114 年 國立政治大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

核心觀念

本題為典型的凱因斯／新古典綜合學派（IS-LM-FE 模型）之總體均衡分析，並結合費雪方程式（Fisher Equation）與奧肯法則（Okun's Law）：

1. 商品市場均衡（IS 曲線）：
   $Y = C^d + I^d + G$
   在實質面決定產出與實質利率 $r$ 的反向關係。
2. 貨幣市場均衡（LM 曲線）：
   $\frac{M}{P} = L(Y, i) = L(Y, r + \pi^e)$
   名目利率滿足費雪方程式 $i = r + \pi^e$。短期內物價僵固（$P$ 固定），貨幣市場由實質貨幣供給 $\frac{M}{P}$ 與貨幣需求決定。
3. 長期一般均衡（FE 線／古典二分法）：
   長期下物價充分調整，產出回到充份就業水準 $Y = Y^e$。實質變數（$r, C, I$）由實質面（IS 與 FE）獨立決定；物價水準 $P$ 則由貨幣市場結清決定。
4. 奧肯法則（Okun's Law）：
   產出缺口率與循環性失業率呈現反向關係：
   $\frac{Y^e - Y}{Y^e} = \beta (u - \bar{u})$
   其中 $\beta$ 為奧肯係數，$u$ 為實際失業率，$\bar{u}$ 為自然失業率。

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解題方法與步驟推導

(1) 一般均衡（General Equilibrium）下的實質利率、物價水準、消費與投資

• 步驟一：建立 IS 曲線
  代入消費、投資與政府支出函數：
  $C^d = 300 + 0.75(Y - 300) - 250r = 75 + 0.75Y - 250r$
  $I^d = 500 - 500r$
  商品市場均衡條件：
  $Y = C^d + I^d + G = (75 + 0.75Y - 250r) + (500 - 500r) + 300$
  $Y = 875 + 0.75Y - 750r$
  $0.25Y = 875 - 750r \implies Y = 3500 - 3000r \quad \text{（IS 方程式）}$

• 步驟二：利用一般均衡條件求實質利率 $r$
  在一般均衡下，產出等於充份就業產出 $Y = Y^e = 3260$：
  $3260 = 3500 - 3000r$
  $3000r = 240 \implies r = \frac{240}{3000} = 0.08 = 8\%$

• 步驟三：計算消費 $C$ 與投資 $I$
  $C = 75 + 0.75(3260) - 250(0.08) = 75 + 2445 - 20 = 2500$
  $I = 500 - 500(0.08) = 500 - 40 = 460$
  (驗算：$C + I + G = 2500 + 460 + 300 = 3260 = Y$)

• 步驟四：由貨幣市場均衡求物價水準 $P$
  依費雪方程式，名目利率為：
  $i = r + \pi^e = 0.08 + 0.05 = 0.13$
  貨幣需求量：
  $L = 0.75Y - 500i = 0.75(3260) - 500(0.13) = 2445 - 65 = 2380$
  貨幣市場均衡 $\frac{M}{P} = L$：
  $\frac{2370}{P} = 2380 \implies P = \frac{2370}{2380} = \frac{237}{238} \approx 0.9958$

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(2) 自發性投資降至 450 之短期均衡（實質利率、產出、消費、投資）

• 步驟一：建立衝擊後的新 IS 曲線
  自發性投資變為 450，故 $I^d = 450 - 500r$：
  $Y = (75 + 0.75Y - 250r) + (450 - 500r) + 300 = 825 + 0.75Y - 750r$
  $0.25Y = 825 - 750r \implies Y = 3300 - 3000r \implies r = 1.1 - \frac{Y}{3000}$

• 步驟二：短期 LM 曲線（物價固定於 $P = \frac{237}{238}$）
  短期內物價僵固，實質貨幣供給保持為 $\frac{M}{P} = 2380$：
  $2380 = 0.75Y - 500i$
  $500i = 0.75Y - 2380 \implies i = 0.0015Y - 4.76$
  因 $i = r + \pi^e$ 且預期通膨維持 $\pi^e = 0.05$：
  $r = i - \pi^e = (0.0015Y - 4.76) - 0.05 = 0.0015Y - 4.81$

• 步驟三：聯立求解短期均衡產出 $Y$ 與實質利率 $r$
  將 IS 與 LM 聯立：
  $1.1 - \frac{Y}{3000} = 0.0015Y - 4.81$
  全式同乘以 3000：
  $3300 - Y = 4.5Y - 14430$
  $5.5Y = 17730 \implies Y = \frac{17730}{5.5} = \frac{35460}{11} \approx 3223.64$
  代回求 $r$：
  $r = 1.1 - \frac{35460}{33000} = \frac{7}{275} \approx 0.0255 = 2.55\%$

• 步驟四：計算短期消費 $C$ 與投資 $I$
  $C = 75 + 0.75\left(\frac{35460}{11}\right) - 250\left(\frac{7}{275}\right) = 75 + \frac{26595}{11} - \frac{70}{11} = \frac{27350}{11} \approx 2486.36$

核心觀念

本題考查：

• 生產者在完全競爭下的勞動需求。
• 資本累積方程式。
• 投資調整成本與投資—資本比率。
• 動態最適化與 Euler equation。
• Tobin’s $q$ 的定義及其與投資的關係。
• 實質利率下降對 $q_t$、投資 $I_t$ 與資本存量 $K_t$ 的動態影響。

題目給出的調整成本寫成 $\psi K_t^2/(2K_{t-1})$，但同時要求決定投資 $I_t$，且明確要求資本累積方程式。因此依其經濟意義，將該項視為投資調整成本：

$$\frac{\psi I_t^2}{2K_{t-1}}.$$

資本累積式為：

$$K_t=(1-\delta)K_{t-1}+I_t,$$

因此：

$$I_t=K_t-(1-\delta)K_{t-1}.$$

令 $R_{t+1}=1+r_{t+1}$，折現因子為：

$$\beta_t=\frac{1}{(1+r_0)(1+r_1)\cdots(1+r_t)}.$$

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（1）最適的 $I_t$、$L_t$ 與 $K_t$

一、廠商的最適化問題

將投資方程式代入現金流，廠商的問題為：

$$\max_{\{I_t,L_t,K_t\}} \sum_{t=0}^{\infty}\beta_t \left[ K_{t-1}^{\alpha}L_t^{1-\alpha} -w_tL_t -I_t -\frac{\psi I_t^2}{2K_{t-1}} \right]$$

subject to：

$$K_t=(1-\delta)K_{t-1}+I_t.$$

其中：

• $I_t$：本期投資。
• $K_t$：本期期末資本存量。
• $K_{t-1}$：期初既定資本存量。
• $\delta$：資本折舊率。
• $\psi$：投資調整成本係數。

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二、勞動需求 $L_t$

在完全競爭市場中，工資等於勞動邊際產值：

$$\frac{\partial Y_t}{\partial L_t}=w_t.$$

由生產函數：

$$Y_t=K_{t-1}^{\alpha}L_t^{1-\alpha},$$

可得：

$$(1-\alpha)K_{t-1}^{\alpha}L_t^{-\alpha}=w_t.$$

因此最適勞動需求為：

$$L_t^* = \left( \frac{(1-\alpha)K_{t-1}^{\alpha}}{w_t} \right)^{1/\alpha}.$$

也可寫成：

$$L_t^* = K_{t-1} \left( \frac{1-\alpha}{w_t} \right)^{1/\alpha}.$$

由於 $K_{t-1}$ 在期初已經決定，當期勞動選擇只需比較勞動邊際產值與工資，不涉及跨期權衡。

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三、投資的一階條件

令 $q_t$ 表示期末資本的影子價格，即增加一單位 $K_t$ 對廠商價值的邊際貢獻。

投資 $I_t$ 的邊際成本包含：

1. 購買一單位資本的直接成本：$1$。
2. 調整成本的邊際增加：

$$\frac{\partial}{\partial I_t} \left( \frac{\psi I_t^2}{2K_{t-1}} \right) = \frac{\psi I_t}{K_{t-1}}.$$

因此投資的一階條件為：

$$q_t = 1+\frac{\psi I_t}{K_{t-1}}.$$

整理後：

$$\boxed{ I_t = \frac{K_{t-1}}{\psi}(q_t-1) }$$

這是本題最重要的投資方程式。

其經濟意義為：

• $q_t>1$ 時，增加資本的價值高於購買成本，廠商增加投資。
• $q_t=1$ 時，廠商不願進行超過必要程度的投資。
• $q_t$ 越高，投資—資本比率越高。

由於資本累積式為：

$$K_t=(1-\delta)K_{t-1}+I_t,$$

代入投資方程式可得：

$$\boxed{ K_t = \left[ 1-\delta+\frac{q_t-1}{\psi} \right]K_{t-1} }$$

這就是資本存量的動態方程式。

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四、資本影子價格的 Euler equation

增加本期期末資本 $K_t$，會影響下一期的價值：

1. 下一期增加資本所帶來的邊際產量：

$$MPK_{t+1} = \frac{\partial Y_{t+1}}{\partial K_t} = \alpha K_t^{\alpha-1}L_{t+1}^{1-\alpha}.$$

2. 下一期資本仍可保留的價值：

$$(1-\delta)q_{t+1}.$$

3. 更多的 $K_t$ 會降低下一期調整成本，因此產生額外利益：

$$\frac{\partial}{\partial K_t} \left( -\frac{\psi I_{t+1}^2}{2K_t} \right) = \frac{\psi I_{t+1}^2}{2K_t^2}.$$

因此資本影子價格滿足：

$$q_t = \frac{ \alpha K_t^{\alpha-1}L_{t+1}^{1-\alpha} +(1-\delta)q_{t+1} +\dfrac{\psi I_{t+1}^2}{2K_t^2} } {1+r_{t+1}}.$$

等價地：

$$\boxed{ (1+r_{t+1})q_t = \alpha K_t^{\alpha-1}L_{t+1}^{1-\alpha} +(1-\delta)q_{t+1} +\frac{\psi I_{t+1}^2}{2K_t^2} }$$

這條式表示：本期資本的價值，等於下一期資本所產生的邊際收益、未折舊資本價值，以及降低調整成本的利益之現值。

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五、最適條件整理

廠商的最適決策由以下方程式共同決定：

$$\boxed{ (1-\alpha)K_{t-1}^{\alpha}L_t^{-\alpha}=w_t }$$ $$\boxed{ q_t=1+\frac{\psi I_t}{K_{t-1}} }$$ $$\boxed{ K_t=(1-\delta)K_{t-1}+I_t }$$ $$\boxed{ (1+r_{t+1})q_t = \alpha K_t^{\alpha-1}L_{t+1}^{1-\alpha} +(1-\delta)q_{t+1} +\frac{\psi I_{t+1}^2}{2K_t^2} }$$

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（2）Tobin’s $q$

本題主要在測試考生對於總體經濟政策應對經濟衰退的理解，包含政策工具、效果分析與實務限制。

核心觀念：

1. 總體經濟穩定政策： 財政政策與貨幣政策。
2. 經濟衰退的診斷與應對： 總需求不足是常見原因。
3. 政策效果分析： IS-LM 模型、AD-AS 模型。
4. 政策實務限制： 決策延遲、實施延遲、預期影響、政治考量等。

解題步驟：

(1) 三種應對經濟衰退的政策回應

經濟衰退通常是由總需求不足引起，表現為產出低於潛在水平，失業率升高。 policymakers 可以採取擴張性總體經濟政策來刺激總需求，將經濟拉回充分就業水平。以下是三種主要的政策回應：

1. 擴張性貨幣政策 (Expansionary Monetary Policy)：
   中央銀行可以降低利率，增加貨幣供給。這通常通過公開市場操作（購買政府債券）、降低存款準備率或降低貼現率來實現。目標是降低借貸成本，鼓勵投資和消費。

2. 擴張性財政政策 (Expansionary Fiscal Policy)：
   政府可以增加支出或減少稅收。

   • 增加政府支出 (G)： 直接增加總需求，並通過乘數效應擴大。
   • 減少稅收 (T)： 增加家庭的可支配所得，從而鼓勵消費；或者增加企業的稅後利潤，鼓勵投資。

3. 供給面政策 (Supply-Side Policies)：
   雖然衰退主要與需求不足有關，但供給面政策可以改善長期經濟狀況，並在某些情況下有助於短期復甦。例如，放鬆管制、減稅（特別是針對投資和研發的稅收優惠）、改善基礎設施等，可以提高生產力，降低生產成本，從而增加潛在產出和總供給。然而，這些政策的效果通常是長期的，對短期衰退的直接作用較小，且可能不直接針對「需求不足」的問題。
   更直接的針對衰退的「第三種」政策可以是： 針對特定產業或群體的定向支持，例如失業救濟金的增加（這也是財政政策的一部分），或針對性的產業補貼。
   或者，也可以將「預期管理」視為一種政策工具。 例如，中央銀行或政府通過溝通策略來影響公眾的預期，鼓勵消費和投資。

   考慮到題目要求「三種」，且通常在總體經濟學中討論的是貨幣與財政政策，我們選擇：
   a) 擴張性貨幣政策
   b) 擴張性財政政策 (政府支出增加)
   c) 擴張性財政政策 (減稅)
   或者，可以將 (b) 和 (c) 合併為「擴張性財政政策」，然後再加入「預期管理」或「結構性改革」。

   最標準的組合是：

   1. 擴張性貨幣政策
   2. 擴張性財政政策 (政府支出增加)
   3. 擴張性財政政策 (減稅)

   【答案】

   1. 擴張性貨幣政策： 降低利率、增加貨幣供給。
   2. 擴張性財政政策 (增加政府支出)： 政府增加基礎設施建設、公共服務等支出。
   3. 擴張性財政政策 (減稅)： 政府降低個人所得稅或企業所得稅。

(2) 三種政策回應的圖形分析

我們使用 AD-AS 模型來分析這三種政策對就業、物價和產出組成部分的影響。
假設初始狀態為總體均衡，但經濟處於衰退（即實際產出低於潛在產出）。

模型設定：

• 短期總合供給曲線 (SRAS)：向上傾斜，表示短期內物價與產出同向變動。
• 長期總合供給曲線 (LRAS)：垂直於產出軸，代表潛在產出水平 $Y^*$。
• 總合需求曲線 (AD)：向右下方傾斜，表示物價與總需求同向變動。

初始狀態： 經濟處於衰退，AD 曲線與 SRAS 曲線的交點在 LRAS 左側。
$P_{initial} < P_{full employment}$, $Y_{initial} < Y^*$, $u_{initial} > u^*$。

政策分析：

A. 擴張性貨幣政策 (降低利率，增加貨幣供給)

• 機制： 降低利率鼓勵投資 (I) 和耐用品消費 (C)。

• AD-AS 圖形影響：

  • 增加貨幣供給使 LM 曲線右移，進而使 AD 曲線右移。
  • 在 AD-AS 圖上，AD 曲線右移。

• 結果：

  • 產出 (Y)： 總需求增加，AD 右移，經濟向右移動到新的 SRAS 交點。產出 $Y$ 增加，趨向 $Y^*$。
  • 物價水平 (P)： 產出增加，物價水平 $P$ 上升。
  • 就業 (Employment)： 產出增加通常伴隨著就業增加（通過奧肯法則）。
  • 產出組成： 增加的產出主要來自消費 (C) 和投資 (I) 的增加。政府支出 (G) 和淨出口 (NX) 可能不受直接影響（除非有間接傳導）。

  圖形描述：
  [想像一個 AD-AS 圖，橫軸為 Y，縱軸為 P。LRAS 垂直於 $Y^*$。SRAS 向上傾斜。初始均衡點 E0 在 LRAS 左側。AD0 向右下方傾斜。
  貨幣政策使 AD0 右移至 AD1。新的短期均衡點 E1 在 AD1 和 SRAS 的交點上，位於 E0 的右上方。E1 的 $Y$ 較 E0 高，P 較 E0 高。如果政策力度足夠，E1 可能接近 LRAS。]

B. 擴張性財政政策 (增加政府支出 G)

• 機制： 政府支出直接增加總需求。同時，由於 G 的增加，總需求增加，通過乘數效應，實際產出和收入會進一步增加。

• AD-AS 圖形影響：

  • 政府支出增加直接使 IS 曲線右移，進而使 AD 曲線右移。
  • 在 AD-AS 圖上，AD 曲線右移。

• 結果：

  • 產出 (Y)： 總需求增加，AD 右移，產出 $Y$ 增加。
  • 物價水平 (P)： 產出增加，物價水平 $P$ 上升。
  • 就業 (Employment)： 產出增加伴隨就業增加。
  • 產出組成： 增加的產出中，政府支出 (G) 是直接貢獻者。消費 (C) 和投資 (I) 也可能因收入增加而增加，但投資也可能因利率上升（擠出效應，Crowding Out Effect）而受到抑制。

  圖形描述：
  [與貨幣政策類似，AD0 右移至 AD1。新的短期均衡點 E1 在 AD1 和 SRAS 的交點。Y 增加，P 上升。]

C. 擴張性財政政策 (減稅 T)

• 機制：
  • 減少個人所得稅 (T)：增加家庭可支配所得，刺激消費 (C)。

核心觀念

本題考古典的「通貨膨脹偏誤」與「裁量政策和承諾政策」：

• 中央銀行的損失函數為
  $V=\lambda(u-u^*)^2+\frac12(\pi-\pi^*)^2.$
• 菲利普斯曲線應解讀為
  $u=u_s+v-a(\pi-\pi^e),\qquad a>0,$
  其中 $u_s$ 為自然失業率，$v$ 為平均數為零的失業衝擊，且公眾先形成 $\pi^e$，中央銀行觀察到 $v$ 後決定 $\pi$。
• 題目設定 $u^*<u_s$，表示中央銀行希望失業率低於自然失業率，因此在裁量下會有提高通貨膨脹率的誘因。

以下採用 $E(v)=0$，並以理性預期 $E(\pi)=\pi^e$ 分析。

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一、裁量政策（Discretion）

解題方法

裁量政策下，公眾已經形成 $\pi^e$，中央銀行觀察到衝擊 $v$ 後，選擇當期通貨膨脹率 $\pi$，使當期損失函數最小。

將菲利普斯曲線代入：

$$u-u^*=u_s+v-u^*-a(\pi-\pi^e).$$

因此中央銀行解決：

$$\min_{\pi}\left\{ \lambda [u_s+v-u^*-a(\pi-\pi^e)]^2 +\frac12(\pi-\pi^*)^2 \right\}.$$

最適通貨膨脹率

對 $\pi$ 微分並令其等於零：

$$-2\lambda a(u-u^*)+(\pi-\pi^*)=0.$$

所以：

$$\pi-\pi^*=2\lambda a(u-u^*).$$

再配合菲利普斯曲線：

$$u=u_s+v-a(\pi-\pi^e).$$

令

$$D=1+2\lambda a^2.$$

可得裁量下的通貨膨脹率：

$$\pi = \frac{\pi^*+2\lambda a(u_s+v-u^*+a\pi^e)} {1+2\lambda a^2}.$$

由理性預期，$\pi^e=E(\pi)$。對上式取期望，並利用 $E(v)=0$：

$$\pi^e = \frac{\pi^*+2\lambda a(u_s-u^*+a\pi^e)} {1+2\lambda a^2}.$$

整理後，$2\lambda a^2\pi^e$ 兩側抵消，得到：

$$\boxed{\pi^e=\pi^*+2\lambda a(u_s-u^*)}.$$

代回通貨膨脹率：

$$\boxed{ \pi = \pi^*+2\lambda a(u_s-u^*) +\frac{2\lambda a}{1+2\lambda a^2}v }.$$

因此，無衝擊時 $v=0$ 的均衡通貨膨脹率為：

$$\boxed{\pi_D=\pi^*+2\lambda a(u_s-u^*)}.$$

最適失業率

由菲利普斯曲線：

$$u = u_s+v-a(\pi-\pi^e).$$

而

$$\pi-\pi^e = \frac{2\lambda a}{1+2\lambda a^2}v.$$

故：

$$\boxed{ u_D = u_s+\frac{1}{1+2\lambda a^2}v }.$$

無衝擊時：

$$\boxed{u_D=u_s}.$$

$u^*$ 對裁量均衡的影響

由

$$\pi_D=\pi^*+2\lambda a(u_s-u^*)$$

可知：

$$\frac{\partial \pi_D}{\partial u^*}=-2\lambda a<0.$$

因此，$u^*$ 越低，中央銀行追求低失業率的動機越強，所造成的通貨膨脹偏誤越大。

但在理性預期下，公眾已預期這種通貨膨脹，故預期通貨膨脹不會持續降低失業率。無衝擊時：

$$\boxed{u_D=u_s}$$

所以降低 $u^*$ 只會提高均衡通貨膨脹率，不會使均衡失業率低於自然失業率。

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二、承諾政策（Commitment）

解題方法

承諾政策下，中央銀行事前公布並確實執行政策規則，因此公眾可以根據政策規則形成預期。中央銀行必須將「通貨膨脹預期會隨政策規則改變」納入考量，不能在事後任意製造意外通貨膨脹。

令

$$m=E(\pi)=\pi^e.$$

由菲利普斯曲線：

$$u=u_s+v-a(\pi-m).$$