本題考查國民所得帳（National Income Accounts）中，GDP的計算原則。GDP衡量的是一國在特定期間內，生產的所有最終財貨與勞務的市場價值。

(A) 去年製造的口罩完成品，其價值應計入去年的GDP。今年銷售出去僅是所有權的轉移，不計入今年的GDP。
(B) 本國政府購買外國疫苗，這是服務的進口，應計入G（政府消費支出），但同時也應從NX（淨出口）中扣除（因為是進口），因此對GDP的總體影響是零。

本題考查中央銀行的可信度（credibility）及其影響因素。中央銀行的可信度是指公眾對中央銀行能夠實現其政策目標（如物價穩定）的信任程度。

(A) 中央銀行若能信守承諾，例如承諾將通膨維持在某個目標水準，並實際達成，就能逐步建立聲譽（reputation），進而提升可信度。這是建立可信度的最直接方式。
(B) 這種做法顯示中央銀行決策猶豫不決，並且可能受到短期市場波動的影響，這會降低其可信度，而不是增加。

本題考查實質匯率（real exchange rate）與淨出口（net exports）之間的關係。實質匯率是兩種貨幣的相對購買力，反映了國內商品與國外商品之間的相對價格。

實質匯率的定義通常為：$E_R = E \frac{P}{P^*}$，其中 $E$ 為名目匯率（本國貨幣/外國貨幣），$P$ 為國內物價水準，$P^*$ 為外國物價水準。

本題考查Solow成長模型的核心概念，即決定長期經濟成長和生活水準（人均產出）持續提高的因素。

Solow模型的基本思想是，在沒有技術進步的情況下，儲蓄率和人口增長率會影響穩態時的人均資本和人均產出。然而，儲蓄率的提高或資本積累本身，只會導致人均產出的暫時性加速成長，最終會達到一個更高的穩態，但無法實現「持續」的提高。

本題考查勞動市場的均衡，特別是失業率、勞工流失率和尋職成功率之間的關係。在一個穩態的勞動市場中，失業人口的變動為零，這意味著勞工失去工作的數量等於失業勞工找到工作的數量。

設：
$L$ = 總勞動力 (固定)
$E$ = 就業勞工人數
$U$ = 失業勞工人數
$u = U/L$ = 失業率
$s$ = 就業勞工每月失去工作的比例 (separation rate)
$f$ = 失業勞工每月找到工作的比例 (finding rate / job finding rate)

題目給定：
$u = 5\% = 0.05$
$s = 0.01$ (每個月，就業勞工的 1% 失去工作)

在穩態下，勞動市場的變動為零。這表示：
(就業勞工失去工作的數量) = (失業勞工找到工作的數量)
$s \times E = f \times U$

本題考查效率工資（efficiency wages）理論。效率工資理論認為，廠商支付高於市場均衡工資的工資，可以激勵勞工提高生產力、減少流動率，從而降低總生產成本。

當廠商支付效率工資時，他們支付的工資高於勞動市場的均衡工資。這意味著：

1. 吸引更多勞工：許多勞工願意為了獲得更高的工資而提供更好的服務或更努力工作。
2. 減少勞工流動：勞工因為高工資而不願意輕易離職，降低了廠商的招聘和培訓成本。
3. 提高生產力：高工資可能激勵勞工更努力工作，或者使廠商能夠更嚴格地要求勞工提高效率。

本題考查總體經濟學中，利用生產函數的成長會計恆等式（growth accounting identity）來計算產出成長率。

假設生產函數為 $Y = F(K, L)$，其中 $Y$ 為總產出，$K$ 為資本，$L$ 為勞動力。
若生產函數為柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）形式，且考慮外生技術進步 $A$，則可寫為 $Y = A K^\alpha L^{1-\alpha}$，其中 $\alpha$ 是資本份額（capital share），$1-\alpha$ 是勞動份額（labor share）。
對此函數進行對數微分，可以得到產出成長率與各要素成長率之間的關係：
$\frac{\dot{Y}}{Y} = \frac{\dot{A}}{A} + \alpha \frac{\dot{K}}{K} + (1-\alpha) \frac{\dot{L}}{L}$

本題考查大型開放經濟體（large open economy）的儲蓄、投資與國際收支之間的關係。

在一個開放經濟體中，國民儲蓄（National Saving, $S$）可以被用於國內投資（Domestic Investment, $I$）或購買外國資產（資本淨流出，Net Capital Outflow, $NCO$）。因此，總體經濟恆等式為：
$S = I + NCO$

在一個大型開放經濟體中，利率是由全球市場決定的，因此該國的利率 $r$ 必須等於世界利率 $r^*$。這個利率 $r^*$ 決定了國內投資 $I$ 的水準（因為 $I$ 是 $r$ 的遞減函數）以及國內儲蓄 $S$ 的水準（因為 $S$ 也是 $r$ 的遞減函數，但在此模型中，儲蓄函數通常視為外生或只與利率有較弱的關聯，更重要的是，儲蓄和投資的相對關係決定了資本淨流出）。

當 $S > I$ 時，國內儲蓄超過國內投資，多餘的儲蓄將流向國外，即 $NCO > 0$。
當 $S < I$ 時，國內儲蓄不足以支應國內投資，需要從國外借款，即 $NCO < 0$ (資本淨流入)。

本題考查政府政策如何影響生產力（productivity）的增長。生產力增長通常與技術進步、人力資本投資、創新和效率提升有關。

(A) 增加福利支出給私部門，雖然可能對總需求或所得分配有影響，但通常不直接或顯著地提高生產力增長率。
(B) 增加貨幣供給量主要影響總需求、物價水準和利率，對生產力增長的直接影響不大。過度的貨幣供給可能導致高通膨，反而不利於長期投資和生產力。

本題考查交易方程式（Quantity Theory of Money）及其變形，特別是所得流通速度（income velocity of money）的概念。

交易方程式的基本形式是 $MV = PT$，其中：
$M$ = 名目貨幣供給量
$V$ = 貨幣的交易流通速度（velocity of transactions）
$P$ = 物價水準
$T$ = 交易的總量（通常用實質GDP或總產出來近似）

另一種常見的變形是劍橋方程式或所得流通速度的形式：$MV_y = PY$，其中：
$M$ = 名目貨幣供給量
$V_y$ = 貨幣的所得流通速度（velocity of income）
$P$ = 物價水準
$Y$ = 實質GDP（總產出）

題目假設「在短期下,產出和物價沒有明顯改變」。這意味著 $P$ 和 $Y$ 都是相對固定的。
同時，題目提到「當人們想要持有貨幣時」。在貨幣學中，「持有貨幣」通常意味著人們對貨幣的需求增加（demand for money increases）。

本題考查決定一個經濟體長期總生產水準的關鍵因素。總生產水準通常由總供給（Aggregate Supply, AS）決定，而在長期，總供給主要由生產要素的可利用性及其效率決定。

(A) 資本（$K$）、自然失業率（或稱非加速通貨膨脹的失業率 NAIRU，代表勞動市場的充分就業水準）和生產技術（Technology, $A$）是長期總生產水準（或潛在產出，Potential Output）的決定性因素。在生產函數 $Y = A F(K, L)$ 中，$A$ 代表技術，$K$ 代表資本，$L$ 代表勞動。自然失業率則決定了穩態時的勞動參與率和就業水準。

本題考查平衡通貨膨脹率（breakeven inflation rate）的含義。平衡通貨膨脹率是名目公債殖利率（nominal bond yield）與抗通膨公債（inflation-indexed bond）殖利率之間的差額，它反映了市場對未來通貨膨脹的預期。

對於美國的五年期公債，其平衡通貨膨脹率的計算方式是：
Breakeven Inflation Rate = Nominal 5-year Treasury Yield - Real 5-year Treasury Yield (TIPS Yield)

本題考查小型開放經濟體（small open economy）的儲蓄、投資與國際資本流動。

在小型開放經濟體中，利率由世界利率決定，國內利率等於世界利率。
國民所得恆等式為：$S = I + NCO$
其中：
$S$ = 國民儲蓄
$I$ = 國內投資
$NCO$ = 資本淨流出（Net Capital Outflow）

題目提到「國內投資超過國內儲蓄」，即 $I > S$。
由恆等式 $S = I + NCO$，我們可以推導出 $NCO = S - I$。
因為 $I > S$，所以 $S - I < 0$，即 $NCO < 0$。

本題考查人力資本（human capital）的定義與例子。人力資本是指個人所擁有的，能夠提升生產力的知識、技能、健康和其他特質的總稱。

(A) 提高人口出生率，通常與人口總量的增加有關，但本身並不直接提升個體在教育、技能或健康方面的投入，因此不是人力資本形成的例子。事實上，過高的人口出生率在資源有限的情況下，反而可能稀釋對每個人力資本的投資。

本題考查犧牲率（sacrifice ratio）的概念，以及其與勞動市場彈性（工資調整速度）的關係。

犧牲率是指為了使通貨膨脹率下降一個百分點，而需要付出的實際GDP損失的百分比。
$Sacrifice Ratio = \frac{\Delta Y / Y}{\Delta \pi}$ （其中 $\Delta Y$ 是實際GDP的變動，$\Delta \pi$ 是通貨膨脹率的變動，通常是下降一個百分點）。

在傳統的菲利浦斯曲線（Phillips Curve）模型中，通貨膨脹與失業率（或產出缺口）之間存在權衡關係。

核心觀念

本題考查 Solow 成長模型中的：

• 人均生產函數；
• 商品市場均衡；
• 人均資本累積方程式；
• 靜止均衡條件；
• 勞動人口成長與資本折舊造成的「損耗投資」；
• 靜止均衡下的人均變數與總量變數之成長率。

生產函數為 Cobb-Douglas 型：

$$Y=AK^\alpha L^{1-\alpha},\qquad 0<\alpha<1$$

由於沒有技術進步，$A$ 為常數；勞動人口成長率為

$$n=\frac{\dot L}{L}=1\%=0.01$$

儲蓄率與折舊率分別為

$$s=0.1,\qquad \delta=0.05$$

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(1) 人均商品市場均衡條件

定義人均產出與人均資本：

$$y=\frac{Y}{L},\qquad k=\frac{K}{L}$$

將生產函數除以 $L$：

$$\frac{Y}{L} =A\frac{K^\alpha L^{1-\alpha}}{L} =A\left(\frac KL\right)^\alpha$$

因此，人均生產函數為：

$$y=f(k)=Ak^\alpha$$

商品市場均衡為：

$$Y=C+I$$

以每人表示：

$$y=c+i$$

其中，儲蓄率為 $s$，因此：

$$i=sy$$

代入人均生產函數，可得：

$$i=sAk^\alpha$$

消費為：

$$c=(1-s)y=(1-s)Ak^\alpha$$

所以人均商品市場均衡條件為：

$$\boxed{y=c+i=Ak^\alpha}$$

其中：

$$\boxed{i=sAk^\alpha,\qquad c=(1-s)Ak^\alpha}$$

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(2) 均衡圖形與經濟成長率的動態演變

人均資本累積方程式

總資本累積方程式為：

$$\dot K=I-\delta K$$

由於 $I=sY$，因此：

$$\dot K=sY-\delta K$$

又因為 $k=K/L$，對時間微分：

$$\dot k=\frac{\dot K}{L}-\frac{K}{L}\frac{\dot L}{L}$$

因此：

$$\dot k=\frac{\dot K}{L}-nk$$

代入資本累積式：

$$\dot k=sy-(n+\delta)k$$

再代入 $y=Ak^\alpha$：

$$\boxed{\dot k=sAk^\alpha-(n+\delta)k}$$

本題中：

$$n+\delta=0.01+0.05=0.06$$

故：

$$\boxed{\dot k=0.1Ak^\alpha-0.06k}$$

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均衡圖形

以 $k$ 為橫軸，縱軸繪出：

• 實際投資：$sAk^\alpha$；
• 損耗投資：$(n+\delta)k$。

其中，$sAk^\alpha$ 是遞增且凹向下的曲線；$(n+\delta)k$ 是通過原點的直線。

縱軸
 ^
 |                 sAk^α
 |              ／
 |           ／
 |        ／
 |     ／
 |   ／
 | ／
 |/____________________________> k
 |        ／ (n+δ)k
 |      ／
 |    ／
 |  ／
 |
          k*

兩條曲線交點為靜止均衡 $k^*$，其條件為：

$$sAk^{*\alpha}=(n+\delta)k^*$$

因此：

$$\boxed{k^*=\left(\frac{sA}{n+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}}$$

本題代入參數：

$$\boxed{k^*=\left(\frac{0.1A}{0.06}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}}$$

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核心觀念

本題考查：

• 家戶的跨期消費選擇與 Euler equation。
• Fisher Equation 將名目利率轉換為實質利率。
• 政府以租稅或公債融通支出時的商品市場與可貸資金市場均衡。
• Ricardian Equivalence 是否成立。

令

$$x_i \equiv \frac{S_i}{P_0}$$

表示家戶 $i$ 的第 0 期實質儲蓄。若 $x_i<0$，代表家戶借款。

由 Fisher Equation：

$$1+R_0=(1+r_0)\frac{P_1}{P_0}$$

可將家戶預算限制式改寫為實質形式：

$$C_{i0}+x_i+T_{i0}=Y_{i0}$$ $$C_{i1}+T_{i1}=Y_{i1}+(1+r_0)x_i$$

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一、家戶消費函數與實質儲蓄函數

1. Euler equation

家戶的效用函數為：

$$u(C)=\ln C$$

因此跨期最適化的一階條件為：

$$\frac{1}{C_{i0}} = \beta(1+r_0)\frac{1}{C_{i1}}$$

所以：

$$C_{i1}=\beta(1+r_0)C_{i0}$$

2. 合併跨期預算限制式

由第 0 期預算限制式：

$$x_i=Y_{i0}-T_{i0}-C_{i0}$$

代入第 1 期預算限制式：

$$C_{i1}+T_{i1} = Y_{i1}+(1+r_0)(Y_{i0}-T_{i0}-C_{i0})$$

也可直接寫成：

$$C_{i0} + \frac{C_{i1}+T_{i1}}{1+r_0} = Y_{i0}-T_{i0} + \frac{Y_{i1}}{1+r_0}$$

將

$$C_{i1}=\beta(1+r_0)C_{i0}$$

代入後，得到第 0 期消費函數：

$$\boxed{ C_{i0} = \frac{ Y_{i0}-T_{i0} + \dfrac{Y_{i1}-T_{i1}}{1+r_0} }{1+\beta} }$$

第 1 期消費函數為：

$$\boxed{ C_{i1} = \frac{ \beta\left[ Y_{i1}-T_{i1} + (1+r_0)(Y_{i0}-T_{i0}) \right] }{1+\beta} }$$

實質儲蓄函數為：

$$\frac{S_i}{P_0} = Y_{i0}-T_{i0}-C_{i0}$$

因此：

$$\boxed{ \frac{S_i}{P_0} = \frac{ \beta(Y_{i0}-T_{i0}) - \dfrac{Y_{i1}-T_{i1}}{1+r_0} }{1+\beta} }$$

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二、數值分析

已知：

$$\beta=0.8$$

因此：

$$1+\beta=1.8$$

三位家戶的總稟賦為：

$$\sum_iY_{i0}=180+270+360=810$$ $$\sum_iY_{i1}=450+360+90=900$$

政府第 0 期支出為 $G_0=72$，第 1 期支出為 $G_1=162$。

商品市場均衡條件為：

$$\sum_i C_{i0}+G_0=\sum_iY_{i0}$$

因此：

$$\sum_i C_{i0}=810-72=738$$

可貸資金市場中，家戶儲蓄等於政府公債發行量：

$$\sum_i\frac{S_i}{P_0}=B_0$$

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（a）第 0 期完全由定額稅融通

1. 稅賦分配

因為第 0 期支出完全由租稅因應：

$$T_0=72,\qquad B_0=0$$

第 1 期沒有第 0 期公債需要償還，因此：

$$T_1=G_1=162$$

稅賦由家戶 D 負擔於第 0 期、家戶 A 負擔於第 1 期：

家戶	$Y_{i0}-T_{i0}$	$Y_{i1}-T_{i1}$
A	$180$	$450-162=288$
B	$270$	$360$
D	$360-72=288$	$90$

2. 可貸資金市場均衡

因為 $B_0=0$，家戶總實質儲蓄為零：

$$\sum_i\frac{S_i}{P_0}=0$$

代入儲蓄函數：

$$\frac{ 0.8(180+270+288) - \dfrac{288+360+90}{1+r_0} }{1.8} =0$$

即：

$$0.8(738)-\frac{738}{1+r_0}=0$$ $$1+r_0=\frac{1}{0.8}=1.25$$

所以：

$$\boxed{r_0=0.25}$$

3. 各家戶第 0 期消費

此時：

$$\frac{1}{1+r_0}=\frac{1}{1.25}=0.8$$

家戶 A：

$$C_{A0} = \frac{180+\dfrac{288}{1.25}}{1.8} = \frac{180+230.4}{1.8} = \boxed{228}$$

家戶 B：

$$C_{B0} = \frac{270+\dfrac{360}{1.25}}{1.8} = \frac{270+288}{1.8} = \boxed{310}$$

家戶 D：

$$C_{D0} = \frac{288+\dfrac{90}{1.25}}{1.8} = \frac{288+72}{1.8} = \boxed{200}$$

總消費為：

$$228+310+200=738$$

符合商品市場均衡。

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（b）第 0 期完全由公債融通

1. 政府預算限制式

第 0 期完全由公債融通：

$$B_0=72,\qquad T_0=0$$

第 1 期政府必須償還本金與利息，因此：

$$T_1=G_1+(1+r_0)B_0$$ $$T_1=162+72(1+r_0)$$

第 1 期稅賦全部由家戶 A 負擔。

核心觀念

本題結合以下觀念：

1. 廠商跨期利潤極大化。
2. 外部融資造成的信用利差，使第 0 期支出不只具有原始成本，還產生額外融資成本。
3. Fisher Equation 將名目利率、實質利率與預期通膨連結。
4. 商品市場均衡：
   $Y_0=C_0+I_0$
5. 勞動市場均衡與 Classical Dichotomy。

題目列示的式子中，參數 $\phi$ 未實際出現在約束式；但第 2 題明確要求分析 $\psi$ 與 $\phi$，因此以下採用合理且標準的校正版：

$$B_0=(1-\psi)w_0N_0+(1-\phi)I_0$$

其中，$\psi$ 為勞動支出自有資金比例，$\phi$ 為投資支出自有資金比例。

另外，題目文字將貸款利率寫成：

$$1+r_0^{L}=(1+r_0)(1+x_0)$$

以下以 $r_0$ 表示存款實質利率，以 $r_0^L$ 表示貸款實質利率。

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一、廠商的投資函數與勞動需求函數

1. 將廠商問題改寫成現值形式

令 $\delta=1$，因此：

$$K_1=I_0$$

第 1 期貸款本息的現值為：

$$\frac{(1+r_0^L)B_0}{1+r_0} = (1+x_0)B_0$$

廠商的目標函數可改寫為：

$$\max_{N_0,I_0} \left[ Y_0-w_0N_0-\psi I_0 \right] + \frac{Y_1-w_1N_1+K_1}{1+r_0} - (1+x_0)B_0$$

代入 $B_0$：

$$\max_{N_0,I_0} \left[ Y_0-w_0N_0-\psi I_0 \right] + \frac{Y_1-w_1N_1+I_0}{1+r_0} - (1+x_0) \left[ (1-\psi)w_0N_0+(1-\phi)I_0 \right]$$

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2. 勞動需求函數

對 $N_0$ 微分：

$$\frac{\partial \Pi}{\partial N_0} = \frac{\partial Y_0}{\partial N_0} -w_0 -(1+x_0)(1-\psi)w_0 =0$$

因此：

$$\frac{\partial Y_0}{\partial N_0} = w_0 \left[ 1+(1+x_0)(1-\psi) \right]$$

生產函數為：

$$Y_0=AK_0^\alpha N_0^{1-\alpha}$$

所以：

$$\frac{\partial Y_0}{\partial N_0} = (1-\alpha)AK_0^\alpha N_0^{-\alpha}$$

令

$$Q_0\equiv 1+(1+x_0)(1-\psi)$$

則勞動需求條件為：

$$(1-\alpha)AK_0^\alpha N_0^{-\alpha} = Q_0w_0$$

整理得：

$$\boxed{ N_0^d = \left[ \frac{(1-\alpha)AK_0^\alpha} {w_0\left[1+(1+x_0)(1-\psi)\right]} \right]^{1/\alpha} }$$

可見信用利差越高，聘僱勞工的有效成本越高，因此勞動需求下降。

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3. 投資函數

對 $I_0$ 微分：

$$-\psi + \frac{1+\dfrac{\partial Y_1}{\partial K_1}} {1+r_0} - (1+x_0)(1-\phi) =0$$

因此：

$$\frac{1+\mathrm{MPK}_1}{1+r_0} = \psi+(1+x_0)(1-\phi)$$

其中：

$$\mathrm{MPK}_1 = \frac{\partial Y_1}{\partial K_1} = \alpha AK_1^{\alpha-1}N_1^{1-\alpha}$$

由於 $\delta=1$，$K_1=I_0$，故：

$$\mathrm{MPK}_1 = \alpha AI_0^{\alpha-1}N_1^{1-\alpha}$$

代入投資一階條件：

$$\alpha AI_0^{\alpha-1}N_1^{1-\alpha} = (1+r_0) \left[ \psi+(1+x_0)(1-\phi) \right]-1$$

因此投資函數為：

$$\boxed{ I_0 = \left\{ \frac{\alpha AN_1^{1-\alpha}} {(1+r_0)\left[\psi+(1+x_0)(1-\phi)\right]-1} \right\}^{1/(1-\alpha)} }$$

這個函數成立的前提是分母為正：

$$(1+r_0)\left[\psi+(1+x_0)(1-\phi)\right]>1$$

投資的經濟意義是：投資的邊際報酬必須等於投資的邊際融資成本。

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二、當 $x_0=0$ 時，$\psi$ 與 $\phi$ 的影響

當 $x_0=0$ 時：

$$Q_0=1+(1-\psi)=2-\psi$$

而投資的一階條件變成：

$$\frac{1+\mathrm{MPK}_1}{1+r_0} = \psi+(1-\phi) = 1+\psi-\phi$$

1. $\psi$ 對勞動需求的影響

勞動需求為：

$$N_0^d = \left[ \frac{(1-\alpha)AK_0^\alpha} {w_0(2-\psi)} \right]^{1/\alpha}$$

因此：

$$\frac{\partial N_0^d}{\partial \psi}>0$$

原因是 $\psi$ 越高，代表廠商能以自有資金支付較高比例的勞動成本，必須借款支付的勞動支出越少，勞動的有效成本下降，所以勞動需求增加。

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2. $\phi$ 對勞動需求的影響

勞動需求式中沒有 $\phi$：

$$N_0^d = \left[ \frac{(1-\alpha)AK_0^\alpha} {w_0(2-\psi)} \right]^{1/\alpha}$$

因此：

$$\boxed{ \frac{\partial N_0^d}{\partial \phi}=0 }$$

原因是 $\phi$ 只影響投資支出的融資比例，不影響勞動支出的融資比例。

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3. $\psi$ 對投資的影響

投資的一階條件為：

$$\frac{1+\mathrm{MPK}_1}{1+r_0} = 1+\psi-\phi$$

$\psi$ 越高，投資的自有資金支付比例越高，但在本題的記號設定下，投資的當期自有資金成本 $\psi$ 上升；因此投資的有效邊際成本上升，投資下降：

$$\boxed{ \frac{\partial I_0}{\partial \psi}<0 }$$

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4. $\phi$ 對投資的影響

$\phi$ 越高，表示廠商以自有資金支付的投資比例越高，必須借款的投資比例越低。由於借款利率高於存款利率，降低借款比例會降低投資的融資成本。

由投資一階條件：

$$1+\psi-\phi$$

可知 $\phi$ 上升會使右側下降，因此投資增加：

$$\boxed{ \frac{\partial I_0}{\partial \phi}>0 }$$

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小結

參數變化	投資 $I_0$	勞動需求 $N_0$
$\psi$ 上升	下降	上升
$\phi$ 上升	上升	不變

快速判斷方式是：

• $\psi$ 出現在勞動融資成本與投資融資成本，因此同時影響 $N_0$ 與 $I_0$。
• $\phi$ 只出現在投資融資成本，因此只影響 $I_0$。

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三、當 $x_0>0$ 時

（a）第 0 期 Goods Demand

1. Fisher Equation

題目給定：

$$1+R_0=(1+r_0)\frac{P_1}{P_0}$$

又因為：

$$\pi_1=\frac{P_1-P_0}{P_0}$$

所以：

$$\frac{P_1}{P_0}=1+\pi_1$$

因此：

$$1+r_0 = \frac{1+R_0}{1+\pi_1}$$

或：

$$\boxed{ r_0=\frac{1+R_0}{1+\pi_1}-1 }$$

在 $R_0$ 與 $\pi_1$ 給定下，實質利率 $r_0$ 由 Fisher Equation 決定。

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2. 消費與投資

政府支出為零，商品市場總需求為：

$$Y_0^d=C_0+I_0$$

消費函數為：

$$C_0=a+bY_0$$

因此：

$$Y_0^d=a+bY_0+I_0(r_0,x_0)$$

將需求方程整理為均衡所得形式：

$$Y_0-bY_0=a+I_0(r_0,x_0)$$

所以：

$$\boxed{ Y_0^d = \frac{a+I_0(r_0,x_0)}{1-b} }$$

其中：

$$r_0=\frac{1+R_0}{1+\pi_1}-1$$

故 Goods Demand 為：

$$\boxed{ Y_0^d = \frac{ a+ I_0\left( \dfrac{1+R_0}{1+\pi_1}-1,\, x_0 \right) }{1-b} }$$

由於利率越高會提高投資融資成本，因此：

$$\frac{\partial I_0}{\partial r_0}<0$$

故：

$$\frac{\partial Y_0^d}{\partial r_0}<0$$

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核心觀念

本題考查家戶的跨期消費選擇與實質貨幣需求。關鍵做法是把兩期預算合併成一條終身預算限制，再由一階條件求出消費與貨幣需求。

依 Fisher 方程式，

$$1+R_0=(1+r_0)\Pi_1, \qquad \Pi_1=\frac{P_1}{P_0}.$$

持有一單位實質貨幣 $M_0^i/P_0$，會在第 $1$ 期帶來 $1/\Pi_1$ 單位實質購買力；若將同額資金用於實質儲蓄，則可得 $1+r_0$。因此，持有貨幣相對於儲蓄的現值成本為

$$q_m =1-\frac{1}{(1+r_0)\Pi_1} =\frac{R_0}{1+R_0}.$$

以下採用內點解，假設 $R_0>0$，且家戶的終身淨財富為正。

解題方法

令家戶 $i$ 的終身淨財富為

$$W^i = Y_0^i+\tau_0^i-T_0^i + \frac{Y_1^i+\tau_1^i-T_1^i}{1+r_0}.$$

將第 $1$ 期預算式除以 $1+r_0$，再與第 $0$ 期預算式合併，可得

$$C_0^i +\frac{C_1^i}{1+r_0} +q_m\frac{M_0^i}{P_0} =W^i.$$

設 $x^i=M_0^i/P_0$。拉格朗日一階條件可寫成

$$\frac{1}{C_0^i}=\lambda, \qquad \frac{\beta}{C_1^i}=\frac{\lambda}{1+r_0}, \qquad \frac{1}{x^i}=\lambda q_m.$$

因此，

$$C_1^i=\beta(1+r_0)C_0^i, \qquad q_m x^i=C_0^i.$$

代回終身預算限制：

$$C_0^i+\beta C_0^i+C_0^i=W^i,$$

所以

$$C_0^i=\frac{W^i}{2+\beta}.$$

進一步得到各項函數。

各項函數

第 $0$ 期消費：

核心觀念

市場均衡要求各市場的總需求等於總供給。本題沒有政府購買支出；政府只有移轉、課稅、發債與發行貨幣。將家戶與政府的預算限制加總後，移轉與定額稅會抵銷；在公債與貨幣市場清算下，公債與貨幣項也會抵銷。

解題方法

令 $M_0^d=M_0^A+M_0^B$ 為兩位家戶的貨幣總需求。將兩位家戶第 $0$ 期預算限制加總：

$$C_0^A+C_0^B+S_0^A+S_0^B+T_0+\frac{M_0^d}{P_0} = Y_0^A+Y_0^B+\tau_0.$$

政府第 $0$ 期預算為

$$\tau_0=T_0+B_0^g+\frac{M_0^s}{P_0}.$$

在公債市場清算 $S_0^A+S_0^B=B_0^g$，以及貨幣市場清算 $M_0^d=M_0^s$ 下，代入並消去移轉、稅收、公債與貨幣項，得到：

$$C_0^A+C_0^B=Y_0^A+Y_0^B.$$

第 $1$ 期家戶預算加總為