108 年 國立清華大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

本題考驗在完全競爭市場下的市場均衡。

在完全競爭市場中，市場均衡價格由供給與需求曲線的交點決定。題目中，長期供給曲線是水平線，表示市場供給彈性為無限大，供給價格固定在 $p = 50$。

本題考驗政府管制對市場均衡、消費者剩餘、生產者剩餘及無謂損失的影響。

在部分 (a) 中，我們已計算出在無管制情況下的均衡價格 $p_e = 50$ 和均衡數量 $Q_e = 500$。

現在政府實施管制，要求駕照持有者必須擁有特別執照，且僅發放 300 張執照。這意味著市場的供給量被限制在 $Q_s' = 300$。由於供給被限制，這將會推升價格。

首先，我們需要找出當供給量限制為 300 時，市場會出現什麼價格。我們將 $Q_s' = 300$ 代入需求函數，找出此時的價格：
$300 = 1000 - 10p'$
$10p' = 1000 - 300$
$10p' = 700$
$p' = 70$

因此，在政府發放 300 張執照的管制下，新的市場價格為 $p' = 70$，交易數量為 $Q' = 300$。

現在我們來計算消費者剩餘 (CS)、生產者剩餘 (PS) 和無謂損失 (DWL) 的變化。

1. 無管制情況下的 CS 與 PS：
在無管制情況下，價格為 $p_e = 50$，數量為 $Q_e = 500$。
需求曲線為 $p = 100 - 0.1Q$ (由 $Q = 1000 - 10p$ 轉換而來)。
供給曲線為 $p = 50$ (水平線)。
消費者剩餘 (CS_old)：三角形面積，底為 $Q_e = 500$，高為 (需求曲線在 $Q=0$ 的截距 - 均衡價格) $= (100 - 50) = 50$。
$CS_{old} = \frac{1}{2} \times 500 \times 50 = 12500$。
生產者剩餘 (PS_old)：由於供給曲線是水平線 $p=50$，且均衡數量為 500，生產者剩餘是價格 $50$ 與供給曲線（若我們假設最低供給價格也是 50）之間的區域。在此情況下，PS 是價格 $50$ 與供給曲線（假設為 $p=50$）在 $Q=0$ 到 $Q=500$ 之間的矩形區域。但題目說 $p=50$ 是平均成本，這代表供給曲線是 $p=50$。因此，在 $p=50$ 時，所有生產者都願意供給。
PS_old = 0 (因為價格正好等於供給的邊際成本，沒有超額利潤)
或者，如果我們把供給看成是從 $p=50$ 開始，那麼 PS 就是一個零面積的三角形。

2. 有管制情況下的 CS 與 PS：
在管制情況下，價格為 $p' = 70$，數量為 $Q' = 300$。
消費者剩餘 (CS_new)：三角形面積，底為 $Q' = 300$，高為 (需求曲線在 $Q=0$ 的截距 - 新價格) $= (100 - 70) = 30$。
$CS_{new} = \frac{1}{2} \times 300 \times 30 = 4500$。
生產者剩餘 (PS_new)：價格為 $p' = 70$，數量為 $Q' = 300$。假設供給曲線是 $p=50$。PS 是新價格 $70$ 與供給價格 $50$ 之間的矩形區域，在 $Q=0$ 到 $Q=300$ 的範圍內。

本題考驗消費者在勞動市場上的決策，屬於效用最大化問題。消費者需要在休閒 (L) 和消費 (C) 之間做選擇，同時受到時間限制和預算的約束。

1. 建立數學模型：
效用函數：$U(C, L) = C + \ln(L)$
工資率：$w = 10$
消費品價格：$p_C = 80$
總時間：$T = 24$ 小時

2. 建立預算約束式：
消費者的總時間 $T$ 可以分配給工作時間 $H$ 和休閒時間 $L$。
$L + H = T = 24$
消費者從工作中獲得的收入為 $w \times H = 10H$。
這些收入用於購買消費品 $C$。因此，消費品的支出為 $p_C \times C = 80C$。
預算約束式為：$80C = 10H$。

我們可以將預算約束式與時間約束式結合起來。
從 $L + H = 24$ 可得 $H = 24 - L$。
將 $H$ 代入預算約束式：
$80C = 10(24 - L)$
$80C = 240 - 10L$
$C = \frac{240 - 10L}{80}$
$C = 3 - \frac{1}{8}L$

這就是消費者的預算線，它表示了休閒與消費之間的權衡關係。

3. 求解效用最大化：
消費者目標是最大化效用函數 $U = C + \ln(L)$，同時滿足預算約束 $C = 3 - \frac{1}{8}L$。
將預算約束代入效用函數：

本題考驗彩券獎金對勞動供給曲線的影響，屬於所得效果與替代效果的應用。

在部分 (a) 中，我們已經建立了消費者的預算約束式和效用函數。
預算約束式為 $80C = 10H$，且 $L+H=24$。
或者，我們可以用勞動供給 $H$ 來表示預算線。
收入為 $10H$。消費支出為 $80C$。
預算線為 $80C + 10H = 10 \times 24 = 240$ (此時未考慮彩券)。
$C + \frac{10}{80}H = \frac{240}{80}$
$C + \frac{1}{8}H = 3$

premio (彩券獎金) 為 $5000$ 元。這個獎金是每天固定獲得的，相當於一筆額外的收入。
這個額外的收入會如何影響預算線？
如果消費者選擇不工作（$H=0$），他每天仍然可以獲得 $5000$ 元的獎金，同時他還有 $24$ 小時的休閒時間。
這筆獎金可以讓他購買更多的消費品。
新的預算線會平行向上移動。

原本的預算線是 $80C + 10H = 240$。
現在有了每天 $5000$ 元的額外收入。這筆收入可以購買 $\frac{5000}{80} = 62.5$ 單位的消費品。
所以，新的預算線可以表示為：
$80C + 10H = 240 + 5000$
$80C + 10H = 5240$

將此式轉換成 $C$ 的形式：
$80C = 5240 - 10H$
$C = \frac{5240}{80} - \frac{10}{80}H$
$C = 65.5 - \frac{1}{8}H$

本題考驗賽局理論中的子賽局完美納許均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE) 的概念，需要運用逆向歸納法 (Backward Induction) 來求解。

1. 識別賽局結構：
這是一個序貫賽局 (Sequential Game)。Player 1 先決定進入 (enter) 或不進入 (stay out) 市場。Player 2 在觀察到 Player 1 的行動後，再決定是容納 (accommodate) 或抵抗 (fight)。

2. 畫出賽局樹 (Game Tree) 或使用表格表示：
賽局樹如下：
(Player 1 決定)
-> enter
(Player 2 決定, 觀察到 Player 1 選擇 enter)
-> accommodate: (5, 5) (Player 1 payoff, Player 2 payoff)
-> fight: (-5, -5)
-> stay out
(Player 2 決定, 觀察到 Player 1 選擇 stay out)
-> accommodate: (1, 10)
-> fight: (1, 10)
(注意：如果 Player 1 不進入，Player 2 無論如何行動，Player 1 的收益都是 1，Player 2 的收益都是 10。)

3. 運用逆向歸納法 (Backward Induction)：
我們從最後一個決策者（Player 2）的決策開始分析。

步驟 1：Player 2 的決策
Player 2 的決策取決於 Player 1 的行動。

• 情況一：如果 Player 1 選擇進入 (enter)。
  Player 2 有兩個選擇：accommodate 或 fight。

  • 如果 Player 2 選擇 accommodate，Player 2 的收益是 5。
  • 如果 Player 2 選擇 fight，Player 2 的收益是 -5。
    Player 2 會選擇使自己收益最大化的選項。因此，在 Player 1 選擇進入的情況下，Player 2 會選擇 accommodate (5 > -5)。
    此時的結果是 (Player 1: 5, Player 2: 5)。

• 情況二：如果 Player 1 選擇不進入 (stay out)。
  Player 2 的行動是 accommodate 或 fight。

  • 如果 Player 2 選擇 accommodate，Player 2 的收益是 10。
  • 如果 Player 2 選擇 fight，Player 2 的收益是 10。
    在這個情況下，Player 2 無論選擇 accommodate 還是 fight，收益都是 10。所以 Player 2 在此情況下是無差別的。

本題要求將序貫賽局轉換為標準型賽局 (Normal-Form Game)，並找出所有納許均衡 (Nash Equilibrium, NE)。接著比較與子賽局完美納許均衡 (SPNE) 的差異。

1. 建立標準型賽局 (Game Table)：
標準型賽局的表格需要列出所有玩家的策略組合，以及每個策略組合下的支付。
Player 1 的策略：enter (進入), stay out (不進入)
Player 2 的策略：Player 2 的決策取決於 Player 1 的行動，因此 Player 2 的策略需要考慮 Player 1 的所有可能行動。
Player 2 的策略組合是：
- (accommodate if enter, accommodate if stay out)
- (accommodate if enter, fight if stay out)
- (fight if enter, accommodate if stay out)
- (fight if enter, fight if stay out)

我們將 Player 2 的四種組合策略表示為：

• S2a: (accommodate, accommodate)
• S2b: (accommodate, fight)
• S2c: (fight, accommodate)
• S2d: (fight, fight)

現在，我們來填寫對應的支付：

Player 1 \ Player 2	S2a (acc, acc)	S2b (acc, fight)	S2c (fight, acc)	S2d (fight, fight)
enter	(5, 5)	(5, 5)	(-5, -5)	(-5, -5)
stay out	(1, 10)	(1, 10)	(1, 10)	(1, 10)

2. 找出所有納許均衡 (Nash Equilibrium, NE)：
納許均衡是指一個策略組合，在這個組合下，沒有任何一個玩家可以單方面改變其策略以獲得更高的收益。我們使用劃線法來尋找 NE。

• Player 1 的最佳反應：

  • 如果 Player 2 選擇 S2a (acc, acc)，Player 1 的選擇：enter (5) vs stay out (1)。Player 1 選擇 enter。
  • 如果 Player 2 選擇 S2b (acc, fight)，Player 1 的選擇：enter (5) vs stay out (1)。Player 1 選擇 enter。
  • 如果 Player 2 選擇 S2c (fight, acc)，Player 1 的選擇：enter (-5) vs stay out (1)。Player 1 選擇 stay out。
  • 如果 Player 2 選擇 S2d (fight, fight)，Player 1 的選擇：enter (-5) vs stay out (1)。Player 1 選擇 stay out。

• Player 2 的最佳反應：

  • 如果 Player 1 選擇 enter，Player 2 的選擇：S2a (5) vs S2b (5) vs S2c (-5) vs S2d (-5)。Player 2 選擇 S2a 或 S2b (都是 5)。
  • 如果 Player 1 選擇 stay out，Player 2 的選擇：S2a (10) vs S2b (10) vs S2c (10) vs S2d (10)。Player 2 選擇 S2a, S2b, S2c, 或 S2d (都是 10)。

現在我們找出雙方最佳反應的交集：

• 策略組合 (enter, S2a)： Player 1 的最佳反應是 enter (✓)。Player 2 在 Player 1 enter 時的最佳反應是 S2a (✓)。因此，(enter, S2a) 是一個納許均衡。結果是 (5, 5)。
• 策略組合 (enter, S2b)： Player 1 的最佳反應是 enter (✓)。Player 2 在 Player 1 enter 時的最佳反應是 S2b (✓)。因此，(enter, S2b) 是一個納許均衡。結果是 (5, 5)。

本題考驗線性規劃 (Linear Programming, LP) 問題的建立與求解，目標是最大化利潤，同時滿足生產過程中的資源限制。

1. 定義決策變數：
設 $x$ 為生產的 A 產品單位數。
設 $y$ 為生產的 B 產品單位數。

2. 定義目標函數：
公司的利潤來自於生產 A 和 B 產品。
每單位 A 的利潤為 $300$。
每單位 B 的利潤為 $200$。
總利潤 $Z$ 為：
$Z = 300x + 200y$
我們的目標是最大化 $Z$。

3. 定義約束條件：
生產過程分為三個階段：生產 (production)、組裝 (assembly) 和包裝 (packing)。每個階段都有時間限制。

• 生產階段 (Production)：

  • A 產品需要 6 小時/單位。
  • B 產品需要 3 小時/單位。
  • 可用總時間：54 小時。
  • 約束式：$6x + 3y \le 54$

• 組裝階段 (Assembly)：

  • A 產品需要 4 小時/單位。
  • B 產品需要 6 小時/單位。
  • 可用總時間：48 小時。
  • 約束式：$4x + 6y \le 48$

• 包裝階段 (Packing)：

  • A 產品需要 5 小時/單位。
  • B 產品需要 5 小時/單位。
  • 可用總時間：50 小時。
  • 約束式：$5x + 5y \le 50$

• 非負約束 (Non-negativity constraints)：
  生產的數量不能是負數。
  $x \ge 0, y \ge 0$

4. 建立線性規劃模型：
最大化 $Z = 300x + 200y$
受限於：

1. $6x + 3y \le 54$ (可簡化為 $2x + y \le 18$)
2. $4x + 6y \le 48$ (可簡化為 $2x + 3y \le 24$)
3. $5x + 5y \le 50$ (可簡化為 $x + y \le 10$)
4. $x \ge 0, y \ge 0$

5. 求解線性規劃問題：
我們可以使用圖解法或單體法 (Simplex Method) 來求解。由於變數只有兩個，圖解法較為直觀。

首先，繪製可行域：

• $2x + y \le 18$ (線 $y = 18 - 2x$)
• $2x + 3y \le 24$ (線 $y = 8 - \frac{2}{3}x$)
• $x + y \le 10$ (線 $y = 10 - x$)
• $x \ge 0, y \ge 0$

找出可行域的頂點 (corner points)，並計算在這些頂點上的目標函數值。

頂點計算：
A. $(0, 0)$: $Z = 300(0) + 200(0) = 0$

B. 與 x 軸的交點：

• $2x + y = 18$ 與 $y=0 \Rightarrow x=9$。點 (9, 0)。
• $2x + 3y = 24$與 $y=0 \Rightarrow x=12$。點 (12, 0)。
• $x + y = 10$與 $y=0 \Rightarrow x=10$。點 (10, 0)。
  在 $y=0$ 時，三個約束條件都滿足的點是 $x \le 9, x \le 12, x \le 10$。所以可行域在 x 軸上的極限是 $(9, 0)$。
  頂點 B: $(9, 0)$。

本題考驗對偶問題 (Dual Problem) 的建立與求解。一個原始線性規劃問題 (Primal Problem) 存在一個對應的對偶問題。對偶問題的解與原始問題的解之間存在緊密的關係。

1. 原始問題 (Primal Problem) 回顧：
最大化 $Z = 300x + 200y$
受限於：

1. $6x + 3y \le 54$ (生產約束)
2. $4x + 6y \le 48$ (組裝約束)
3. $5x + 5y \le 50$ (包裝約束)
4. $x \ge 0, y \ge 0$

2. 建立對偶問題：
對偶問題的決策變數對應於原始問題的約束。
設對偶變數為 $u_1, u_2, u_3$，分別對應原始問題的第一、二、三個約束。

對偶問題的目標函數是最小化，其係數來自原始問題目標函數的約束右側值。
對偶目標函數：最小化 $W = 54u_1 + 48u_2 + 50u_3$

對偶問題的約束對應於原始問題的決策變數。

• 對於原始變數 $x$ (係數為 300)：
  來自約束 1 的係數 $6$，約束 2 的係數 $4$，約束 3 的係數 $5$。
  約束式：$6u_1 + 4u_2 + 5u_3 \ge 300$
• 對於原始變數 $y$ (係數為 200)：
  來自約束 1 的係數 $3$，約束 2 的係數 $6$，約束 3 的係數 $5$。
  約束式：$3u_1 + 6u_2 + 5u_3 \ge 200$

由於原始問題是最大化問題，且約束條件為 $\le$，對偶問題是最小化問題，且約束條件為 $\ge$。
對偶變數的符號：由於原始變數 $x, y \ge 0$，對偶變數 $u_1, u_2, u_3 \ge 0$。

對偶問題模型：
最小化 $W = 54u_1 + 48u_2 + 50u_3$
受限於：

1. $6u_1 + 4u_2 + 5u_3 \ge 300$
2. $3u_1 + 6u_2 + 5u_3 \ge 200$
3. $u_1, u_2, u_3 \ge 0$

3. 求解對偶問題：
我們可以使用圖解法或單體法。由於有三個變數，圖解法較為複雜，通常使用單體法。
然而，我們也可以利用對偶定理 (Duality Theorem)，即最強對偶定理 (Strong Duality Theorem) 告訴我們，當原始問題有最优解時，對偶問題也存在最优解，且兩者的最优值相等。

在 (a) 部分，我們找到了原始問題的最優解：
$x = 8, y = 2$, $Z_{max} = 2800$。
因此，對偶問題的最優解 $W_{min}$ 也應該等於 2800。

我們需要找到滿足對偶約束且使 $W$ 最小化的 $u_1, u_2, u_3$ 值。
對偶定理的互補鬆弛性 (Complementary Slackness) 可以幫助我們。
互補鬆弛性條件：

• 如果原始變數 $x > 0$，則對偶約束 1 必須是緊的 (binding)，即 $6u_1 + 4u_2 + 5u_3 = 300$。
• 如果原始變數 $y > 0$，則對偶約束 2 必須是緊的，即 $3u_1 + 6u_2 + 5u_3 = 200$。
• 如果對偶變數 $u_1 > 0$，則原始約束 1 必須是緊的，即 $6x + 3y = 54$。
• 如果對偶變數 $u_2 > 0$，則原始約束 2 必須是緊的，即 $4x + 6y = 48$。
• 如果對偶變數 $u_3 > 0$，則原始約束 3 必須是緊的，即 $5x + 5y = 50$。

從原始問題的最優解 $(x=8, y=2)$，我們知道：

• $x=8 > 0$，所以對偶約束 1 必須是緊的：$6u_1 + 4u_2 + 5u_3 = 300$。

核心觀念

本題考查線性規劃中的：

• 生產組合最佳化
• 資源限制式
• 最適解下的影子價格（shadow price）
• 資源增加對最適利潤的邊際影響

令 $x$ 為產品 A 的產量，$y$ 為產品 B 的產量，則利潤最大化問題為：

$$\max \ \Pi=300x+200y$$

資源限制為：

$$6x+3y\leq 54$$ $$4x+6y\leq 48$$ $$5x+5y\leq 50$$ $$x,y\geq 0$$

原問題的最適生產組合

先將三條限制式分別簡化為：

$$2x+y\leq 18$$ $$2x+3y\leq 24$$ $$x+y\leq 10$$

由於產品 A 的單位利潤較高，最適解會盡量生產 A，但仍須受到包裝時間與生產時間限制。

生產時間與包裝時間同時達到上限時：

$$2x+y=18$$ $$x+y=10$$

兩式相減可得：

$$x=8$$

代回 $x+y=10$：

$$y=2$$

檢查組裝時間：

$$4(8)+6(2)=44\leq 48$$

因此組裝時間不是限制最適解的瓶頸。原問題的最適產量為：

$$(x,y)=(8,2)$$

原最適利潤為：

$$\Pi^*=300(8)+200(2)=2800$$

資源增加後的最適解

生產時間增加 2 小時，包裝時間增加 1 小時，因此新的限制式為：

$$6x+3y\leq 56$$ $$4x+6y\leq 48$$ $$5x+5y\leq 51$$

除以適當常數後，生產時間與包裝時間限制為：

$$2x+y\leq \frac{56}{3}$$ $$x+y\leq \frac{51}{5}$$

在原本的最適基底仍然有效的情況下，新的最適解由這兩條限制式同時成立：

$$2x+y=\frac{56}{3}$$ $$x+y=\frac{51}{5}$$

相減得：

$$x=\frac{56}{3}-\frac{51}{5} =\frac{280-153}{15} =\frac{127}{15}$$

再代回包裝限制式：

本題考驗廠商在存在市場勢力下的利潤最大化問題，需要利用邊際收益等於邊際成本的條件來求解。

1. 定義利潤函數：
淨利潤 $N$ 等於總收益 (Total Revenue, TR) 減去總成本 (Total Cost, TC)。
$N(x, y) = TR(x, y) - TC(x, y)$

2. 計算總收益 (TR)：
總收益是單價乘以銷售數量。
對於產品 x：價格 $p = a - 2x^2$。
總收益 $TR_x = p \times x = (a - 2x^2)x = ax - 2x^3$。

對於產品 y：價格 $q = by^{-1/2}$。
總收益 $TR_y = q \times y = (by^{-1/2})y = by^{1/2}$。

總總收益 $TR(x, y) = TR_x + TR_y = ax - 2x^3 + by^{1/2}$。

3. 計算總成本 (TC)：
總成本函數為 $C(x, y) = cx + dy + e$。

4. 建立利潤函數 N(x, y)：
$N(x, y) = (ax - 2x^3 + by^{1/2}) - (cx + dy + e)$
$N(x, y) = (a-c)x - 2x^3 + by^{1/2} - dy - e$

5. 求解利潤最大化條件：
為了最大化利潤 $N$，我們需要對 $N$ 分別對 $x$ 和 $y$ 求一階偏導數，並令其等於零。這相當於令邊際收益 (Marginal Revenue, MR) 等於邊際成本 (Marginal Cost, MC)。

對 x 的一階條件：
首先計算 $x$ 的邊際收益 $MR_x$ 和邊際成本 $MC_x$。
$TR_x = ax - 2x^3 \Rightarrow MR_x = \frac{\partial TR_x}{\partial x} = a - 6x^2$。
$TC(x, y) = cx + dy + e \Rightarrow MC_x = \frac{\partial TC}{\partial x} = c$。
令 $MR_x = MC_x$：
$a - 6x^2 = c$
$6x^2 = a - c$
$x^2 = \frac{a - c}{6}$
由於 $a > c$ 且 $x$ 必須為正數 (生產數量)，我們取正平方根：
$x = \sqrt{\frac{a - c}{6}}$

對 y 的一階條件：
首先計算 $y$ 的邊際收益 $MR_y$ 和邊際成本 $MC_y$。
$TR_y = by^{1/2} \Rightarrow MR_y = \frac{\partial TR_y}{\partial y} = b \times \frac{1}{2}y^{-1/2} = \frac{b}{2\sqrt{y}}$。

本題考驗彈性 (elasticity) 的概念，特別是利潤函數 $N$ 對於變數 $y$ 的彈性，並計算在利潤最大化點的彈性值。

1. 定義彈性：
彈性衡量一個變數相對另一個變數變化的百分比變化。
利潤 $N$ 對於 $y$ 的彈性 (elasticity of $N$ with respect to $y$) 定義為：
$E_{N,y} = \frac{\partial N}{\partial y} \times \frac{y}{N}$

2. 計算利潤函數 $N(x, y)$：
在 (a) 部分，我們已經推導出利潤函數：
$N(x, y) = (a-c)x - 2x^3 + by^{1/2} - dy - e$

3. 計算 $\frac{\partial N}{\partial y}$：
對 $N$ 對 $y$ 求偏導數：
$\frac{\partial N}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}((a-c)x - 2x^3 + by^{1/2} - dy - e)$
$\frac{\partial N}{\partial y} = 0 + 0 + b \times \frac{1}{2}y^{-1/2} - d - 0$
$\frac{\partial N}{\partial y} = \frac{b}{2\sqrt{y}} - d$

4. 計算彈性 $E_{N,y}$：
將 $\frac{\partial N}{\partial y}$ 代入彈性公式：
$E_{N,y} = (\frac{b}{2\sqrt{y}} - d) \times \frac{y}{N(x, y)}$
$E_{N,y} = (\frac{b - 2d\sqrt{y}}{2\sqrt{y}}) \times \frac{y}{(a-c)x - 2x^3 + by^{1/2} - dy - e}$
$E_{N,y} = \frac{y(b - 2d\sqrt{y})}{2\sqrt{y}((a-c)x - 2x^3 + by^{1/2} - dy - e)}$