113 年 國立政治大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

核心觀念

本題考驗勞動力市場（Labor Market）基本統計指標的定義與計算公式。在總體經濟學中，15歲以上非監禁民間人口（Civilian Noninstitutional Population, $P$）分為兩大類：

1. 勞動力（Labor Force, $LF$）：包含就業者（Employed, $E$）與失業（Unemployed, $U$）。
2. 非勞動力（Not in Labor Force, $NILF$）：如學生、家庭主婦、退休者，以及怯志工作者（Disincentivized / Discouraged Workers）。

關鍵公式定義

• 勞動力：$LF = E + U$
• 失業率（Unemployment Rate, $UR$）：
  $UR = \frac{U}{LF} = \frac{U}{E + U}$
• 勞動參與率（Labor Force Participation Rate, $LFPR$）：
  $LFPR = \frac{LF}{P} = \frac{E + U}{P}$

根據定義，**失業（$U$）**的判定條件除了「目前沒有工作」外，還必須「正在積極尋找工作（Actively searching for jobs）」。若原本處於失業狀態的人放棄找工作，其身份將轉變為「怯志工作者」，從而離開勞動力範圍，計入非勞動力（$NILF$）。

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解題方法

設原變數分別為就業者 $E$、失動者 $U$、勞動力 $LF = E + U$、總人口 $P$（假設 $P$ 與 $E$ 保持不變）。

當部分失業者放棄尋找工作時：

1. 失業人數減少：$\Delta U < 0$，設減少量為 $\Delta$（其中 $\Delta > 0$）。
2. 就業人數保持不變：$\Delta E = 0$。
3. 勞動力總人數減少：$\Delta LF = \Delta E + \Delta U = -\Delta < 0$。

分析兩項指標的變化趨勢：

1. 勞動參與率（$LFPR$）：
   分子 $LF$ 減少 $\Delta$，分母 $P$ 不變：
   $LFPR' = \frac{LF - \Delta}{P} < \frac{LF}{P}$

核心觀念

本題考查 IS-LM 模型在**流動性陷阱（Liquidity Trap）**下的特性與政策效果。
流動性陷阱是指當名目利率下降至極低水平（趨近於零或達到流動性陷阱的下限利率 $r_0$）時，大眾持有貨幣的機會成本極低，預期未來利率必定回升（債券價格必定下跌），因此寧願持有現金而不願持有債券。

其關鍵經濟特性如下：

1. 貨幣需求的利率彈性：貨幣需求的利率彈性趨近於無限大（$\eta_r = -\frac{\partial L}{\partial r}\frac{r}{L} \to \infty$）。
2. LM 曲線形狀：在 $(Y, r)$ 平面上，LM 曲線呈一條水平線（或水平區段）。
3. 貨幣政策效果：傳統貨幣政策（如公開市場買債、降息）增加貨幣供給時，新增的貨幣完全被大眾以投機性貨幣需求吸收，無法進一步壓低利率，因此無法誘發投資與總所得增加（貨幣政策完全無效）。
4. 財政政策效果：政府支出增加（IS 曲線右移）時，由於利率維持不變，不會產生擠出效應（Crowding-out Effect），財政政策具備最大乘數效果（完全有效）。

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解題方法

本題要求選出**錯誤（WRONG）**的敘述。
切入點為從流動性陷阱的標準 IS-LM 圖形與數理模型出發：

• 貨幣市場均衡式：$\frac{M}{P} = L(Y, r)$
• 在流動性陷阱下，$\frac{\partial L}{\partial r} \to -\infty$，故 LM 曲線斜率 $\frac{dr}{dY}\Big|_{LM} = -\frac{\partial L / \partial Y}{\partial L / \partial r} = 0$，表示 LM 曲線為一條水平線。
• 將上述特性對照各選項，逐一進行真偽判斷。

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選項分析

• (A) Conventional monetary Policies have no effects.（傳統貨幣政策無效。）—— 正確

核心觀念

本題考查凱因斯（J. M. Keynes）的**流動性偏好理論（Liquidity Preference Theory）**與貨幣市場供需調整機制。

1. 貨幣需求與流動性偏好：
   根據凱因斯的流動性偏好理論，實質貨幣需求（$\frac{M}{P}$）主要由交易動機、預防動機（與所得 $Y$ 正相關）以及投機動機（與名目利率 $r$ 或 $i$ 負相關）所決定，即：
   $(\frac{M}{P})^d = L(Y, r)$
   當利率越高時，持有貨幣的機會成本越高，因此貨幣需求量越低。

2. 債券價格與利率的相反關係：
   債券（Bond）的市場價格 $P_B$ 與名目利率 $r$ 成反比關係。以永續債券（Perpetual Bond / Consols）為例：
   $P_B = \frac{C}{r}$
   其中 $C$ 為每期固定發放的債息（Coupon），$r$ 為市場利率。若市場利率下降，債券現值上升，債券價格 $P_B$ 隨之增加。

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解題方法

本題切入點為貨幣市場超額供給（Excess Supply of Money, ESM）下的自我調整機制：

1. 市場失衡狀態：
   題目設定「貨幣供給量大於貨幣需求量」（$M^s > M^d$），亦即貨幣市場存在超額供給。

2. 資產選擇與市場調整：
   在凱因斯的簡化金融資產模型中，大眾僅能在貨幣與債券兩種資產之間進行分配（$M + B = \text{Total Wealth}$）。

   • 當貨幣市場出現超額供給（$M^s > M^d$）時，意味著大眾手上持有的貨幣過多、超過其意願持有的數量。
   • 大眾為了降低閒置貨幣帶來的代價並追求利息收益，會選擇將過剩的貨幣轉向買進債券。
   • 這將導致債券市場出現超額需求（Excess Demand for Bonds），驅使債券價格 $P_B$ 上漲。

核心觀念

本題考驗 IS-LM 模型中投資對利率敏感度（Investment Sensitivity to Interest Rate, $d$ 或 $I_r$）改變時，對財政政策與貨幣政策效果（乘數效應）的影響。

在標準 IS-LM 模型中：

1. IS 曲線方程式：
   $Y = C(Y - T) + I(r) + G$
   微分推導出 IS 曲線斜率：
   $\left. \frac{dr}{dY} \right|_{\text{IS}} = -\frac{1 - MPE}{d}$
   其中 $d = -\frac{\partial I}{\partial r} > 0$ 表示投資對利率的敏感度，$MPE$ 為邊際支出傾向（$\text{MPC} \times (1 - t)$）。
   當投資對利率變得更敏感（$d \uparrow$）時：

   • IS 曲線斜率絕對值變小，即 IS 曲線變得更平坦（Flatter）。

2. LM 曲線方程式：
   $\frac{M}{P} = L(Y, r)$
   其斜率為：
   $\left. \frac{dr}{dY} \right|_{\text{LM}} = \frac{k}{h} > 0$
   題目已指定 LM 曲線斜率為正（$h, k > 0$）。

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解題方法

1. 財政政策效果分析（變動 $\Delta G$）

透過 IS-LM 聯立模型微分求得財政政策乘數：

• 對總產出（$Y$）的影響：
  $\frac{dY}{dG} = \frac{1}{(1 - MPE) + d \cdot \frac{k}{h}}$
  當 $d \uparrow$ 時，分母增大，故 $\frac{dY}{dG} \downarrow$。
  結論：財政政策改變產出的效果變差（Less effective）。
  經濟直覺：政府支出增加帶動總需求與所得上升，引發貨幣需求增加與利率上升；若投資對利率非常敏感（$d$ 大），利率小幅上升就會引發嚴重的排擠效應（Crowding-out effect），抵銷大部分財政擴張的效果。

• 對利率（$r$）的影響：
  $\frac{dr}{dG} = \frac{k}{h} \cdot \frac{dY}{dG} = \frac{\frac{k}{h}}{(1 - MPE) + d \cdot \frac{k}{h}}$
  當 $d \uparrow$ 時，分母增大，故 $\frac{dr}{dG} \downarrow$。
  結論：財政政策改變利率的效果變差（Less effective）。

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核心觀念

本題考查開放與封閉經濟學中傳統 IS-LM 模型（IS-LM Model）的比較靜態分析（Comparative Statics）。
主要涵蓋以下定義與觀念：

1. IS 曲線：代表商品市場均衡，其方程式為：
   $Y = C(Y - T) + I(r) + G$
   其中：

   • 邊際消費傾向（Marginal Propensity to Consume, MPC）：$0 < C' < 1$
   • 投資函數：$I = I(r)$ 且 $I'(r) < 0$（投資僅負相關於利率 $r$）
   • 政府支出 $G$ 與定額稅 $T$ 為外生變數。

2. LM 曲線：代表貨幣市場均衡（正斜率），其方程式為：
   $\frac{M}{P} = L(Y, r)$
   其中實質貨幣需求滿足 $L_Y > 0$ 與 $L_r < 0$。

3. 外生衝擊與變數影響：

   • 定額稅增加（$\Delta T > 0$）會降低可支配所得（$Y - T$），進而減少消費支出 $C$，導致 IS 曲線向左（下）移動。

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解題方法

1. IS-LM 模型推導（比較靜態分析）

將 IS 與 LM 方程式進行全微分：

• IS 式全微分：
  $dY = C' \cdot (dY - dT) + I' \cdot dr + dG$
  在 $dG = 0$ 下移項整理：
  $(1 - C') dY - I' dr = -C' dT \quad \text{--- (1)}$

• LM 式全微分：
  在貨幣供給 $M$ 與物價 $P$ 不變下（$dM = dP = 0$）：
  $L_Y dY + L_r dr = 0 \implies dr = -\frac{L_Y}{L_r} dY \quad \text{--- (2)}$

2. 求解總所得（$Y$）與利率（$r$）的變化

將 (2) 代入 (1)：
$(1 - C') dY - I' \left(-\frac{L_Y}{L_r} dY\right) = -C' dT$
$\left[ (1 - C') + I' \frac{L_Y}{L_r} \right] dY = -C' dT$

因為 $0 < C' < 1$、$I' < 0$、$L_Y > 0$、$L_r < 0$，故中括號內項大於 0：
$\Delta = (1 - C') + \frac{I' L_Y}{L_r} > 0$

對定額稅 $T$ 求微分：
$\frac{dY}{dT} = \frac{-C'}{\Delta} < 0$
$\frac{dr}{dT} = -\frac{L_Y}{L_r} \frac{dY}{dT} < 0$

由此可知：

• 總所得下降（$Y \downarrow$）
• 利率下降（$r \downarrow$）

核心觀念

本題考查 索羅經濟成長模型（Solow Growth Model） 在長期的「穩定狀態（Steady State）」性質。

在無技術進步（$g = 0$）的 Solow 模型中：

1. 生產函數：人均生產函數 $y = f(k)$，其中 $y = \frac{Y}{L}$ 為人均產出，$k = \frac{K}{L}$ 為人均資本，且滿足 $f'(k) > 0, f''(k) < 0$（邊際報酬遞減）。
2. 資本累積方程式：
   $\Delta k = s f(k) - (n + \delta) k$
   其中 $s$ 為儲蓄率、$n$ 為人口成長率（勞動成長率）、$\delta$ 為資本折舊率。
3. 長期穩定狀態（Steady State）：當 $\Delta k = 0$ 時，經濟達到平衡成長路徑（Balanced Growth Path），此時：
   $s f(k^*) = (n + \delta) k^*$
   解出之 $k^*$ 為長期人均資本。
4. 長期成長率（Long-run Growth Rates）：
   • 人均資本成長率 $\frac{\dot{k}}{k} = 0$ 且人均產出成長率 $\frac{\dot{y}}{y} = 0$。
   • 總資本成長率 $\frac{\dot{K}}{K} = n$ 且總產出成長率 $\frac{\dot{Y}}{Y} = n$。

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解題方法

1. 比較兩國長期狀態：
   已知 A、B 兩國除儲蓄率外皆相同（即 $s_A > s_B$，但 $n, \delta, f(\cdot)$ 均相同），且均無技術進步（$g = 0$）。
2. 分析人均資本與人均產出：
   由於 $s_A > s_B$，根據 $s f(k^*) = (n + \delta) k^*$，儲蓄率較高的國家將擁有較高的長期人均資本與人均產出，即 $k^*_A > k^*_B$ 且 $y^*_A > y^*_B$。
3. 分析長期投資與成長率：

核心觀念

本題考查**索羅成長模型（Solow Growth Model）在無外生技術進步（$g=0$）下的轉動動態（Transition Dynamics）與長期穩態（Steady State）**特性。

索羅模型的每人資本積累方程（Equation of Motion for Capital per Worker）為：

$$\dot{k}_t = s f(k_t) - (n + \delta) k_t$$

其中：

• $k \equiv \frac{K}{L}$：每人資本（Capital per Worker）
• $y \equiv f(k)$：每人產出（Output per Worker / per capita output），且滿足 $f'(k) > 0, f''(k) < 0$（邊際報酬遞減）
• $s$：儲蓄率（Saving Rate）
• $n$：人口成長率（Population Growth Rate）
• $\delta$：資本折舊率（Depreciation Rate）

在穩態時，每人資本維持不變，即 $\dot{k}_t = 0$，滿足 $s f(k^*) = (n + \delta) k^*$。此時：

1. 穩態每人產出水準：$y^* = f(k^*)$ 為一常數。
2. 穩態每人產出成長率：$g_{y}^* = \frac{\dot{y}}{y} = 0$。

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解題方法與推導

1. 短期（Short Run / 地震發生的當下與轉動過程）

地震破壞了 $50\%$ 的資本存量（$K$ 驟減 $50\%$），在勞動力 $L$ 未變的情況下，每人資本瞬間從穩態 $k^*$ 降至 $k_0 = 0.5 k^*$。

• 每人產出水準：由於 $y_0 = f(0.5 k^*) < f(k^*) = y^*$，短期內每人產出立即下降。
• 每人產出成長率：
  由於邊際產出遞減（Diminishing Marginal Returns），在 $k_0 < k^*$ 時： $$\frac{s f(k_0)}{k_0} > \frac{s f(k^*)}{k^*} = n + \delta$$ 因此資本積累成長率 $\frac{\dot{k}}{k} = \frac{s f(k_0)}{k_0} - (n + \delta) > 0$。

【國立政治大學經濟學系碩士班 113 學年度總體經濟學 題 1-(8) 詳解】

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核心觀念

本題旨在測驗**國民所得會計帳（National Income Accounting）的基本定義與國際金融（International Finance）**中的購買力平價理論。主要涵蓋以下核心概念：

1. 國內生產毛額（GDP）與國民總所得（GNI）的關係：
   $GNI = GDP + \text{本國常住居民在國外的要素所得淨額 (NFIA)}$
   其中 $\text{NFIA} = \text{國外要素所得收入} - \text{國外要素所得支出}$。

2. GDP 的支出面定義與出口（Exports, $EX$）的關係：
   $GDP = C + I + G + EX - IM$
   出口 $EX$ 代表本國生產並賣給國外的商品與服務總額，而中間投入與進口（$IM$）的結構會影響 $EX$ 與 $GDP$ 的相對比例關係。

3. 實質匯率（Real Exchange Rate, $q$）與單一價格法則（Law of One Price, LOOP）：
   單一價格法則指出，在沒有貿易障礙與運輸成本的完全競爭市場下，同一商品以同一貨幣表示的價格在各國應相等：
   $P_i = E \times P_i^*$
   其中 $P_i$ 為本國商品 $i$ 的價格，$P_i^*$ 為外國商品 $i$ 的價格，$E$ 為名目匯率（以本幣/外幣表示）。
   而實質匯率定義為兩國**總體物價水準（Price Level）**的比率：
   $q = \frac{E \times P^*}{P}$
   其中 $P$ 與 $P^*$ 分別代表兩國一籃子商品與服務的物價指數。

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解題方法

本題為概念判斷的選擇題，切入點為運用各項經濟學反例（Counterexamples）與定義邊界進行逐一檢視：

1. 分析 GDP 與 GNI 之差異來源（NFIA 是否可為負數）。
2. 分析出口（$EX$）與 GDP（附加價值總和）之計價基礎差異（出口包含進口中間財價值，且未扣除進口額）。
3. 區分「單一價格法則（個別商品）」與「絕對購買力平價（整體物價指數）」及「實質匯率等於 1」的條件差異（一籃子商品權重與非貿易財的存在）。

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選項分析

• (A) 錯誤
  GDP（國內生產毛額）與 GNI（國民總所得）的關係為 $GNI = GDP + NFIA$。

核心觀念

本題考查國際金融與開放總體經濟學中「經常帳（Current Account, $CA$）」與「國際資金流動（淨國外資產變動）」之間的恆等式關係。

1. 經常帳定義與組成分項：
   經常帳主要由商品與服務貿易餘額（Trade Balance）、來自國外的淨要素所得（Net Factor Income from Abroad, $NFI$）以及淨單邊移轉（Net Unilateral Transfers, $NUT$）所組成：
   $CA = X - M + NFI + NUT$

2. 國民所得會計恆等式與淨國外投資：
   在開放經濟下，國內總儲蓄（$S$）與總投資（$I$）之差額即為經常帳餘額：
   $CA = S - I$
   當一國經常帳呈現順差（$CA > 0$）時，代表該國的國民儲蓄大於國內投資（$S > I$）。該國所產生的過剩儲蓄會透過購買國外資產或對外發放貸款的形式流向國外，此即為對世界其他地區進行淨貸出（Lending to the rest of the world），導致該國的淨國外資產（Net Foreign Assets, $NFA$）增加（$\Delta NFA > 0$）。

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解題方法

本題為概念檢定題，解題切入點在於精確掌握國際收支帳（Balance of Payments, $BOP$）與國際資金借貸行為的對應關係。

根據國民所得會計恆等式：
$Y = C + I + G + CA$
移項可得：
$Y - C - G - I = CA$
由於國民儲蓄定義為 $S = Y - C - G$，因此：
$CA = S - I$

• 若 $CA > 0$（經常帳順差）：表示該國總收入大於總支出，儲蓄大於投資（$S > I$）。該國儲蓄在滿足國內投資需求後仍有剩餘，必須將多餘的資產借給國外居民或購買國外資產，因此該國必定為對世界其他地區的淨貸出國（Lending to the rest of the world）。
• 若 $CA < 0$（經常帳逆差）：表示該國儲蓄不足以支付國內投資需求（$S < I$），需向國外借款或吸引外資注入，此時該國為對世界其他地區的淨借入國（Borrowing from the rest of the world）。

核心觀念

本題考查開放經濟總體經濟學（Open Economy Macroeconomics）中，實質匯率變動對淨出口與總產出的影響機制，以及**馬歇爾－勒納條件（Marshall-Lerner Condition, MLC）**的作用。

1. 淨出口與實質匯率：
   淨出口（Net Exports, $NX$）定義為出口額減去以本國商品計價的進口額：
   $NX(\epsilon) = X(\epsilon) - \epsilon \cdot IM(\epsilon)$
   其中 $\epsilon$ 為實質匯率（定義為進口商品相對於本國商品的價格，即升值/貶值依定義而定；在經典 Mundell-Fleming 模型或 Blanchard 課本中，$\epsilon$ 升值代表實質貶值，即外幣變貴/本國商品變便宜）。

   實質匯率貶值（本國商品變便宜）會產生兩種效果：

   • 數量效果（Quantity Effect）：本國商品相對便宜，使出口量 $X$ 增加、進口量 $IM$ 減少，推升 $NX$。
   • 價格效果（Price Effect）：因為進口商品變貴，相同的進口數量需要支付更高的代價（以本國商品計），使 $NX$ 減少。

2. 馬歇爾－勒納條件（Marshall-Lerner Condition）：
   當「出口需求價格彈性 $\eta_x$」與「進口需求價格彈性 $\eta_m$」之和感於 1（即 $\eta_x + \eta_m > 1$）時，數量效果大於價格效果，實質貶值會改善淨出口（$NX \uparrow$）。

3. 當馬歇爾－勒納條件不成立（Does NOT hold）：
   若 $\eta_x + \eta_m < 1$，則價格效果大於數量效果。此時實質貶值反而會導致淨出口惡化（$NX \downarrow$）。

4. 對總產出（$Y$）的傳遞機制：
   根據開放經濟的總需求公式 $Y = C + I + G + NX$，在其他條件不變下，總產出與淨出口呈同方向變動：
   $NX \downarrow \; \Rightarrow \; Y \downarrow$

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解題方法

1. 判斷淨出口（$NX$）的變動方向：
   • 題目明確指出：Marshall-Lerner condition 不成立。
   • 在 MLC 不成立的前提下，實質貶值（depreciation in the real exchange rate）造成的「價格效果」超過「數量效果」，使得進口支出增加的幅度超過出口收入增加的幅度。

核心觀念

本題考察閉鎖經濟下 IS-LM 模型之商品市場均衡（Goods Market Equilibrium）。關鍵觀念與公式如下：

1. 商品市場均衡條件：總產出（或總供給）等於總需求（Aggregate Demand, $AD$）：
   $Y = C + I + G$
2. 存在性與收斂條件（Stability Condition）：要求邊際支出傾向（Marginal Propensity to Spend）小於 $1$，即 $1 - \alpha_1 - \beta_1 > 0$。此條件確保乘數為正數且商品市場具有穩定均衡。
3. 平衡預算乘數定理（Balanced Budget Multiplier）：在政府增加支出與增加稅收同等數額（$\Delta G = \Delta T$）時，產出變動量與政府支出變動量的比值：
   $m_b = \frac{\Delta Y}{\Delta G} \quad (\text{於 } \Delta G = \Delta T \text{ 下})$

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解題方法與推導過程

1. 商品市場均衡存在之條件與均衡產出求解

將消費函數 $C = \alpha_0 + \alpha_1(Y - T)$ 與投資函數 $I = \beta_0 + \beta_1 Y - \beta_2 i$ 代入商品市場均衡條件 $Y = C + I + G$：

$Y = \alpha_0 + \alpha_1(Y - T) + \beta_0 + \beta_1 Y - \beta_2 i + G$

將包含 $Y$ 的項移至等號左邊：

$Y - \alpha_1 Y - \beta_1 Y = \alpha_0 - \alpha_1 T + \beta_0 - \beta_2 i + G$

$(1 - \alpha_1 - \beta_1) Y = \alpha_0 + \beta_0 - \alpha_1 T - \beta_2 i + G$

• 均衡存在之條件：
  若要存在唯一且經濟學上有意義（正向）的均衡產出，必須要求邊際支出傾向和 $\alpha_1 + \beta_1 < 1$，即：
  $1 - \alpha_1 - \beta_1 > 0$
  經濟直覺說明：$\alpha_1$ 為邊際消費傾向（MPC），$\beta_1$ 為邊際投資傾向（MPI）。若 $\alpha_1 + \beta_1 \ge 1$，代表每增加 1 單位的產出會引發 1 單位以上的誘發性需求（Induced Spending），導致總需求擴張速度大於總產出，市場將無法收斂至有限的均衡點。

• 均衡產出（Equilibrium Output）：
  在 $1 - \alpha_1 - \beta_1 > 0$ 的條件下，兩邊同除以 $(1 - \alpha_1 - \beta_1)$ 可得均衡產出：
  $Y = \frac{\alpha_0 + \beta_0 - \alpha_1 T - \beta_2 i + G}{1 - \alpha_1 - \beta_1}$

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2. 平衡預算乘數之數值計算與經濟解釋

平衡預算意味著政府增加支出的同時，提高等額的稅收，即 $\Delta T = \Delta G$。

對均衡產出式進行全微分（或變動量分析），維持利率 $i$ 不變：

核心觀念

本題考查開放與封閉經濟學中著名的 IS-LM 模型（IS-LM Model） 體系，主要評量以下核心觀念：

1. 商品市場均衡與 IS 曲線：商品市場需求 $Y = C + I + G$。在此題中，投資 $I$ 不僅受利率 $i$ 影響，亦受到所得 $Y$ 影響（即包含受所得誘發的投資 $\beta_1 Y$）。
2. 貨幣市場均衡與 LM 曲線：實質貨幣需求滿足 $M^d/P = \gamma_1 Y - \gamma_2 i$，與實質貨幣供給 $m_0$ 相等劃出 LM 曲線。
3. IS-LM 聯立求解均衡所得 ($Y^*$)：結合 IS 與 LM 兩市場之均衡條件，同時消除利率 $i$，推導出總體經濟均衡所得。
4. 平衡預算乘數（Balanced Budget Multiplier）：在政府預算平衡（即 $\Delta G = \Delta T$）的限制條件下，增加政府支出對均衡所得的乘數效應 $\left.\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}G}\right|_{\mathrm{d}G=\mathrm{d}T}$。

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解題方法與推導過程

Step 1: 建立 IS 曲線方程

商品市場均衡條件為：
$Y = C + I + G$

將題目給定的消費函數 $C = \alpha_0 + \alpha_1(Y - T)$ 與投資函數 $I = \beta_0 + \beta_1 Y - \beta_2 i$ 代入上式：
$Y = \alpha_0 + \alpha_1(Y - T) + \beta_0 + \beta_1 Y - \beta_2 i + G$

整理包含 $Y$ 的同類項：
$Y - \alpha_1 Y - \beta_1 Y = \alpha_0 - \alpha_1 T + \beta_0 - \beta_2 i + G$
$(1 - \alpha_1 - \beta_1) Y = \alpha_0 + \beta_0 + G - \alpha_1 T - \beta_2 i \quad \text{--- (IS 曲線)}$

Step 2: 建立 LM 曲線方程並表示利率 $i$

貨幣市場均衡條件為：
$m_0 = \gamma_1 Y - \gamma_2 i$

解出利率 $i$：
$\gamma_2 i = \gamma_1 Y - m_0 \implies i = \frac{\gamma_1}{\gamma_2} Y - \frac{1}{\gamma_2} m_0 \quad \text{--- (LM 曲線)}$

Step 3: 聯立求解均衡所得 $Y^*$

將 LM 曲線求得的 $i$ 代入 IS 曲線方程：
$(1 - \alpha_1 - \beta_1) Y = \alpha_0 + \beta_0 + G - \alpha_1 T - \beta_2 \left( \frac{\gamma_1}{\gamma_2} Y - \frac{1}{\gamma_2} m_0 \right)$

將含 $Y$ 之項目移至等號左邊：
$(1 - \alpha_1 - \beta_1) Y + \frac{\beta_2 \gamma_1}{\gamma_2} Y = \alpha_0 + \beta_0 + G - \alpha_1 T + \frac{\beta_2}{\gamma_2} m_0$

提出的公因式 $Y$：
$\left( 1 - \alpha_1 - \beta_1 + \frac{\beta_2 \gamma_1}{\gamma_2} \right) Y = \alpha_0 + \beta_0 + G - \alpha_1 T + \frac{\beta_2}{\gamma_2} m_0$

通分左端括號：
$\left( \frac{(1 - \alpha_1 - \beta_1)\gamma_2 + \beta_2 \gamma_1}{\gamma_2} \right) Y = \alpha_0 + \beta_0 + G - \alpha_1 T + \frac{\beta_2}{\gamma_2} m_0$

解得均衡所得 $Y^*$：
$Y^* = \frac{\gamma_2\left(\alpha_0 + \beta_0 + G - \alpha_1 T\right) + \beta_2 m_0}{(1 - \alpha_1 - \beta_1)\gamma_2 + \beta_2 \gamma_1}$

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Step 4: 計算平衡預算乘數（Balanced Government Budget Multiplier）

平衡預算之條件為政府支出變動量等於稅收變動量，即 $\mathrm{d}G = \mathrm{d}T$。

對均衡所得式全微分（或利用變動量）：
$\mathrm{d}Y = \frac{\gamma_2}{(1 - \alpha_1 - \beta_1)\gamma_2 + \beta_2 \gamma_1} \mathrm{d}G - \frac{\alpha_1 \gamma_2}{(1 - \alpha_1 - \beta_1)\gamma_2 + \beta_2 \gamma_1} \mathrm{d}T$

帶入平衡預算條件 $\mathrm{d}T = \mathrm{d}G$：
$\mathrm{d}Y = \frac{\gamma_2 (1 - \alpha_1)}{(1 - \alpha_1 - \beta_1)\gamma_2 + \beta_2 \gamma_1} \mathrm{d}G$

核心觀念

本題考查**預期擴充的菲力普曲線（Expectation-augmented Phillips Curve）**的圖形繪製與幾何特性。

1. 短期的菲力普曲線（Short-Run Phillips Curve, SRPC）：在給定預期通貨膨脹率 $\pi_t^e$ 下，實際通貨膨脹率 $\pi_t$ 與失業率 $u_t$ 呈反向變動關係（斜率為負的直線）。
2. 自然失業率（Natural Rate of Unemployment, $u_n$）：當實際通貨膨脹率等於預期通貨膨脹率（$\pi_t = \pi_t^e$）時的失業率。本題給定 $u_n = 5\%$（即 0.05）。
3. 截距與斜率：
   • 縱軸為 $\pi_t$，橫軸為 $u_t$。
   • 將菲力普曲線改寫為斜截式：
     $\pi_t = (\pi_t^e + 0.8 u_n) - 0.8 u_t = (\pi_t^e + 0.04) - 0.8 u_t$
   • 斜率為 $-0.8$。

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解題方法與步驟

1. 確立函數關係式

題目給定預期擴充菲力普曲線方程式為：
$\pi_t = \pi_t^e + 0.8(u_n - u_t)$

將已知條件 $u_n = 5\% = 0.05$ 代入：
$\pi_t = \pi_t^e + 0.8(0.05 - u_t)$
$\pi_t = \pi_t^e + 0.04 - 0.8 u_t$

2. 分析關鍵點座標與圖形特徵

• 縱軸：通貨膨脹率 $\pi_t$
• 橫軸：失業率 $u_t$
• 關鍵點（自然失業率與預期通膨率之交點）：
  當 $u_t = u_n = 5\%$ 時，代入方程式可得：
  $\pi_t = \pi_t^e + 0.8(0.05 - 0.05) = \pi_t^e$
  因此，SRPC 必通過點 $(u_t, \pi_t) = (u_n, \pi_t^e) = (5\%, \pi_t^e)$。
• 縱軸截距：當 $u_t = 0$ 時，$\pi_t = \pi_t^e + 0.04$。
• 橫軸截距：當 $\pi_t = 0$ 時，$u_t = u_n + \frac{\pi_t^e}{0.8} = 5\% + 1.25 \pi_t^e$。

3. 圖形繪製說明與結構

在答案卡繪製圖形時，須包含以下核心要素：

1. 座標軸：縱軸標示 $\pi_t$（通膨率），橫軸標示 $u_t$（失業率）。

核心觀念

本題考查**期待修正的菲力普曲線（Expectation-augmented Phillips Curve）**與預期形成機制對失業率及通膨率間交替關係（Trade-off）的影響。

1. 期待修正菲力普曲線公式：
   $\pi_t = \pi_t^e + 0.8(u_n - u_t)$
   其中 $\pi_t$ 為第 $t$ 期的實際通膨率，$\pi_t^e$ 為民眾在第 $t-1$ 期對第 $t$ 期所形成的預期通膨率，$u_n$ 為自然失業率（Natural rate of unemployment），$u_t$ 為第 $t$ 期的實際失業率。

2. 名詞與參數給定：

   • 自然失業率 $u_n = 5\% = 0.05$。
   • 中央銀行目標通膨率（欲降至的目標值） $\pi_t = 2\% = 0.02$。
   • 民眾調整後的預期通膨率 $\pi_t^e = 6\% = 0.06$。

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解題方法

切入點：
由於題目明確指出，民眾在發現實際通膨率高達 6% 後，已將預期通膨率調整為 $\pi_t^e = 6\%$。若中央銀行欲執行緊縮性貨幣政策將實際通膨率降至 $\pi_t = 2\%$，在預期通膨率已錨定在 6% 的情況下，央行必須承受短期的失業代價（即短期菲力普曲線向上移動後帶來的痛苦指數增加）。

詳細推導與計算步驟：

1. 代入已知參數至菲力普曲線方程：
   已知：
   $\pi_t = 2\% = 0.02$
   $\pi_t^e = 6\% = 0.06$
   $u_n = 5\% = 0.05$

   將以上數據代入公式：
   $0.02 = 0.06 + 0.8(0.05 - u_t)$

核心觀念

本題考察總體經濟學中**犧牲比率（Sacrifice Ratio）**的定義與計算。

1. 犧牲比率（Sacrifice Ratio）：
   定義為中央銀行為了降低 1 個百分點（1%）的通貨膨漲率（Inflation Rate），所必須犧牲的累積產出占潛在產出（或自然產出）的百分比，或者等價地，必須累積承受的超額失業率（Excess Unemployment Percentage Points）。
   公式表達為：
   $\text{Sacrifice Ratio} = \frac{\text{累積損失之產出百分比（或超額失業率）}}{\text{降低之通貨膨漲率百分比}} = \frac{\sum (u_t - u_n)}{\Delta \pi}$

2. 菲力普曲線與歐肯法則（Phillips Curve & Okun's Law）：

   • 擴張型菲力普曲線（Expectation-augmented Phillips Curve）：
     $\pi_t - \pi_t^e = 0.8(u_n - u_t) \implies \Delta \pi = 0.8 (u_n - u_t) = -0.8(u_t - u_n)$
   • 歐肯法則（Okun's Law）：
     $\frac{Y_t - Y_n}{Y_n} = -(u_t - u_n)$

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解題方法與詳細推導

為了計算將通貨膨漲率降低 1%（即 $\Delta \pi = -1\%$ 或 1 個百分點的通膨降幅）所造成的產出損失或超額失業，我們分別從失業率與產出兩個角度進行推導：

步驟一：計算降低通膨與超額失業率的關係

由菲力普曲線公式：
$\pi_t - \pi_t^e = 0.8(u_n - u_t)$

當預期通膨調整後，通膨率的永久性下降量 $\Delta \pi = \pi_{\text{new}} - \pi_{\text{old}}$ 與失業率偏離自然失業率之累積量 $\sum (u_t - u_n)$ 滿足：
$|\Delta \pi| = 0.8 \times (u_t - u_n)$

核心觀念

本題考查宏觀經濟學中關於抗通膨成本（Disinflation Cost）的犧牲率（Sacrifice Ratio）以及路卡斯批判（Lucas Critique）。

1. 犧牲率（Sacrifice Ratio）定義：
   犧牲率是指「每降低 1 個百分點的通膨率，所必須犧牲的 GDP 累積損失百分比（或所必須付出的累積超額失業率）」。
   $\text{Sacrifice Ratio} = \frac{\sum (u_t - u_n)}{\Delta \pi} = \frac{\sum \left(\frac{Y_n - Y_t}{Y_n}\right)}{\Delta \pi}$

2. 適應性預期（Adaptive Expectations）下的傳統犧牲率：
   在傳統菲利浦曲線中，若人們維持適應性預期（如 $\pi_t^e = \pi_{t-1}$），要使通膨率降低 $\Delta \pi$，政策制定者必須將實際失業率提高至自然失業率之上（$u_t > u_n$）。依題給 Phillips Curve $\pi_t - \pi_t^e = 0.8(u_n - u_t)$：
   若要降低 1% 的通膨（$\Delta \pi = -1\%$），累積的超額失業率為：
   $\sum (u_t - u_n) = \frac{1}{0.8} = 1.25 \text{ 個百分點}$
   再透過奧肯法則（Okun's Law）$\frac{Y_t - Y_n}{Y_n} = -(u_t - u_n)$，可得傳統估計下的犧牲率為 $1.25$（即每降低 1% 通膨需付出 1.25% 的產出損失）。

3. 路卡斯批判（Lucas Critique）與理性預期（Rational Expectations）：
   Robert Lucas（1976）提出，當政府改變經濟政策時，民眾的預期形成機制也會隨之改變。因此，利用歷史資料估算出的參數（如菲利浦曲線中的預期通膨 $\pi_t^e$）並非固定常數。
   若央行實施可信的緊縮性貨幣政策（Credible Disinflation Policy），且民眾具備理性預期：

   • 民眾會立即下修對未來通膨的預期至目標通膨率（$\pi_t^e = \pi_t^{\text{target}}$）。
   • 短期菲利浦曲線（Short-run Phillips Curve, SRPC）會立即向下移動。
   • 經濟體可直接在維持自然失業率（$u_n = 5\%$）與潛在產出（$Y_n$）的情況下完成抗通膨，使犧牲率趨近於 0（或非常小）。

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解題方法與圖形分析

1. 傳統預期下的抗通膨路徑（高犧牲率）

假設經濟體初始位於 $A$ 點，通膨率為 $\pi_0$，預期通膨率為 $\pi_0^e = \pi_0$，此時 $u_t = u_n = 5\%$。
若政府欲將通膨率降至 $\pi_1$（其中 $\Delta \pi = \pi_0 - \pi_1 > 0$）：

• 在適應性預期下，第一期預期通膨仍停留在 $\pi_1^e = \pi_0$。
• 經濟點將沿著原有的短期菲利浦曲線 $SRPC(\pi^e = \pi_0)$ 移動至 $B$ 點。此時通膨下降至 $\pi_1$，但失業率上升至 $u_B > u_n$。
• 產生的超額失業率（即 $A \to B$ 的橫軸偏離量）造成了顯著的產出損失，犧牲率高。

2. 路卡斯批判下的抗通膨路徑（極小犧牲率）

在路卡斯批判的理論架構下：

• 若央行預先宣佈降通膨政策，且政策具有完全的可信度（Credibility）。

核心觀念

本題考查**離散時間（Discrete Time）的索洛成長模型（Solow Growth Model）**中，每單位有效勞動資本（Capital per effective labor, $k_t \equiv \frac{K_t}{E_t L_t}$）的動態演變方程（Equation of Motion）推導及其穩態（Steady State）值的計算。

關鍵觀念與公式包括：

1. 每單位有效勞動之生產函數：
   定義 $k_t = \frac{K_t}{E_t L_t}$ 與 $y_t = \frac{Y_t}{E_t L_t}$。將 Cobb-Douglas 生產函數兩邊同除以 $E_t L_t$，可得：
   $y_t = \frac{K_t^\alpha (E_t L_t)^{1-\alpha}}{E_t L_t} = \left(\frac{K_t}{E_t L_t}\right)^\alpha = k_t^\alpha$
2. 變數之離散時間成長率：
   • 勞動成長：$L_{t+1} = (1+n) L_t$
   • 技術（勞動效率）成長：$E_{t+1} = (1+e) E_t$
   • 有效勞動成長：$E_{t+1} L_{t+1} = (1+e)(1+n) E_t L_t = (1 + e + n + e \cdot n) E_t L_t$
     題目提示 $e$ 與 $n$ 極小，故 $e \cdot n \approx 0$，因此 $E_{t+1} L_{t+1} \approx (1 + n + e) E_t L_t$。

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解題方法與推導過程

第一部分：推導每單位有效勞動資本之動態演變方程

根據題目給定的資本累積方程（A）：
$K_{t+1} = s Y_t + (1 - \delta) K_t$

將兩邊同除以 $t+1$ 期的有效勞動總量 $E_{t+1} L_{t+1}$，以求得 $k_{t+1}$：
$\frac{K_{t+1}}{E_{t+1} L_{t+1}} = \frac{s Y_t + (1 - \delta) K_t}{E_{t+1} L_{t+1}}$

利用 $E_{t+1} L_{t+1} = (1+e)(1+n) E_t L_t$ 代入分母：
$k_{t+1} = \frac{s Y_t + (1 - \delta) K_t}{(1+e)(1+n) E_t L_t}$

將分子分拆並分別除以 $E_t L_t$：
$k_{t+1} = \frac{s \frac{Y_t}{E_t L_t} + (1 - \delta) \frac{K_t}{E_t L_t}}{(1+e)(1+n)}$

代入 $y_t = k_t^\alpha$ 及 $\frac{K_t}{E_t L_t} = k_t$：
$k_{t+1} = \frac{s k_t^\alpha + (1 - \delta) k_t}{(1+e)(1+n)}$

核心觀念

本題考查離散時間（Discrete-time）Solow 成長模型中，單位有效勞動資本（Capital per effective labor）的動態演變方程式（Law of Motion）及其穩態（Steady State）圖形分析。

1. 變數定義：

   • 勞動成長率：$L_{t+1} = (1+n)L_t$
   • 技術（勞動效率）成長率：$E_{t+1} = (1+e)E_t$
   • 有效勞動數量：$A_t = E_t L_t$，其成長滿足 $A_{t+1} = (1+n)(1+e)A_t$
   • 單位有效勞動資本：$\hat{k}_t = \frac{K_t}{E_t L_t}$
   • 單位有效勞動產出（密集形式生產函數）：$\hat{y}_t = \frac{Y_t}{E_t L_t} = \hat{k}_t^\alpha$

2. 離散時間動態積累方程式推導：
   將資本積累式 $K_{t+1} = s Y_t + (1 - \delta) K_t$ 同除以 $E_{t+1}L_{t+1}$：
   $\frac{K_{t+1}}{E_{t+1}L_{t+1}} = \frac{s Y_t + (1 - \delta) K_t}{(1+n)(1+e)E_t L_t}$
   轉換為密集形式：
   $\hat{k}_{t+1} = \frac{s \hat{k}_t^\alpha + (1 - \delta) \hat{k}_t}{(1+n)(1+e)}$

3. 穩態（Steady State）條件：
   在穩態下，單位有效勞動資本維持不變，即 $\hat{k}_{t+1} = \hat{k}_t = \hat{k}^*$。

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解題方法

本題要求的「資本演變與穩態圖（Diagram showing the evolution of capital per effective labor and its steady state）」主要有兩種標準畫法，作答時兩種均可呈現，以確保完整度：

方法一：相位圖／差分方程式動態圖（$\hat{k}_{t+1}$ 對 $\hat{k}_t$）

• 橫軸為當期單位有效勞動資本 $\hat{k}_t$，縱軸為下一期單位有效勞動資本 $\hat{k}_{t+1}$。
• 45度線：代表 $\hat{k}_{t+1} = \hat{k}_t$。
• 動態軌跡曲線：$f(\hat{k}_t) = \frac{s \hat{k}_t^\alpha + (1 - \delta)\hat{k}_t}{(1+n)(1+e)}$。因為 $\alpha \in (0,1)$，該曲線凹向橫軸（Strictly Concave），從原點出發並與 45 度線交於穩態點 $\hat{k}^*$。

方法二：儲蓄與必要投資相交圖（Solow 傳統收斂圖）

將動態方程式重組為：
$\hat{k}_{t+1} - \hat{k}_t = \frac{s \hat{k}_t^\alpha - \left[ (1+n)(1+e) - (1-\delta) \right] \hat{k}_t}{(1+n)(1+e)}$

• 橫軸為 $\hat{k}_t$，縱軸為投資/儲蓄水準。
• 有效儲蓄曲線：$\frac{s \hat{k}_t^\alpha}{(1+n)(1+e)}$
• 必要投資直線（Break-even Investment Line）：$\left[ 1 - \frac{1-\delta}{(1+n)(1+e)} \right] \hat{k}_t$（或近似於 $(n + e + \delta)\hat{k}_t$）
• 穩態點：兩線交點即為 $\hat{k}^*$。

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繪圖與詳細說明

在考卷上記述與繪製圖形時，應包含以下要素：

1. 圖形繪製（以相位圖法為例）：
   • 繪製斜率為 1 的 $45^\circ$ 線（即 $\hat{k}_{t+1} = \hat{k}_t$）。
   • 繪製過原點且凹向橫軸的曲線 $\hat{k}_{t+1} = \frac{s \hat{k}_t^\alpha + (1-\delta)\hat{k}_t}{(1+n)(1+e)}$。
   • 標示兩線交點為穩態 $\hat{k}^*$。
   • 使用箭號（Cobweb Diagram / 階梯圖）標示收斂動態：
     • 若初始值 $\hat{k}_0 < \hat{k}^*$，由於 $\hat{k}_{t+1} > \hat{k}_t$，曲線位於 45 度線上方，$\hat{k}_t$ 隨時間單調遞增收斂至 $\hat{k}^*$。
     • 若初始值 $\hat{k}_0 > \hat{k}^*$，由於 $\hat{k}_{t+1} < \hat{k}_t$，曲線位於 45 度線下方，$\hat{k}_t$ 隨時間單調遞減收斂至 $\hat{k}^*$。