110 年 國立政治大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

核心觀念

本題評量 Solow 新古典成長模型（Solow Growth Model） 在「過渡動態（Transitional Dynamics）」過程中的成長率計算。

1. 密集形式生產函數（Per-capita Production Function）：
   若總生產函數具規模報酬不變（CRS），令 $y = \frac{Y}{L}$、$k = \frac{K}{L}$，則：
   $y = f(k) = k^{\alpha}$

2. 人均資本累積方程式（動態調整方程式）：
   在連續時間下，每人資本存量的變動率（$\frac{\dot{k}}{k}$）為：
   $\frac{\dot{k}}{k} = \frac{s f(k)}{k} - (n + \delta)$
   其中 $s$ 為儲蓄率、$n$ 為人口成長率、$\delta$ 為資本折舊率。

3. 人均產出成長率與總產出經濟成長率的關係：

   • 對 $y = k^{\alpha}$ 兩邊取自然對數後對時間微分，可得人均產出（所得）成長率 $g_y$：
     $g_y = \frac{\dot{y}}{y} = \alpha \frac{\dot{k}}{k}$
   • 由總產出 $Y = y \cdot L$，總產出成長率（經濟成長率 $g_Y$）為人均所得成長率與人口成長率之和：
     $g_Y = \frac{\dot{Y}}{Y} = \frac{\dot{y}}{y} + \frac{\dot{L}}{L} = g_y + n$

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解題方法

步驟一：整理題目已知參數

• 生產函數資本份額：$\alpha = 0.5$
• 儲蓄率：$s = 0.6$
• 人口成長率：$n = 1\% = 0.01$
• 資本折舊率：$\delta = 5\% = 0.05$
• 當前人均資本存量：$k = 64$

步驟二：計算人均資本成長率 $\frac{\dot{k}}{k}$

將密集形式生產函數 $f(k) = k^{0.5} = \sqrt{k}$ 帶入動態方程式：
$f(64) = \sqrt{64} = 8$

當 $k = 64$ 時，每人實質儲蓄投資為：
$s f(k) = 0.6 \times 8 = 4.8$

核心觀念

1. Solow 新古典成長模型（Solow Growth Model）：
   • 總生產函數為 Cobb-Douglas 形式：$Y = K^\alpha L^{1-\alpha}$。
   • 定義每人變數（intensive form）：
     每人產出 $y = \frac{Y}{L} = k^\alpha$，其中 $k = \frac{K}{L}$ 為每人資本存量。
2. 長期恆定均衡（Steady State）條件：
   • 恆定狀態下，每人資本存量維持固定不變，即 $\dot{k} = 0$。
   • 基本動態方程式為：
     $\dot{k} = s f(k) - (n + \delta)k = 0 \implies s f(k^*) = (n + \delta)k^*$
     其中 $s$ 為儲蓄率、$n$ 為人口成長率、$\delta$ 為資本折舊率。
   • 若求每人資本存量為 $k^*$；若求總資本存量，則為 $K^* = k^* \cdot L$（隨人口以成長率 $n$ 成長）。
3. 過渡動態與經濟成長率的收斂性（Convergence Property）：
   • 產出成長率與資本深化程度相關。在邁向長期穩定狀態的過渡路徑（transition path）上，資本邊際報酬遞減（Diminishing Marginal Returns to Capital）。
   • 當經濟體由低資本存量向長期恆定均衡調整時，資本積累速度隨 $k$ 增加而趨緩，人均產出成長率與總產出成長率皆逐漸遞減收斂至恆定狀態水準。
   • 若經濟體已處於長期恆定均衡，則總產出成長率固定等於人口成長率 $n$，經濟成長率將維持不變。

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解題方法與步驟

1. 求解長期恆定均衡的資本存量

根據題目給定參數：

• 產出彈性 $\alpha = 0.5$
• 人口成長率 $n = 1\% = 0.01$
• 儲蓄率 $s = 0.6$
• 資本折舊率 $\delta = 5\% = 0.05$

將生產函數改寫為每人形式：
$y = \frac{Y}{L} = \frac{K^{0.5}L^{0.5}}{L} = \left(\frac{K}{L}\right)^{0.5} = k^{0.5}$

在長期恆定均衡時，每人資本積累量等於每人損耗與稀釋量：
$s k^{*0.5} = (n + \delta)k^*$

帶入已知數值：
$0.6 \cdot k^{*0.5} = (0.01 + 0.05)k^*$

$0.6 \cdot k^{*0.5} = 0.06 \cdot k^*$

同除以 $0.06 \cdot k^{*0.5}$（因 $k^* > 0$）：
$\frac{0.6}{0.06} = \frac{k^*}{k^{*0.5}} = k^{*0.5}$

$10 = k^{*0.5} \implies k^* = 10^2 = 100$

• 每人資本存量（Capital per worker）：$k^* = 100$。

核心觀念

本題評量 Solow 新古典成長模型（Solow Neoclassical Growth Model） 中的「黃金法則（Golden Rule of Capital Accumulation）」與「動態效率性（Dynamic Efficiency）」。

1. 黃金法則（Golden Rule）水準：
   在所有可能達到的穩定狀態（Steady State, $ss$）中，選擇一個能使「穩定狀態下的人均消費（$c^*$）」達到最大化的資本存量，稱為黃金法則人均資本存量（記為 $k_{gold}^*$），對應的儲蓄率稱為黃金法則儲蓄率（記為 $s_{gold}$）。
2. 黃金法則條件（一階必要條件）：
   在穩定狀態下，人均消費為 $c^* = f(k^*) - (n + \delta)k^*$。
   欲求 $c^*$ 最大化，對 $k^*$ 微分令其為 0： $$\frac{dc^*}{dk^*} = f'(k^*) - (n + \delta) = 0 \implies MP_K = f'(k_{gold}^*) = n + \delta$$ 即：資本邊際產出（$MP_K$）等於資本損耗與人口成長率之和（$n + \delta$）。
3. 動態無效率（Dynamic Inefficiency）與動態有效率（Dynamic Efficiency）：
   • 若現前儲蓄率 $s > s_{gold}$（即 $k^* > k_{gold}^*$）：經濟處於「資本過度累積（Over-accumulation of Capital）」，亦即動態無效率。此時若降低儲蓄率，各期人均消費均可增加（享受 Pareto 改善）。
   • 若現前儲蓄率 $s < s_{gold}$（即 $k^* < k_{gold}^*$）：經濟處於動態有效率，但若欲增加未來長期消費，短期內必須犧牲當前消費來提高儲蓄。

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解題方法

步驟一：整理模型參數與基本函數

由題幹已知：

• 總生產函數：$Y = K^{0.5}L^{0.5}$
• 人均生產函數：$y = f(k) = \frac{Y}{L} = \left(\frac{K}{L}\right)^{0.5} = k^{0.5}$
• 人口成長率：$n = 1\% = 0.01$
• 資本折舊率：$\delta = 5\% = 0.05$
• 目前儲蓄率：$s = 0.6$
• 損耗率（Breakeven Investment Rate）：$n + \delta = 0.01 + 0.05 = 0.06$

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步驟二：計算黃金法則人均資本存量（$k_{gold}^*$）

黃金法則要求資本邊際產出等於損耗率：

$$MP_K = f'(k_{gold}^*) = n + \delta$$

對人均生產函數 $f(k) = k^{0.5}$ 求導：

$$f'(k) = 0.5 k^{-0.5} = \frac{1}{2\sqrt{k}}$$

代入條件式：

$$\frac{1}{2\sqrt{k_{gold}^*}} = 0.06$$ $$\sqrt{k_{gold}^*} = \frac{1}{2 \times 0.06} = \frac{1}{0.12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$$

兩邊平方：

$$k_{gold}^* = \left(\frac{25}{3}\right)^2 = \frac{625}{9} \approx 69.44$$

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步驟三：計算黃金法則儲蓄率（$s_{gold}$）

在長期穩定狀態下，投資等於資本損耗：

$$s \cdot f(k^*) = (n + \delta)k^*$$

因此黃金法則儲蓄率 $s_{gold}$ 滿足：

$$s_{gold} = \frac{(n + \delta)k_{gold}^*}{f(k_{gold}^*)}$$

將 $k_{gold}^* = \frac{625}{9}$ 與 $f(k_{gold}^*) = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3}$ 代入：

$$s_{gold} = \frac{0.06 \times \frac{625}{9}}{\frac{25}{3}} = 0.06 \times \frac{25}{3} = \frac{1.5}{3} = 0.5$$

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核心觀念

1. $AK$ 內生成長模型（$AK$ Growth Model）：
   當生產函數 $Y = AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$ 中的資本份額 $\alpha = 1$ 時，生產函數簡化為 $Y = AK$。此時資本的邊際報酬為常數（$MP_K = A$），打破了傳統新古典 Solow 模型中資本邊際報酬遞減（Diminishing Marginal Returns to Capital）的假設，模型轉化為最基礎的內生成長模型。
2. 長期成長率的決定機制：
   在 $AK$ 模型中，儲蓄率（$s$）不再僅具備「水準效果（Level Effect）」，而是具有「成長效果（Growth Effect）」，即儲蓄率與投資率的高低可以直接決定長期的持續人均產出與總產出成長率。
3. 廣義資本概念（Broad Capital）與知識外溢效果（Knowledge Spillovers）：
   在實證與內生成長理論（如 Romer、Lucas、Rebelo）中，若將「資本」定義擴充為包含人力資本（Human Capital）、研發知識累積與公共基礎建設的「廣義資本」，或者個別廠商的資本累積伴隨正向外部性與知識外溢，則在總體經濟層面上，資本對總產出將展現固定規模報酬（Constant Returns to Capital），使 $\alpha$ 等於或接近於 1。

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解題方法與完整推導

本題分為兩部分：一是推導長期經濟成長率，二是經濟意涵的申論說明。

第一部分：求解長期經濟成長率

依題意，已知參數如下：

• 生產函數：$Y = AK^1 L^{1-1} = AK$
• 儲蓄率：$s = 0.6$
• 折舊率：$\delta = 0.05$（5%）
• 人口成長率：$n = \frac{\dot{L}}{L} = 0.01$（1%）
• $A$ 為固定的技術水準常數

1. 總資本累積方程式：
   封閉經濟體系下，總投資等於總儲蓄，資本變動量為：

   $$\dot{K} = sY - \delta K$$

   將 $Y = AK$ 代入：

   $$\dot{K} = sAK - \delta K = (sA - \delta)K$$

   兩邊同除以 $K$，可得資本成長率 $g_K$：

   $$g_K = \frac{\dot{K}}{K} = sA - \delta$$

2. 總產出成長率（總體經濟成長率 $g_Y$）：
   對生產函數 $Y = AK$ 兩邊取自然對數後對時間 $t$ 微分：

   $$\ln Y = \ln A + \ln K$$

   由於 $A$ 為固定常數（$\frac{\dot{A}}{A} = 0$）：

   $$g_Y = \frac{\dot{Y}}{Y} = \frac{\dot{K}}{K} = g_K = sA - \delta$$

   代入數值：

   $$g_Y = 0.6A - 0.05$$

3. 每人產出（人均經濟成長率 $g_y$）：
   人均產出定義為 $y = \frac{Y}{L}$，取對數微分可得：

   $$g_y = \frac{\dot{y}}{y} = \frac{\dot{Y}}{Y} - \frac{\dot{L}}{L} = g_Y - n$$

   代入 $g_Y = sA - \delta$ 與 $n = 0.01$：

   $$g_y = sA - \delta - n = 0.6A - 0.05 - 0.01 = 0.6A - 0.06$$

核心觀念

1. 新古典成長模型之衡態均衡（Balanced Growth Path, BGP）：
   在長期的衡態（Steady State）下，資本產出比（$K/Y$）為一定值，此意味著總資本成長率與總產出成長率必然相等（即 $g_K = g_Y$）。
2. 希克斯中性（Hicks-neutral）技術進步的成長會計轉換：
   生產函數設定為 $Y = A K^{\alpha} L^{1-\alpha}$，其中 $A$ 為全要素生產力（TFP）。對 Cobb-Douglas 生產函數而言，希克斯中性技術進步可等價轉換為勞動擴動型（Harrod-neutral）技術進步：
   $Y = K^{\alpha} \left(A^{\frac{1}{1-\alpha}} L\right)^{1-\alpha} = K^{\alpha}(EL)^{1-\alpha}$
   因此，有效勞動技術進步率為 $g_E = \frac{g_A}{1-\alpha}$。
3. 內生動態成長理論（Endogenous Growth Theory）：
   新古典 Solow 模型將技術進步視為外生給定（Exogenous）。內生動態成長模型（如 Romer、Lucas、Arrow 模型）則將技術進步內生化，透過市場誘因、研發投資、人力資本累積或學習效果（Learning-by-doing）的正向外溢效果（Positive Externalities）來解釋知識與技術的累積。

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解題方法與推導

一、長期經濟成長率之推導與計算

1. 成長率分解（對生產函數取對數後微分）：
   已知總生產函數為：
   $Y = A K^{\alpha} L^{1-\alpha}$
   兩邊取自然對數：
   $\ln Y = \ln A + \alpha \ln K + (1-\alpha)\ln L$
   對時間 $t$ 微分，可得各變數成長率之關係式：
   $\frac{\dot{Y}}{Y} = \frac{\dot{A}}{A} + \alpha \frac{\dot{K}}{K} + (1-\alpha)\frac{\dot{L}}{L}$
   定義成長率符號：$g_Y \equiv \frac{\dot{Y}}{Y}$、$g_A \equiv \frac{\dot{A}}{A} = 0.02$、$g_K \equiv \frac{\dot{K}}{K}$、人口成長率 $n \equiv \frac{\dot{L}}{L} = 0.01$。
   $g_Y = g_A + \alpha g_K + (1-\alpha) n$

2. 均衡條件與衡態成長率：
   在長期衡態（BGP）中，資本產出比固定不變，故資本存量成長率等於總產出成長率：
   $g_K = g_Y$
   代入成長率關係式中：
   $g_Y = g_A + \alpha g_Y + (1-\alpha) n$
   移項整理：
   $(1-\alpha) g_Y = g_A + (1-\alpha) n$
   $g_Y = \frac{g_A}{1-\alpha} + n$

3. 數值代入：
   由題幹給定 $\alpha = 0.5$、$g_A = 0.02$、$n = 0.01$：

本題為國立政治大學經濟學系碩士班總體經濟學的經典代表題型，融合了「跨期最適化模型」（Intertemporal Optimization Model）、「兩期生產經濟」（Two-Period Production Economy with Capital）與「新古典綜合／動態一般均衡架構」。

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核心觀念

1. 跨期效用極大化與無套利條件：
   • 代表性家戶在預算限制下進行兩期消費決策，導出跨期歐拉方程式（Euler Equation）： $$U'(C_t) = \beta (1 + r_{t+1}) U'(C_{t+1})$$
   • 家戶同時可投資於公債（實質報酬率為 $1 + r_{t+1}$）與實質資本（邊際實質報酬為資本邊際產出 $MPK_{t+1}$）。兩者無風險且完全可替代，故均衡時滿足資本無套利條件： $$1 + r_{t+1} = \frac{\partial Y_{t+1}}{\partial K_{t+1}} = \alpha A_{t+1} K_{t+1}^{\alpha-1}$$
2. 終端條件（橫截性條件 Transversality Condition）：
   • 經濟體於第 $t+1$ 期結束，理性家戶與政府皆不會在終期持有或發行跨入不存在未來的資產與負債。
3. 李嘉圖恆等定理（Ricardian Equivalence Theorem, RET）：
   • 在完全資本市場、定額稅、具備完全預見之代表性家戶假設下，政府融通支出的方式（課稅或發債）不影響家戶的跨期終身財富，亦不影響均衡實質變數。
4. 商品市場均衡（IS 線）與可貸資金市場：
   • 總合需求等於總合供給；可貸資金供給（國民儲蓄）等於可貸資金需求（投資加政府赤字）。

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解題方法與逐題推導

第 1 小題：解釋家戶為何會選擇 $B_{t+1} = 0$

【解析】

1. 不得借款（No-Ponzi Game / 借貸限制）：經濟體於 $t+1$ 期結束（不存在 $t+2$ 期），若家戶選擇 $B_{t+1} < 0$（即在終期借款負債），由於期後不再存續，家戶無法清償債務，理性放款者預期此點將拒絕借貸。
2. 不留資產（非飽和性 Non-satiation）：家戶的效用函數滿足邊際效用嚴格為正（$U'(C) > 0$）。若家戶選擇 $B_{t+1} > 0$（正債權），此筆資產在世界結束後無法再轉換為消費效用，屬於資源浪費。家戶將這筆資金在第 $t+1$ 期完全消費，能獲得嚴格更高的總效用。
3. 綜合上述，家戶最適決策必滿足終端橫截條件： $$B_{t+1} = 0 \quad (\text{同理 } K_{t+2} = 0)$$

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第 2 小題：解釋政府為何會選擇 $B^{g}_{t+1} = 0$

【解析】

1. 市場結清條件（Market Clearing）：公債市場在每一期皆需結清，即公債供給等於公債需求： $$B^g_{t+1} = B_{t+1}$$ 由第 1 小題已知家戶在終期不持有任何債權（$B_{t+1} = 0$），因此在無人願意外購公債的情況下，政府不可能發行出正的公債，即 $B^g_{t+1} \le 0$。
2. 政府跨期預算約束：政府在 $t+1$ 期後不再有未來的租稅收入以償還公債本利，故無法在終期發行債券；同時政府亦非營利機構，不會累積資產借予家戶。因此政府在終期公債流通量必為： $$B^g_{t+1} = 0$$

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第 3 小題：推導效用極大下 $C_t$、$B_t$ 與 $K_{t+1}$

【推導】
已知起始 $B_{t-1} = 0$、$K_t = \overline{K}$，且終端 $B_{t+1} = 0$、$K_{t+2} = 0$。
家戶兩期個別預算限制式為：

• $t$ 期： $$C_t + B_t + T_t + K_{t+1} = Y_t = A_t \overline{K}^\alpha$$
• $t+1$ 期： $$C_{t+1} + T_{t+1} = (1 + r_{t+1})B_t + A_{t+1} K_{t+1}^\alpha$$

將 $t+1$ 期式子兩邊除以 $(1 + r_{t+1})$ 後與 $t$ 期相加，消去 $B_t$，得家戶跨期終身預算限制式：

$$C_t + \frac{C_{t+1}}{1 + r_{t+1}} = (Y_t - T_t) + \frac{Y_{t+1} - T_{t+1}}{1 + r_{t+1}} - K_{t+1} \equiv \Omega_t$$

其中，$\Omega_t$ 為實質終身財富折現值：

$$\Omega_t = (A_t \overline{K}^\alpha - T_t) - K_{t+1} + \frac{A_{t+1} K_{t+1}^\alpha - T_{t+1}}{1 + r_{t+1}}$$

1. 求解資本需求 $K_{t+1}$：
家戶最大化跨期總效用時，對資本 $K_{t+1}$ 的一階條件要求實質資本投資的邊際淨回報現值為零（無套利條件）：

$$-1 + \frac{\alpha A_{t+1} K_{t+1}^{\alpha-1}}{1 + r_{t+1}} = 0 \implies 1 + r_{t+1} = \alpha A_{t+1} K_{t+1}^{\alpha-1}$$

解出資本需求函數為：

$$K_{t+1} = \left( \frac{\alpha A_{t+1}}{1 + r_{t+1}} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

2. 求解消費函數 $C_t$：
對 $C_t$ 與 $C_{t+1}$ 建立拉格朗日式，由一階條件得歐拉方程式（CRRA 效用函數 $U(C) = \frac{C^{1-\sigma}}{1-\sigma}$，$U'(C) = C^{-\sigma}$）：

$$C_t^{-\sigma} = \beta (1 + r_{t+1}) C_{t+1}^{-\sigma} \implies C_{t+1} = \left[ \beta (1 + r_{t+1}) \right]^{\frac{1}{\sigma}} C_t$$

代入跨期終身預算限制式：

$$C_t + \frac{\left[ \beta (1 + r_{t+1}) \right]^{\frac{1}{\sigma}} C_t}{1 + r_{t+1}} = \Omega_t \implies C_t \left[ 1 + \beta^{\frac{1}{\sigma}} (1 + r_{t+1})^{\frac{1-\sigma}{\sigma}} \right] = \Omega_t$$

定義係數 $\mu(r_{t+1}) \equiv \dfrac{1}{1 + \beta^{1/\sigma}(1 + r_{t+1})^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}}$，則消費函數為：

$$C_t = \mu(r_{t+1}) \cdot \left[ (A_t \overline{K}^\alpha - T_t) - K_{t+1} + \frac{A_{t+1} K_{t+1}^\alpha - T_{t+1}}{1 + r_{t+1}} \right]$$

3. 求解公債需求 $B_t$：
由 $t$ 期家戶預算限制式直接移項整理：

$$B_t = (A_t \overline{K}^\alpha - T_t) - C_t - K_{t+1}$$

將已求得之 $C_t$ 與 $K_{t+1}$ 代入即可確定 $B_t$。

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第 4 小題：推導自發性消費與邊際消費傾向

【推導】
將推導出的消費函數 $C_t$ 對當期可支配所得 $Y_d \equiv Y_t - T_t$ 展開為凱因斯型態的線性表達式：

$$C_t = \mu(r_{t+1}) \cdot (Y_t - T_t) + \mu(r_{t+1}) \cdot \left[ \frac{A_{t+1} K_{t+1}^\alpha - T_{t+1}}{1 + r_{t+1}} - K_{t+1} \right]$$

由此可得：

1. 邊際消費傾向（Marginal Propensity to Consume, MPC）： $$\text{MPC} \equiv \frac{\partial C_t}{\partial (Y_t - T_t)} = \mu(r_{t+1}) = \frac{1}{1 + \beta^{\frac{1}{\sigma}} (1 + r_{t+1})^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}}$$
2. 自發性消費（Autonomous Consumption, $\overline{C}_0$）（與當期可支配所得無關之消費部分）： $$\overline{C}_0 = \frac{1}{1 + \beta^{\frac{1}{\sigma}} (1 + r_{t+1})^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}} \left[ \frac{A_{t+1} K_{t+1}^\alpha - T_{t+1}}{1 + r_{t+1}} - K_{t+1} \right]$$

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第 5 小題：寫下 $t$ 期商品市場均衡與可貸資金市場均衡

【解析】

1. 商品市場均衡條件（Goods Market Equilibrium）：
   總產出等於總支出（消費、投資與政府支出）。因資本折舊率為 $100\%$（或由資本累積設定），$t$ 期總實質投資為 $I_t = K_{t+1}$，故商品市場結清為： $$Y_t = C_t + K_{t+1} + G_t \iff A_t \overline{K}^\alpha = C_t + K_{t+1} + G_t$$
2. 可貸資金市場均衡條件（Loanable Funds Market Equilibrium）：
   • 資金供給端為國民儲蓄 $S_t = S_t^p + S_t^g$：
     • 家戶私人儲蓄：$S_t^p = (Y_t - T_t) - C_t$
     • 政府公共儲蓄：$S_t^g = T_t - G_t$
     • 國民總儲蓄：$S_t = Y_t - C_t - G_t$
   • 資金需求端為民間實質投資 $I_t = K_{t+1}$：
   • 均衡條件為國民儲蓄等於投資需求： $$S_t = I_t \iff Y_t - C_t - G_t = K_{t+1}$$
   (註：亦可寫為民間儲蓄供給等於民間投資加上公債赤字需求：$S_t^p = K_{t+1} + B^g_t$，因政府預算限制式 $B^g_t = G_t - T_t$，兩者本質完全等價。)

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第 6 小題：推導模型中的 IS 線

【推導】
IS 線為維持 $t$ 期商品市場結清之產出與實質利率的組合軌跡。
將消費函數與投資需求代入商品市場均衡式：

核心觀念

本題屬於現代總體經濟學中基礎的兩期實質動態隨機／確定性一般均衡模型（Real Business Cycle Framework / Two-period General Equilibrium Model）。核心觀念涵蓋：

1. 家戶最適跨期選擇與靜態休閒—消費替代：
   • 跨期尤拉方程式（Euler Equation）：$u'(C_t) = \beta (1+r_t) u'(C_{t+1})$。
   • 勞動休閒取捨條件（Intratemporal FOC）：$\frac{h'(N^s_t)}{u'(C_t)} = w_t$。
2. 廠商利潤極大化決策：
   • 競爭性廠商各期獨立僱用勞動，邊際產值等於實質工資率：$w_t = MPN_t = A_t F'(N^d_t)$。
3. 一般均衡條件（General Equilibrium Conditions）：
   • 勞動市場結清（Labor Market Clearing）：$N^s_t = N^d_t$。
   • 可貸資金市場／債券市場結清（Asset/Loanable Funds Market Clearing）：在無政府與無資本折舊的封閉代表性家戶體系中，淨儲蓄供給與需求皆為零，即 $S_t = 0$（或若考慮政府借債，則 $S_t = B_t$）。
4. 瓦拉斯法則（Walras' Law）與市場依存性：
   • 在各家戶與廠商預算限制式滿足下，經濟體內 $k$ 個市場若有 $k-1$ 個市場達成均衡，則第 $k$ 個市場必然同時達成均衡。
5. 國民所得三面等價（National Income Accounting Equivalence）：
   • 生產面（產出面）、所得面（分配面）、支出面（需求面）的等價性在總體動態模型下的微觀體現。

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解題方法與關鍵推導

1. 家戶效用極大化推導 $C_t$ 與 $N^{s}_t$ 的一階條件

家戶的跨期最適化問題為：

$$\max_{\{C_t, C_{t+1}, N^s_t, N^s_{t+1}, S_t\}} \quad \ln C_t - \frac{(N^s_t)^{1+\phi}}{1+\phi} + \beta \left[ \ln C_{t+1} - \frac{(N^s_{t+1})^{1+\phi}}{1+\phi} \right]$$

受制於跨期預算限制式：

• $t$ 期限制式：$C_t + S_t = w_t N^s_t + D_t$
• $t+1$ 期限制式：$C_{t+1} = w_{t+1} N^s_{t+1} + (1+r_t) S_t + D_{t+1}$

步驟一：消去儲蓄 $S_t$，建立家戶終身預算限制式（Lifetime Budget Constraint）
由 $t$ 期限制式得 $S_t = w_t N^s_t + D_t - C_t$，代入 $t+1$ 期限制式：

$$C_{t+1} = w_{t+1} N^s_{t+1} + (1+r_t)(w_t N^s_t + D_t - C_t) + D_{t+1}$$

兩邊同除以 $(1+r_t)$ 並移項整理：

$$C_t + \frac{C_{t+1}}{1+r_t} = w_t N^s_t + D_t + \frac{w_{t+1} N^s_{t+1} + D_{t+1}}{1+r_t}$$

步驟二：設立拉格朗日函數（Lagrangian）

$$\mathcal{L} = \ln C_t - \frac{(N^s_t)^{1+\phi}}{1+\phi} + \beta \left[ \ln C_{t+1} - \frac{(N^s_{t+1})^{1+\phi}}{1+\phi} \right] + \lambda \left[ w_t N^s_t + D_t + \frac{w_{t+1} N^s_{t+1} + D_{t+1}}{1+r_t} - C_t - \frac{C_{t+1}}{1+r_t} \right]$$

步驟三：一階條件（First-Order Conditions, FOCs）

• 對 $C_t$ 微分：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_t} = \frac{1}{C_t} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{C_t}$$

• 對 $C_{t+1}$ 微分：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_{t+1}} = \frac{\beta}{C_{t+1}} - \frac{\lambda}{1+r_t} = 0 \implies \lambda = \beta (1+r_t) \frac{1}{C_{t+1}}$$

• 對 $N^s_t$ 微分：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial N^s_t} = -(N^s_t)^\phi + \lambda w_t = 0 \implies (N^s_t)^\phi = \lambda w_t$$

步驟四：整理消費與勞動供給之最適決策式

1. 消費的跨期配置（歐拉方程式，Euler Equation）：
   將 $\lambda = \frac{1}{C_t}$ 代入 $C_{t+1}$ 的一階條件： $$C_{t+1} = \beta (1+r_t) C_t$$
2. 勞動供給函數（Labor Supply）：
   將 $\lambda = \frac{1}{C_t}$ 代入 $N^s_t$ 的一階條件： $$(N^s_t)^\phi = \frac{w_t}{C_t} \implies N^s_t = \left( \frac{w_t}{C_t} \right)^{\frac{1}{\phi}}$$ 此即為給定實質工資 $w_t$ 與當期消費水準 $C_t$ 下的Frisch（或當期）勞動供給函數。

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2. 廠商終身利潤極大化推導 $t$ 期的勞動需求 $N^{d}_t$

廠商追求終身利潤極大化：

$$\max_{\{N^d_t, N^d_{t+1}\}} \Pi = D_t + \frac{D_{t+1}}{1+r_t} = \left[ A_t (N^d_t)^\alpha - w_t N^d_t \right] + \frac{1}{1+r_t} \left[ A_{t+1} (N^d_{t+1})^\alpha - w_{t+1} N^d_{t+1} \right]$$

由於本期勞動需求 $N^d_t$ 僅影響當期利潤 $D_t$，並無跨期實體資本累積（靜態生產決策），因此極大化終身利潤等價於各期分別極大化當期利潤：

$$\max_{N^d_t} D_t = A_t (N^d_t)^\alpha - w_t N^d_t$$

一階條件（FOC）：

$$\frac{\partial D_t}{\partial N^d_t} = \alpha A_t (N^d_t)^{\alpha - 1} - w_t = 0$$

解出 $N^d_t$：

$$(N^d_t)^{\alpha - 1} = \frac{w_t}{\alpha A_t} \implies N^d_t = \left( \frac{\alpha A_t}{w_t} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

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3. $t$ 期的勞動市場均衡條件與可貸資金市場均衡條件

1. 勞動市場均衡條件（Labor Market Equilibrium）：
   勞動供給等於勞動需求，由競爭性工資 $w_t$ 自動調整出清： $$N^s_t = N^d_t = N_t$$ 即： $$\left( \frac{w_t}{C_t} \right)^{\frac{1}{\phi}} = \left( \frac{\alpha A_t}{w_t} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$
2. 可貸資金市場均衡條件（Loanable Funds Market Equilibrium）：
   在封閉經濟體系的兩期模型中，可貸資金市場（或債券市場）中家戶的儲蓄供給量必須等於借款需求量。
   • 若經濟體中存在政府部門發行公債融通支出 $G_t$（使政府當期赤字借款為 $B_t$），則市場結清條件為：

核心觀念

本題考查現代總體經濟學（New Classical / RBC 基礎微觀基礎模型）中的動態一般均衡與總合供需（AS-AD）推導。核心涵蓋：

1. 跨期無套利條件（費雪方程式 Fisher Equation）：實質利率、名目利率與預期通膨率（物價相對價格）之經濟直覺。
2. 商品市場跨期均衡（IS 曲線）：由家戶跨期消費最適化條件（Euler Equation）與商品市場結清條件（$Y_t = C_t$）推導。
3. 央行名目利率政策下的總合需求線（AD 曲線）：將名目利率目標 $R_t = R^0$ 透過費雪方程式代入 IS 曲線，建立當期產出 $Y_t$ 與物價水準 $P_t$ 之負向關係。
4. 可調整工資（Flexible Wage）下的總合供給線（AS 曲線）：由當期勞動市場均衡（邊際產出等於邊際替代率，MPL = MRS）與生產函數決定完全實質面的潛在產出（垂直 AS 線）。
5. 古典二分法（Classical Dichotomy）與貨幣中立性（Monetary Neutrality）：分析名目變數（名目利率 $R_t$、物價 $P_t$）與實質變數（產出 $Y_t$、就業 $N_t$、實質利率 $r_t$）之間是否脫鉤。

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解題方法與詳細推導

(a) Fisher Equation 之直覺

由無套利條件（No-Arbitrage Condition）出發：

• 實質儲蓄回報：消費者在 $t$ 期放棄 1 單位實質商品進行儲蓄，於 $t+1$ 期可獲得本利和 $(1 + r_t)$ 單位之商品。

• 貨幣（名目）儲蓄回報：若消費者將 1 單位實質商品換算為名目貨幣 $P_t$ 元並存入銀行，於 $t+1$ 期可領回 $P_t(1 + R_t)$ 元。由於 $t+1$ 期的每單位商品價格為 $P_{t+1}$，這筆名目款項在 $t+1$ 期能購買的實質商品數量為：

  $$\frac{P_t(1 + R_t)}{P_{t+1}}$$

在完全預期且無摩擦力的金融市場中，兩種資產的實質購買力報酬率必須相等，否則將產生套利機會：

$$1 + r_t = \frac{P_t}{P_{t+1}}(1 + R_t) = \frac{1 + R_t}{1 + \pi_{t+1}}$$

其中 $\dfrac{P_{t+1}}{P_t} = 1 + \pi_{t+1}$ 為總體物價膨脹因子。其直覺為：實質利率等於名目利率扣除預期物價膨脹率（以總額複利形式呈現），反映放款人為了維持實質購買力，要求名目報酬率必須補償未來的物價上漲幅度。

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(b) 推導生產經濟模型下的 IS 線

Step 1：家戶跨期最佳化決策（Euler Equation）
家戶的終身效用極大化問題為：

$$\max_{\{C_t, C_{t+1}, N^s_t, N^s_{t+1}, S_t\}} \left[ \ln C_t - \frac{(N^s_t)^{1+\phi}}{1+\phi} \right] + \beta \left[ \ln C_{t+1} - \frac{(N^s_{t+1})^{1+\phi}}{1+\phi} \right]$$

受制於跨期預算限制式：

$$C_t + \frac{C_{t+1}}{1 + r_t} = w_t N^s_t + D_t + \frac{w_{t+1} N^s_{t+1} + D_{t+1}}{1 + r_t}$$

對消費 $C_t$ 與 $C_{t+1}$ 求一階條件（FOC），可得標準的歐拉方程式（Consumption Euler Equation）：

$$\frac{u'(C_t)}{\beta u'(C_{t+1})} = 1 + r_t \implies \frac{1/C_t}{\beta (1/C_{t+1})} = 1 + r_t \implies \frac{C_{t+1}}{\beta C_t} = 1 + r_t$$

即消費成長率取決於實質利率：

$$C_t = \frac{C_{t+1}}{\beta (1 + r_t)}$$

Step 2：商品市場結清條件（Goods Market Clearing）
本模型無政府支出（$G=0$），家戶完全持有廠商且無實體資本累積（$I=0$）。
結合家戶當期預算限制式 $C_t + S_t = w_t N^s_t + D_t$ 與廠商利潤定義 $D_t = Y_t - w_t N^d_t$，由於勞動市場結清 $N^s_t = N^d_t$，可得：

$$C_t + S_t = w_t N_t + Y_t - w_t N_t = Y_t \implies Y_t = C_t + S_t$$

在封閉體系且無實質資本投資的情況下，跨期借貸在代表性家戶內部必須淨額為零，即總體均衡儲蓄 $S_t = 0$。因此，各期商品市場結清條件為：

$$C_t = Y_t \quad \text{且} \quad C_{t+1} = Y_{t+1}$$

Step 3：代入歐拉方程式求得 IS 關係式
將 $C_t = Y_t$ 與 $C_{t+1} = Y_{t+1}$ 代入歐拉方程式：

$$Y_t = \frac{Y_{t+1}}{\beta(1 + r_t)} \quad \text{或表示為} \quad 1 + r_t = \frac{Y_{t+1}}{\beta Y_t}$$

若取對數近似（令小寫字母為對數變數，$\ln(1+r_t) \approx r_t$，$\rho = -\ln\beta$）：

$$y_t = y_{t+1} - (r_t - \rho)$$

此即為本動態生產經濟下的 IS 曲線（實質產出 $Y_t$ 與實質利率 $r_t$ 呈負向變動關係）。

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(c) 推導總合需求線 (Aggregate Demand, AD)

央行實施外生名目利率法則，設定名目利率為常數 $R_t = R^0$。
將題目給定之費雪方程式 $1 + r_t = \dfrac{P_t}{P_{t+1}}(1 + R^0)$ 代入 IS 曲線：

$$Y_t = \frac{Y_{t+1}}{\beta \left[ \dfrac{P_t}{P_{t+1}}(1 + R^0) \right]}$$

整理得 $Y_t$ 與 $P_t$ 之函數關係式：

$$Y_t = \frac{P_{t+1} Y_{t+1}}{\beta (1 + R^0)} \cdot \frac{1}{P_t}$$

若取對數形式表示：

$$y_t = y_{t+1} - \left( R^0 - \ln\frac{P_{t+1}}{P_t} - \rho \right) = \left[ y_{t+1} - R^0 + p_{t+1} + \rho \right] - p_t$$

在給定預期未來產出 $Y_{t+1}$、未來物價 $P_{t+1}$ 與名目利率政策 $R^0$ 下：

$$\frac{\partial Y_t}{\partial P_t} < 0$$

當當期物價水準 $P_t$ 上升時，在名目利率 $R^0$ 固定下，預期通膨率下降，使實質利率 $r_t$ 上升，抑制當期消費需求，導致總產出需求 $Y_t$ 下降。在 $(P_t, Y_t)$ 平面上，AD 曲線為一條斜率為負的向右下方傾斜之曲線。

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(d) 推導可調整工資下的總合供給線 (Aggregate Supply, AS)

在彈性工資（Flexible Wage）環境下，當期勞動市場由勞動需求與勞動供給完全結清決定：

Step 1：廠商利潤極大化之勞動需求
廠商在 $t$ 期的利潤為：

$$\max_{N^d_t} A_t (N^d_t)^\alpha - w_t N^d_t$$

一階條件（邊際產出等於實質工資）：