112 年 國立政治大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

核心觀念

本題結合三個部分：

1. 家計單位的勞動—休閒選擇。
2. 完全競爭廠商在固定工資率與資本租金率下的利潤極大化。
3. 一般均衡的三個市場結清條件：
   • 商品市場：總消費等於總產出。
   • 勞動市場：家計單位提供的總勞動等於廠商雇用的勞動。
   • 資本市場：家計單位提供的總資本等於廠商使用的資本。

生產函數具有固定規模報酬，因此在完全競爭下，廠商均衡利潤為零。

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(i) 家計單位效用極大化

每家家計單位的勞動所得為 $wl$，資本租金所得為 $r$，廠商利潤分配為 $\pi/100$。因此，家計單位的預算限制為

$$c=wl+r+\frac{\pi}{100}.$$

家計單位的問題為

$$\max_{c,l}\quad \phi\ln c+(1-\phi)\ln(1-l)$$

subject to

$$c=wl+r+\frac{\pi}{100}, \qquad 0\leq l\leq 1.$$

令

$$M=r+\frac{\pi}{100},$$

則預算限制可寫為

$$c=wl+M.$$

將其代入效用函數，對 $l$ 求一階條件：

$$\frac{\phi w}{wl+M}-\frac{1-\phi}{1-l}=0.$$

因此

$$\phi w(1-l)=(1-\phi)(wl+M).$$

整理得

$$\phi w-wl=(1-\phi)M,$$

所以最適勞動供給為

$$l=\phi-\frac{1-\phi}{w} \left(r+\frac{\pi}{100}\right).$$

再代回預算限制：

$$c=w\left[ \phi-\frac{1-\phi}{w} \left(r+\frac{\pi}{100}\right) \right] +r+\frac{\pi}{100}.$$

整理後得到最適消費：

$$c=\phi\left(w+r+\frac{\pi}{100}\right).$$

因此，家計單位的最適選擇為

$$\boxed{ l=\phi-\frac{1-\phi}{w} \left(r+\frac{\pi}{100}\right) }$$

以及

$$\boxed{ c=\phi\left(w+r+\frac{\pi}{100}\right) }.$$

其中假設均衡為內點解，即 $0<l<1$。

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(ii) 代表性廠商的利潤極大化

商品價格已單位化為 $1$，廠商利潤為

$$\pi=AL^\alpha K^{1-\alpha}-wL-rK.$$

因此廠商問題為

$$\max_{L,K}\quad AL^\alpha K^{1-\alpha}-wL-rK.$$

對 $L$ 求一階條件：

$$\frac{\partial\pi}{\partial L} = \alpha A L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}-w=0.$$

所以

$$\boxed{ w=\alpha A L^{\alpha-1}K^{1-\alpha} }.$$

對 $K$ 求一階條件：

$$\frac{\partial\pi}{\partial K} = (1-\alpha)A L^\alpha K^{-\alpha}-r=0.$$

所以

$$\boxed{ r=(1-\alpha)A L^\alpha K^{-\alpha} }.$$

亦即，廠商雇用各項生產要素直到「要素邊際產值等於要素價格」。

由歐拉定理，因為生產函數為固定規模報酬：

$$AL^\alpha K^{1-\alpha} = wL+rK.$$

故均衡利潤為

$$\boxed{\pi=0}.$$

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(iii) 一般均衡與市場結清

一般均衡是指在給定價格 $(w,r)$ 下，家計單位與廠商各自最適化，且所有市場同時結清。

1. 商品市場

共有 $100$ 家相同家計單位，故總消費為 $100c$。商品市場結清條件為

$$\boxed{100c=Y}.$$

其中

$$Y=AL^\alpha K^{1-\alpha}.$$

2. 勞動市場

每家提供 $l$ 單位勞動，共有 $100$ 家，因此總勞動供給為 $100l$。勞動市場結清條件為

$$\boxed{L=100l}.$$

3. 資本市場

每家擁有一單位資本，共有 $100$ 家，因此總資本供給為 $100$。資本市場結清條件為

$$\boxed{K=100}.$$

此外，廠商為完全競爭且採用固定規模報酬生產函數，因此

$$\boxed{\pi=0}.$$

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(iv) 均衡解

第一步：求均衡勞動量

由資本市場結清：

$$K=100.$$

由勞動市場結清：

$$L=100l.$$

將兩者代入廠商的一階條件。

工資率為

本題主要探討貝佛里奇曲線（Beveridge Curve），這是總體經濟學中用來分析勞動市場結構性問題與循環性波動的重要工具。

核心觀念：

1. 貝佛里奇曲線：描繪失業率（U）與職位空缺率（V）之間的反向關係。
2. 斜率與截距的經濟意涵：反映勞動市場的效率。
3. 曲線的移動：代表勞動市場結構性問題的變化。
4. 實質景氣循環理論（RBC）：強調技術衝擊對經濟的影響。

解題步驟：

(i) 貝佛里奇曲線的斜率和截距的經濟意涵

貝佛里奇曲線（Beveridge Curve）描繪了失業率 (Unemployment Rate, U) 與職位空缺率 (Vacancy Rate, V) 之間的關係。通常，這兩者之間存在負相關關係。當經濟景氣好時，企業需要更多勞動力，職位空缺增加，同時失業率下降；反之，景氣差時，職位空缺減少，失業率上升。

• 斜率 (Slope)：
  貝佛里奇曲線的斜率代表了勞動市場的「效率」或「匹配效率」（Matching Efficiency）。更具體地說，它反映了在給定的職位空缺和失業人數下，有多少比例能夠成功匹配（即，職位被填補，失業被消除）。

  • 較陡峭的斜率（絕對值較小）： 表示勞動市場的匹配效率較高。意思是，即使失業人數相對較多，或者職位空缺相對較少，勞動市場也能相對有效地將失業勞動者匹配到職位上。
  • 較平緩的斜率（絕對值較大）： 表示勞動市場的匹配效率較低。意思是，在相同的職位空缺和失業人數下，成功匹配的比例較小，需要更多的時間和資源來完成匹配。

• 截距 (Intercept)：
  貝佛里奇曲線的截距（通常是縱軸的截距，即當失業率為零時的職位空缺率，或橫軸的截距，即當職位空缺率為零時的失業率）代表了勞動市場的「結構性失業」或「摩擦性失業」的程度。

  • 縱軸截距（V-intercept）： 當失業率 $U=0$ 時的職位空缺率 $V$。理論上，如果勞動市場完全有效率且沒有結構性問題，當所有人都找到工作時，職位空缺應該為零。然而，現實中總會有一定數量的職位空缺，這代表了市場的摩擦性或結構性失業。
  • 橫軸截距（U-intercept）： 當職位空缺率 $V=0$ 時的失業率 $U$。這代表了即使沒有任何職位空缺，仍然存在的失業人數。這部分失業也反映了結構性失業，例如勞動者技能與市場需求不符，或者地理位置不匹配等。

  更常見的解釋是，當經濟處於其潛在產出水平時，貝佛里奇曲線上的點代表了該水平下的失業率和職位空缺率。曲線的「位置」反映了結構性失業的程度。如果曲線向右上移動（即，在相同的失業率下，職位空缺率更高，或在相同的職位空缺率下，失業率更高），則表明結構性失業有所增加。

【答案】

• 斜率： 代表勞動市場的匹配效率。斜率的絕對值越小，匹配效率越高。
• 截距： 代表結構性失業或摩擦性失業的程度。截距的位置反映了勞動市場的結構性問題。

(ii) 大蕭條之後與新冠肺炎疫情之後貝佛里奇曲線外移的原因

Figure 1 顯示了貝佛里奇曲線在不同時期（Pre-Great Recession, Great Recession, Post-Great Recession, Post-Pandemic Recession）的變化。我們觀察到 Post-Great Recession 和 Post-Pandemic Recession 時期，曲線相對於 Great Recession 和 Pre-Great Recession 時期向右上移動（外移）。這表示在相同的失業率下，職位空缺率更高；或者在相同的職位空缺率下，失業率更高。這通常意味著勞動市場的結構性問題加劇，匹配效率下降。

• 大蕭條之後 (Post-Great Recession)：

  • 長期失業問題加劇： 金融危機導致許多人失業，其中一部分人成為長期失業。長期失業會導致勞動者技能退化、工作習慣改變、尋找工作動機下降，使得他們更難重新融入勞動市場。同時，雇主可能對長期失業者的技能和生產力感到擔憂，導致匹配難度增加。
  • 技能錯配 (Skills Mismatch)： 經濟結構的變化，例如產業的轉型（從製造業轉向服務業），導致勞動市場對勞動者技能的需求發生變化。如果勞動者的技能無法跟上這種變化，就會產生技能錯配，使得有職位空缺但缺乏合格勞動者。
  • 勞動市場彈性下降： 某些國家可能在危機後實施了更嚴格的勞動法規或工會影響力增強，降低了勞動市場的靈活性，使得企業在招聘和解僱方面更為謹慎，影響了匹配速度。

• 新冠肺炎疫情之後 (Post-Pandemic Recession)：

  • 勞動者偏好改變（“大辭職潮” Great Resignation）： 疫情期間的居家辦公、對工作生活平衡的重新思考，以及對健康和安全的關注，導致部分勞動者重新評估其工作和職業選擇。

核心觀念

本題考查 Solow 成長模型的穩態分析，重點包括：

• 生產函數化為每位勞工的生產函數。
• 資本累積方程式。
• 穩態條件：資本存量不再變動，或在技術進步下，轉換為「每單位有效勞動」後維持不變。
• Golden Rule：選擇使穩態消費最大化的儲蓄率。

假設 $0<\alpha<1$，資本累積方程式為

$$K_{t+1}=sY_t+(1-\delta)K_t.$$

其中，$sY_t$ 為投資，$\delta K_t$ 為折舊。

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（i）$g=0$ 且 $A_t=A_0$

1. 每位勞工的生產函數

定義每位勞工的資本與產出：

$$k_t=\frac{K_t}{N_t}, \qquad y_t=\frac{Y_t}{N_t}.$$

原生產函數為

$$Y_t=K_t^\alpha(A_0N_t)^{1-\alpha}.$$

兩邊除以 $N_t$：

$$y_t =\frac{K_t^\alpha(A_0N_t)^{1-\alpha}}{N_t}.$$

由於 $K_t=k_tN_t$，因此

$$y_t =(k_tN_t)^\alpha A_0^{1-\alpha}N_t^{1-\alpha}\frac{1}{N_t} =A_0^{1-\alpha}k_t^\alpha.$$

所以每位勞工的生產函數為

$$y_t=A_0^{1-\alpha}k_t^\alpha.$$

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2. 每位勞工的資本累積方程式

由資本累積式：

$$K_{t+1}=sY_t+(1-\delta)K_t.$$

除以 $N_{t+1}$，且 $N_{t+1}=(1+n)N_t$：

$$k_{t+1} =\frac{K_{t+1}}{N_{t+1}} =\frac{sY_t+(1-\delta)K_t}{(1+n)N_t}.$$

因此

$$k_{t+1} =\frac{s y_t+(1-\delta)k_t}{1+n}.$$

代入 $y_t=A_0^{1-\alpha}k_t^\alpha$：

$$k_{t+1} = \frac{sA_0^{1-\alpha}k_t^\alpha+(1-\delta)k_t}{1+n}.$$

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3. 穩態資本與產出

穩態時，每位勞工的資本不再變動，因此

$$k_{t+1}=k_t=k^*.$$

代入資本累積方程式：

$$k^* = \frac{sA_0^{1-\alpha}(k^*)^\alpha+(1-\delta)k^*}{1+n}.$$

兩邊乘以 $1+n$：

$$(1+n)k^* =sA_0^{1-\alpha}(k^*)^\alpha+(1-\delta)k^*.$$

整理得

$$(n+\delta)k^* =sA_0^{1-\alpha}(k^*)^\alpha.$$

因為 $k^*>0$，兩邊除以 $(k^*)^\alpha$：

$$(n+\delta)(k^*)^{1-\alpha} =sA_0^{1-\alpha}.$$

所以穩態每位勞工資本為

$$\boxed{ k^* = \left( \frac{sA_0^{1-\alpha}}{n+\delta} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} }.$$

穩態每位勞工產出為

$$y^*=A_0^{1-\alpha}(k^*)^\alpha.$$

代入 $k^*$：

$$y^* = A_0^{1-\alpha} \left( \frac{sA_0^{1-\alpha}}{n+\delta} \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}.$$

整理 $A_0$ 的次方：

$$\boxed{ y^* = A_0 \left( \frac{s}{n+\delta} \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}} }.$$

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4. 最大化穩態消費的儲蓄率

每位勞工的消費為

$$c_t=(1-s)y_t.$$

因此穩態消費為

$$c^* =(1-s)y^* =(1-s)A_0 \left( \frac{s}{n+\delta} \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}.$$

其中 $A_0$、$n$、$\delta$ 為固定常數，因此只需最大化

$$(1-s)s^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}.$$

取自然對數：

$$\ln c^* = \ln(1-s) +\frac{\alpha}{1-\alpha}\ln s +\text{常數}.$$

對 $s$ 微分：

$$\frac{d\ln c^*}{ds} = -\frac{1}{1-s} + \frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{1}{s}.$$

令一階導數等於零：

$$-\frac{1}{1-s} + \frac{\alpha}{(1-\alpha)s} =0.$$

移項：

$$\frac{\alpha}{(1-\alpha)s} = \frac{1}{1-s}.$$

交叉相乘：

$$\alpha(1-s)=(1-\alpha)s.$$

展開並整理：

$$\alpha-\alpha s=s-\alpha s,$$ $$\alpha=s.$$

因此，使穩態每位勞工消費最大的儲蓄率為

$$\boxed{s_{\mathrm{GR}}=\alpha}.$$

這就是 Solow 模型中的 Golden Rule 儲蓄率。

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（ii）$g>0$ 時的穩態成長率

技術與勞工數分別以固定比例成長：

$$A_{t+1}=(1+g)A_t, \qquad N_{t+1}=(1+n)N_t.$$

此時每位勞工的資本與產出會持續成長，因此不能直接令 $K_t/N_t$ 為常數。正確方法是改用「每單位有效勞動」衡量。

1. 定義每單位有效勞動的變數

令

$$\widetilde{k}_t=\frac{K_t}{A_tN_t}, \qquad \widetilde{y}_t=\frac{Y_t}{A_tN_t}.$$

由生產函數：

$$Y_t=K_t^\alpha(A_tN_t)^{1-\alpha}.$$

除以 $A_tN_t$：

本題為開放經濟下的 IS-LM 模型，探討外部衝擊（外國產出、外國利率）對本國經濟（產出、投資、淨出口、匯率）的影響，以及在固定匯率制度下的政策效果。

核心觀念：

1. IS-LM 模型：描述商品市場 (IS) 和貨幣市場 (LM) 的均衡。
2. 開放經濟下的 IS-LM：加入淨出口 (NX)，並考慮匯率 (E) 的影響。
3. 購買力平價 (PPP) 與利率平價 (IRP)：決定匯率的理論。
4. 固定 vs. 浮動匯率制度：政策傳導機制與效果的差異。
5. Marshall-Lerner 條件：影響匯率變動對貿易餘額的影響。

解題步驟：

模型設定：

• IS 曲線：$Y = C(Y-T) + I(Y, i) + G + NX(Y, Y^*, E)$
  • $C$ 函數：消費取決於可支配所得 ($Y-T$)。
  • $I$ 函數：投資取決於產出 ($Y$) 和名目利率 ($i$)。
  • $G$：政府支出（外生）。
  • $NX$ 函數：淨出口取決於本國產出 ($Y$)、外國產出 ($Y^*$) 和名目匯率 ($E$)。
• LM 曲線：$i = \bar{i}$
  • 名目利率 $i$ 由中央銀行外生設定為 $\bar{i}$。
• 利率平價 (IRP)：$E = \frac{1+i}{1+i^*} E^e$
  • $i^*$：外國名目利率。
  • $E^e$：預期未來匯率。
• Marshall-Lerner 條件：成立。
• 匯率定義：$E$ 是本國貨幣能兌換的外幣單位數（例如，1 美元 = 30 新台幣，則 E=30）。本國貨幣貶值意味著 $E$ 上升；本國貨幣升值意味著 $E$ 下降。
• 淨出口 $NX(Y, Y^*, E)$：
  • $NX$ 隨 $Y$ 負向變動（本國產出增加，進口增加，NX 減少）。
  • $NX$ 隨 $Y^*$ 正向變動（外國產出增加，外國對本國商品需求增加，NX 增加）。
  • $NX$ 隨 $E$ 的變動：Marshall-Lerner 條件成立。若 $E$ 上升（本國貨幣貶值），則出口變便宜，進口變貴，NX 增加。反之，若 $E$ 下降（本國貨幣升值），NX 減少。

(i) 外國產出 $Y^*$ 增加對本國經濟的影響

1. IS 曲線的移動：

• 淨出口函數 $NX(Y, Y^*, E)$ 隨 $Y^*$ 正向變動。
• 當 $Y^*$ 增加時，對於給定的 $Y$ 和 $E$，本國的淨出口 $NX$ 會增加。
• IS 曲線代表商品市場的均衡，其方程為 $Y = C(Y-T) + I(Y, i) + G + NX(Y, Y^*, E)$。
• 由於 $NX$ 增加，IS 曲線會向右移動。

2. LM 曲線：

• LM 曲線為 $i = \bar{i}$，利率由中央銀行設定，不受 $Y^*$ 變動影響。LM 曲線是水平的。

3. 均衡點的移動：

• 初始均衡點在 IS 和 LM 的交點，對應於產出 $Y_0$ 和利率 $\bar{i}$。
• 當 IS 曲線右移到 IS' 後，新的均衡點將在 IS' 和 LM 的交點。
• 由於 LM 曲線是水平的，新的均衡利率仍為 $\bar{i}$，但產出 $Y$ 會增加到 $Y_1$。

4. 對各變數的影響：

• 產出 (Y)： 由於 IS 曲線右移，產出 $Y$ 增加。
• 投資 (I)： 投資函數 $I(Y, i)$。由於產出 $Y$ 增加，而利率 $i=\bar{i}$ 不變，投資 $I$ 會增加。
• 淨出口 (NX)： 淨出口函數 $NX(Y, Y^*, E)$。
  • $Y^*$ 增加直接增加了 $NX$。
  • $Y$ 增加會減少 $NX$（因為進口增加）。
  • 匯率 $E$ 的變化：由於利率 $i$ 和外國利率 $i^*$ 保持不變，預期匯率 $E^e$ 也假設不變，根據利率平價條件 $E = \frac{1+i}{1+i^*} E^e$，若 $i$ 和 $i^*$ 不變，則 $E$ 保持不變。
  • 綜合來看，由於 $Y^*$ 增加的影響（增加 NX）大於 $Y$ 增加的影響（減少 NX），淨出口 $NX$ 總體上會增加。
• 匯率 (E)： 由於 $i = \bar{i}$ 和 $i^*$ (假設不變)，以及 $E^e$ (假設不變)，根據利率平價條件，匯率 $E$ 保持不變。

圖示 (Diagrams)：

• IS-LM 圖：

  • 縱軸為利率 $i$，橫軸為產出 $Y$。
  • LM 曲線是一條水平線在 $i=\bar{i}$。
  • IS 曲線向下傾斜。
  • 初始均衡點 E0。
  • $Y^*$ 增加導致 IS 曲線向右移動到 IS'。
  • 新的均衡點 E1 在 IS' 和 LM 的交點，$Y_1 > Y_0$，$i = \bar{i}$。

• NX 圖：

  • 縱軸為 $NX$，橫軸為 $Y$。
  • NX 曲線向下傾斜（因 $Y$ 增加導致 $NX$ 減少）。
  • $Y^*$ 增加會使 NX 曲線整體向上移動。
  • 初始均衡點 (Y0, NX0)。
  • 新均衡點 (Y1, NX1)，其中 $NX1 > NX0$。

• 匯率圖 (IRP)：

  • 縱軸為 $E$，橫軸為 $i$。
  • IRP 曲線表示 $E$ 與 $i$ 的關係（假設 $i^*$ 和 $E^e$ 不變）。
  • 由於 $i$ 不變，E 保持不變。

【答案】

• 產出 (Y)： 增加。
• 投資 (I)： 增加。
• 淨出口 (NX)： 增加。
• 匯率 (E)： 保持不變。

(ii) 外國利率 $i^*$ 增加對本國經濟的影響

1. IS 曲線的影響：

• 利率平價條件：$E = \frac{1+i}{1+i^*} E^e$。
• 當 $i^*$ 增加時（假設 $i=\bar{i}$ 和 $E^e$ 不變），為了維持利率平價，本國匯率 $E$ 必須下降（本國貨幣升值）。
• 淨出口函數 $NX(Y, Y^*, E)$ 隨 $E$ 下降（本國貨幣升值）而減少（根據 Marshall-Lerner 條件）。
• 因此，IS 曲線會向左移動。

2. LM 曲線：

• LM 曲線為 $i = \bar{i}$，利率不受 $i^*$ 變動影響。LM 曲線是水平的。

3. 均衡點的移動：

• 初始均衡點在 IS 和 LM 的交點。
• 當 IS 曲線左移到 IS' 後，新的均衡點將在 IS' 和 LM 的交點。
• 新的均衡產出 $Y$ 會下降，利率仍為 $\bar{i}$。

4. 對各變數的影響：

• 產出 (Y)： 由於 IS 曲線左移，產出 $Y$ 下降。
• 投資 (I)： 投資函數 $I(Y, i)$。由於產出 $Y$ 下降，而利率 $i=\bar{i}$ 不變，投資 $I$ 會下降。
• 淨出口 (NX)： 淨出口函數 $NX(Y, Y^*, E)$。
  • $Y^*$ 假設不變。
  • $Y$ 下降會增加 $NX$（進口減少）。
  • $E$ 下降（本國貨幣升值）會減少 $NX$（出口變貴，進口變便宜）。