115 年 國立政治大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

本題主要探討匯率、購買力平價理論以及貨幣貶值的影響，分為三個小題：
(a) 大麥克指數是購買力平價理論 (Purchasing Power Parity, PPP) 的一個應用，用以比較不同國家貨幣的購買力。其理論基礎是「一價定律」(Law of One Price)，即在沒有交易成本、關稅、壟斷等情況下，相同商品在不同國家應該具有相同的價格（以同一貨幣表示）。名目匯率 (Nominal Exchange Rate) 是兩種貨幣之間的交換比率，而實質匯率 (Real Exchange Rate) 則衡量一國商品相對於另一國商品的比價。大麥克指數透過比較在不同國家購買一個標準化商品（如麥當勞的大麥克漢堡）的價格，來判斷名目匯率是否偏離了 PPP 所預測的均衡匯率。若某國大麥克價格在當地貨幣換算成美元後低於美國，則暗示該國貨幣被低估。

(b) 「大麥克指數」與「iPhone 指數」都是 PPP 的應用，旨在比較不同國家貨幣的購買力，但它們的優缺點不同。
大麥克指數的優點是商品標準化程度高、易於取得數據、且廣為人知，能提供一個直觀的比較。缺點是它只代表一籃子商品中的單一商品，未能反映整體物價水平；且商品並非完全無差別（例如口味、稅率、租金成本差異），且存在非貿易財 (non-tradable goods) 的影響，因此 PPP 的預測能力有限。
iPhone 指數的優點是 iPhone 屬於科技產品，其國際貿易程度較高，更能反映貿易財的價格。

本題主要探討生產函數、邊際產出以及資本與勞動的替代彈性，並將人工智慧的發展納入考量。

(a) 人工智慧 (AI) 的發展，若被視為一種資本的改良或是一種使資本更能取代勞動力的技術進步，那麼可以預期資本 (K) 相對於勞動 (L) 的投入比例會隨時間增加。這意味著 $\frac{K}{L}$ 會隨時間上升。如果 AI 是一種資本的「質」的提升，且這種提升使得資本更能執行過去由勞動執行的任務，則資本的邊際產出 (MPK) 相對勞動的邊際產出 (MPL) 的比率可能會改變，進而影響替代彈性。若 AI 是一種「資本增進型」的技術進步，它會增加 MPL 和 MPK，但如果它更顯著地增強了資本執行任務的能力，則可能導致資本對勞動的替代性增強。

(b) 對於柯布-道格拉斯生產函數 $Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$，其邊際產出分別為：
$MPL = \frac{\partial Y}{\partial L} = A K^\alpha (1-\alpha) L^{-\alpha} = (1-\alpha) \frac{Y}{L}$
$MPK = \frac{\partial Y}{\partial K} = A \alpha K^{\alpha-1} L^{1-\alpha} = \alpha \frac{Y}{K}$

勞動與資本的替代彈性 $\sigma$ 的定義是：
$\sigma = \frac{\partial \ln(K/L)}{\partial \ln(MPL/MPK)}$
我們計算 $\ln(K/L)$ 和 $\ln(MPL/MPK)$:
$\ln(K/L) = \ln K - \ln L$
$\frac{MPL}{MPK} = \frac{(1-\alpha)Y/L}{\alpha Y/K} = \frac{1-\alpha}{\alpha} \frac{K}{L}$
$\ln(MPL/MPK) = \ln(\frac{1-\alpha}{\alpha}) + \ln(K/L)$

對 $\ln(K/L)$ 求導，並考量 $\ln(MPL/MPK)$ 的變化：
$\frac{\partial \ln(K/L)}{\partial \ln(MPL/MPK)} = \frac{\partial (\ln K - \ln L)}{\partial (\ln(\frac{1-\alpha}{\alpha}) + \ln K - \ln L)}$

由於 $\ln(\frac{1-\alpha}{\alpha})$ 是常數，所以：
$\frac{\partial \ln(K/L)}{\partial \ln(MPL/MPK)} = \frac{\partial (\ln K - \ln L)}{\partial (\ln K - \ln L)} = 1$

因此，對於柯布-道格拉斯生產函數，勞動與資本的替代彈性 $\sigma = 1$。這意味著資本與勞動的投入比例的變化率，等於 MPL 與 MPK 比率變化率相同，表示它們的替代性是固定的。

(c) 對於常替代生產函數 (CES) $Y = A(\alpha K^\rho + (1-\alpha)L^\rho)^{1/\rho}$，其邊際產出分別為：

本題為標準的索洛成長模型 (Solow Growth Model) 的穩定態分析。

(a) 在一個沒有人口成長，且只有儲蓄進行資本累積的經濟體中，資本累積的動態方程為：
$K_{t+1} = (1 - \delta)K_t + sY_t$
為了分析人均變數，我們將總量除以人口 $N$ (假設人口為常數 $N$)：
$\frac{K_{t+1}}{N} = (1 - \delta)\frac{K_t}{N} + s\frac{Y_t}{N}$
令 $k_t = \frac{K_t}{N}$ 為人均資本，$y_t = \frac{Y_t}{N}$ 為人均產出。則人均資本累積方程為：
$k_{t+1} = (1 - \delta)k_t + sy_t$
由於 $y_t = f(k_t)$，我們有：
$k_{t+1} = (1 - \delta)k_t + sf(k_t)$

穩定態 (steady state) 的條件是人均資本不再改變，即 $k_{t+1} = k_t = k^*$。
因此，穩定態的條件為：
$k^* = (1 - \delta)k^* + sf(k^*)$
$k^* - (1 - \delta)k^* = sf(k^*)$
$\delta k^* = sf(k^*)$
或者，我們可以將其寫成：
$sf(k^*) = \delta k^*$

這表示在穩定態，總儲蓄（人均儲蓄 $sf(k^*)$）等於總折舊（人均折舊 $\delta k^*$）。

(b) 作圖分析穩定態：
橫軸為人均資本 $k$，縱軸為人均產出 $y$。
繪製兩條曲線：

1. $y = f(k)$：人均產出函數，這是遞減的（因為 $f''(k) < 0$）。
2. $sf(k)$：人均儲蓄函數。

核心觀念

本題原式存在三個關鍵問題，導致 (b)–(d) 無法得到唯一數值答案：

1. 效用函數中第一期沒有 $L_1$，因此無法產生第一期勞動的正常一階條件。
2. $Y$ 未定義，且 (b)–(c) 未給定 $Y$ 的數值。
3. 第二期消費效用項寫成 $\dfrac{C_2^\gamma}{Y}$，其經濟意義及 $Y$ 的定義均不明確。

以下先依照題目字面進行正確推導，並明確指出哪些結果可以確定、哪些結果因題目資訊不足而無法計算。

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(a) 跨期最適化問題與一階條件

將題目中的

$$\frac{(C_2)^1-\alpha}{1-\alpha}$$

解讀為

$$\frac{C_2^{1-\alpha}}{1-\alpha}.$$

家計單位的兩期預算限制為

$$C_1+S=W_1L_1,$$ $$C_2=(1+r)S+W_2L_2.$$

因此，跨期最適化問題為

$$\max_{C_1,C_2,L_1,L_2,S} \left\{ \ln C_1 -\frac{C_2^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} +\beta\left[ \frac{C_2^\gamma}{Y} -\frac{(1-L_2)^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right] \right\}$$

subject to

$$C_1+S=W_1L_1,$$ $$C_2=(1+r)S+W_2L_2.$$

令兩期預算限制的乘數分別為 $\lambda_1$、$\lambda_2$，拉格朗日函數為

$$\begin{aligned} \mathcal{L} ={}& \ln C_1 -\frac{C_2^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2} +\beta\left[ \frac{C_2^\gamma}{Y} -\frac{(1-L_2)^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]\\ &+\lambda_1(W_1L_1-C_1-S) +\lambda_2((1+r)S+W_2L_2-C_2). \end{aligned}$$

消費的一階條件

對 $C_1$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial C_1} = \frac{1}{C_1}-\lambda_1=0,$$

因此

$$\lambda_1=\frac{1}{C_1}.$$

對 $C_2$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial C_2} = -\frac{C_2^{-\alpha}}{1-\alpha} +\beta\frac{\gamma C_2^{\gamma-1}}{Y} -\lambda_2=0.$$

因此

$$\lambda_2 = -\frac{C_2^{-\alpha}}{1-\alpha} +\beta\frac{\gamma C_2^{\gamma-1}}{Y}.$$

儲蓄的一階條件

對 $S$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial S} = -\lambda_1+(1+r)\lambda_2=0.$$

所以跨期最適條件為

$$\lambda_1=(1+r)\lambda_2.$$

代入前述乘數，可得

$$\frac{1}{C_1} = (1+r) \left[ -\frac{C_2^{-\alpha}}{1-\alpha} +\beta\frac{\gamma C_2^{\gamma-1}}{Y} \right].$$

這是本題字面效用函數所對應的跨期 Euler 條件。

勞動的一階條件

由於效用函數中沒有 $L_1$，所以

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L_1} = \lambda_1W_1=0.$$

但因為

$$\lambda_1=\frac{1}{C_1}>0, \qquad W_1>0,$$

內點條件不可能成立。若勞動時間限制為

$$0\leq L_1\leq 1,$$

則效用函數會透過增加第一期所得而偏好最大化第一期勞動，因此

$$L_1=1.$$

對 $L_2$ 微分：

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L_2} = \beta(1-L_2)^{-\alpha} +\lambda_2W_2.$$

在 $\lambda_2>0$、$W_2>0$ 時，上式為正，因此同樣會選擇最大化第二期勞動：

$$L_2=1.$$

這顯示題目原式並未形成正常的「勞動—休閒取捨」模型。

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(b) 未課稅情況

給定

$$\alpha=0.5,\quad \beta=0.8,\quad \gamma=2,\quad W_1=1.01,\quad W_2=0.25,\quad 1+r=1.25.$$

依照題目字面，因效用函數對 $L_1$、$L_2$ 均呈現增加所得的方向，且 $L_i\in[0,1]$，可得

$$L_1=L_2=1.$$