113 年 國立清華大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考查：

• 勞動—休閒選擇模型；
• 效用極大化與勞動供給函數；
• Hicksian compensated labor supply；
• 所得稅對稅收的影響，以及拉弗曲線與勞動供給的工資彈性。

George 的效用函數為

$$U=Y^{0.5}+5N=\sqrt{Y}+5N$$

其中勞動所得為 $Y=wL$，時間限制為

$$L+N=24$$

因此 $N=24-L$。

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一、非補償勞動供給函數 $L(w)$

解題方法

將預算限制與時間限制代入效用函數：

$$U=\sqrt{wL}+5(24-L)$$

George 選擇 $L$ 以極大化效用。

對 $L$ 微分並令一階導數為零：

$$\frac{dU}{dL} = \frac{w}{2\sqrt{wL}}-5=0$$

因此

$$\frac{w}{2\sqrt{wL}}=5$$ $$\sqrt{wL}=\frac{w}{10}$$

兩邊平方：

$$wL=\frac{w^2}{100}$$

故

$$L=\frac{w}{100}$$

但勞動時間不能超過每日可用的 24 小時，因此必須考慮角點限制：

$$\boxed{L(w)=\min\left\{\frac{w}{100},24\right\}}$$

亦即

$$L(w)= \begin{cases} \dfrac{w}{100}, & 0\leq w\leq 2400,\\[6pt] 24, & w\geq 2400. \end{cases}$$

當 $w<2400$ 時，George 同時消費勞動所得與休閒；當 $w\geq2400$ 時，最適選擇為工作 24 小時。

解題技巧

快速判斷方式是比較邊際效用：

$$MU_Y=\frac{1}{2\sqrt{Y}},\qquad MU_N=5$$

勞動一小時可增加 $w$ 單位所得，因此勞動的邊際效用為

$$wMU_Y=\frac{w}{2\sqrt{Y}}$$

內點條件為

$$wMU_Y=MU_N$$

這可直接得到 $Y=w^2/100$，再由 $Y=wL$ 求出 $L=w/100$。

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二、補償勞動供給函數

核心觀念

補償勞動供給函數是指：在工資改變時，將所得調整到使 George 維持固定效用水準 $\bar U$，再觀察其選擇的勞動時間。

由於休閒的機會成本為工資 $w$，支出最小化問題為：

$$\min_{Y,N}\;Y+wN$$

限制條件為

$$\sqrt{Y}+5N\geq \bar U$$

解題方法

內點解下，支出最小化的一階條件為：

$$\frac{MU_N}{MU_Y}=w$$

代入邊際效用：

$$\frac{5}{1/(2\sqrt{Y})}=w$$

因此

$$10\sqrt{Y}=w$$ $$\sqrt{Y}=\frac{w}{10}$$ $$Y^h(w,\bar U)=\frac{w^2}{100}$$

再由固定效用條件：

$$\sqrt{Y}+5N=\bar U$$

代入 $\sqrt{Y}=w/10$：

$$\frac{w}{10}+5N=\bar U$$ $$N^h(w,\bar U)=\frac{\bar U}{5}-\frac{w}{50}$$

由於 $L+N=24$，補償勞動供給為：

$$L^h(w,\bar U)=24-N^h(w,\bar U)$$

所以

$$\boxed{ L^h(w,\bar U) = 24-\frac{\bar U}{5}+\frac{w}{50} }$$

這是內點情況下的 compensated labor supply。

若考慮時間限制，完整表達可寫為：

$$\boxed{ L^h(w,\bar U) = 24-\max\left\{0,\frac{\bar U}{5}-\frac{w}{50}\right\} }$$

其中還必須確保目標效用 $\bar U$ 可由 24 小時時間限制達成。

快速驗算

在原本的市場均衡中，當 $w<2400$ 時：

$$L=\frac{w}{100},\qquad N=24-\frac{w}{100}$$

原效用為：

$$\bar U = \frac{w}{10} + 5\left(24-\frac{w}{100}\right) = 120+\frac{w}{20}$$

代回補償勞動供給：

$$L^h = 24-\frac{1}{5}\left(120+\frac{w}{20}\right)+\frac{w}{50} = \frac{w}{100}$$

因此補償供給函數能在原工資與原效用下還原非補償供給函數，驗算一致。

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三、所得稅與稅收

核心觀念

核心觀念

本題考查：

1. 短期固定資本下的廠商供給與市場均衡。
2. 生產函數、成本函數與邊際成本的推導。
3. 長期成本最小化。
4. 完全競爭下的長期自由進入均衡。

生產函數為：

$$q=L^{0.5}K^{0.5}=\sqrt{LK}$$

勞動與資本價格分別為：

$$p_L=w=10,\qquad p_K=r=10$$

市場需求為：

$$p=25-0.25Q$$

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（a）短期均衡價格與每家廠商利潤

第一步：求單一廠商的短期生產函數

短期中資本固定為：

$$K=16$$

因此：

$$q=\sqrt{16L}=4\sqrt{L}$$

兩邊平方可得：

$$L=\frac{q^2}{16}$$

第二步：求短期成本函數

勞動成本為：

$$wL=10\left(\frac{q^2}{16}\right)=\frac{5}{8}q^2$$

資本成本為固定成本：

$$rK=10(16)=160$$

所以單一廠商的短期總成本為：

$$C_{SR}(q)=\frac{5}{8}q^2+160$$

其中：

• 短期變動成本：

$$VC(q)=\frac{5}{8}q^2$$

• 短期固定成本：

$$FC=160$$

邊際成本為：

$$MC(q)=\frac{dC_{SR}}{dq}=\frac{5}{4}q$$

第三步：求單一廠商供給函數

完全競爭廠商選擇產量的條件為：

$$p=MC$$

因此：

$$p=\frac{5}{4}q$$

解得：

$$q_i=\frac{4}{5}p$$

由於平均變動成本為：

$$AVC(q)=\frac{VC(q)}{q}=\frac{5}{8}q$$

而 $AVC$ 的最低值為 $0$，故只要 $p>0$，廠商便會生產，短期供給函數為：

$$q_i=\frac{4}{5}p$$

市場共有 $20$ 家相同廠商，因此市場供給為：

$$Q_s=20q_i=20\left(\frac{4}{5}p\right)=16p$$

市場需求為：

$$Q_d=\frac{25-p}{0.25}=100-4p$$

市場均衡要求：

$$Q_s=Q_d$$

因此：

$$16p=100-4p$$ $$20p=100$$ $$p=5$$

均衡市場數量為：

$$Q=16(5)=80$$

每家廠商的產量為：

$$q_i=\frac{80}{20}=4$$

第四步：計算每家廠商利潤

由生產函數：

$$4=4\sqrt{L}$$

因此：

$$L=1$$

每家廠商的收益為：

$$TR=pq=5(4)=20$$

勞動成本為：

$$wL=10(1)=10$$

資本固定成本為：

$$rK=10(16)=160$$

所以每家廠商利潤為：

$$\pi=TR-wL-rK$$ $$\pi=20-10-160=-150$$

短期出現虧損並不代表廠商立即退出，因為資本成本 $160$ 在短期內屬於既定固定成本；只要價格高於平均變動成本，廠商仍會繼續生產。

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（b）長期成本函數

第一步：建立成本最小化問題

長期中勞動與資本皆可調整。廠商希望以最低成本生產給定產量 $q$：

$$\min_{L,K}10L+10K$$

限制條件為：

$$\sqrt{LK}=q$$

平方後：

$$LK=q^2$$

第二步：求成本最小化投入組合

由於勞動與資本價格相同，成本最小化時會使用等量的勞動與資本。以拉格朗日法表示：

此題在考驗消費者剩餘、生產者剩餘與社會福利在面對從量稅或從價稅下的變動。此題的稅率是從價稅，且是針對賣方淨價格。

核心觀念： 市場均衡、消費者剩餘 (CS)、生產者剩餘 (PS)、社會福利 (SW)、從價稅 (ad valorem tax)。

解題步驟：

首先，我們需要找出沒有稅收時的市場均衡。
需求函數：$Q^d = 390 - 5p$
供給函數：$Q^s = 10p$

均衡時，$Q^d = Q^s$：
$390 - 5p = 10p$
$390 = 15p$
$p = \frac{390}{15} = 26$。
均衡價格 $p = 26$。

均衡數量 $Q = 10p = 10(26) = 260$。

現在，政府徵收 25% 的從價稅，對賣方淨價格徵收。
設 $p_s$ 為賣方實際收到的價格 (淨價格)，$p_d$ 為消費者支付的價格 (市場價格)。
賣方淨價格為 $p_s$。
稅率 $t = 0.25$。
政府徵收的稅額為 $t \cdot p_s = 0.25 p_s$。
消費者支付的價格 $p_d$ 與賣方收到的價格 $p_s$ 的關係是：
$p_d = p_s + \text{tax} = p_s + 0.25 p_s = 1.25 p_s$。
或者，我們可以將稅收表示為消費者支付價格與賣方支付價格的差額。
$p_d - p_s = t p_s$。
$p_d = p_s(1+t) = 1.25 p_s$。

我們需要將供給函數轉換為以 $p_s$ 為變數。
$Q^s = 10p_s$。
需求函數是以消費者支付的價格 $p_d$ 為變數。
$Q^d = 390 - 5p_d$。

在新的均衡下，$Q^d = Q^s$。
$390 - 5p_d = 10p_s$。
將 $p_d = 1.25 p_s$ 代入：
$390 - 5(1.25 p_s) = 10p_s$
$390 - 6.25 p_s = 10p_s$
$390 = 16.25 p_s$
$p_s = \frac{390}{16.25} = \frac{390}{65/4} = \frac{390 \times 4}{65} = 6 \times 4 = 24$。
賣方實際收到的淨價格 $p_s = 24$。

消費者支付的價格 $p_d = 1.25 p_s = 1.25 \times 24 = 30$。
新的均衡數量 $Q = 10p_s = 10(24) = 240$。
驗證：$Q^d = 390 - 5p_d = 390 - 5(30) = 390 - 150 = 240$。

計算 CS, PS, SW 的變動：

1. 沒有稅收時 (原均衡)：
$p = 26$, $Q = 260$。
消費者剩餘 (CS)：需求曲線下的面積，高為 $26$，底為 $260$。
需求函數 $p = \frac{390-Q}{5} = 78 - 0.2Q$。
需求曲線的縱截距為 78。
$CS_{before} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 260 \times (78 - 26) = \frac{1}{2} \times 260 \times 52 = 130 \times 52 = 6760$。

生產者剩餘 (PS)：供給曲線上的面積，高為 $26$，底為 $260$。
供給函數 $p = \frac{Q}{10} = 0.1Q$。
供給曲線的縱截距為 0。

核心觀念

本題結合兩個市場力量：

1. 產品市場為獨占，因此廠商面對向下傾斜的產品需求曲線，必須依據邊際收益而非產品價格決定產量。
2. 勞動市場為買方獨占（monopsony），因此廠商面對向上傾斜的勞動供給曲線，增加雇用一單位勞動時，必須提高所有勞工的工資，故邊際勞動成本高於工資。

廠商雇用勞動的最適條件為：

$$MRP_L=MFC_L$$

其中：

• $MRP_L$：勞動的邊際收益產值，即勞動需求曲線。
• $MFC_L$：邊際要素成本，即多雇用一單位勞動所增加的總勞動支出。

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（a）推導廠商的勞動需求曲線

產品需求函數為：

$$p=200-Q$$

總收益為：

$$TR=pQ=(200-Q)Q=200Q-Q^2$$

因此，產品的邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ}=200-2Q$$

生產函數為：

$$Q=2L$$

所以勞動的邊際產量為：

$$MP_L=\frac{dQ}{dL}=2$$

勞動的邊際收益產值為：

$$MRP_L=MR\cdot MP_L$$

代入 $Q=2L$：

$$MRP_L=(200-2Q)(2)$$ $$MRP_L=(200-4L)(2)=400-8L$$

因此，廠商的勞動需求曲線為：

$$\boxed{w_D=MRP_L=400-8L}$$

這是反向勞動需求曲線。

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（b）最適雇用量與工資

1. 推導邊際勞動成本

勞動供給曲線為：

$$w=10+L$$

雇用 $L$ 單位勞動時，總勞動支出為：

$$TLC=wL=(10+L)L=10L+L^2$$

因此，邊際勞動成本為：

$$MFC=\frac{dTLC}{dL}=10+2L$$

2. 求最適雇用量

買方獨占廠商的最適條件為：

$$MRP_L=MFC$$

因此：

$$400-8L=10+2L$$ $$390=10L$$ $$\boxed{L^*=39}$$

3. 求實際支付工資

實際工資由勞動供給曲線決定：

$$w=10+L$$

代入 $L=39$：

$$w^*=10+39=49$$

因此：

$$\boxed{w^*=49}$$

注意，此時：

$$MRP_L=MFC=88$$

但實際工資僅為：

$$w=49$$

這正是買方獨占的特徵：廠商依據 $MRP=MFC$ 決定雇用量，再沿勞動供給曲線支付工資。

4. 補充計算產量與產品價格

由生產函數：

$$Q=2L=2(39)=78$$

產品價格為：

$$p=200-Q=200-78=122$$

故最適生產結果為：

$$\boxed{Q^*=78,\quad p^*=122}$$

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（c）勞動市場圖形與剩餘分析

1. 圖中各曲線與關鍵點

勞動市場中應畫出：

• 勞動需求曲線：

  $$D_L=MRP_L=400-8L$$

• 勞動供給曲線：

  $$S_L=w=10+L$$

• 邊際勞動成本曲線：

  $$MFC=10+2L$$

其中，$MFC$ 位於勞動供給曲線之上，且斜率較大。

買方獨占均衡由 $MRP=MFC$ 決定：

$$L_M=39$$

在 $L=39$ 時：

$$MFC=400-8(39)=88$$

再由供給曲線求實際工資：

$$w_M=10+39=49$$

若勞動市場為完全競爭，則由勞動需求與供給相交決定均衡：

$$400-8L=10+L$$ $$390=9L$$ $$L_C=\frac{130}{3}\approx43.33$$

競爭均衡工資為：

$$w_C=10+\frac{130}{3} =\frac{160}{3} \approx53.33$$

因此：

• 買方獨占雇用量：$L_M=39$
• 完全競爭雇用量：$L_C\approx43.33$
• 買方獨占工資：$w_M=49$
• 完全競爭工資：$w_C\approx53.33$

2. 圖形示意

縱軸為工資 $w$，橫軸為勞動量 $L$：

核心觀念

本題考查兩種寡占市場結構：

1. Stackelberg 領導者—追隨者模型：領導者先決定產量，追隨者觀察後再選擇產量。
2. Cartel 聯合極大化：兩家廠商合作，如同單一壟斷者決定市場總產量，再依約分配。

反需求函數為：

$$p=10-Q$$

其中總產量為：

$$Q=q_A+q_B$$

每家廠商的總成本為：

$$TC_i=2+q_i$$

因此，每家廠商的邊際成本為：

$$MC_i=1$$

固定成本為 2。廠商利潤為：

$$\pi_i=pq_i-(2+q_i)$$

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解題方法

（一）A 為 Stackelberg 領導者，B 為追隨者

第一步：求 B 的反應函數

B 觀察到 A 的產量 $q_A$ 後，選擇 $q_B$ 使自身利潤最大：

$$\pi_B=(10-q_A-q_B)q_B-(2+q_B)$$

整理得：

$$\pi_B=(9-q_A-q_B)q_B-2$$

對 $q_B$ 微分並令一階條件等於零：

$$\frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} =9-q_A-2q_B=0$$

因此，B 的反應函數為：

$$q_B=\frac{9-q_A}{2}$$

第二步：A 預測 B 的反應後決定產量

A 的利潤為：

$$\pi_A=(10-q_A-q_B)q_A-(2+q_A)$$

代入 B 的反應函數：

$$q_B=\frac{9-q_A}{2}$$

市場價格為：

$$p=10-q_A-\frac{9-q_A}{2} =\frac{11-q_A}{2}$$

所以 A 的利潤函數為：

$$\pi_A=\left(\frac{11-q_A}{2}\right)q_A-(2+q_A)$$

整理得：

$$\pi_A=\frac{9}{2}q_A-\frac{1}{2}q_A^2-2$$

對 $q_A$ 微分：

$$\frac{d\pi_A}{dq_A} =\frac{9}{2}-q_A$$

令一階條件等於零：

$$\frac{9}{2}-q_A=0$$

因此：

$$q_A^*=\frac{9}{2}=4.5$$

再代回 B 的反應函數：

$$q_B^*=\frac{9-4.5}{2}=2.25$$

總產量為：

$$Q^*=4.5+2.25=6.75$$

市場價格為：

$$p^*=10-6.75=3.25$$

第三步：計算兩家廠商利潤

A 的利潤：

$$\pi_A =3.25(4.5)-(2+4.5)$$ $$\pi_A=14.625-6.5=8.125$$

B 的利潤：

核心觀念

本題考查純交換經濟中的「合約曲線」。合約曲線是指在給定總資源下，所有消費者之間的邊際替代率相等、因而達到帕累托效率的配置集合。

對內部配置而言，帕累托效率的必要條件為：

$$MRS_{XY}^{(1)}=MRS_{XY}^{(2)}$$

其中 $MRS_{XY}$ 表示消費者願意以多少單位的 $Y$ 換取一單位的 $X$。

總資源限制為：

$$X_1+X_2=100$$ $$Y_1+Y_2=100$$

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解題方法與推導

兩位消費者的效用函數相同：

$$U_i(X_i,Y_i)=X_iY_i,\qquad i=1,2$$

第一步：求邊際效用與邊際替代率

對消費者 $i$ 而言：

$$MU_X^{(i)}=\frac{\partial U_i}{\partial X_i}=Y_i$$ $$MU_Y^{(i)}=\frac{\partial U_i}{\partial Y_i}=X_i$$

因此邊際替代率為：

$$MRS_{XY}^{(i)} = \frac{MU_X^{(i)}}{MU_Y^{(i)}} = \frac{Y_i}{X_i}$$

所以兩位消費者的邊際替代率分別為：

$$MRS_{XY}^{(1)}=\frac{Y_1}{X_1}$$ $$MRS_{XY}^{(2)}=\frac{Y_2}{X_2}$$

第二步：設定帕累托效率條件

內部帕累托效率配置必須滿足：

$$\frac{Y_1}{X_1}=\frac{Y_2}{X_2}$$

利用資源限制：

$$X_2=100-X_1$$ $$Y_2=100-Y_1$$

代入邊際替代率相等式：

$$\frac{Y_1}{X_1} = \frac{100-Y_1}{100-X_1}$$

交叉相乘：