113 年 國立清華大學經濟學系碩士班《微積分與統計》

本題要求找出曲線 $x^3 - xy + y^3 = 1$ ($x \geq 0$, $y \geq 0$) 上距離原點最遠的點的距離。這是一個尋找極值問題，可以使用拉格朗日乘數法或參數化來求解。

首先，我們定義目標函數為點 $(x, y)$ 到原點的距離的平方，即 $f(x, y) = x^2 + y^2$。
約束條件為曲線方程 $g(x, y) = x^3 - xy + y^3 - 1 = 0$，且 $x \geq 0$, $y \geq 0$。

使用拉格朗日乘數法，我們需要解以下方程組：
$\nabla f = \lambda \nabla g$
$g(x, y) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x = \lambda \frac{\partial g}{\partial x} = \lambda (3x^2 - y)$ (1)
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y = \lambda \frac{\partial g}{\partial y} = \lambda (3y^2 - x)$ (2)
$x^3 - xy + y^3 = 1$ (3)

從 (1) 和 (2) 式，我們可以得到：
$2x(3y^2 - x) = \lambda (3x^2 - y)(3y^2 - x)$
$2y(3x^2 - y) = \lambda (3y^2 - x)(3x^2 - y)$

所以，$2x(3y^2 - x) = 2y(3x^2 - y)$
$6xy^2 - 2x^2 = 6x^2y - 2y^2$
$6xy^2 - 6x^2y - 2x^2 + 2y^2 = 0$
$6xy(y - x) - 2(x^2 - y^2) = 0$
$6xy(y - x) - 2(x - y)(x + y) = 0$
$-6xy(x - y) - 2(x - y)(x + y) = 0$
$(x - y)(-6xy - 2(x + y)) = 0$

這意味著 $x = y$ 或 $-6xy - 2(x + y) = 0$。

本題為二階線性常係數非齊次微分方程。求解步驟為先求齊次方程的通解，再求特解，最後相加得到通解。

第一步：求解齊次方程的通解
齊次方程為 $y'' - 2y' + y = 0$。
其特徵方程為 $r^2 - 2r + 1 = 0$。
因式分解得 $(r-1)^2 = 0$，所以有重根 $r_1 = r_2 = 1$。
當特徵方程有重根 $r$ 時，齊次方程的通解為 $y_h(x) = c_1 e^{rx} + c_2 x e^{rx}$。
因此，齊次方程的通解為 $y_h(x) = c_1 e^x + c_2 x e^x$。

第二步：求解非齊次方程的特解
非齊次項為 $g(x) = e^x$。
由於 $e^x$ 的指數 $1$ 是特徵方程的重根（重數為 2），我們需要假設特解的形式為 $y_p(x) = Ax^2 e^x$。

對 $y_p(x)$ 求導：
$y_p'(x) = A(2x e^x + x^2 e^x) = A e^x (2x + x^2)$
$y_p''(x) = A [e^x (2x + x^2) + e^x (2 + 2x)] = A e^x (2x + x^2 + 2 + 2x) = A e^x (x^2 + 4x + 2)$

本題為一階非線性微分方程，形式上屬於伯努利 (Bernoulli) 方程。伯努利方程的一般形式為 $y' + P(x)y = Q(x)y^n$。

原方程為 $y' - 2xy = 5xy^2$。
這裡，$P(x) = -2x$，$Q(x) = 5x$，$n = 2$。

步驟一：處理 $y=0$ 的情況
如果 $y=0$，則 $y'=0$。代入原方程：$0 - 2x(0) = 5x(0)^2 \implies 0 = 0$。
所以 $y(x) = 0$ 是方程的一個特解。

步驟二：將方程轉換為線性方程
對於 $y \neq 0$，我們可以將方程兩邊同時除以 $y^n = y^2$：
$\frac{y'}{y^2} - \frac{2xy}{y^2} = 5x$
$\frac{y'}{y^2} - \frac{2x}{y} = 5x$

令 $v = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1}$。
則 $\frac{dv}{dx} = -1 \cdot y^{-2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{y'}{y^2}$。
所以 $\frac{y'}{y^2} = -\frac{dv}{dx}$。

將 $\frac{y'}{y^2} = -\frac{dv}{dx}$ 和 $\frac{1}{y} = v$ 代入轉換後的方程：
$-\frac{dv}{dx} - 2xv = 5x$
$\frac{dv}{dx} + 2xv = -5x$

這是一個一階線性微分方程。

步驟三：求解線性微分方程
該線性方程的形式為 $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$，其中 $P(x) = 2x$，$Q(x) = -5x$。
積分因子為 $I(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$。

將方程兩邊乘以積分因子：
$e^{x^2} \frac{dv}{dx} + 2x e^{x^2} v = -5x e^{x^2}$

本題要求計算一個不定積分，積分函數為有理函數。我們需要對分母進行因式分解，然後使用部分分式分解法來求解。

第一步：因式分解分母
分母是 $x^3+x^2+x+1$。
可以分組分解：
$x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1)$。

第二步：進行部分分式分解
積分函數為 $\frac{-2x}{(x^2+1)(x+1)}$。
我們將其分解為：
$\frac{-2x}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

將右邊通分：
$\frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1)}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{Ax^2+A + Bx^2+Bx+Cx+C}{(x+1)(x^2+1)}$
$= \frac{(A+B)x^2 + (B+C)x + (A+C)}{(x+1)(x^2+1)}$

比較分子係數：
$-2x = (A+B)x^2 + (B+C)x + (A+C)$

對 $x^2$ 的係數：$A+B = 0 \implies B = -A$ (1)
對 $x$ 的係數：$B+C = -2$ (2)
對常數項：$A+C = 0 \implies C = -A$ (3)

將 (1) 和 (3) 代入 (2)：
$(-A) + (-A) = -2$
$-2A = -2$
$A = 1$

由 (1)，$B = -A = -1$。
由 (3)，$C = -A = -1$。

所以，部分分式分解為：
$\frac{-2x}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{1}{x+1} + \frac{-x-1}{x^2+1} = \frac{1}{x+1} - \frac{x+1}{x^2+1}$

本題要求計算一個不定積分，積分函數是指數函數與三角函數的乘積。這類積分通常使用分部積分法 (Integration by Parts) 兩次來求解。

分部積分公式為 $\int u dv = uv - \int v du$。

我們選擇 $u$ 和 $dv$。有兩種選擇：
選擇一：令 $u = e^{2x}$，$dv = \sin(3x) dx$。
則 $du = 2e^{2x} dx$，$v = \int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$。

第一次分部積分：
$\int e^{2x}\sin(3x) dx = e^{2x} \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) (2e^{2x} dx)$
$= -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{3} \int e^{2x}\cos(3x) dx$

現在我們需要計算 $\int e^{2x}\cos(3x) dx$。再次使用分部積分法。
在這裡，我們應該保持與第一次分部積分中 $u$ 和 $dv$ 的選擇一致。
令 $u = e^{2x}$，$dv = \cos(3x) dx$。
則 $du = 2e^{2x} dx$，$v = \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$。

第二次分部積分：
$\int e^{2x}\cos(3x) dx = e^{2x} \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) - \int \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) (2e^{2x} dx)$
$= \frac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \frac{2}{3} \int e^{2x}\sin(3x) dx$

將第二次分部積分的結果代回第一次分部積分的式子：
$\int e^{2x}\sin(3x) dx = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{3} \left[ \frac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \frac{2}{3} \int e^{2x}\sin(3x) dx \right]$
$= -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{9}e^{2x}\sin(3x) - \frac{4}{9} \int e^{2x}\sin(3x) dx$

現在，我們看到積分式本身出現在等式的右邊。令 $I = \int e^{2x}\sin(3x) dx$。
$I = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{9}e^{2x}\sin(3x) - \frac{4}{9} I$

將含有 $I$ 的項移到等式左邊：
$I + \frac{4}{9} I = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{9}e^{2x}\sin(3x)$
$\frac{13}{9} I = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{9}e^{2x}\sin(3x)$

核心觀念

此題的分母同時含有 $\sin x$ 與 $\sin x+\cos x$。將後者除以 $\sin x$，可引入 $\cot x$；此時分母會出現 $\csc^2 x$，正好對應 $\cot x$ 的導數公式：

$$\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x$$

解題方法

先將分母改寫：

$$\sin x(\sin x+\cos x) =\sin^2 x\left(1+\frac{\cos x}{\sin x}\right) =\sin^2 x(1+\cot x)$$

因此原積分為

$$\int \frac{dx}{\sin^2 x(1+\cot x)}$$

核心觀念

本題考查代換積分法與冪次函數的基本積分公式：

$$\int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1$$

被積分式中的 $(4x+1)^{5/2}$ 適合令

$$u=4x+1$$

如此可同時處理 $x^2$ 與複合函數的冪次。

解題方法

令

$$u=4x+1$$

則

$$x=\frac{u-1}{4},\qquad dx=\frac{du}{4}$$

原積分變為

$$\begin{aligned} \int 2x^2(4x+1)^{5/2}\,dx &=\int 2\left(\frac{u-1}{4}\right)^2u^{5/2}\left(\frac{du}{4}\right)\\ &=\frac{1}{32}\int (u-1)^2u^{5/2}\,du \end{aligned}$$

展開 $(u-1)^2$：

$$\begin{aligned} \frac{1}{32}\int (u^2-2u+1)u^{5/2}\,du &=\frac{1}{32}\int \left(u^{9/2}-2u^{7/2}+u^{5/2}\right)\,du\\ &=\frac{1}{32}\left( \frac{2}{11}u^{11/2} -\frac{4}{9}u^{9/2} +\frac{2}{7}u^{7/2} \right)+C \end{aligned}$$

整理得

核心觀念

本題主要考查：

• 定積分上下限交換時的符號：
  $\int_1^x g(t)\,dt=-\int_x^1 g(t)\,dt.$
• 二重積分的積分區域交換。
• 分部積分法。
• 三角函數複合函數的微分：
  $\frac{d}{dt}\cos(t^2)=-2t\sin(t^2).$

先化簡被積函數：

$$\frac{t\sin(t^2)}{t}=\sin(t^2),$$

因此

$$f(x)=x\int_1^x\sin(t^2)\,dt.$$

---

解題方法

要求

$$I=\int_0^1 f(x)\,dx =\int_0^1x\left(\int_1^x\sin(t^2)\,dt\right)dx.$$

因為 $0\leq x\leq 1$，可將內層積分改寫為

$$\int_1^x\sin(t^2)\,dt =-\int_x^1\sin(t^2)\,dt.$$

所以

$$I=-\int_0^1x\left(\int_x^1\sin(t^2)\,dt\right)dx.$$

積分區域為

$$0\leq x\leq 1,\qquad x\leq t\leq 1.$$

交換積分順序後，$t$ 的範圍為 $0\leq t\leq1$，而對固定的 $t$，$x$ 的範圍為 $0\leq x\leq t$。因此

$$\begin{aligned} I &=-\int_0^1\left(\int_0^t x\,dx\right)\sin(t^2)\,dt\\ &=-\int_0^1\frac{t^2}{2}\sin(t^2)\,dt\\ &=-\frac12\int_0^1t^2\sin(t^2)\,dt. \end{aligned}$$

接著計算

$$J=\int_0^1t^2\sin(t^2)\,dt.$$

利用

$$\frac{d}{dt}\cos(t^2)=-2t\sin(t^2),$$

可寫成

$$t^2\sin(t^2) =-\frac{t}{2}\frac{d}{dt}\cos(t^2).$$

本題涉及指數分佈的性質。指數分佈常用來描述事件發生的時間間隔。

給定的機率密度函數 (PDF) 是 $f(x) = \frac{1}{15} e^{-\frac{x}{15}}$, $x \geq 0$。
這是一個參數為 $\lambda = \frac{1}{15}$ 的指數分佈。
對於參數為 $\lambda$ 的指數分佈，其期望值 (mean) 為 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，變異數 (variance) 為 $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$，標準差 (standard deviation) 為 $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \frac{1}{\lambda}$。

從題目中給定的 PDF，我們可以確定 $\lambda = \frac{1}{15}$。
因此，平均值為 $E(X) = \frac{1}{1/15} = 15$ 分鐘，這與題目敘述一致。

(a) What is the standard deviation of x?
標準差是變異數的平方根。
變異數 $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{(1/15)^2} = 15^2 = 225$。
標準差 $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{225} = 15$。

【答案】15
(b) What is the probability that the arrival time between patients is above 20 minutes?
我們需要計算 $P(X > 20)$。
對於指數分佈，累積分布函數 (CDF) 是 $F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}$，對於 $x \geq 0$。

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 線性估計量的無偏性：若估計量為 $\sum_{i=1}^n a_iX_i$，則
   $E\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i\right)=\mu\sum_{i=1}^n a_i.$
   因此必須滿足 $\sum a_i=1$，才是 $\mu$ 的無偏估計量。

2. 獨立樣本下線性組合的變異數：
   $\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i\right)=\sigma^2\sum_{i=1}^n a_i^2.$

3. 樣本變異數的期望值：

$$E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\right] =\frac{n-1}{n}\sigma^2.$$

題目中的省略號需依照係數交替為 $\frac14,\frac12,\frac14,\frac12,\ldots$ 解讀，且最後一項特別為 $\frac34x_n$。令 $n=2m$。

---

(a) 無偏性

係數分組如下：

• 奇數索引 $1,3,\ldots,n-1$ 共 $m$ 項，每項係數為 $\frac14$；
• 偶數索引 $2,4,\ldots,n-2$ 共 $m-1$ 項，每項係數為 $\frac12$；
• 最後一項 $x_n$ 的係數為 $\frac34$。

因此所有係數總和為

$$\sum_{i=1}^n a_i =m\left(\frac14\right)+(m-1)\left(\frac12\right)+\frac34.$$

整理得

$$\sum_{i=1}^n a_i =\frac{m}{4}+\frac{m-1}{2}+\frac34 =\frac{3m+1}{4} =\frac{3n+2}{8}.$$

所以

$$E(\tilde X) =\mu\sum_{i=1}^n a_i =\frac{3n+2}{8}\mu.$$

要成為 $\mu$ 的無偏估計量，必須有

$$\frac{3n+2}{8}=1.$$

因此

$$3n+2=8 \quad\Longrightarrow\quad n=2.$$

所以當 $n=2$ 時，$\tilde X$ 無偏；對一般的偶數樣本數 $n>2$，$\tilde X$ 不是無偏估計量。

其偏誤為

$$\operatorname{Bias}(\tilde X) =E(\tilde X)-\mu =\left(\frac{3n+2}{8}-1\right)\mu =\frac{3(n-2)}{8}\mu.$$

---

(b) 計算 $\operatorname{Var}(\tilde X)$ 並比較效率

由於 $X_1,\ldots,X_n$ 為獨立同分布樣本，

$$\operatorname{Var}(\tilde X) =\sigma^2\sum_{i=1}^n a_i^2.$$

各類係數平方的總和為

$$\sum_{i=1}^n a_i^2 =m\left(\frac14\right)^2 +(m-1)\left(\frac12\right)^2 +\left(\frac34\right)^2.$$

因此

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(\tilde X) &=\sigma^2\left[ \frac{m}{16}+\frac{m-1}{4}+\frac{9}{16} \right]\\ &=\sigma^2\left(\frac{5m+5}{16}\right). \end{aligned}$$

代入 $m=\frac n2$：

$$\boxed{ \operatorname{Var}(\tilde X) =\frac{5n+10}{32}\sigma^2 }.$$

另一方面，樣本平均數的變異數為

本題考察邏輯斯迴歸模型 (Logit Model) 的應用，特別是如何解釋模型中的係數和進行預測。

模型形式為 $P(LF=1|...) = \frac{e^{Z}}{1+e^Z}$，其中 $Z = -1 + 0.03edu + 0.05age - 0.0005age^2 + 0.8male$。
這是一個標準的邏輯斯迴歸模型，其中 $Z$ 是潛在變數 (latent variable) 的線性預測值。
$P(LF=1|...) = \frac{1}{1+e^{-Z}}$。

(a) Interpret the relation between age and probability of participating in the labor force.
在模型中，關於 age 的部分是 $0.05age - 0.0005age^2$。
這是一個關於 age 的二次函數。
令 $f(age) = 0.05age - 0.0005age^2$。
為了找出這個二次函數的行為，我們可以找其極值點。
求導：$f'(age) = 0.05 - 0.001age$。
令 $f'(age) = 0$，則 $0.05 - 0.001age = 0 \implies 0.001age = 0.05 \implies age = \frac{0.05}{0.001} = 50$。
二階導數 $f''(age) = -0.001 < 0$，所以 age = 50 是一個最大值點。

這表示，隨著年齡的增加，勞動力參與的機率會先增加，達到一個峰值（在 50 歲左右），然後開始下降。
在 50 歲之前，年齡的增加會提高參與勞動力的機率。
在 50 歲之後，年齡的增加會降低參與勞動力的機率。
這個關係呈現一個倒 U 型的曲線。

解釋：
模型中 age 和 age 平方項的係數（分別為 $0.05$ 和 $-0.0005$）表明，年齡對勞動力參與機率的影響是非線性的。具體來說，它呈現一個倒 U 型的關係。在年輕時，隨著年齡的增長，勞動力參與的機率會增加；然而，在達到某個年齡點（約 50 歲），勞動力參與的機率達到最大值；之後，隨著年齡的進一步增長，參與的機率會下降。

(b) Probability of labor force participation for male individuals (40 years old, 12 years of education) and estimated odds.
給定：
male = 1 (男性)
age = 40
edu = 12

首先計算潛在變數 $Z$ 的值：
$Z = -1 + 0.03(12) + 0.05(40) - 0.0005(40^2) + 0.8(1)$
$Z = -1 + 0.36 + 2.00 - 0.0005(1600) + 0.8$