109 年 國立清華大學經濟學系碩士班《微積分與統計》

本題考驗極限的計算能力，包含代數化簡與絕對值函數的處理。

(a) 此極限是 $\frac{0}{0}$ 的不定型，可透過因式分解來化簡。
$\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$
當 $x \to 1$ 時，$x \neq 1$，所以可以消去 $(x-1)$ 項。
$= \lim_{x\to 1} (x+1) = 1+1 = 2$
【答案】2

(b) 此極限為 $\frac{0}{0}$ 的不定型，且分母包含絕對值 $|x-2|$。絕對值函數在 $x=2$ 處會改變其定義，因此我們需要分別考慮 $x$ 從左側趨近 2 ($x \to 2^-$) 和從右側趨近 2 ($x \to 2^+$) 的情況。

首先，化簡分子：$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$。

本題考驗微分的基本規則，包含乘法規則和除法規則。

(a) 函數 $f(x)$ 是兩個多項式的乘積，我們可以使用乘法規則來微分。乘法規則為 $(uv)' = u'v + uv'$。
令 $u = 5x^2 - 2$ 且 $v = x^3 + 3x$。
則 $u' = \frac{d}{dx}(5x^2 - 2) = 10x$。
且 $v' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3$。

應用乘法規則：
$f'(x) = u'v + uv' = (10x)(x^3 + 3x) + (5x^2 - 2)(3x^2 + 3)$
展開並整理：
$f'(x) = 10x^4 + 30x^2 + (15x^4 + 15x^2 - 6x^2 - 6)$
$f'(x) = 10x^4 + 30x^2 + 15x^4 + 9x^2 - 6$
$f'(x) = 25x^4 + 39x^2 - 6$

本題考驗連鎖律 (Chain Rule) 的應用。給定複合函數 $r(x) = f(g(h(x)))$，我們需要計算 $r'(1)$。

根據連鎖律，複合函數的微分公式為：
$r'(x) = \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$

我們需要計算 $r'(1)$，將 $x=1$ 代入上述公式：
$r'(1) = f'(g(h(1))) \cdot g'(h(1)) \cdot h'(1)$

根據題目給定的資訊：
$h(1) = 2$
$g(2) = 3$ (這個資訊在此題計算中用不到，但題目有給)
$h'(1) = 4$
$g'(2) = 5$
$f'(3) = 6$

本題考驗定積分的計算能力，包含線性函數和包含根式的函數積分。

(a) 我們需要計算 $\int_{-1}^{5} (1+3x)dx$。
首先找到不定積分：
$\int (1+3x)dx = \int 1 dx + \int 3x dx = x + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x + \frac{3}{2}x^2 + C$
現在計算定積分：
$\int_{-1}^{5} (1+3x)dx = \left[ x + \frac{3}{2}x^2 \right]_{-1}^{5}$
$= \left( 5 + \frac{3}{2}(5)^2 \right) - \left( -1 + \frac{3}{2}(-1)^2 \right)$
$= \left( 5 + \frac{3}{2}(25) \right) - \left( -1 + \frac{3}{2}(1) \right)$
$= \left( 5 + \frac{75}{2} \right) - \left( -1 + \frac{3}{2} \right)$
$= \left( \frac{10}{2} + \frac{75}{2} \right) - \left( -\frac{2}{2} + \frac{3}{2} \right)$
$= \frac{85}{2} - \frac{1}{2} = \frac{84}{2} = 42$
【答案】42

(b) 我們需要計算 $\int_{1}^{4} \frac{2+x^2}{\sqrt{x}}dx$。
首先將被積函數化簡：
$\frac{2+x^2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{x^{1/2}} + \frac{x^2}{x^{1/2}} = 2x^{-1/2} + x^{2 - 1/2} = 2x^{-1/2} + x^{3/2}$
現在找到不定積分：

本題考驗拉格朗日乘數法 (Lagrange Multipliers) 的應用，用於求解帶有等式約束條件下的極值問題。

我們要找函數 $f(x, y) = xy$ 在約束條件 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 2a^2 = 0$ 下的極值。
拉格朗日乘數法的原理是，在極值點，函數的梯度與約束條件的梯度成比例，即 $\nabla f = \lambda \nabla g$。

首先計算梯度：
$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (y, x)$
$\nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right) = (2x, 2y)$

根據拉格朗日乘數法，我們得到以下方程組：

1. $y = \lambda (2x)$
2. $x = \lambda (2y)$
3. $x^2 + y^2 = 2a^2$ (約束條件)

從方程 (1) 和 (2) 開始求解。
若 $x=0$，則由 (1) 得 $y=0$。但 $(0,0)$ 不滿足約束條件 $x^2+y^2=2a^2$ (除非 $a=0$)。假設 $a \neq 0$。
若 $y=0$，則由 (2) 得 $x=0$。同理不滿足約束條件。
因此，我們假設 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$。

從方程 (1) $y = 2\lambda x$，代入方程 (2)：
$x = \lambda (2(2\lambda x)) = 4\lambda^2 x$
因為 $x \neq 0$，我們可以消去 $x$：
$1 = 4\lambda^2$
$\lambda^2 = \frac{1}{4}$

本題考驗離散隨機變數的期望值、變異數以及動差生成函數的計算。

首先，驗證這是一個有效的機率質量函數 (PMF)：
$f(1) = 1/2$, $f(2) = 1/3$, $f(3) = 1/6$。
總和為 $1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1$。
所以，這是一個有效的 PMF。

(a) 計算變異數 (Variance)。
變異數的公式為 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$。
我們需要先計算 $E[X]$ 和 $E[X^2]$。

期望值 $E[X]$：
$E[X] = \sum x \cdot f(x) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6}$
$E[X] = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

期望值 $E[X^2]$：
$E[X^2] = \sum x^2 \cdot f(x) = 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{6}$
$E[X^2] = 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{6}$

本題考驗二維離散隨機變數的聯合機率分佈、共變異數、相關係數以及獨立性判斷。

首先，我們列出聯合機率質量函數 (Joint PMF) 的值。
$x$ 的可能值為 1, 2；$y$ 的可能值為 1, 2。總共有 $2 \times 2 = 4$ 個組合。

$f(1,1) = \frac{1+2(1)}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$f(1,2) = \frac{1+2(2)}{18} = \frac{5}{18}$
$f(2,1) = \frac{2+2(1)}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$
$f(2,2) = \frac{2+2(2)}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

驗證總機率和是否為 1：
$\frac{3}{18} + \frac{5}{18} + \frac{4}{18} + \frac{6}{18} = \frac{3+5+4+6}{18} = \frac{18}{18} = 1$。
PMF 是有效的。

(a) 計算共變異數 Cov(X,Y)。
共變異數的公式為 $Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$。
我們需要先計算邊際機率分佈，然後計算 $E[X]$, $E[Y]$, $E[XY]$。

邊際機率質量函數 (Marginal PMF) of X:
$f_X(x) = \sum_y f(x,y)$
$f_X(1) = f(1,1) + f(1,2) = \frac{3}{18} + \frac{5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$
$f_X(2) = f(2,1) + f(2,2) = \frac{4}{18} + \frac{6}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$
驗證：$4/9 + 5/9 = 1$。

邊際機率質量函數 (Marginal PMF) of Y:
$f_Y(y) = \sum_x f(x,y)$
$f_Y(1) = f(1,1) + f(2,1) = \frac{3}{18} + \frac{4}{18} = \frac{7}{18}$
$f_Y(2) = f(1,2) + f(2,2) = \frac{5}{18} + \frac{6}{18} = \frac{11}{18}$
驗證：$7/18 + 11/18 = 18/18 = 1$。

計算 $E[X]$:
$E[X] = \sum_x x \cdot f_X(x) = 1 \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{9} + \frac{10}{9} = \frac{14}{9}$

計算 $E[Y]$:
$E[Y] = \sum_y y \cdot f_Y(y) = 1 \cdot \frac{7}{18} + 2 \cdot \frac{11}{18} = \frac{7}{18} + \frac{22}{18} = \frac{29}{18}$

計算 $E[XY]$:
$E[XY] = \sum_x \sum_y xy \cdot f(x,y)$
$E[XY] = (1)(1)f(1,1) + (1)(2)f(1,2) + (2)(1)f(2,1) + (2)(2)f(2,2)$
$E[XY] = 1 \cdot \frac{3}{18} + 2 \cdot \frac{5}{18} + 2 \cdot \frac{4}{18} + 4 \cdot \frac{6}{18}$
$E[XY] = \frac{3}{18} + \frac{10}{18} + \frac{8}{18} + \frac{24}{18} = \frac{3+10+8+24}{18} = \frac{45}{18}$
可以化簡為 $\frac{5}{2}$。

計算 $Cov(X,Y)$:
$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{45}{18} - \left(\frac{14}{9}\right) \left(\frac{29}{18}\right)$
$Cov(X,Y) = \frac{5}{2} - \frac{14 \cdot 29}{9 \cdot 18} = \frac{5}{2} - \frac{406}{162}$

本題考驗對棣美弗-拉普拉斯定理 (De Moivre-Laplace Theorem) 的理解與應用，該定理是中央極限定理的一個特殊情況，用於近似二項分佈。

題目給定：
總試驗次數 (擊球數) $n = 490$。
實際擊球成功率 (好球率) $p = 0.3$。
我們關心的是至少擊出 160 次成功的機率。

(a) 尋找適用的機率分佈。
二項分佈 $B(n, p)$ 的期望值為 $np$，變異數為 $np(1-p)$。
當 $n$ 足夠大時，二項分佈可以用常態分佈 (Normal Distribution) 來近似。
棣美弗-拉普拉斯定理指出，對於足夠大的 $n$，二項分佈 $B(n,p)$ 可以用期望值為 $\mu = np$ 且標準差為 $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ 的常態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$ 來近似。

計算期望值 $\mu$：
$\mu = np = 490 \times 0.3 = 147$

計算變異數 $\sigma^2$：
$p = 0.3$, $1-p = 0.7$
$\sigma^2 = np(1-p) = 490 \times 0.3 \times 0.7 = 147 \times 0.7 = 102.9$

計算標準差 $\sigma$：
$\sigma = \sqrt{102.9} \approx 10.144$

因此，對於擊球次數 $X \sim B(490, 0.3)$，當 $n$ 很大時，我們可以近似為 $X \sim N(147, 102.9)$。

本題要求解釋機率論中的三個重要概念：機率收斂、分佈收斂，並判斷兩者之間的關係。

(a) 機率收斂 (Convergence in probability) 的定義。
一個隨機變數序列 $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ 被稱為機率收斂到隨機變數 $X$，如果對於任意的 $\epsilon > 0$，都有
$\lim_{n\to\infty} P(|X_n - X| < \epsilon) = 1$
或者等價地，
$\lim_{n\to\infty} P(|X_n - X| \ge \epsilon) = 0$
這表示隨著 $n$ 的增大， $X_n$ 與 $X$ 的差值的絕對值大於任意給定正數 $\epsilon$ 的機率趨近於 0。換句話說，$X_n$ 越來越有可能接近 $X$。

(b) 分佈收斂 (Convergence in distribution) 的定義。
一個隨機變數序列 $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ 被稱為分佈收斂到隨機變數 $X$，如果對於 $X$ 的累積分佈函數 (CDF) $F_X(x)$ 的所有連續點 $x$，都有
$\lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)$
其中 $F_{X_n}(x) = P(X_n \le x)$ 是 $X_n$ 的累積分佈函數。
這表示隨著 $n$ 的增大， $X_n$ 的機率分佈越來越接近 $X$ 的機率分佈。請注意，分佈收斂不要求隨機變數 $X_n$ 和 $X$ 具有相同的樣本空間或機率測度，它只關心它們的機率分佈。

(c) 判斷機率收斂與分佈收斂之間的關係。
首先，機率收斂可以推導出分佈收斂。
證明：如果 $X_n$ 機率收斂到 $X$，則 $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ 對於 $F_X$ 的連續點 $x$。
$F_{X_n}(x) = P(X_n \le x)$
我們知道 $|X_n - X| \to 0$ in probability。
考慮 $P(X_n \le x)$。
$P(X_n \le x) = P(X_n \le x, X \le x+\epsilon) + P(X_n \le x, X > x+\epsilon)$
$P(X_n \le x) \le P(X \le x+\epsilon) + P(|X_n - X| > \epsilon)$
因此，
$\limsup_{n\to\infty} P(X_n \le x) \le P(X \le x+\epsilon)$
由於 $P(|X_n - X| \ge \epsilon) \to 0$ for any $\epsilon > 0$。
$P(X_n \le x) = P(X_n \le x, X \ge x-\epsilon) + P(X_n \le x, X < x-\epsilon)$
$P(X_n \le x) \le P(X \ge x-\epsilon) + P(|X_n - X| > \epsilon)$
$\liminf_{n\to\infty} P(X_n \le x) \ge P(X \ge x-\epsilon) = 1 - P(X < x-\epsilon)$
如果 $x$ 是 $F_X$ 的連續點，則 $P(X < x-\epsilon) = P(X \le x-\epsilon)$。
$\liminf_{n\to\infty} P(X_n \le x) \ge 1 - F_X(x-\epsilon)$
當 $\epsilon \to 0$， $F_X(x-\epsilon) \to F_X(x)$ (因為 $x$ 是連續點)。
所以，
$\liminf_{n\to\infty} F_{X_n}(x) \ge 1 - F_X(x)$
綜合 $\limsup_{n\to\infty} F_{X_n}(x) \le F_X(x+\epsilon)$ 和 $\liminf_{n\to\infty} F_{X_n}(x) \ge 1 - F_X(x-\epsilon)$，並令 $\epsilon \to 0$，我們得到 $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$。
所以，機率收斂可以推導出分佈收斂。

反過來，分佈收斂不一定能推導出機率收斂。
舉例說明：
設 $X_n$ 是一個隨機變數序列，其中 $X_n$ 在 $0$ 和 $n$ 之間均勻分佈，即 $X_n \sim U(0, n)$。
令 $X$ 為一個常數隨機變數 $X=0$。
則 $X_n$ 的 CDF 為 $F_{X_n}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x/n & 0 \le x < n \\ 1 & x \ge n \end{cases}$。
$X$ 的 CDF 為 $F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0 \end{cases}$。
對於 $x > 0$， $\lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = \lim_{n\to\infty} x/n = 0$。