114 年 國立清華大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

本題主要考驗消費者理論中的固定比例偏好（或稱里昂惕夫偏好）下的消費者選擇問題，包含效用函數的設定、馬歇爾需求與希克斯需求函數的推導、價格變動下的總效果、替代效果與所得效果的計算，以及補償變異與等價變異的應用。

核心觀念：

1. 固定比例偏好 (Leontief Preferences)：消費者總是按照固定的比例組合消費商品，以最大化效用。
2. 馬歇爾需求函數 (Marshallian Demand)：在給定所得與價格下，使效用最大化的商品需求量。
3. 希克斯需求函數 (Hicksian Demand)：在給定價格下，使效用達到某一水平所需的最低支出，即支出函數的反函數。
4. 價格變動效果分解：根據希克斯法或斯拉茨基法，將總效果分解為替代效果與所得效果。
5. 補償變異 (CV)：為使消費者在價格變動後，仍能維持原有的效用水平，需要額外給予或抽取的金額。
6. 等價變異 (EV)：在價格變動前，給予消費者多少金額，使其在獲得此金額後，其效用水平與價格變動後的效用水平相同。

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解題過程：

Peter 總是按照 1 單位 ham (x) 配 2 單位 cheese (y) 的比例消費。這表示他的消費組合必須滿足 $y = 2x$。

(a) (2 points) Write down Peter's utility function for these two goods.

由於消費者總是按照固定比例消費，其效用函數為里昂惕夫型。為了使 $y=2x$ 成為最優組合，效用函數的形式通常為 $U(x, y) = \min(\alpha x, \beta y)$，其中 $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{y}{x} = 2$。我們可以選擇 $\alpha=1, \beta=2$，或者更簡潔地，將比例關係納入函數中，例如 $U(x, y) = \min(x, y/2)$。
另一種常見的表達方式是考慮消費組合的「瓶頸」，即 ham 的數量。為了得到 $y=2x$，每消費 $x$ 單位的 ham，就需要 $2x$ 單位的 cheese。因此，效用取決於 ham 的數量，或者說，效用是 ham 數量和 cheese 數量所能構成的組合中的「瓶頸」。若消費 $x$ 單位 ham 和 $y$ 單位 cheese，則能構成 $\min(x, y/2)$ 個「標準組合」（每個標準組合包含 1 單位 ham 和 2 單位 cheese）。

所以，效用函數可以寫成：
$U(x, y) = \min(x, y/2)$

【答案】$U(x, y) = \min(x, y/2)$

(b) (8 points) Solve Peter's Marshallian demand function and compensated demand function for both goods.

1. 馬歇爾需求函數 (Marshallian Demand)

Peter 的問題是最大化 $U(x, y)$，同時滿足預算限制 $P_x x + P_y y = I$。
由於 Peter 總是按照 $y = 2x$ 的比例消費，他會將所有所得用於購買這個固定比例的組合。
因此，他會選擇 $x^*$ 和 $y^*$ 使得 $y^* = 2x^*$。
將此代入預算限制式：
$P_x x^* + P_y (2x^*) = I$
$x^*(P_x + 2P_y) = I$
$x^* = \frac{I}{P_x + 2P_y}$

由於 $y^* = 2x^*$，所以：
$y^* = 2 \left( \frac{I}{P_x + 2P_y} \right) = \frac{2I}{P_x + 2P_y}$

這就是 Peter 的馬歇爾需求函數。

2. 希克斯需求函數 (Hicksian Demand)

希克斯需求函數是為了達到某個效用水平 $\bar{U}$ 所需的最低支出。
對於固定比例偏好，效用水平 $\bar{U} = \min(x, y/2)$。
為了達到效用水平 $\bar{U}$，必須有 $x \ge \bar{U}$ 且 $y/2 \ge \bar{U}$，即 $y \ge 2\bar{U}$。
為了最小化支出 $E = P_x x + P_y y$，並滿足 $x \ge \bar{U}$ 和 $y \ge 2\bar{U}$，消費者會選擇恰好滿足這些條件的組合，即 $x = \bar{U}$ 和 $y = 2\bar{U}$。
此時的支出為：
$E(\bar{U}, P_x, P_y) = P_x \bar{U} + P_y (2\bar{U}) = \bar{U}(P_x + 2P_y)$

這是支出函數。希克斯需求函數是支出函數對價格的導數（或者說，是使支出最小化的 $x$ 和 $y$）。
因此，希克斯需求函數為：
$x^h(\bar{U}, P_x, P_y) = \bar{U}$
$y^h(\bar{U}, P_x, P_y) = 2\bar{U}$

【答案】
馬歇爾需求函數：$x^*(I, P_x, P_y) = \frac{I}{P_x + 2P_y}$, $y^*(I, P_x, P_y) = \frac{2I}{P_x + 2P_y}$
希克斯需求函數：$x^h(\bar{U}, P_x, P_y) = \bar{U}$, $y^h(\bar{U}, P_x, P_y) = 2\bar{U}$

(c) (6 points) Suppose Peter's income is $20 (I = 20)$ and $P_x = 1$. Now $P_x$ decreases from $3$ to $2$ and his income and $P_y$ did not change.
Calculate the total effect (TE), the substitution effect (SE) and the income effect (IE) on the demand for ham (good x).

我們需要計算 ham (good x) 的需求變化。
已知：$I = 20$, $P_y = 1$。
初始價格 $P_{x1} = 3$。
變動後價格 $P_{x2} = 2$。

1. 計算初始與變動後的總需求量 (馬歇爾需求)

初始情況 ($P_{x1} = 3$):

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 由生產函數求邊際產量，進而求技術替代率。
2. 由 MRTS 的對數變化求替代彈性。
3. 利用成本極小化的一階條件
   $\frac{MP_L}{MP_K}=\frac{w}{r}$
   判斷生產力變動對投入比例 $L/K$ 的影響。

令

$$S=(BL)^\rho+K^\rho$$

則生產函數為

$$q=A S^{1/\rho}.$$

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(a) MRTS 與替代彈性

1. 邊際產量

對勞動 $L$ 微分：

$$MP_L=\frac{\partial q}{\partial L} =A S^{\frac{1}{\rho}-1}B^\rho L^{\rho-1}.$$

對資本 $K$ 微分：

$$MP_K=\frac{\partial q}{\partial K} =A S^{\frac{1}{\rho}-1}K^{\rho-1}.$$

因此，勞動對資本的 MRTS 為

$$MRTS_{L,K} =\frac{MP_L}{MP_K}.$$

代入邊際產量：

$$MRTS_{L,K} =\frac{A S^{\frac{1}{\rho}-1}B^\rho L^{\rho-1}} {A S^{\frac{1}{\rho}-1}K^{\rho-1}} =B^\rho\frac{L^{\rho-1}}{K^{\rho-1}}.$$

整理得

$$\boxed{ MRTS_{L,K} =B^\rho\left(\frac{K}{L}\right)^{1-\rho} }$$

若以等產量曲線斜率表示，則

$$\frac{dK}{dL}\bigg|_q =-\frac{MP_L}{MP_K} =-B^\rho\left(\frac{K}{L}\right)^{1-\rho}.$$

其中 MRTS 通常取其絕對值，因此使用正值表示。

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2. 替代彈性

替代彈性定義為投入比例對 MRTS 的反應程度：

$$\sigma =\frac{d\ln(K/L)} {d\ln(MRTS_{L,K})}.$$

由

$$MRTS_{L,K} =B^\rho\left(\frac{K}{L}\right)^{1-\rho}$$

取對數：

$$\ln MRTS_{L,K} =\rho\ln B+(1-\rho)\ln\left(\frac{K}{L}\right).$$

由於 $B$ 為給定的技術參數，

$$d\ln MRTS_{L,K} =(1-\rho)d\ln(K/L).$$

因此

$$\sigma =\frac{d\ln(K/L)} {(1-\rho)d\ln(K/L)} =\frac{1}{1-\rho}.$$

故

$$\boxed{\sigma=\frac{1}{1-\rho}}.$$

因為題設 $\rho<1$，所以 $\sigma>0$。

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(b) 生產力變動對 $L/K$ 的影響

成本極小化時，投入組合必須滿足

$$\frac{MP_L}{MP_K}=\frac{w}{r}.$$

利用前面求得的 MRTS：

$$B^\rho\left(\frac{K}{L}\right)^{1-\rho} =\frac{w}{r}.$$

改寫為 $L/K$ 的形式：

$$B^\rho\left(\frac{L}{K}\right)^{\rho-1} =\frac{w}{r}.$$

由於 $\rho-1=-(1-\rho)$，可得

本題考察完全競爭市場下的均衡分析，以及政府補貼對市場均衡、消費者剩餘、生產者剩餘及無謂損失的影響。

核心觀念：

1. 市場均衡：供給量等於需求量時的價格與數量。
2. 政府補貼：政府對生產者或消費者提供的金錢補助，會影響供給或需求曲線的位置。
3. 消費者剩餘 (CS)：消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額總和。
4. 生產者剩餘 (PS)：生產者實際獲得的價格與其願意接受的最低價格之間的差額總和。
5. 無謂損失 (Deadweight Loss, DWL)：因市場扭曲（如稅或補貼）導致的總剩餘（CS + PS）的淨損失，代表社會福利的損耗。

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解題過程：

已知需求函數 $Q^D = 30-2P$ 和供給函數 $Q^S = -10+2P$。

(a) (7 points) Solve the equilibrium market price and quantity.

市場均衡發生在需求量等於供給量時：$Q^D = Q^S$。
$30 - 2P = -10 + 2P$
$40 = 4P$
$P = 10$

將均衡價格代入任一函數，可得均衡數量：
$Q = 30 - 2(10) = 30 - 20 = 10$
或
$Q = -10 + 2(10) = -10 + 20 = 10$

【答案】均衡價格 $P = 10$，均衡數量 $Q = 10$。

(b) (7 points) Suppose the government provides a specific subsidy ($2 per unit). Solve the price the consumers paid and the equilibrium quantity.

政府提供每單位 2 元的補貼。這會使得供給曲線向下移動（或說，廠商願意接受的價格降低）。
如果補貼是給生產者的，那麼對於相同的產量，廠商現在願意接受的價格比原來低 2 元。
原供給函數是 $Q^S = -10 + 2P$。我們可以將價格表示為產量的函數：$2P = Q^S + 10 \implies P = \frac{1}{2}Q^S + 5$。
若政府補貼 2 元，廠商現在願意接受的最低價格是 $P_{seller} = (\frac{1}{2}Q + 5) - 2 = \frac{1}{2}Q + 3$。
新的供給函數（從廠商角度看，是其接受的價格）為 $P_{seller} = \frac{1}{2}Q + 3$。
寫成 $Q$ 對 $P$ 的函數，即 $Q^S_{new} = 2(P_{seller} - 3) = 2P_{seller} - 6$。

我們需要找到新的均衡點，其中需求價格 $P_{consumer}$ 與供給價格 $P_{seller}$ 之間的差額等於補貼額，即 $P_{consumer} - P_{seller} = 2$。
新的均衡點是需求曲線 $Q^D = 30 - 2P_{consumer}$ 和新的供給曲線 $Q^S = -10 + 2P_{seller}$ 相交，且 $P_{consumer} - P_{seller} = 2$。

我們將 $P_{seller} = P_{consumer} - 2$ 代入供給函數：
$Q^S = -10 + 2(P_{consumer} - 2)$
$Q^S = -10 + 2P_{consumer} - 4$
$Q^S = 2P_{consumer} - 14$

新的均衡是 $Q^D = Q^S$：
$30 - 2P_{consumer} = 2P_{consumer} - 14$
$44 = 4P_{consumer}$
$P_{consumer} = 11$

這是消費者支付的價格。
新的均衡數量為：
$Q_{new} = 30 - 2(11) = 30 - 22 = 8$
或
$Q_{new} = 2(11) - 14 = 22 - 14 = 8$

此時，生產者獲得的價格 $P_{seller}$ 為：
$P_{seller} = P_{consumer} - subsidy = 11 - 2 = 9$。
驗證：將 $P_{seller}=9$ 代入原供給函數 $Q^S = -10 + 2P$，得到 $Q^S = -10 + 2(9) = -10 + 18 = 8$。與 $Q_{new}$ 相符。

【答案】消費者支付的價格 $P_{consumer} = 11$，均衡數量 $Q_{new} = 8

本題主要考驗賽局理論中的經典範例「囚徒困境」，包含其定義、核心困境的解釋、重要性及現實生活中的應用。

核心觀念：

1. 賽局理論 (Game Theory)：研究理性個體在互動情境下的決策。
2. 囚徒困境 (Prisoner's Dilemma)：一種非零和賽局，其中兩個理性個體（或稱玩家）的合作將能帶來更好的集體結果，但由於個體理性選擇的結果是背叛（不合作），導致雙方都獲得次優的結果。
3. 優勢策略 (Dominant Strategy)：無論對方採取何種策略，對自己而言都是最佳策略。
4. 納許均衡 (Nash Equilibrium)：賽局中的一種狀態，其中沒有任何玩家可以透過單方面改變策略來提高自己的收益。在囚徒困境中，雙方都選擇背叛是納許均衡。
5. 社會理性 vs. 個人理性：囚徒困境展示了個人理性選擇可能導致集體非理性的結果。

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解題過程：

(a) Give an example of the Prisoner's Dilemma game and explain why it is a dilemma.

範例：經典的囚徒困境

兩名嫌犯 A 和 B 因涉嫌重大犯罪被逮捕，但警方證據不足，只能以較輕的罪名起訴。警方將他們隔離審訊，並提出以下交易：

• 若 A 和 B 互相坦白（背叛對方）：兩人各判 5 年。
• 若 A 坦白，B 沉默（合作）：A 判 1 年（輕判），B 判 10 年（重判）。
• 若 B 坦白，A 沉默（合作）：B 判 1 年（輕判），A 判 10 年（重判）。
• 若 A 和 B 都沉默（合作）：兩人各判 2 年（輕判）。

我們可以將此結果表示為支付矩陣（年數越少越好，故為「負收益」或「懲罰」）：

	B 沉默 (合作)	B 坦白 (背叛)
A 沉默 (合作)	(-2, -2)	(-10, -1)
A 坦白 (背叛)	(-1, -10)	(-5, -5)

困境的解釋：

這個賽局的困境在於：

1. 個人理性選擇：

   • 從 A 的角度來看：
     • 如果 B 沉默，A 選擇坦白（-1 年）比沉默（-2 年）好。
     • 如果 B 坦白，A 選擇坦白（-5 年）比沉默（-10 年）好。
       因此，無論 B 怎麼做，A 都會選擇坦白。坦白是 A 的優勢策略。
   • 從 B 的角度來看，情況是對稱的。無論 A 怎麼做，B 都會選擇坦白。坦白是 B 的優勢策略。

2. 納許均衡 vs. 集體最佳結果：

   • 由於雙方都有優勢策略「坦白」，賽局的納許均衡是（A 坦白, B 坦白），結果是兩人各判 5 年。
   • 然而，這個結果（-5, -5）並非集體最佳結果。如果兩人都能合作（都沉默），他們可以達到（A 沉默, B 沉默），結果是兩人各判 2 年。這個結果（-2, -2）對雙方都更有利。

困境在於：儘管合作（都沉默）能帶來更好的集體結果（-2, -2），但由於個體理性的驅使（選擇優勢策略「坦白」以避免最差結果 -10，並爭取更好的結果 -1），兩個理性的人最終都會選擇背叛，導致雙方都得到次優的結果（-5, -5）。每個人都想從對方合作中獲利，但又害怕被對方背叛，最終導致雙輸。

本題考驗賽局理論中的寡占模型，特別是庫諾（Cournot）模型，包含其均衡求解、與獨占的比較、外部性問題以及模型的局限性。

核心觀念：

1. 庫諾模型 (Cournot Model)：一個寡占模型，其中幾家企業同時決定產量，並假設其他企業的產量固定。
2. 反應函數 (Reaction Function)：一個企業在其對手決定產量後，為最大化自身利潤而設定的產量。
3. 庫諾均衡 (Cournot Equilibrium)：所有企業都根據其反應函數決定產量，且沒有企業想單方面改變產量時的狀態。
4. 獨占 (Monopoly)：單一企業控制整個市場。
5. 外部性 (Externality)：一個經濟主體的行為對其他主體產生了影響，但這種影響並未在市場價格中得到體現。
6. 賽局模型的局限性：任何模型都是對現實的簡化，庫諾模型也有其假設上的限制。

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解題過程：

(a) Give an example of the Cournot game with two players and solve for the equilibrium. Compare the joint profit in Cournot equilibrium with the monopoly profit.

範例：兩家寡占廠商的庫諾賽局

假設市場上有兩家廠商（廠商 1 和廠商 2）生產同質產品。市場需求曲線為 $P = a - b(q_1 + q_2)$，其中 $q_1$ 和 $q_2$ 分別是廠商 1 和廠商 2 的產量，$a$ 和 $b$ 為正的常數。假設兩家廠商的邊際成本均為 $c$，且固定成本為 0。

1. 求解廠商的反應函數

廠商 1 的利潤函數為：
$\pi_1 = P \cdot q_1 - c \cdot q_1 = (a - b(q_1 + q_2))q_1 - cq_1$
$\pi_1 = aq_1 - bq_1^2 - bq_1q_2 - cq_1$

廠商 1 為了最大化利潤，對 $q_1$ 求導並令其等於 0：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = a - 2bq_1 - bq_2 - c = 0$
$2bq_1 = a - bq_2 - c$
$q_1 = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}q_2$
這是廠商 1 的反應函數。

由於兩家廠商面對對稱的市場和成本結構，廠商 2 的反應函數為：
$q_2 = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}q_1$

2. 求解庫諾均衡

將兩家廠商的反應函數聯立求解：
將 $q_2$ 代入 $q_1$ 的反應函數：
$q_1 = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2} \left( \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}q_1 \right)$
$q_1 = \frac{a - c}{2b} - \frac{a - c}{4b} + \frac{1}{4}q_1$
$q_1 - \frac{1}{4}q_1 = \frac{a - c}{4b}$
$\frac{3}{4}q_1 = \frac{a - c}{4b}$
$q_1 = \frac{a - c}{3b}$

由於對稱性，廠商 2 的均衡產量也為：
$q_2 = \frac{a - c}{3b}$

總市場產量為 $Q_{Cournot} = q_1 + q_2 = \frac{2(a - c)}{3b}$。
均衡價格為 $P_{Cournot} = a - b(q_1 + q_2) = a - b \left( \frac{2(a - c)}{3b} \right) = a - \frac{2(a - c)}{3} = \frac{3a - 2a + 2c}{3} = \frac{a + 2c}{3}$。

3. 計算庫諾均衡下的聯合利潤

廠商 1 的均衡利潤：
$\pi_1 = (P_{Cournot} - c)q_1 = \left(\frac{a + 2c}{3} - c\right) \frac{a - c}{3b} = \left(\frac{a + 2c - 3c}{3}\right) \frac{a - c}{3b} = \left(\frac{a - c}{3}\right) \frac{a - c}{3b} = \frac{(a - c)^2}{9b}$
由於對稱性，廠商 2 的利潤 $\pi_2 = \pi_1$。
總聯合利潤 (Joint Profit) = $\pi_1 + \pi_2 = \frac{2(a - c)^2}{9b}$。

4. 計算獨占利潤

如果只有一家廠商（獨占者），它將面臨整個市場需求曲線 $P = a - bQ$，其中 $Q = q_1$。
獨占者的利潤函數為：

本題考驗關於資源分配效率的概念，特別是帕雷托效率（Pareto Efficiency）。

核心觀念：

1. 帕雷托效率 (Pareto Efficiency)：一種資源分配狀態，在該狀態下，不可能在不損害任何一個人的情況下，使至少一個人的狀況變得更好。換句話說，任何使某人受益的改變，都必然會損害到另一個人。
2. 資源分配：將稀缺資源（在此為三個不同的、不可分割的物品）分配給不同的個體（三個玩家）。
3. 不可分割性 (Indivisible)：物品不能被分割成更小的單位。
4. 個別需求 (Each player demands exactly one object)：限制了分配的規則，確保每個玩家都獲得一個物品。

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解題過程：

情境設定：

• 物品：3 個不同的、不可分割的物品（設為 $O_1, O_2, O_3$）。
• 玩家：3 個不同的玩家（設為 $P_1, P_2, P_3$）。
• 規則：每個玩家恰好得到一個物品。

這意味著我們需要進行一個「一對一」的物品分配，相當於一種排列組合。總共有 $3! = 6$ 種可能的分配方式。

(a) Explain what is Pareto efficiency in this situation.

在這種情況下，一個分配方案是帕雷托有效的，如果我們無法在不讓任何一個玩家的狀況變差的前提下，使至少一個玩家的狀況變得更好。

具體來說，假設我們有一個分配方案，例如 $P_1$ 得到 $O_1$，$P_2$ 得到 $O_2$，$P_3$ 得到 $O_3$。
如果我們想讓這個分配方案不是帕雷托有效的，那麼就必須存在另一種分配方案，例如 $P_1$ 得到 $O_2$，$P_2$ 得到 $O_1$，$P_3$ 得到 $O_3$，並且：

1. 至少有一個玩家（在此例子中是 $P_1$ 或 $P_2$）在新分配中比在舊分配中狀況更好（例如，他們更偏好 $O_2$ 勝過 $O_1$）。
2. 沒有任何玩家（在此例子中是 $P_1, P_2, P_3$）在新分配中比在舊分配中狀況更差。

因此，一個分配是帕雷托有效的，意味著：沒有其他可能的分配方式，可以讓至少一個玩家更滿意，同時又不讓任何其他玩家感到不滿意。 換句話說，所有玩家的偏好都已得到「最大程度的滿足」，再也無法進行「無損」的改善。

【答案】一個分配方案是帕雷托有效的，若不存在另一種分配方式，使得至少一位玩家的狀況變得更好，而沒有任何一位玩家的狀況變得更差。

(b) Find a way to assign the three objects to the three players so that Pareto efficiency is achieved.

要找到一個帕雷托有效的分配方式，我們需要考慮玩家對物品的偏好。然而，題目並沒有給出玩家的具體偏好。
在沒有給出玩家偏好的情況下，任何一個完整的、沒有玩家被排除的分配方案（即每個玩家都得到一個物品的方案）都是帕雷托有效的。