格下的需求量。
替代效果通常定義為 $h(P_x^1, U_0) - h(P_x^0, U_0)$ (Hicksian 替代效果)。
所得效果通常定義為 $x_1^d - h(P_x^1, U_0)$ (Slutsky 或 Hicksian 正常所得效果)。

CV 和 EV 的相等性與替代效果和所得效果的關係，可以從無異曲線的彎曲度以及價格變動的方向來分析。
CV 和 EV 在單一商品市場中總是相等的，因為此時的替代效果和所得效果的影響是直接且唯一的。
對於多種商品，CV 和 EV 的相等性與無異曲線的彎曲度有關。如果無異曲線是線性的（MRS 為常數），則 CV = EV。線性的無異曲線意味著商品是完全替代的，此時替代效果是無限的，所得效果是零，或者說，替代效果的絕對值等於所得效果（若定義為 $x_1^d - h(P_x^1, U_0)$）。

但是，題目中的條件是「替代效果等於所得效果」。這不是 CV = EV 的充份必要條件。
例如，對於正常財，替代效果為負，所得效果為負（需求減少），總效果為負（需求減少）。
若替代效果為 -2，所得效果為 -1，則總效果為 -3。
CV 和 EV 的相等性與替代效果和所得效果的大小無關，而是與它們之間的相互作用以及無異曲線的形狀有關。

CV = EV 的條件是，在兩種效用水平下的價格路徑（或支出函數）所決定的點，其價格變動導致的福利變動以貨幣衡量是相同的。這通常發生在單一商品市場，或當其他商品的價格不變且對該商品的需求無影響時。

若題目中的「替代效果等於所得效果」是指 $SE = IE$，而不是 $|SE| = |IE|$。
在標準的 Slutsky 分解中， $x_1^d - x_0^d = (h(P_x^1, U_0) - h(P_x^0, U_0)) + (x_1^d - h(P_x^1, U_0))$。
這裡的 SE 是 $h(P_x^1, U_0) - h(P_x^0, U_0)$，IE 是 $x_1^d - h(P_x^1, U_0)$。
如果 SE = IE，則 $x_1^d - x_0^d = 2 \times SE$。
這與 CV = EV 的條件無關。

CV = EV 的充份必要條件是：對於價格變動，無異曲線的斜率在原始點和補償點（或均等點）之間沒有顯著變化，這通常發生在單一商品市場或商品之間是完全替代品時。

因此，敘述是偽的。

c. 如果生產函數(production function)具有遞增規模報酬(increasing returns to scale)的特性時,邊際成本(marginal cost)有可能是負數。

說明： 此敘述為『偽』。

理由：
生產函數 $Q = f(L, K)$ 具有遞增規模報酬 (IRS) 表示，若所有要素投入同時增加一個比例 $t>1$，則總產出增加的比例大於 $t$。即 $f(tL, tK) > t f(L, K)$ 對於 $t>1$。

成本函數 $C(Q, w, r)$ 是指在給定要素價格 $w$ (勞動價格) 和 $r$ (資本價格) 下，生產 $Q$ 單位的最低成本。
邊際成本 (MC) 是指生產額外一單位產品所需的額外成本，即 $MC = \frac{dC}{dQ}$。
總成本 $C = wL + rK$。

通常，我們假設生產函數是單調遞增的，即增加任何一種要素投入都會增加產出。
$L$ 和 $K$ 的邊際產量 (MP) 都是正的：$\frac{\partial Q}{\partial L} > 0$ 且 $\frac{\partial Q}{\partial K} > 0$。

核心觀念

本題考察勞動供給模型中的：

• 所得效果：非勞動所得改變，使個人財富改變，進而影響休閒與消費。
• 替代效果：工資改變，使休閒的機會成本改變。
• 最適選擇條件：休閒的邊際效用與消費的邊際效用，透過預算限制決定最適勞動供給。
• 租稅效果：工資所得稅降低有效工資；消費稅提高消費價格。

以下假設存在內部解，且 $0\leq r<1$、$e\geq 0$，並以 $Y^*>0$ 為主要討論情況。

---

基本模型與最適解

由 $H=1-N$ 可得：

$$C=w(1-N)+Y^*$$

效用函數為：

$$U(C,N)=\ln C+\ln N$$

將預算限制代入效用函數：

$$U(N)=\ln\left[w(1-N)+Y^*\right]+\ln N$$

一階條件為：

$$-\frac{w}{w(1-N)+Y^*}+\frac{1}{N}=0$$

因此：

$$w(1-N)+Y^*=wN$$

左側即為消費 $C$，所以最適條件也可寫成：

$$C=wN$$

解得最適休閒：

$$N^*=\frac{w+Y^*}{2w} =\frac{1}{2}+\frac{Y^*}{2w}$$

因此最適勞動供給為：

$$H^*=1-N^* =\frac{1}{2}-\frac{Y^*}{2w}$$

最適消費為：

$$C^*=wH^*+Y^* =\frac{w+Y^*}{2}$$

---

(a) 非勞動所得 $Y^*$ 增加

由基本解：

$$H^*=\frac{1}{2}-\frac{Y^*}{2w}$$ $$C^*=\frac{w+Y^*}{2}$$

分別對 $Y^*$ 微分：

$$\frac{\partial H^*}{\partial Y^*} =-\frac{1}{2w}<0$$ $$\frac{\partial C^*}{\partial Y^*} =\frac{1}{2}>0$$

因此：

• 非勞動所得增加，使 Steve 的財富增加。
• 休閒是正常財，因此休閒需求增加。
• 休閒增加代表工作時數減少，故勞動供給下降。
• 消費增加。

這是典型的純所得效果：$Y^*$ 不會改變休閒的價格，只會改變可支配所得。

結論

$$Y^*\uparrow \quad\Longrightarrow\quad N^*\uparrow,\ H^*\downarrow,\ C^*\uparrow$$

---

(b) 工資 $w$ 增加

由基本解：

$$H^*=\frac{1}{2}-\frac{Y^*}{2w}$$ $$C^*=\frac{w+Y^*}{2}$$

對 $w$ 微分：

$$\frac{\partial H^*}{\partial w} =\frac{Y^*}{2w^2}>0$$ $$\frac{\partial C^*}{\partial w} =\frac{1}{2}>0$$

因此在 $Y^*>0$ 時：

• 工資上升會提高工作的報酬。
• 休閒的機會成本上升，產生替代效果，使休閒減少、勞動供給增加。
• 工資上升也使 Steve 變得更富有，產生促使休閒增加的所得效果。
• 在本題的對數效用函數下，替代效果大於所得效果，因此勞動供給最後增加。
• 消費增加。

特殊情況

若 $Y^*=0$，則：

$$H^*=\frac{1}{2},\qquad C^*=\frac{w}{2}$$

此時工資增加不會改變勞動供給，但會提高消費。

結論

在 $Y^*>0$ 時：

$$w\uparrow \quad\Longrightarrow\quad N^*\downarrow,\ H^*\uparrow,\ C^*\uparrow$$

---

(c) 對工資所得課徵稅率 $r$

課稅後的有效工資為：

$$\widetilde w=(1-r)w$$

消費預算限制變為：

$$C=(1-r)wH+Y^*$$

令 $q=(1-r)w$，則模型與原本相同：

$$C=qH+Y^*$$

因此：

核心觀念

本題考查**生產要素市場理論（Factor Markets）**中的廠商勞動僱用決策，主要涵蓋兩大核心模型：

1. 完全競爭勞動市場（Perfect Competition in Factor Market）：

   • 廠商為工資的接受者（Wage-taker），勞動供給彈性無窮大，邊際要素成本等於市場工資率：
     $MFC_L = W$
   • 產品市場亦為完全競爭時，勞動邊際收益產值（$MRP_L$）等於勞動邊際產值（$VMP_L$）：
     $VMP_L = P \times MP_L$
   • 利潤極大化條件為 $VMP_L = W$。在離散勞動投入下，決策法則為：僱用至最後一個滿足 $VMP_L \ge W$ 的勞工。

2. 非差別訂價買方獨占勞動市場（Non-discriminating Monopsony）：

   • 雇主面臨正斜率的勞動供給曲線，每多僱用一名勞工，不僅要支付該勞工較高的工資，還必須將先前所有僱用勞工的工資一併調高。
   • 總勞動成本為 $TLC(L) = W(L) \times L$，邊際要素成本（Marginal Factor Cost, $MFC_L$）大於工資率：
     $MFC_L = \frac{\Delta TLC}{\Delta L} > W$
   • 利潤極大化僱用量滿足 $VMP_L = MFC_L$（離散情況下為最後一個滿足 $VMP_L \ge MFC_L$ 的勞工）。
   • 工資決定：廠商決定最適僱用量 $L^*$ 後，依照勞動供給曲線支付使勞工願意提供該勞動量之最低工資 $W(L^*)$，而非支付 $MFC_L$。

---

解題步驟與推導

1. 基本生產力與邊際產值（$VMP_L$）計算

產品價格 $P =$$5$/個$。根據生產函數計算各勞工的邊際產量 $MP_L = \Delta Q / \Delta L$ 與邊際產值 $VMP_L = P \times MP_L$：

勞工數 ($L$)	總產量 ($Q$)	邊際產量 ($MP_L$)	邊際產值 ($VMP_L = 5 \times MP_L$)
0	0	—	—
1	6	6	$30
2	11	5	$25
3	15	4	$20
4	18	3	$15
5	20	2	$10

---

2. 子題 (a) 詳解：完全競爭勞動市場

• 已知條件：市場工資率固定為 W = \$$13/小時$。
• 決策法則：只要增加一名勞工所帶來的額外收益（$VMP_L$）大於或等於額外支付的工資（$W$），廠商即會增僱該名勞工。

逐一評估各勞工的僱用效益：

• 第 1 位勞工：$VMP_1 =$$30 \ge \$$13 \implies 僱用（利潤增加 \17）
• 第 2 位勞工：$VMP_2 =$$25 \ge \$$13 \implies 僱用（利潤增加 \12）
• 第 3 位勞工：$VMP_3 =$$20 \ge \$$13 \implies 僱用（利潤增加 \7）
• 第 4 位勞工：$VMP_4 =$$15 \ge \$$13 \implies 僱用（利潤增加 \2）
• 第 5 位勞工：$VMP_5 =$$10 < \$$13 \implies 不僱用（若僱用利潤減少 \3）

結論：
Sam 應僱用 4 位勞工。

利潤驗算：

• 僱用 3 人：$\pi(3) = (5 \times 15) - (13 \times 3) = 75 - 39 =$$36

- 僱用 4 人：$\pi(4) = (5 \times 18) - (13 \times 4) = 90 - 52 = $\$38

（利潤最大）

• 僱用 5 人：$\pi(5) = (5 \times 20) - (13 \times 5) = 100 - 65 =$$35

本題考驗對賣方壟斷 (monopsony) 市場和最低工資 (minimum wage) 影響的理解，特別是最低工資可能增加就業量的情況。

基本模型：賣方壟斷下的勞動市場

1. 賣方壟斷者 (Monopsonist)： 這是勞動市場上唯一的買方（僱主）。
2. 勞動供給曲線 (Labor Supply Curve, LS)： 向上傾斜。表示要僱用更多勞動，必須支付更高的工資。這條曲線代表了廠商的平均要素成本 (AFC)。
3. 邊際要素成本曲線 (Marginal Factor Cost, MFC)： 由於賣方壟斷者必須為所有工人支付相同的工資，為了僱用額外的工人，它必須提高所有現有工人的工資。因此，MFC 曲線位於勞動供給曲線 (AFC) 的上方，且其斜率的絕對值大於 AFC 曲線的斜率。MFC 曲線是 TFC (Total Factor Cost) 對 L 的導數。
4. 邊際產值曲線 (Marginal Revenue Product, MRP)： 這是勞動的需求曲線。表示每增加一個單位勞動所帶來的額外收入。

賣方壟斷者的勞動僱用和工資決定：
賣方壟斷者會僱用勞動直到 MRP 等於 MFC ($MRP = MFC$)。在此點確定的勞動數量 $L_m$。
然後，根據勞動供給曲線 (AFC)，確定僱用 $L_m$ 位工人所需的工資 $w_m$。
在這個均衡點 $(L_m, w_m)$， MRP > AFC ($w_m$)。

最低工資 (Minimum Wage, $w_{min}$) 的影響

最低工資設定在賣方壟斷市場上，可能會產生三種結果：

1. 低於賣方壟斷均衡工資 ($w_{min} < w_m$)： 最低工資沒有約束力，市場運作如常，就業量維持在 $L_m$。
2. 高於賣方壟斷均衡工資，但低於完全競爭市場的 MRP ($w_m < w_{min} < MRP_{L_m}$)： 這是本題探討的情況。
3. 高於 MRP ($w_{min} > MRP_{L_m}$)： 導致就業量減少，甚至低於 $L_m$。

情況 2：最低工資設定在 $w_m < w_{min} < MRP_{L_m}$

圖形分析：

• 繪製圖形：

  • 橫軸：勞動數量 (L)
  • 縱軸：工資/成本 (W)
  • 畫一條向上傾斜的勞動供給曲線 (LS 或 AFC)。
  • 畫一條位於 LS 上方的 MFC 曲線，其斜率更大。
  • 畫一條向下傾斜的 MRP 曲線 (勞動需求曲線)。
  • 標記賣方壟斷均衡點：MRP 與 MFC 的交點決定 $L_m$。從 $L_m$ 垂直向上找到 LS 曲線，確定工資 $w_m$。此時的就業量為 $L_m$。

• 引入最低工資 $w_{min}$：
  假設最低工資 $w_{min}$ 設定在 $w_m$ 和 $MRP$ 曲線與 $w_{min}$ 的交點之間的某個水平。
  當政府設定一個最低工資 $w_{min}$ 後，廠商必須支付至少 $w_{min}$ 的工資。
  對於賣方壟斷者而言，這改變了其邊際要素成本的結構。

  • 在 $L$ 小於某個值（對應於 $w_{min}$ 在 LS 曲線上的點）時，廠商必須支付 $w_{min}$。
  • 當僱用的工人數量 L 增加到使 LS 曲線上的工資高於 $w_{min}$ 時，廠商必須支付 LS 曲線上的工資。

• 新的 MFC 曲線：
  在設定最低工資 $w_{min}$ 後，廠商面對的 MFC 曲線會改變。

  • 對於僱用 $L$ 位工人，如果 $w_{min}$ 高於在 LS 曲線上的工資，則廠商必須支付 $w_{min}$。此時，TFC = $L \times w_{min}$，MFC = $w_{min}$ (水平線)。
  • 當 $L$ 增加到某一點，使得 LS 曲線上的工資等於 $w_{min}$ 時， MFC 曲線又重新與原來的 MFC 曲線合併（或跳躍）。

  更精確地說：
  新的 MFC 曲線由兩部分組成：

  1. 從 L=0 開始，直到 LS 曲線上的工資達到 $w_{min}$ 為止，MFC 是一條水平線，其高度等於 $w_{min}$。
  2. 當 LS 曲線上的工資高於 $w_{min}$ 時，MFC 曲線恢復為原來的向上傾斜的 MFC 曲線（但可能從一個更高的點開始）。

• 新的僱用決策：
  賣方壟斷者現在會根據新的 MFC 曲線和 MRP 曲線來決定僱用量。
  廠商僱用勞動直到 $MRP$ 等於新的 MFC。
  假設最低工資 $w_{min}$ 設定得足夠高，使得新的 MFC 曲線（水平部分）與 MRP 曲線的交點，對應的勞動數量 $L'_{min}$，大於原來的 $L_m$。
  如果 $w_{min}$ 設定在 $w_m$ 和 $MRP$ 與 $w_{min}$ 交點之間，則新的 MFC 曲線會從 $w_{min}$ 開始一段水平線，然後向上傾斜。
  在這個水平部分，MFC = $w_{min}$。
  廠商會尋找 $MRP = w_{min}$ 的點。

核心觀念

支出函數定義為：在給定商品價格與目標效用水準下，達到該效用所需的最小支出：

$$E(P_x,P_y,U)=\min_{x,y}\{P_xx+P_yy\mid u(x,y)\ge U\}.$$

正常偏好下，支出函數具有以下重要性質：

1. 價格的零次？ 支出對價格必須是一次齊次函數：

$$E(tP_x,tP_y,U)=tE(P_x,P_y,U),\quad t>0.$$

2. 效用水準單調遞增：目標效用越高，最低支出不會下降。

3. 價格單調不減：商品價格上升，達到相同效用所需的最低支出不會下降。

4. 不以所得為自變數：支出函數的自變數是價格與效用水準，即 $P_x,P_y,U$；所得 $M$ 不屬於支出函數的必要變數。

本題可優先檢查各選項對價格是否一次齊次，再檢查其對 $U$、$P_x$、$P_y$ 的單調性。

---

解題方法

對每個選項分別檢查：

• 將價格同時乘以 $t$，是否滿足 $E(tP_x,tP_y,U)=tE(P_x,P_y,U)$；
• 價格上升時，支出是否不會下降；
• 效用水準上升時，支出是否不會下降；
• 是否錯誤地將所得 $M$ 當作支出函數的必要變數。

只要違反其中一項，即不可能是個別消費者的支出函數。

---

選項分析

a. $E=P_xP_yU$

將兩個價格同時乘以 $t$：

$$E(tP_x,tP_y,U) =(tP_x)(tP_y)U =t^2P_xP_yU =t^2E(P_x,P_y,U).$$

但支出函數必須為價格的一次齊次函數，應為 $tE$，此式卻變成 $t^2E$。

因此，a 不可能是支出函數。

---

b. $E=P_xP_yM$

同樣檢查價格齊次性：

$$E(tP_x,tP_y,M) =(tP_x)(tP_y)M =t^2P_xP_yM =t^2E(P_x,P_y,M).$$

其對價格為二次齊次，違反支出函數對價格的一次齊次性。

此外，該式含有所得 $M$。支出函數應寫成 $E(P_x,P_y,U)$，而不是以所得作為決定最低支出的變數。

因此，b 不可能是支出函數。

---

c. $E=\dfrac{U^2}{P_y}$

將價格同時乘以 $t$：

$$E(tP_x,tP_y,U) =\frac{U^2}{tP_y} =\frac{1}{t}E(P_x,P_y,U).$$

此式對價格呈負一次齊次，而非一次齊次，已經違反支出函數的基本性質。

另外，當 $P_y$ 上升時：

$$\frac{\partial E}{\partial P_y} =-\frac{U^2}{P_y^2}<0.$$