109 年 國立清華大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

此題考驗對國民所得恆等式的基本理解。在一個封閉經濟體系中，總儲蓄（S）定義為總所得（Y）減去消費（C）與政府支出（G），即 $S = Y - C - G$。同時，我們知道在封閉經濟體系中，總產出（Y）等於消費（C）加上投資（I）與政府支出（G），即 $Y = C + I + G$。將後者代入前者，可得 $S = (C + I + G) - C - G = I$。因此，在封閉經濟中，國民儲蓄等於投資。

更進一步，若考慮政府部門，總國民儲蓄（National Saving, S）可分為私人儲蓄（Private Saving, $S_p$）和政府儲蓄（Government Saving, $S_g$）。

此題考驗貨幣數量學說（Quantity Theory of Money）的應用，特別是貨幣交易方程式（Equation of Exchange）：$MV = PY$，其中 M 為名目貨幣供給，V 為貨幣流通速度，P 為物價水準，Y 為實質 GDP。

已知：
名目貨幣供給 ($M$) = $600,000,000$
貨幣流通速度 ($V$) = 10
物價水準 ($P$) = 1.25
實質 GDP ($Y$) = ?

此題考驗風險與貨幣需求之間的關係。

核心觀念：貨幣是流動性最高的資產，持有貨幣的機會成本是其無法賺取利息或報酬。然而，貨幣也提供了一種規避風險（特別是資產價值波動風險）的手段。

分析：

1. 風險的定義：在此脈絡下，風險通常指資產（如股票、債券）價值的波動性或不確定性。
2. 風險規避：當經濟體系中總體風險增加時，投資者通常會尋求更安全的資產來持有，以降低其投資組合的整體風險。
3. 貨幣作為安全資產：在不確定的環境下，現金（貨幣）被視為一種風險最低的資產，因為其名目價值是固定的（雖然實質價值會受通膨影響，但名目價值本身不波動）。

此題考驗對 Okun's Law 的理解與應用。Okun's Law 描述了失業率變動與實質 GDP 變動之間的經驗性關係。

核心觀念：Okun's Law 指出，當失業率下降時，實質 GDP 會以比正常情況更高的速度增長；反之，當失業率上升時，實質 GDP 的增長會放緩甚至出現負增長。

題目敘述中的 Okun's Law 公式：$(\Delta Y/Y) = 3 - 2\Delta u$
這個公式可能是一個簡化或變形的版本。標準的 Okun's Law 通常表示為 GDP 缺口（output gap）與失業率缺口（unemployment gap）的關係，或者描述失業率每變動一個百分點，GDP 變動多少百分點。
一個常見的表述是：GDP 增長率 - 自然失業率下的 GDP 增長率 = $-\beta \times (\text{實際失業率} - \text{自然失業率})$。
另一個常見的表述是：每當失業率每下降 1 個百分點，GDP 增長率會提高約 2 個百分點。即 $\Delta Y/Y \approx -2 \Delta u$（其中 $\Delta u$ 是失業率的變動，例如從 5% 到 4% 是 $\Delta u = -1\%$）。

題目給定的公式 $(\Delta Y/Y) = 3 - 2\Delta u$ 似乎是一個更為複雜的形式，可能包含了某種基準情況或常數項。
如果我們假設 $\Delta u$ 是失業率的「變動」，例如從 $u_t$ 到 $u_{t+1}$，則 $\Delta u = u_{t+1} - u_t$。
而 $\Delta Y/Y$ 是實質 GDP 的「變動率」。
這個公式中的常數 3 比較特殊，可能代表了在 $\Delta u = 0$ 時，GDP 增長率為 3%（這可能是趨勢增長率）。

我們將依據題目給定的公式來回答。

(a) Use a diagram to illustrate Okun's law.

Okun's Law 描述的是失業率變動與 GDP 變動之間的關係。我們可以將此關係繪製在一個圖表中，其中一個軸代表失業率（或其變動），另一個軸代表 GDP 增長率（或其變動）。

圖表說明：
在圖表中，我們通常會繪製一條「Okun's Line」。

• 橫軸 (X 軸)：失業率變動 ($\Delta u$)。
• 縱軸 (Y 軸)：實質 GDP 增長率 ($\Delta Y/Y$)。

根據題目給定的公式 $(\Delta Y/Y) = 3 - 2\Delta u$，這是一條斜率為 -2 的直線。

• 當 $\Delta u = 0$ 時，$\Delta Y/Y = 3$。這表示即使失業率沒有變動，GDP 仍有 3% 的增長（這可能是潛在的趨勢增長率）。
• 當 $\Delta u > 0$（失業率上升）時，$\Delta Y/Y < 3$（GDP 增長率下降）。例如，如果失業率上升 1 個百分點 ($\Delta u = 1$)，則 GDP 增長率為 $3 - 2(1) = 1\%$。
• 當 $\Delta u < 0$（失業率下降）時，$\Delta Y/Y > 3$（GDP 增長率上升）。例如，如果失業率下降 1 個百分點 ($\Delta u = -1$)，則 GDP 增長率為 $3 - 2(-1) = 5\%$。

圖形繪製：
繪製一條通過點 $(0, 3)$ 且斜率為 -2 的直線。
[在實際講義中，此處應繪製一個圖表：

• 縱軸標示為 $\Delta Y/Y$
• 橫軸標示為 $\Delta u$
• 繪製一條從左下方延伸到右上方，經過點 $(0, 3)$ 的直線，斜率為 -2。
• 標示幾個點，例如：
  • 當 $\Delta u = 0$, $\Delta Y/Y = 3$
  • 當 $\Delta u = 1$, $\Delta Y/Y = 1$
  • 當 $\Delta u = -1$, $\Delta Y/Y = 5$
    ]

(b) Explain the economic meaning of Okun's law.

Okun's Law 的經濟意義在於它揭示了勞動市場（失業率）與實體經濟產出（GDP）之間存在著緊密且可量化的關聯。
具體來說，它表明：

1. 勞動市場與產出市場的聯動：失業率是衡量勞動市場閒置程度的重要指標，而 GDP 則衡量整體經濟的產出水平。Okun's Law 證明了這兩者並非獨立運行，而是相互影響、同步變動的。
2. GDP 增長與失業率下降的關係：當經濟處於擴張階段，GDP 快速增長時，企業為了滿足增加的需求，會增加生產，進而需要僱傭更多勞動力，導致失業率下降。Okun's Law 量化了這種關係：GDP 增長率越高，失業率下降的速度越快。

此題考驗對成長會計方程式（Growth Accounting Equation）的理解與應用，這是分析經濟增長來源的重要工具。

核心觀念：成長會計方程式將總體經濟的產出增長分解為生產要素（資本 K、勞動 L）的投入增長以及生產效率（全要素生產率 A）的增長。

生產函數：$Y = AF(K, L)$
假設生產函數為齊次一次（Cobb-Douglas 形式是常見的例子，$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$）。
對生產函數取對數：$\ln Y = \ln A + \ln F(K, L)$
對時間微分：$\frac{1}{Y}\frac{dY}{dt} = \frac{1}{A}\frac{dA}{dt} + \frac{1}{F(K,L)}\frac{\partial F}{\partial K}\frac{dK}{dt} + \frac{1}{F(K,L)}\frac{\partial F}{\partial L}\frac{dL}{dt}$
為了簡化，我們將 $\frac{\partial F}{\partial K} \frac{K}{F(K,L)}$ 定義為資本的產出彈性 $\alpha_K$，以及 $\frac{\partial F}{\partial L} \frac{L}{F(K,L)}$ 定義為勞動的產出彈性 $\alpha_L$。
若生產函數 $F(K,L)$ 是齊次一次的，則 $\alpha_K + \alpha_L = 1$。
此時，$\frac{1}{F(K,L)}\frac{\partial F}{\partial K} = \frac{\alpha_K}{K}$ 且 $\frac{1}{F(K,L)}\frac{\partial F}{\partial L} = \frac{\alpha_L}{L}$。
代入微分後的方程式：
$\frac{1}{Y}\frac{dY}{dt} = \frac{1}{A}\frac{dA}{dt} + \frac{\alpha_K}{K}\frac{dK}{dt} + \frac{\alpha_L}{L}\frac{dL}{dt}$
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta A}{A} + \alpha_K \frac{\Delta K}{K} + \alpha_L \frac{\Delta L}{L}$ （用離散形式表示）

(a) What do $\alpha_K$ and $\alpha_L$ represent?

$\alpha_K$ 和 $\alpha_L$ 代表資本和勞動的產出彈性 (Output Elasticities)。

• $\alpha_K$：表示在其他生產要素投入不變的情況下，資本存量每增加 1%，總產出 $Y$ 的百分比變化。換句話說，它是資本投入的邊際產出與平均產出的比率，即 $MPK \cdot \frac{K}{Y}$，其中 $MPK = \frac{\partial Y}{\partial K}$。
• $\alpha_L$：表示在其他生產要素投入不變的情況下，勞動投入每增加 1%，總產出 $Y$ 的百分比變化。換句話說，它是勞動投入的邊際產出與平均產出的比率，即 $MPL \cdot \frac{L}{Y}$，其中 $MPL = \frac{\partial Y}{\partial L}$。

在許多標準的生產函數形式（如 Cobb-Douglas）下，若生產函數是齊次一次的，則 $\alpha_K$ 和 $\alpha_L$ 也分別等於資本和勞動在總產出中所佔的份額（factor shares）。

(b) What are the sources of economic growth according to the growth accounting equation?

根據成長會計方程式：
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta A}{A} + \alpha_K \frac{\Delta K}{K} + \alpha_L \frac{\Delta L}{L}$
經濟增長（總產出 $Y$ 的增長）的來源可以分解為以下三個部分：

1. 全要素生產率 (Total Factor Productivity, TFP) 的增長：即 $\frac{\Delta A}{A}$。這部分代表了生產效率的提高，例如技術進步、管理效率提升、制度改善等，它們使得相同的生產要素投入能產生更多的產出。
2. 資本存量的增長：即 $\alpha_K \frac{\Delta K}{K}$。這是指經濟體中資本（如機器設備、廠房等）數量的增加，為生產提供了更多的物質基礎。
3. 勞動投入的增長：即 $\alpha_L \frac{\Delta L}{L}$。這是指勞動力數量的增加或勞動時間的延長，為生產提供了更多的人力資源。

因此，經濟增長是技術進步、資本積累和勞動力增加共同作用的結果。

(c) Derive the Solow residual and state its economic meaning.

Solow 殘差 (Solow Residual) 是成長會計方程式中，無法由資本和勞動投入增長來解釋的產出增長部分。它通常被視為全要素生產率 (TFP) 的衡量。

從成長會計方程式：
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta A}{A} + \alpha_K \frac{\Delta K}{K} + \alpha_L \frac{\Delta L}{L}$
我們可以將 $\frac{\Delta A}{A}$ 移到等號左邊，得到：

此題考驗對景氣循環（Business Cycle）主要特徵（Stylized Facts）的掌握。景氣循環是指經濟活動總體水平在一段時間內的週期性波動，包含擴張（expansion）和收縮（contraction）階段。Stylized facts 是指在多個國家和多個景氣循環數據中反覆出現的、相對穩定的經驗性觀察。

以下列出景氣循環中，關於產出（Output）、生產力（Productivity）、就業（Employment）、消費（Consumption）等主要數量特徵（Stylized Facts）：

1. 總體經濟波動的普遍性 (Pervasiveness)：

   • 幾乎所有主要的總體經濟變數（如 GDP、消費、投資、就業、生產力等）都會隨著景氣循環而波動。很少有總體經濟變數能夠完全不受景氣循環影響。

2. 產出（Output, $Y$）的波動性 (Procyclicality)：

   • 產出是順週期性 (Procyclical)：實質 GDP 的增長率在擴張階段為正且較高，在收縮階段為負且較低。
   • 產出波動性中等：相較於投資等變數，GDP 的波動幅度相對較小，但仍是景氣循環中最核心的波動變數。

3. 消費（Consumption, $C$）的波動性 (Procyclicality)：

   • 消費是順週期性 (Procyclical)：消費的增長率隨著景氣循環而波動，擴張時增長，收縮時減緩或下降。
   • 消費波動性較小：相較於 GDP，消費的波動幅度通常較小。這是因為消費具有一定的「平滑性」（consumption smoothing）特徵，人們傾向於維持相對穩定的消費水平，而不是隨經濟波動劇烈調整。

4. 投資（Investment, $I$）的波動性 (Procyclicality)：

   • 投資是順週期性 (Procyclical)：投資的增長率隨景氣循環顯著波動，在擴張階段大幅增長，在收縮階段則顯著下降，甚至可能出現負增長。
   • 投資波動性最大：投資是景氣循環中最為波動的變數之一，其波動幅度通常遠大於 GDP 和消費。這是因為投資決策受未來預期影響較大，且具有較高的調整成本。

5. 就業（Employment, $L$）和失業率（Unemployment Rate, $u$）的波動性 (Procyclicality of Employment, Countercyclicality of Unemployment)：

   • 就業（或就業率）是順週期性 (Procyclical)：就業人數或總工時隨著經濟活動的擴張而增加，隨著經濟收縮而減少。
   • 失業率是逆週期性 (Countercyclical)：失業率在經濟擴張階段下降，在經濟收縮階段上升。
   • 滯後性 (Lags)：就業和失業率的變動通常會滯後於產出的變動。經濟復甦初期，企業可能先提高現有員工工時或暫時性僱用，而非立即增加永久性僱員；經濟衰退末期，企業也可能在產出開始回升後一段時間才開始裁員。

6. 生產力（Productivity, $A$ 或 $Y/L$）的波動性 (Procyclicality)：

此題考驗對貨幣供給變動在短期與長期對名目利率影響的理解，這通常透過流動性偏好模型（Liquidity Preference Model）或 IS-LM 模型來分析。

核心觀念：貨幣供給的變動會影響貨幣市場的均衡，進而影響名目利率。短期和長期之間的差異主要在於物價水準（P）和預期（Expectations）的調整速度。

短期分析 (Short Run)：
在短期內，我們假設物價水準（P）是固定的（sticky prices），且人們對未來物價的預期也相對穩定。

• 貨幣市場均衡：名目利率由貨幣的供給與需求決定。貨幣供給曲線 ($M^s$) 是垂直的（由央行決定），貨幣需求曲線 ($M^d$) 則向下傾斜，表示利率越高，人們持有的貨幣數量越少（因為持有貨幣的機會成本是失去的利息收入）。
  • 貨幣需求函數通常表示為 $M^d/P = L(i, Y)$，其中 $L$ 是實質貨幣需求的函數，取決於名目利率 $i$（機會成本）和實質所得 $Y$（交易需求）。
• 名目利率的決定：在短期，當央行增加貨幣供給 ($M^s$ 增加，因此實質貨幣供給 $M^s/P$ 也增加)，貨幣供給曲線向右移動。由於貨幣需求曲線在短期內保持不變（P 固定，Y 固定），這將導致貨幣市場的均衡利率下降。
• 原因：貨幣供給增加，意味著市場上的貨幣量超過了人們在當前物價和所得水平下願意持有的量。為了將多餘的貨幣「花掉」或「存入」能產生收益的資產（如債券），人們會增加對債券的需求，進而推高債券價格，降低債券的收益率（即名目利率）。

長期分析 (Long Run)：
在長期內，物價水準（P）是彈性的，並且會根據貨幣供給的變化進行調整。

• 物價水準的調整：根據貨幣數量學說 ($MV = PY$)，如果貨幣流通速度 ($V$) 和實質 GDP ($Y$) 在長期內相對穩定，那麼名目貨幣供給 ($M$) 的變動將導致物價水準 ($P$) 同比例變動。
• 實質貨幣需求的穩定性：在長期，實質所得 ($Y$) 和實質利率 ($r$) 被認為是相對穩定的，因此實質貨幣需求 $L(r, Y)$ 也是相對穩定的。
• 名目利率的決定：
  1. 短期衝擊：短期內，貨幣供給增加使名目利率下降。
  2. 物價預期與調整：名目利率下降會刺激交易需求（如 IS-LM 模型所示），導致總需求增加，進而推動物價 P 上升。
  3. 實質貨幣供給的恢復：隨著物價 P 的上漲，實質貨幣供給 ($M^s/P$) 會逐漸下降，直到回到其初始水平（假設央行增加的貨幣供給是永久性的）。
  4. 名目利率的回歸：當實質貨幣供給恢復到初始水平，且實質所得和實質利率也回到其長期均衡水平時，名目利率將會回升到其最初的水平。
• 費雪方程式 (Fisher Equation)：名目利率 ($i$)、實質利率 ($r$) 和預期通膨率 ($\pi^e$) 之間的關係為 $i = r + \pi^e$。

此題考驗對固定匯率、資本移動自由下的國際金融理論，以及開放經濟 IS-LM 模型應用。

前提條件：

• 固定匯率制 (Fixed Exchange Rate Regime)：政府承諾將本國貨幣匯率維持在某一特定水平或窄幅區間。
• 資本移動自由 (Perfect Capital Mobility)：資本可以無限制地在國家之間流動，投資者追求最高的預期報酬率。

(1) Uncovered Interest Parity (UIP)

核心觀念：在固定匯率制和資本移動自由的假設下，套利行為會使得兩國的預期名目利率（扣除預期匯率變動的影響）趨於相等。

• 已開發掘利率平價 (Covered Interest Parity, CIP)：指的是即期外匯市場和遠期外匯市場之間的關係。在 CIP 下，兩國的利率差等於遠期匯率與即期匯率之間的差額。
• 未開發掘利率平價 (Uncovered Interest Parity, UIP)：指的是對未來匯率變動的預期的影響。UIP 假設投資者在決定在哪裡投資時，不僅考慮當前的利率，還考慮未來匯率的變動。

UIP 的關係式：
在固定匯率制下，政府承諾維持匯率不變，因此預期的匯率變動為零（$\Delta E^e = 0$）。
考慮投資者在國內（Home）和國外（Foreign）投資的選擇。

• 國內資產的報酬率為 $i_H$。
• 國外資產的報酬率為 $i_F$，但這是在外幣上的報酬率。若要轉換回本國貨幣，還需考慮匯率變動。
  • 假設本國貨幣是美元（USD），外國貨幣是歐元（EUR）。
  • 匯率 $E$ 定義為每單位外幣的本國貨幣價格，例如 $E = \text{USD/EUR}$。
  • 在固定匯率下，政府承諾 $E$ 不變，所以預期匯率變動為零，即 $E^e = E$。
  • 如果投資者在國外持有資產，他們將獲得 $i_F$ 的報酬，然後將外幣換回本國貨幣。在固定匯率下，預期換匯時的匯率不變。

在固定匯率制下，由於預期匯率變動為零，未開發掘利率平價 (UIP) 趨於簡化：
$i_H = i_F$

解釋：
由於資本可以自由移動，任何微小的利率差異都會引發大規模的資本流動，直到兩國的預期名目利率相等為止。在固定匯率下，由於預期匯率變動為零，這就意味著兩國的名目利率必須相等。
如果 $i_H > i_F$，將有大量資本從外國流向國內，國內貨幣供給增加，利率下降；同時，為了維持匯率穩定，央行可能需要干預外匯市場，賣出本國貨幣，買入外國貨幣，這會減少國內貨幣供給，進一步推高 $i_H$。但由於資本移動自由，資本流動會迅速發生，直到 $i_H = i_F$。
反之，如果 $i_H < i_F$，資本將從國內流向國外，國內貨幣供給減少，利率上升；央行可能需要買入本國貨幣，賣出外國貨幣，增加國內貨幣供給，這會推低 $i_H$。
最終，套利壓力會使 $i_H = i_F$。

(2) Impacts of Expansionary Policies using IS-LM Model of an Open Economy

開放經濟 IS-LM 模型：

• IS 曲線：代表商品市場的均衡。在開放經濟中，IS 曲線斜率取決於邊際消費傾向、投資對利率的敏感度、政府支出乘數以及淨出口對匯率和國內收入的反應。
  • $Y = C(Y-T) + I(Y, i) + G + NX(E, Y, Y^*)$
  • 在固定匯率下，政府支出乘數會受到貨幣政策的影響（央行可能需要干預以維持匯率）。
• LM 曲線：代表貨幣市場的均衡。在固定匯率下，LM 曲線的行為變得複雜。由於資本移動自由，國內利率 $i_H$ 被國際利率 $i_F$ 所固定（$i_H = i_F$）。這意味著 LM 曲線實際上是一條水平線（$i = \bar{i}$），其中 $\bar{i}$ 是國際利率。
  • 重要修正：在固定匯率制下，貨幣政策的自主性喪失。如果央行試圖通過改變貨幣供給來影響利率，資本移動將會立即抵消這種影響，使利率回到國際水平。例如，如果央行增加貨幣供給，會導致利率下降，引發資本外流，央行被迫賣出外匯、買入本幣以維持匯率，這又會減少貨幣供給，使利率回升。因此，在固定匯率和資本自由移動下，貨幣政策是無效的，LM 曲線是水平的，其位置由國際利率決定。