115 年 國立政治大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考查：

1. 效用函數所代表偏好的基本性質：完整性、遞移性、連續性與單調性。
2. Leontief 型組合：
   $\min(X_1,X_2^\alpha)$
   表示 $X_1$ 與 $X_2^\alpha$ 必須配合使用，多出的任一項不增加效用。
3. 效用最大化與預算限制。
4. 透過固定有效消費量
   $q=\min(X_1,X_2^\alpha)$
   將四種財的問題化為 $q$ 與 $X_3$ 的二財問題。

以下假設各財數量非負、價格皆為正，消費者所得為 $m$，價格分別為 $p_1,p_2,p_3,p_4$。由於效用函數未出現 $X_4$，$X_4$ 對效用沒有影響。

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(A) 偏好性質分析

效用函數為

$$U(X_1,X_2,X_3,X_4) = \left[\min(X_1,X_2^\alpha)(1+X_3)\right]^{1-\beta},$$

其中

$$1>\alpha>\beta>0.$$

因此 $1-\beta>0$，外層次方函數是嚴格遞增且連續的。

1. 完整性：滿足

對任意兩個消費組合 $X$ 與 $Y$，效用值 $U(X)$ 與 $U(Y)$ 都是可比較的實數，因此必有：

$$U(X)\geq U(Y)$$

或

$$U(Y)\geq U(X).$$

所以此效用函數代表的偏好滿足完整性。

2. 遞移性：滿足

若

$$U(X)\geq U(Y)$$

且

$$U(Y)\geq U(Z),$$

則必有

$$U(X)\geq U(Z).$$

因此所代表的偏好滿足遞移性。

3. 越多越好：滿足弱單調性，但不滿足嚴格單調性

若消費組合 $X$ 在每一種財的數量都不少於 $Y$，即

$$X_i\geq Y_i,\qquad i=1,2,3,4,$$

則

$$\min(X_1,X_2^\alpha)\geq \min(Y_1,Y_2^\alpha)$$

且

$$1+X_3\geq 1+Y_3.$$

由於外層次方 $1-\beta>0$，因此

$$U(X)\geq U(Y).$$

所以偏好滿足弱單調性。

但它不滿足嚴格單調性。例如，在 $X_1<X_2^\alpha$ 時，增加 $X_2$ 並不會改變最小值：

$$\min(X_1,(X_2+\Delta)^\alpha)=X_1$$

只要增加幅度不使 $X_2^\alpha$ 超過 $X_1$，效用便完全不變。同理，當 $X_2^\alpha<X_1$ 時，增加 $X_1$也不會增加效用；增加 $X_4$ 更完全不影響效用。

因此，若「越多越好」採嚴格定義，答案為不滿足；若採經濟學常見的弱單調性定義，答案為滿足。

4. 連續性：滿足

函數

$$X_2^\alpha$$

在非負實數上連續，兩個連續函數的最小值

$$\min(X_1,X_2^\alpha)$$

也是連續函數；乘上 $1+X_3$ 後仍連續，再經過連續的正次方函數 $[\cdot]^{1-\beta}$，整體效用函數仍然連續。

所以所代表的偏好滿足連續性。

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(B) 需求函數推導

第一步：消除不會增加效用的消費

令

$$q=\min(X_1,X_2^\alpha).$$

若 $X_1>X_2^\alpha$，減少 $X_1$ 至 $X_2^\alpha$ 不會降低效用，卻能節省支出；因此最適消費必須滿足

$$X_1=X_2^\alpha=q.$$

故

$$X_2=q^{1/\alpha}.$$

又因為效用函數不含 $X_4$，且 $p_4>0$，最適選擇必為

$$X_4^*=0.$$

此時，達成有效消費量 $q$ 所需的最低支出為

$$p_1q+p_2q^{1/\alpha}.$$

因此原本的效用最大化問題可化為

$$\max_{q\geq 0,\;X_3\geq 0} \left[q(1+X_3)\right]^{1-\beta}$$

subject to

$$p_1q+p_2q^{1/\alpha}+p_3X_3\leq m.$$

因為 $1-\beta>0$，最大化效用等價於最大化

$$q(1+X_3).$$

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第二步：先求內點解

在內點解下，預算必須用盡：

$$p_1q+p_2q^{1/\alpha}+p_3X_3=m.$$

故

$$X_3=\frac{m-p_1q-p_2q^{1/\alpha}}{p_3}.$$

代入目標函數：

$$f(q) = q\left[ 1+\frac{m-p_1q-p_2q^{1/\alpha}}{p_3} \right].$$

對 $q$ 微分：

$$f'(q) = 1+\frac{m-2p_1q-\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)p_2q^{1/\alpha}}{p_3}.$$

核心觀念

本題旨在測驗個體經濟學生產理論與完全競爭廠商的最適決策，涵蓋以下核心觀念：

1. 生產函數的本質：在現有技術條件下，投入要素與其所能達成之「最大產出量」之間的技術轉換關係。
2. 短期成本函數與邊際成本（$MC$）推導：透過反求要素需求函數，導出總成本函數 $TC(Q)$，再經由微分求得邊際成本函數 $MC(Q)$。
3. 利潤極大化條件（FOC 與 SOC）：
   • 一階必要條件（FOC）：$P = MC$（或 $VMP_x = W$），決定駐點（Stationary point）。
   • 二階充分條件（SOC）：$\frac{d^2\pi}{dQ^2} \le 0$（即邊際成本必須遞增 $\frac{dMC}{dQ} > 0$），確保該駐點為利潤「極大」而非「極小」。
4. 規模報酬遞增（IRS）與完全競爭的相容性：當生產函數呈現規模報酬遞增（$Q = x^2$）時，邊際成本隨產量增加而遞減，利潤函數為嚴格凸函數（Strictly Convex），完全競爭廠商將無法達成有限的內部利潤極大產量。

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解題方法

1. (A) 生產函數定義：依據微觀經濟學標準定義，界定技術集邊界（Production Frontier）與最大可能產出的數學映射關係。
2. (B) 邊際成本推導：
   • 由 $Q = f(x) = x^2$ 反推要素需求函數 $x(Q) = \sqrt{Q}$。
   • 建立總成本函數 $TC(Q) = W \cdot x(Q) = W Q^{1/2}$。
   • 對產量 $Q$ 微分求得 $MC(Q) = \frac{dTC(Q)}{dQ}$。
3. (C) 最適產量推導：
   • 列出利潤函數 $\pi(Q) = P \cdot Q - TC(Q)$。
   • 求解 FOC 並務必檢驗 SOC。
   • 結合經濟直覺與極限分析，判斷利潤函數形狀及全域最適解（Global Optimum）。

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各小題完整推導與解析

(A) 何謂生產函數？請寫下生產函數的定義。（5分）

1. 文字定義：
生產函數（Production Function）是指在既定的生產技術水準下，廠商使用各種生產要素的投入數量組合，與其所能生產出之**技術上最大可能產出量（Maximum Feasible Output）**之間的對應關係。它反映了廠商將實體投入轉化為產出的純技術限制（Technology Constraint），代表生產可行集合（Production Possibility Set）的技術邊界。

2. 數學表示式：
若廠商使用 $n$ 種要素投入向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \ge 0$，產出為 $Q$，其生產函數可表示為：

$Q = f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \max \{ q \mid (x_1, x_2, \dots, x_n; q) \in Y \}$

其中 $Y$ 為廠商的生產可行集合（Production Set）。在單一要素投入的情況下，簡記為 $Q = f(x)$。

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(B) 請推導此廠商的邊際成本函數。（5分）

1. 求導要素需求函數：
已知生產函數為 $Q = x^2$（其中 $x \ge 0, Q \ge 0$），在單一要素環境下，達成產出 $Q$ 所需的最小要素投入量為：

$x(Q) = Q^{1/2} = \sqrt{Q}$

2. 建立總成本函數（$TC$）：
要素市場價格為 $W$，廠商生產產量 $Q$ 的總成本函數為：

$TC(Q) = W \cdot x(Q) = W Q^{1/2}$

3. 推導邊際成本函數（$MC$）：
邊際成本定義為每增加一單位產出所引發的總成本變動量，將總成本函數對產量 $Q$ 進行一階微分：

$MC(Q) = \frac{dTC(Q)}{dQ} = \frac{d}{dQ}\left( W Q^{1/2} \right) = \frac{1}{2} W Q^{-1/2} = \frac{W}{2\sqrt{Q}}$

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(C) 在完全競爭市場之下，請推導此廠商利潤極大化的最適產量。（15分）

1. 利潤極大化問題設定：
在完全競爭市場中，廠商為產出價格 $P$ 與要素價格 $W$ 的價格接受者（Price-taker），其利潤極大化決策問題為：

$\max_{Q \ge 0} \pi(Q) = TR(Q) - TC(Q) = P \cdot Q - W Q^{1/2}$

2. 一階必要條件（FOC）：
令利潤對 $Q$ 的一階導數為 0：

$\frac{d\pi(Q)}{dQ} = P - MC(Q) = P - \frac{W}{2\sqrt{Q}} = 0$

解出駐點產量：

此題考察勞動市場的需求曲線性質以及利潤與其他經濟概念的關係。

(A) 勞動需求曲線斜率的性質：
勞動需求曲線描述了在其他條件（如勞動報酬、技術、產出價格等）不變的情況下，廠商對勞動的需求量與勞動的價格（工資率）之間的關係。
一般情況下，廠商的勞動需求是其利潤極大化決策的結果。在其他條件不變時，如果工資率上升，廠商為了極大化利潤，通常會減少對勞動的僱用，因為勞動的邊際產量遞減，且勞動的邊際產值 (Value of Marginal Product, VMP) 或邊際產值產品 (Marginal Revenue Product, MRP) 會下降。
MRP 的計算通常是 $MRP_L = P \times MPL$ (在完全競爭產品市場) 或 $MRP_L = MR \times MPL$ (在不完全競爭產品市場)，其中 $P$ 是產品價格，$MR$ 是邊際收益，$MPL$ 是勞動的邊際產量。
若 $P$ 和 $MPL$ 都是固定的或單調遞減的，則 $MRP_L$ 也是單調遞減的，廠商會僱用勞動直到 $MRP_L = W$ (工資率)。因此，工資率上升會導致勞動需求量下降，勞動需求曲線向下傾斜（斜率為負）。

然而，存在特殊情況可能導致勞動需求曲線向上傾斜。這通常發生在：

1. 規模效應 (Scale Effect)：工資率上升導致生產成本增加，進而可能導致產量下降。如果產量下降，對所有生產要素（包括勞動）的需求都可能下降。

2. 替代效應 (Substitution Effect)：工資率上升使得勞動相對資本變得昂貴，廠商傾向於用資本替代勞動，這會減少勞動需求。

3. 特殊生產函數：如果生產函數的性質使得在某些區間內，工資率上升反而會增加勞動需求。例如，如果勞動的邊際產量極度遞增，或者勞動與資本之間的替代彈性非常高，並且規模效應非常強烈。
   一個經典的反例是，如果 $MPL$ 遞增，且 $P$ 是固定的，那麼 MRP 也是遞增的。廠商會一直增加勞動。但通常假設 MPL 是遞減的。
   另一個情況是，如果勞動和資本是互補品，但替代效應非常弱，而規模效應非常強。工資上升導致總成本上升，產量下降，但為了維持足夠的產量，可能需要增加勞動。
   更精確的說，勞動需求曲線斜率取決於 $P \times MPL$ 對 $W$ 的反應。
   $MRP_L = P \times MPL(L, K)$。
   廠商僱用 $L$ 直到 $MRP_L = W$。
   對 $W$ 微分：$\frac{d L}{d W} = \frac{1}{\partial MRP_L / \partial L}$。
   如果 $\partial MRP_L / \partial L > 0$ (即 MRP 遞增)，則 $\frac{d L}{d W} < 0$ (斜率為負)。
   如果 $\partial MRP_L / \partial L < 0$ (即 MRP 遞減，這是標準情況)，則 $\frac{d L}{d W} < 0$ (斜率為負)。
   然而，如果資本 $K$ 的投入也隨 $W$ 變化，則情況更複雜。
   若 $K$ 隨 $W$ 增加而增加 (例如，當 $W$ 增加時，廠商為了維持較高的產量，可能會增加資本投入，而勞動和資本是互補的)，則 $MPL$ 可能增加，導致 $MRP_L$ 增加。
   在「正常」情況下，勞動的邊際產量是遞減的，且勞動和資本是替代品或互補品，但替代效應大於規模效應。
   但確實存在一些特殊情況，例如，如果勞動和資本是極強的互補品，且廠商非常依賴勞動，工資上漲可能迫使廠商增加資本以維持生產，進而可能增加對勞動的需求。

   但是，題目問的是 "always negative"。這是一個很強的斷言。
   在標準的微觀經濟學模型中，假設勞動的邊際產量遞減，且產品市場是完全競爭或壟斷競爭，則勞動需求曲線通常是負斜率的。
   然而，在某些極端情況下（例如，勞動的邊際產量遞增，或者非常強烈的規模效應和互補性），勞動需求曲線可能向上傾斜。
   因此，斷言「總是」負斜率是不正確的。

【答案】 False (或 Uncertain，但 False 更為準確，因為存在反例)。

(B) 利潤與其他經濟概念的關係：
題目提到 $\frac{\partial \pi}{\partial P}$ 和 $\frac{\partial e \pi}{\partial P}$。這裡的 $e \pi$ 應為 $\pi_e$ 或 $E[\pi]$（期望利潤）或某種與利潤相關的變量。
從上下文看，"PS is producer surplus, $\pi$ is profit and P is output price" 似乎暗示 $e \pi$ 可能與生產者剩餘 (Producer Surplus, PS) 或某種擴張路徑上的利潤有關。
然而，標準的 Royden's identity 或 Hotelling's Lemma 說明，在完全競爭市場下，利潤對價格的導數等於產量：
$\frac{\partial \pi}{\partial P} = Q$。
這是因為 $\pi(Q, P) = P \cdot Q(P) - C(Q(P))$。
$\frac{\partial \pi}{\partial P} = Q(P) + P \cdot \frac{dQ}{dP} - \frac{dC}{dQ} \cdot \frac{dQ}{dP} = Q + (P - MC) \frac{dQ}{dP}$。
在利潤極大化點， $P=MC$，所以 $\frac{\partial \pi}{\partial P} = Q$。

現在考慮 $\frac{\partial e \pi}{\partial P}$。題目中的 $e \pi$ 符號不標準。
若 $e \pi$ 指的是生產者剩餘 (Producer Surplus, PS)，則在完全競爭市場下，PS 通常定義為：
$PS = TR - VC = P \cdot Q - VC(Q)$。
或者，PS 是邊際成本曲線之上、價格線之下、產量軸圍成的區域。
$PS = \int_0^Q (P - MC(q)) dq$。
如果 $P$ 是固定的，那麼 $PS$ 對 $P$ 的導數是：
$\frac{\partial PS}{\partial P} = \frac{\partial}{\partial P} \int_0^Q (P - MC(q)) dq$。
這裡 $Q$ 本身是 $P$ 的函數， $Q=Q(P)$。
$\frac{\partial PS}{\partial P} = \int_0^Q \frac{\partial (P - MC(q))}{\partial P} dq + (P - MC(Q)) \frac{dQ}{dP}$。
$\frac{\partial (P - MC(q))}{\partial P} = 1 - 0 = 1$ (因為 $MC$ 不隨 $P$ 變動)。

此題考察經濟學中關於生產函數或效用函數的兩個重要性質：齊次性 (Homogeneity) 與齊一性 (Homotheticity)。

齊次性 (Homogeneous Functions)
一個函數 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 被稱為 $k$ 次齊次的，如果將所有變數都乘以一個常數 $\lambda > 0$，則函數的值會乘以 $\lambda^k$。
即：$f(\lambda x_1, \lambda x_2, ..., \lambda x_n) = \lambda^k f(x_1, x_2, ..., x_n)$。
$k$ 被稱為齊次階數 (degree of homogeneity)。
在經濟學中，生產函數常被討論其齊次性。

• 若 $k=1$，稱為一次齊次 (SST - Single Scale Technology) 或規模報酬固定 (Constant Returns to Scale, CRS)。這表示如果所有投入都增加 $\lambda$ 倍，則產出也增加 $\lambda$ 倍。
• 若 $k>1$，稱為規模報酬遞增 (Increasing Returns to Scale, IRS)。
• 若 $k<1$，稱為規模報酬遞減 (Decreasing Returns to Scale, DRS)。
  效用函數也可以是齊次的。

齊一性 (Homothetic Functions)
一個函數 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 被稱為齊一的，如果它是由一個單調遞增的函數 $g$ 和一個 $k$ 次齊次的函數 $h$ 組成的，即 $f(x_1, ..., x_n) = g(h(x_1, ..., x_n))$，其中 $h$ 是 $k$ 次齊次的，且 $g$ 是單調遞增的。
換句話說，齊一函數的無異曲線 (indifference curves) 或等產量曲線 (isoquants) 的斜率，僅取決於這些曲線的相對比例，而與曲線本身的位置無關。
對於齊一函數，其邊際曲線比 (MRS 或 MRTS) 保持不變，當我們沿著從原點出發的射線上移動時。
$MRS_{ij}(x_1, ..., x_n) = \frac{\partial f / \partial x_i}{\partial f / \partial x_j}$。
如果 $f = g(h)$，則 $\frac{\partial f / \partial x_i}{\partial f / \partial x_j} = \frac{g'(h) \partial h / \partial x_i}{g'(h) \partial h / \partial x_j} = \frac{\partial h / \partial x_i}{\partial h / \partial x_j}$。
因此，如果 $h$ 是齊次的，那麼 $f$ 的 MRS/MRTS 僅取決於 $h$ 的結構，而與 $g$ 無關。

共同性質 (Properties in Common)

1. MRS/MRTS 不變性：齊一函數的 MRS (效用函數) 或 MRTS (生產函數) 沿著從原點出發的射線上是恆定的。這意味著，當投入組合的相對比例固定時，邊際替代率也是固定的。
2. 對比例的敏感性：兩者都與投入要素的相對比例有關。

核心觀念

本題為個體經濟學「不確定性與風險決策（Choice under Uncertainty）」中的經典投保模型，主要測驗以下核心觀念：

1. 期望效用理論（Expected Utility Theory, EUT）：消費者以極大化期望效用為決策準則。
2. 風險態度（Risk Attitude）：嚴格風險趨避（Strictly Risk Averse）代表其馮紐曼－摩根斯坦（von Neumann-Morgenstern）效用函數 $u(W)$ 滿足 $u'(W) > 0$ 且 $u''(W) < 0$（邊際效用嚴格遞減）。
3. 精算公平保險（Actuarially Fair Insurance）：每單位保額之保費率（$\gamma$）等於損失發生的客觀機率（$\pi$）。本題中 $\pi = 0.1$，保險公司定價每單位保額保費為 $0.1$，即 $\gamma = \pi = 0.1$。
4. 莫辛定理（Mossin's Theorem）：若保險為精算公平，嚴格風險趨避的消費者必定會購買「完全保險（Full Insurance）」，使兩狀態下的財富完全相等，消除所有不確定性。

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解題方法

步驟一：設定各狀態下的財富水準

設期初財富 $W_0 =$$90,000，可能損失金額 $L =$$30,000。
投保金額為 $P$（$P > 0$），保費為 $0.1P$。

• 狀態 1（發生損失，Loss，機率 $\pi = 0.1$）：
  財富為
  $W_L = W_0 - L + P - 0.1P = 90,000 - 30,000 + 0.9P = 60,000 + 0.9P$
• 狀態 2（未發生損失，No Loss，機率 $1 - \pi = 0.9$）：
  財富為
  $W_N = W_0 - 0.1P = 90,000 - 0.1P$

步驟二：建立期望效用極大化問題

消費者選擇最適保額 $P \ge 0$ 以極大化其期望效用：
$\max_{P \ge 0} EU(P) = 0.1 \cdot u(W_L) + 0.9 \cdot u(W_N)$
即：
$\max_{P \ge 0} EU(P) = 0.1 \cdot u(60,000 + 0.9P) + 0.9 \cdot u(90,000 - 0.1P)$

步驟三：一階條件（FOC）求解最適保額

對 $P$ 微分令其為 0：
$\frac{dEU}{dP} = 0.1 \cdot 0.9 \cdot u'(W_L) + 0.9 \cdot (-0.1) \cdot u'(W_N) = 0$

整理後可得：
$0.09 \cdot \left[ u'(W_L) - u'(W_N) \right] = 0 \implies u'(W_L) = u'(W_N)$

因為消費者為嚴格風險趨避者，$u''(W) < 0$，邊際效用函數 $u'(W)$ 具有嚴格單調遞減的特性（一對一函數），故：
$W_L = W_N$

將各狀態財富代入：
$60,000 + 0.9P = 90,000 - 0.1P$
$P^* = 30,000$

此結果即 $P^* = L =$$30,000（選擇完全保險）。

步驟四：二階充分條件（SOC）檢驗

$\frac{d^2 EU}{dP^2} = 0.081 \cdot u''(W_L) + 0.009 \cdot u''(W_N)$
由於 $u''(W) < 0$，故 $\frac{d^2 EU}{dP^2} < 0$，確定在 $P^* =$$30,000 處達到全域極大值。

此題要求解釋兩個經濟學名詞並說明其重要性。

(A) Strictly Dominated Strategy (嚴格劣勢策略)
定義：
在賽局理論中，一個策略 $s_i$ 對於玩家 $i$ 來說，如果對於所有其他玩家的策略組合 $s_{-i}$，玩家 $i$ 採取策略 $s_i$ 所獲得的收益 (payoff) 都嚴格小於採取另一個策略 $s'_i$ 所獲得的收益，則稱策略 $s_i$ 是策略 $s'_i$ 的嚴格劣勢策略。
數學表示：策略 $s_i$ 是策略 $s'_i$ 的嚴格劣勢策略，如果對於所有 $s_{-i}$，都有 $\pi_i(s'_i, s_{-i}) > \pi_i(s_i, s_{-i})$。

重要性：

1. 移除不理性選擇：嚴格劣勢策略代表了一種明顯不理性的選擇。一個理性的玩家永遠不會選擇一個嚴格劣勢策略，因為總存在一個更好的選擇，無論對手如何出牌。
2. 迭代刪除 (Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies)：這是求解賽局的一種重要方法。通過不斷地、迭代地刪除所有玩家的嚴格劣勢策略，我們可以簡化賽局，有時甚至可以唯一確定賽局的納許均衡。如果一個賽局通過迭代刪除嚴格劣勢策略可以得到唯一解，那麼這個解就是賽局的納許均衡。
3. 預測行為：在許多經濟模型中，理性預期是基本假設。因此，識別和消除嚴格劣勢策略有助於預測理性行為者的決策。

【答案】
定義：策略 $s_i$ 對於玩家 $i$ 而言，是另一策略 $s'_i$ 的嚴格劣勢策略，若對所有其他玩家的策略組合 $s_{-i}$，玩家 $i$ 選擇 $s'_i$ 的收益 $\pi_i(s'_i, s_{-i})$ 嚴格大於選擇 $s_i$ 的收益 $\pi_i(s_i, s_{-i})$。
重要性：嚴格劣勢策略代表了不理性的選擇，其重要性在於它是賽局理論中「迭代刪除法」的基礎，能夠幫助簡化賽局並預測理性的納許均衡點。