114 年 國立清華大學經濟學系碩士班《總體經濟學》

核心觀念

本題比較三種勞動市場結果：

1. 完全資訊、完全競爭：工資可調整至勞動供需相等，因此沒有失業。
2. 資訊不完全：廠商看不清員工是否努力，必須支付效率工資，讓員工珍惜工作；工資高於市場出清水準時，會有失業。
3. 勞動市場摩擦：求職者與職缺需要時間配對，失業來自工作分離與媒合速度，而非單靠工資調整就能消除。

題目所附原頁是第 1 題「失業」的三小題，要求用圖形與方程式作答；頁面沒有另附可讀取的模型圖或數據。

解題方法

先以勞動供需圖說明完全競爭下工資如何使市場出清，再分別用「不偷懶條件」與「搜尋媒合模型」描述資訊不完全及勞動市場摩擦。兩個模型的關鍵差異是：效率工資模型著重員工是否偷懶，媒合模型著重失業者與職缺能否及時配對。

（a）完全資訊下的競爭均衡

設實質工資為 $w$，勞動供給為 $L^s(w)$，勞動需求為 $L^d(w)$。競爭均衡工資 $w^*$ 使勞動供需相等：

$$L^s(w^*)=L^d(w^*)=L^*$$

可用下圖表示：

實質工資 w
    │        勞動供給 Lˢ
    │       /
  w*│------●
    │     /  \
    │    /    \ 勞動需求 Lᵈ
    └────┼──────── 勞動量 L
         L*

在完全資訊、工資具彈性且市場競爭的假設下，願意以均衡工資工作的勞動者都能受雇。因此：

$$U=L^s(w^*)-L^d(w^*)=0$$

這裡的零失業是模型均衡結果；若有搜尋時間、工資僵固或資訊不完全，就不再是這組假設下的結論。

（b）資訊不完全與效率工資

模型設定。 假設員工努力程度無法被廠商完全觀察。若員工偷懶，廠商以機率率 $d$ 偵測並解雇；員工一旦失業，須等待一段時間才能找到新工作。員工因此會比較「保有工作所獲得的租金」與「努力的成本」。

令努力成本為 $e$、失業給付或外部所得為 $z$、時間偏好率為 $r$、工作分離率為 $s$、求職者找到工作的速率為 $f$。令 $V_E$ 為努力工作者的價值，$V_U$ 為失業者的價值。努力與偷懶的無差異條件可寫成：

$$e=d(V_E-V_U)$$

也就是說，努力的成本必須由「不努力可能失去的工作租金」補償。由在職者與失業者的價值方程可得，不偷懶條件對應的最低工資為：

$$w_{\mathrm{NS}} =z+e+\frac{(r+s+f)e}{d}$$

只要工資不低於 $w_{\mathrm{NS}}$，員工就有誘因努力工作。因為廠商需要用高於外部所得的工資讓員工珍惜職位，均衡工資可能高於勞動市場出清工資。若工資不降至供需相等，勞動供給便大於勞動需求，差額成為失業。

勞動供給增加的效果。 令勞動力為 $L$、就業為 $N$，失業率為：

$$u=\frac{L-N}{L}$$

假設勞動需求 $N^d(w)$ 隨工資上升而下降，而求職速率 $f(u)$ 隨失業率上升而下降。勞動供給增加後，若就業尚未調整，失業率會上升；較低的求職速率使員工失業後等待更久，降低廠商維持不偷懶所需的效率工資。

核心觀念

本題考查資本／產出比的動態變化與穩態。定義

$$\beta_t \equiv \frac{K_t}{Y_t}$$

若每期資本增加額為儲蓄 $sY_t$，資本累積式為

$$K_{t+1}=K_t+sY_t$$

勞動力每期以成長率 $g$ 成長時，採離散時間慣例有 $L_{t+1}=(1+g)L_t$。在規模報酬固定下，資本與產出可依勞動力成長率轉換；本題的比率動態可直接由資本累積式和產出成長率推得。

解題方法與推導

(a) $\beta_{t+1}$ 與 $\beta_t$ 的轉換式

題目未提供生產函數形式，因此依這類成長模型題目的標準設定，假設每位勞工的產出不變，使產出與勞動力同率成長，即 $Y_{t+1}=(1+g)Y_t$。由資本累積式可得：

$$\beta_{t+1} =\frac{K_{t+1}}{Y_{t+1}} =\frac{K_t+sY_t}{(1+g)Y_t} =\frac{\beta_t+s}{1+g}$$

(b) $\beta$ 的穩態值

穩態時資本／產出比不變，因此 $\beta_{t+1}=\beta_t=\beta^*$。代入轉換式：

$$\beta^*=\frac{\beta^*+s}{1+g}$$

整理得：

$$(1+g)\beta^*=\beta^*+s$$ $$\boxed{\beta^*=\frac{s}{g}}$$

(c) 納入資本利得後的穩態值

加入每期資本利得率 $q$ 後，題目給定：

$$K_{t+1}=(1+q)(K_t+sY_t)$$

因此：

$$\beta_{t+1} =\frac{K_{t+1}}{Y_{t+1}} =\frac{(1+q)(K_t+sY_t)}{(1+g)Y_t} =\frac{(1+q)(\beta_t+s)}{1+g}$$

令 $\beta_{t+1}=\beta_t=\beta^*$：

$$(1+g)\beta^*=(1+q)(\beta^*+s)$$

移項整理：

核心觀念

每人產出定義為總產出除以勞動人數，即 $y=Y/N$；每人資本定義為 $k=K/N$。本題要將總體生產函數改寫成每人形式。

解題方法

將生產函數兩邊同除以 $N$：

核心觀念

Solow 成長模型的穩態條件是：每位勞工的儲蓄投資，恰好等於維持資本勞動比所需的投資，即

$$s f(k)=(n+\delta)k$$

其中 $s$ 為儲蓄率、$n$ 為人口成長率、$\delta$ 為折舊率，$k=K/N$ 為資本勞動比。題目未給技術進步，故不需納入技術成長率。

解題方法

將生產函數改寫為每位勞工形式：

$$y=\frac{Y}{N} =\frac{K^{1/3}N^{2/3}}{N} =\left(\frac{K}{N}\right)^{1/3} =k^{1/3}$$

由 $S=0.6Y$ 可知儲蓄率 $s=0.6$。代入穩態條件，並使用 $\delta=0.1$、$n=0.05$：

$$0.6k^{1/3}=(0.1+0.05)k$$

核心觀念

AK 模型將資本報酬設為常數，生產函數為

$$Y=AK,$$

其中 $Y$ 是總產出、$K$ 是資本存量，$A>0$ 是技術水準。由於產出與資本成正比，資本的成長率就是總產出的成長率。

解題方法

設儲蓄率為 $s$、折舊率為 $\delta$，連續時間的資本累積式為

$$\dot K=sY-\delta K.$$

代入 $Y=AK$：

$$\dot K=sAK-\delta K=(sA-\delta)K.$$

因此資本成長率為

$$\frac{\dot K}{K}=sA-\delta.$$

核心觀念

開放經濟的商品市場均衡，是國內產出等於對國內商品的總支出。總支出包括民間消費 $C$、民間投資 $I$、政府支出 $G$，以及淨出口 $NX$。

淨出口定義為出口減進口：

$$NX=X-M$$

因此，開放經濟的商品市場均衡條件為：

$$Y=C+I+G+NX$$

解題方法

從國民所得支出面恆等式切入。封閉經濟沒有對外貿易，總支出為 $C+I+G$；開放經濟則須把國外對本國商品的支出（出口 $X$）加進來，並扣除國內支出中用來購買外國商品的部分（進口 $M$）。所以：

$$Y=C+I+G+X-M$$

由於 $NX=X-M$，可整理為：

$$Y=C+I+G+NX$$

核心觀念

支出面國內生產毛額的恆等式為：

$$Y=C+I+G+NX$$

其中，$Y$ 為產出，$C$ 為消費，$I$ 為投資，$G$ 為政府支出，$NX$ 為淨出口。

吸收是國內對商品與服務的總支出，定義為：

$$A=C+I+G$$

因此，在支出面恆等式中，$Y=A+NX$，吸收也可由產出扣除淨出口求得。

解題方法

先將題目給定數值代入支出面恆等式，移項求投資：

$$I=Y-C-G-NX$$ $$I=40-20-12-5=3$$

再計算吸收：

$$A=C+I+G$$

核心觀念

本題考的是 Keynesian 消費函數（凱因斯消費函數）的基本設定，以及如何利用圖形說明「富人儲蓄較多」（The rich people save more）這一命題。需要用到的核心定義與公式：

• 凱因斯消費函數：$C = a + bY$，其中 $a > 0$ 為自發性消費（autonomous consumption），$b$ 為邊際消費傾向（MPC, marginal propensity to consume），且 $0 < b < 1$。
• 儲蓄恆等式：$S = Y - C$。
• 45 度線：$C = Y$，代表「所得全部用於消費」的參考線。
• 平均消費傾向（APC）：$C/Y$；平均儲蓄傾向（APS）：$S/Y$。

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解題方法

由原卷第 3 頁（見原卷頁圖）確認，第 6 題為純文字申論題，題目要求：(1) 畫出凱因斯消費函數的圖形；(2) 利用圖形解釋「富人儲蓄較多」。以下依序完成。

一、消費函數的圖形說明

以橫軸為所得 $Y$、縱軸為消費 $C$，畫出兩條線：

1. 45 度線 $C = Y$：從原點出發，斜率為 1。
2. 消費線 $C = a + bY$：從縱軸截距 $(0, a)$ 出發，斜率為 $b < 1$。

由於消費線的斜率 $b < 1$ 小於 45 度線的斜率 1，且消費線在 $Y = 0$ 時有正截距 $a$，兩線必交於一點。令 $C = Y = a + bY$，解得：

$$Y^* = \frac{a}{1-b}$$

在交點處 $C = Y$，亦即儲蓄 $S = 0$。

  C
  ▲
  │          ╱ C = Y (45°線)
  │        ╱
  │      ╱   ╱ C = a + bY
  │    ╱  ╱
  │  ╱╱ ← 交點 (Y*, Y*)：S = 0
  │╱╱
  a─────────────────────► Y
  0        Y*     Y_rich

圖形中的關鍵觀察：

• 在交點左方（$Y < Y^*$）：消費線位於 45 度線上方，$C > Y$，代表儲蓄為負（$S < 0$），即「入不敷出」。
• 在交點右方（$Y > Y^*$）：消費線位於 45 度線下方，$C < Y$，代表儲蓄為正（$S > 0$）。
• 所得愈高（愈往右），45 度線與消費線之間的垂直距離愈大，代表儲蓄金額愈多。

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二、代數推導：富人儲蓄較多

將儲蓄寫成所得的函數：

核心觀念

數量說的基本方程式為：

$$MV=PY$$

其中：

• $M$：貨幣供給量或貨幣存量。
• $V$：貨幣流通速度，表示一單位貨幣在一定期間內平均用於購買最終商品與服務的次數。
• $P$：一般物價水準。
• $Y$：實質所得或實質產出。
• $PY$：名目所得或名目產出。

這個方程式說明，貨幣存量乘上貨幣流通速度，等於經濟體的名目支出。把它視為貨幣需求理論時，關鍵假設是貨幣流通速度 $V$ 相對穩定，或至少在分析期間內可視為給定。

解題方法：由數量方程式推導貨幣需求

貨幣需求是經濟人希望持有的貨幣數量，記為 $M^d$。將數量方程式中的貨幣存量 $M$ 解讀為所需持有的貨幣量 $M^d$，可得：

$$M^dV=PY$$

移項後：

$$M^d=\frac{1}{V}PY$$

令 $k\equiv 1/V$，便得到名目貨幣需求函數：

$$M^d=kPY$$

其中，$k$ 表示名目所得中以貨幣形式持有的比例；在 $V$ 給定時，$k$ 也為給定值。此式表示，名目貨幣需求與名目所得 $PY$ 成正比。

核心觀念

本題考查「消費者物價指數（CPI）是否能準確衡量生活成本」。CPI通常以固定商品籃計算，近似拉氏價格指數：

$$CPI_t=\frac{\sum_i p_{it}q_{i0}}{\sum_i p_{i0}q_{i0}}\times 100$$

其中 $q_{i0}$ 是基期消費數量。生活成本指數則衡量：為了維持相同效用水準，消費者需要支出多少。Boskin 委員會指出，CPI 向上偏誤的主要來源包括替代偏誤，以及新產品與品質變化未充分反映。委員會估計，1996 年 CPI 的年度高估約為 1.1 個百分點；高估幅度來自數種偏誤，其中包含上述兩大類。(美國社會安全署：Boskin 委員會報告摘要、美國勞工統計局：對報告的說明)

解題方法

作答時，先指出 CPI 的固定商品籃，再說明固定權重如何偏離消費者實際選擇，接著說明品質與新產品如何讓「商品價格上漲」不等於「維持生活水準所需支出等比例上升」。

一、替代偏誤