108 年 國立清華大學經濟學系碩士班《微積分與統計》

本題主要在考驗機率論中關於共變異數 (Covariance) 與變異數 (Variance) 的基本性質，以及如何利用這些性質計算相關係數 (Correlation Coefficient)。

解題步驟如下：
我們已知以下三個條件：

1. $\text{cov}(X+Y, X-Y) = 12$
2. $\text{var}(X+Y) = 20$
3. $\text{var}(X-Y) = 16$

首先，我們展開共變異數的表達式：
$\text{cov}(X+Y, X-Y) = \text{cov}(X, X) - \text{cov}(X, Y) + \text{cov}(Y, X) - \text{cov}(Y, Y)$
由於 $\text{cov}(X, X) = \text{var}(X)$， $\text{cov}(Y, Y) = \text{var}(Y)$，且 $\text{cov}(X, Y) = \text{cov}(Y, X)$，上式可化簡為：
$\text{cov}(X+Y, X-Y) = \text{var}(X) - \text{var}(Y)$
所以，我們得到第一個關於 $\text{var}(X)$ 和 $\text{var}(Y)$ 的方程式：
$\text{var}(X) - \text{var}(Y) = 12$ (式 A)

接著，我們展開變異數的表達式：
$\text{var}(X+Y) = \text{var}(X) + \text{var}(Y) + 2\text{cov}(X, Y)$
$\text{var}(X-Y) = \text{var}(X) + \text{var}(Y) - 2\text{cov}(X, Y)$

將給定的值代入：
$\text{var}(X) + \text{var}(Y) + 2\text{cov}(X, Y) = 20$ (式 B)
$\text{var}(X) + \text{var}(Y) - 2\text{cov}(X, Y) = 16$ (式 C)

現在我們有三個方程式 (A, B, C)，可以解出 $\text{var}(X)$, $\text{var}(Y)$, 和 $\text{cov}(X, Y)$。
將式 B 和式 C 相加：
$(\text{var}(X) + \text{var}(Y) + 2\text{cov}(X, Y)) + (\text{var}(X) + \text{var}(Y) - 2\text{cov}(X, Y)) = 20 + 16$

本題考驗離散型隨機變數機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 的基本性質，特別是所有機率值加總必須等於 1。

解題步驟如下：
對於一個離散型隨機變數 X，其機率質量函數 $f(x)$ 必須滿足以下條件：

1. $f(x) \ge 0$ 對所有可能的 x。
2. $\sum_{x} f(x) = 1$ （所有可能 x 的機率加總為 1）。

題目給定隨機變數 X 的樣本空間 $R_x = \{1, 2, 3, ..., 12\}$，且其機率質量函數為 $f(x) = k(2x - 1)$。
我們需要利用第二個性質來求解常數 $k$。

將所有可能的 x 值代入 $f(x)$ 並加總：
$\sum_{x=1}^{12} f(x) = \sum_{x=1}^{12} k(2x - 1) = 1$

將常數 $k$ 提出求和符號外：
$k \sum_{x=1}^{12} (2x - 1) = 1$

現在我們需要計算 $\sum_{x=1}^{12} (2x - 1)$。
$\sum_{x=1}^{12} (2x - 1) = (2 \times 1 - 1) + (2 \times 2 - 1) + (2 \times 3 - 1) + ... + (2 \times 12 - 1)$
$= (1) + (3) + (5) + ... + (23)$
這是一個等差數列，首項 $a_1 = 1$，末項 $a_{12} = 23$，項數 $n = 12$。

本題主要考驗對機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 基本性質的理解。一個函數要成為機率密度函數，必須滿足兩個基本條件：

1. $f(x) \ge 0$ 對所有 $x$。
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。

我們逐一檢驗給定的函數 $f(x)$ 是否滿足這兩個條件。

條件一： $f(x) \ge 0$
當 $-1 < x < 1$ 時，$f(x) = 1 + |x|$。
由於 $|x| \ge 0$，所以 $1 + |x| \ge 1$。因此，在此區間內 $f(x) > 0$。
當 $x \le -1$ 或 $x \ge 1$ 時，$f(x) = 0$。
綜合來看，$f(x) \ge 0$ 對所有實數 $x$ 都成立。

條件二： $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
我們計算 $f(x)$ 在整個實數域上的積分：
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{-1} 0 dx + \int_{-1}^{1} (1+|x|) dx + \int_{1}^{\infty} 0 dx$

本題考驗聯合機率密度函數 (Joint Probability Density Function, Joint PDF) 的基本計算，包括計算期望值 (Expected Value) 和共變異數 (Covariance)。

首先，我們需要驗證給定的聯合機率密度函數 $f(x,y)$ 是否有效，即其在整個定義域上的積分是否等於 1。
$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x+y) dx dy$
$= \int_{0}^{1} \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_{x=0}^{x=1} dy$
$= \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} + y \right) dy$
$= \left[ \frac{1}{2}y + \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^{y=1}$
$= \left( \frac{1}{2}(1) + \frac{1^2}{2} \right) - (0)$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
積分結果為 1，所以 $f(x,y)$ 是一個有效的聯合機率密度函數。

(a) What is E(XY)?

期望值 $E(XY)$ 的計算公式為：
$E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x,y) dx dy$
在給定的定義域 $0 < x, y < 1$ 內， $f(x,y) = x+y$。
$E(XY) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy(x+y) dx dy$
$= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x^2y + xy^2) dx dy$

先對 x 積分：
$\int_{0}^{1} (x^2y + xy^2) dx = \left[ \frac{x^3}{3}y + \frac{x^2}{2}y^2 \right]_{x=0}^{x=1}$
$= \left( \frac{1^3}{3}y + \frac{1^2}{2}y^2 \right) - (0)$
$= \frac{1}{3}y + \frac{1}{2}y^2$

再對 y 積分：
$E(XY) = \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{3}y + \frac{1}{2}y^2 \right) dy$
$= \left[ \frac{1}{3}\frac{y^2}{2} + \frac{1}{2}\frac{y^3}{3} \right]_{y=0}^{y=1}$
$= \left[ \frac{y^2}{6} + \frac{y^3}{6} \right]_{y=0}^{y=1}$
$= \left( \frac{1^2}{6} + \frac{1^3}{6} \right) - (0)$
$= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

【答案】
$E(XY) = \frac{1}{3}$

(b) What is the covariance between X and Y?

共變異數的定義為：
$\text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

我們已經計算出 $E(XY) = \frac{1}{3}$。現在我們需要計算 $E(X)$ 和 $E(Y)$。

首先計算 X 的邊際機率密度函數 $f_X(x)$：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy$

本題為一個綜合題，涵蓋了簡單線性迴歸模型的多個重要概念，包括模型的組成要素、OLS 估計量的推導、其性質（無偏性）以及抽樣分配，最後還涉及假設檢定的應用。

(a) What is the independent variable in Model (1)?

在迴歸模型 $Y_i = \alpha + \epsilon_i$ 中， $Y_i$ 是應變數 (dependent variable)，表示我們想要解釋或預測的變數。 $\alpha$ 是截距項 (intercept)，表示當所有自變數為零時，應變數的期望值（在這個極簡模型中，沒有自變數，所以 $\alpha$ 就是 $Y_i$ 的期望值）。 $\epsilon_i$ 是誤差項 (error term)，代表模型未能解釋的部分。

在這個模型中，我們沒有明確的自變數 $X_i$。這是一個最簡單的迴歸模型，有時也被稱為「均值模型」或「常數模型」。如果硬要說有自變數，那可以想像成一個常數為 1 的自變數，即 $Y_i = \alpha \cdot 1 + \epsilon_i$。在此情況下，這個「常數 1」可以被視為一個恆定的自變數。然而，在標準的迴歸語境下，如果沒有明確寫出 $X_i$，則該模型沒有獨立的、變動的自變數。

然而，在某些教科書或情境下，這個模型會被視為一個特殊情況，其中「獨立變數」是一個恆為 1 的向量（或變數）。但更常見的說法是，這個模型沒有獨立變數，而 $\alpha$ 代表了 $Y_i$ 的平均值。

在統計學的標準定義中，獨立變數（或自變數）是影響或預測應變數的變數。在這個模型 $Y_i = \alpha + \epsilon_i$ 中，並沒有這樣的變數被明確列出。因此，嚴格來說，這個模型沒有獨立變數。但如果必須回答，可以說它是一個常數（恆為 1）的「虛擬」獨立變數。

若要給出一個最貼切的回答，通常是說這個模型沒有獨立變數，或者將 $\alpha$ 解釋為 $Y_i$ 的平均值。但如果考試要求指明，且認為模型有隱含的自變數，那它就是一個恆為 1 的常數。

【答案】
在這個模型 $Y_i = \alpha + \epsilon_i$ 中，沒有明確的獨立變數 $X_i$。 $\alpha$ 代表了 $Y_i$ 的平均值。若必須指明，可視為一個恆為 1 的常數。

(b) Please minimize the residual sum of squares to obtain the Ordinary Least Squares (OLS) estimator ($\hat{\alpha}_{\text{OLS}}$) of $\alpha$.

殘差 (residual) $e_i$ 定義為實際觀測值 $Y_i$ 與模型預測值 $\hat{Y}_i$ 之間的差異。在這個模型中， $\hat{Y}_i = \hat{\alpha}_{\text{OLS}}$。
所以，殘差為 $e_i = Y_i - \hat{\alpha}_{\text{OLS}}$。

殘差平方和 (Residual Sum of Squares, RSS) 是所有殘差平方的總和：
$\text{RSS}(\hat{\alpha}) = \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\alpha})^2$

為了得到 OLS 估計量 $\hat{\alpha}_{\text{OLS}}$，我們需要最小化 RSS 對 $\hat{\alpha}$ 的值。這可以通過對 $\text{RSS}(\hat{\alpha})$ 進行求導並令導數為零來實現：
$\frac{\partial \text{RSS}(\hat{\alpha})}{\partial \hat{\alpha}} = \frac{\partial}{\partial \hat{\alpha}} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\alpha})^2$
$= \sum_{i=1}^{n} 2(Y_i - \hat{\alpha})(-1)$
$= -2 \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\alpha})$

令導數等於零：
$-2 \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\alpha}) = 0$
$\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\alpha}) = 0$
$\sum_{i=1}^{n} Y_i - \sum_{i=1}^{n} \hat{\alpha} = 0$
$\sum_{i=1}^{n} Y_i - n \hat{\alpha} = 0$

解出 $\hat{\alpha}$：
$n \hat{\alpha} = \sum_{i=1}^{n} Y_i$
$\hat{\alpha} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i$

這就是 OLS 估計量 $\hat{\alpha}_{\text{OLS}}$，它等於樣本均值 $\bar{Y}$。

【答案】
$\hat{\alpha}_{\text{OLS}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i = \bar{Y}$

(c) Is $\hat{\alpha}_{\text{OLS}}$ an unbiased estimator of $\alpha$?

要判斷 $\hat{\alpha}_{\text{OLS}}$ 是否是 $\alpha$ 的無偏估計量，我們需要計算 $E(\hat{\alpha}_{\text{OLS}})$ 並看它是否等於 $\alpha$。
$E(\hat{\alpha}_{\text{OLS}}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i\right)$
根據期望值的線性性質：
$E(\hat{\alpha}_{\text{OLS}}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Y_i)$

在模型 $Y_i = \alpha + \epsilon_i$ 中，我們已知 $E(\epsilon_i) = 0$。
所以，$E(Y_i) = E(\alpha + \epsilon_i) = E(\alpha) + E(\epsilon_i) = \alpha + 0 = \alpha$。

將 $E(Y_i) = \alpha$ 代入：
$E(\hat{\alpha}_{\text{OLS}}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \alpha$
$= \frac{1}{n} (n \alpha)$
$= \alpha$

由於 $E(\hat{\alpha}_{\text{OLS}}) = \alpha$，所以 $\hat{\alpha}_{\text{OLS}}$ 是 $\alpha$ 的一個無偏估計量。

【答案】
是

(d) What is the distribution of $\sqrt{n}(\hat{\alpha}_{\text{OLS}} - \alpha)$?

我們已經知道 $\hat{\alpha}_{\text{OLS}} = \bar{Y}$，且 $E(\hat{\alpha}_{\text{OLS}}) = \alpha$。
現在我們需要計算 $\hat{\alpha}_{\text{OLS}}$ 的變異數 (Variance)。
$\text{var}(\hat{\alpha}_{\text{OLS}}) = \text{var}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i\right)$
由於 $Y_i$ 是獨立同分布的（假設），且 $\text{var}(Y_i) = \text{var}(\alpha + \epsilon_i) = \text{var}(\alpha) + \text{var}(\epsilon_i) = 0 + \sigma^2 = \sigma^2$。
$\text{var}(\hat{\alpha}_{\text{OLS}}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \text{var}(Y_i)$
$= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2$
$= \frac{1}{n^2} (n \sigma^2)$
$= \frac{\sigma^2}{n}$

我們感興趣的量是 $\sqrt{n}(\hat{\alpha}_{\text{OLS}} - \alpha)$。
我們可以將這個量重新整理為：
$\sqrt{n}(\hat{\alpha}_{\text{OLS}} - \alpha) = \sqrt{n} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i - \alpha \right)$
$= \sqrt{n} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \alpha \right)$
$= \sqrt{n} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \alpha)$
$= \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \alpha)$
$= \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i$
$= \sqrt{n} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \right)$
$= \sqrt{n} (\bar{\epsilon})$

其中 $\bar{\epsilon} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i$ 是誤差項的樣本均值。
我們知道 $E(\epsilon_i) = 0$ 且 $\text{var}(\epsilon_i) = \sigma^2$。
因此，$E(\bar{\epsilon}) = E(\frac{1}{n} \sum \epsilon_i) = \frac{1}{n} \sum E(\epsilon_i) = \frac{1}{n} \sum 0 = 0$。

本題考驗學生對極限 (Limit) 計算的掌握，包含不定型不定形式的處理（如 L'Hôpital's Rule）以及代數變形技巧。

(a) $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}$

當 $x \to 1$ 時，分子 $\ln x \to \ln 1 = 0$，分母 $x-1 \to 1-1 = 0$。
這是 $\frac{0}{0}$ 的不定型，可以使用 L'Hôpital's Rule。

L'Hôpital's Rule 指出，如果 $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的不定型，那麼 $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$，前提是後者極限存在。

令 $f(x) = \ln x$，則 $f'(x) = \frac{1}{x}$。
令 $g(x) = x-1$，則 $g'(x) = 1$。

應用 L'Hôpital's Rule：
$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$
$= \frac{\frac{1}{1}}{1}$
$= \frac{1}{1} = 1$

【答案】
1

(b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 4x}}$

核心觀念

本題考察反函數導數公式：

若 $y=f(x)$ 且 $f$ 在相應區間具有反函數，則

$$\left(f^{-1}\right)'(a)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}.$$

因此，要求 $\left(f^{-1}\right)'(1)$，必須先找出 $f^{-1}(1)$，也就是求滿足

$$f(t)=1$$

的 $t$。

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解題方法

已知

$$f(x)=x^3e^{x^2}.$$

先求導：

$$f'(x)=3x^2e^{x^2}+x^3e^{x^2}\cdot 2x$$ $$=e^{x^2}(3x^2+2x^4) =x^2e^{x^2}(3+2x^2).$$

令

$$t=f^{-1}(1),$$

則 $f(t)=1$，因此

$$t^3e^{t^2}=1.$$

由於右側為正，且 $e^{t^2}>0$，可知 $t>0$。取平方後整理：

$$t^6e^{2t^2}=1.$$

令 $u=\dfrac{2t^2}{3}$，則

$$t^2=\frac{3u}{2},$$

且

$$\left(t^2e^{\frac{2t^2}{3}}\right)^3=1 \quad\Longrightarrow\quad t^2e^{\frac{2t^2}{3}}=1.$$

代入 $u$：

$$\frac{3u}{2}e^u=1 \quad\Longrightarrow\quad ue^u=\frac{2}{3}.$$

使用 Lambert $W$ 函數，即 $W(z)e^{W(z)}=z$，得到

$$u=W\left(\frac23\right).$$

所以

$$t=\sqrt{\frac32W\left(\frac23\right)}.$$

依反函數導數公式，

本題考驗隱函數微分 (Implicit Differentiation) 的應用。我們被給予一個隱含的方程式，並要求計算函數 $y(x)$ 的導數 $y'(x)$ 在特定點的值。

給定的方程式是 $f(x, y) = x^2 - 3xy + y^3 - 7 = 0$。
我們將對 $x$ 進行微分，同時將 $y$ 視為 $x$ 的函數，即 $y = y(x)$。

對方程式兩邊同時微分：
$\frac{d}{dx}(x^2 - 3xy + y^3 - 7) = \frac{d}{dx}(0)$

逐項微分：

1. $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
2. $\frac{d}{dx}(-3xy)$：這裡需要使用乘積法則。令 $u = -3x$，$v = y$。
   $\frac{d}{dx}(-3xy) = \frac{d}{dx}(-3x) \cdot y + (-3x) \cdot \frac{d}{dx}(y)$
   $= (-3) \cdot y + (-3x) \cdot y'(x)$
   $= -3y - 3xy'(x)$
3. $\frac{d}{dx}(y^3)$：這裡需要使用連鎖法則。

本題考驗黎曼積分 (Riemann Integrability) 的定義與性質。一個有界函數在一個閉區間上是黎曼可積的，若且唯若其不連續點的集合的測度為零。

給定的函數是：

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{if } 0 < x \le 1 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$$

我們需要判斷它在閉區間 $[0,1]$ 上是否為黎曼可積。

首先，我們檢查函數的性質：

1. 有界性 (Boundedness)：
   在區間 $(0,1]$ 上，$f(x) = \frac{1}{x}$。當 $x$ 趨近於 0 時，$\frac{1}{x}$ 趨近於正無窮大。因此，函數 $f(x)$ 在區間 $(0,1]$ 上是無界的。
   即使我們定義了 $f(0) = 0$，函數在區間 $[0,1]$ 上仍然是無界的。

一個函數若要在一個閉區間上黎曼可積，它必須在該區間上有界。
由於 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上無界，它不是黎曼可積的。

另一種判斷方式：檢查不連續點
函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 點處是不連續的。
原因如下：

• $f(0) = 0$ (由定義給出)。
• $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$。
  因為 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ 不存在（趨於無窮大），所以函數在 $x=0$ 處不連續。
  對於 $x \in (0, 1]$，$f(x) = \frac{1}{x}$ 是連續的，因此在 $(0,1]$ 上的任何子區間內都是黎曼可積的。
  然而，在 $[0,1]$ 上，函數在 $x=0$ 處的行為（趨於無窮大）使其無法被黎曼積分。

黎曼積分的定義要求函數必須是有界的。
對於黎曼積分 $\int_a^b f(x) dx$，我們將區間 $[a,b]$ 分割成 $n$ 個子區間。

本題考驗對瑕積分 (Improper Integral) 的理解與計算。積分式 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$ 是一個瑕積分，因為積分區間的下限 0 使得被積函數 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在該點無窮大。

根據瑕積分的定義，我們需要將積分表示為一個極限的形式。
$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{1}{x} dx$

首先，計算定積分 $\int_{a}^{1} \frac{1}{x} dx$：
$\int_{a}^{1} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{a}^{1}$
由於積分區間是 $(a, 1]$ 且 $a > 0$，所以 $x > 0$，我們可以寫成 $\ln x$。
$= \ln(1) - \ln(a)$