112 年 國立清華大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題考查：

• Cobb–Douglas 效用函數下的 Marshallian demand。
• 價格變動造成的福利變化。
• 補償變量（Compensating Variation, CV）。
• 等值變量（Equivalent Variation, EV）。

效用函數為：

$$u(x,y)=x^2y$$

收入限制式為：

$$p_xx+p_yy=m$$

其中 $p_x=200$。

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解題方法

一、Marshallian demand

Cobb–Douglas 效用函數的兩個指數分別為 $2$ 與 $1$，總指數為 $3$。因此，收入中有：

• $\frac{2}{3}$ 用於購買食品 $x$；
• $\frac{1}{3}$ 用於購買衣服 $y$。

所以：

$$p_xx=\frac{2}{3}m$$

得到：

$$x^M(p_x,p_y,m)=\frac{2m}{3p_x}$$

同理：

$$p_yy=\frac{1}{3}m$$

得到：

$$y^M(p_x,p_y,m)=\frac{m}{3p_y}$$

代入 $p_x=200$：

$$\boxed{x^M=\frac{m}{300}}$$ $$\boxed{y^M=\frac{m}{3p_y}}$$

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二、間接效用函數

將 Marshallian demand 代入效用函數：

$$v(p_x,p_y,m) = \left(\frac{2m}{3p_x}\right)^2 \left(\frac{m}{3p_y}\right)$$

因此：

$$v(p_x,p_y,m) = \frac{4m^3}{27p_x^2p_y}$$

此式可用來計算價格變動前後的效用水準。

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（a）Marshallian demand function

$$\boxed{x^M(p_x,p_y,m)=\frac{2m}{3p_x}}$$ $$\boxed{y^M(p_x,p_y,m)=\frac{m}{3p_y}}$$

由於 $p_x=200$：

$$\boxed{x^M=\frac{m}{300}}$$ $$\boxed{y^M=\frac{m}{3p_y}}$$

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（b）Compensating Variation

初始狀態為：

$$p^0=(200,1),\qquad m=300$$

初始消費束為：

$$x_0=\frac{2(300)}{3(200)}=1$$ $$y_0=\frac{300}{3(1)}=100$$

初始效用為：

$$u_0=1^2(100)=100$$

價格變動後：

$$p^1=(200,8)$$

補償變量的定義是：在新價格下，為使 Amy 恢復到原本效用 $u_0$，所需補償的收入金額。

利用支出函數，Cobb–Douglas 效用函數的支出函數為：

$$e(p_x,p_y,u) = \left(\frac{27p_x^2p_yu}{4}\right)^{1/3}$$

核心觀念

本題考查完全替代品（Perfect Substitutes）偏好下，當財貨價格變動時，利用史拉斯基（Slutsky）分解法將價格變動的「總效果（Total Effect, TE）」拆解為「替代效果（Substitution Effect, SE）」與「所得效果（Income Effect, IE）」。

1. 偏好與效用函數：
   設橫軸為雪碧數量 $S$（Sprite），縱軸為可樂數量 $C$（Coke）。因為兩者為完全替代，且題目敘述為每瓶互相替代，一般標準假設為 $1:1$ 替代，其效用函數可表示為：

   $$U(S, C) = S + C$$

   其邊際替代率（MRS）為固定常數：

   $$\text{MRS}_{S,C} = \frac{\text{MU}_S}{\text{MU}_C} = 1$$

   因此，無異曲線（Indifference Curve, IC）為斜率為 $-1$ 的負斜率直線。

2. 預算限制式與最適選擇：
   設所得為 $M$，雪碧價格為 $P_S$，可樂價格為 $P_C$。預算線（Budget Line, BL）為：

   $$P_S S + P_C C = M$$

   其斜率絕對值為相對價格 $\frac{P_S}{P_C}$。最適決策取決於 $\text{MRS}_{S,C}$ 與相對價格的比較：

   • 當 $P_S < P_C$（相對價格 $< 1 = \text{MRS}$）：消費者全部購買雪碧（角落解 Corner Solution），$S^* = \frac{M}{P_S}$、$C^* = 0$。
   • 當 $P_S > P_C$（相對價格 $> 1 = \text{MRS}$）：消費者全部購買可樂（角落解），$S^* = 0$、$C^* = \frac{M}{P_C}$。

3. 效果分解定義（以 Slutsky 分解為例）：

   • 總效果（TE）：價格變動前後最適消費點的變動（$A \to B$）。
   • 替代效果（SE）：維持實質所得不變（補償所得使消費者剛好能買得起原組合 $A$），面臨新相對價格時的最優選擇（$A \to C'$）。
   • 所得效果（IE）：在面臨新價格下，將實質所得由虛擬所得調整回實際所得引致的消費變動（$C' \to B$）。

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解題方法與推導步驟

1. 初始均衡點 $A$

• 初始狀態：雪碧比可樂便宜（$P_{S1} < P_C$）。
• 預算線 $BL_1$ 斜率絕對值 $\frac{P_{S1}}{P_C} < 1$。
• 預算線比無異曲線平緩，效用極大化解位於橫軸的角落解： $$A = \left( \frac{M}{P_{S1}}, 0 \right)$$ 此時最高無異曲線為過點 $A$ 之 $IC_1$。

2. 最終均衡點 $B$

• 價格變動後：雪碧價格上漲至 $P_{S2}$，使得雪碧比可樂昂貴（$P_{S2} > P_C$）。
• 新預算線 $BL_2$ 斜率絕對值 $\frac{P_{S2}}{P_C} > 1$。
• 預算線比無異曲線更陡峭，效用極大化解轉移至縱軸的角落解： $$B = \left( 0, \frac{M}{P_C} \right)$$ 此時最高無異曲線為過點 $B$ 之 $IC_2$。
• 總效果（TE）：
  雪碧需求量從 $S_A = \frac{M}{P_{S1}}$ 降至 $S_B = 0$： $$\text{TE} = S_B - S_A = -\frac{M}{P_{S1}}$$

3. 補償預算線與效果拆解（Slutsky 分解）

• 為了隔離純相對價格變動的影響，作一條通過原消費組合 $A\left(\frac{M}{P_{S1}}, 0\right)$ 且斜率等於新價格比率（$-\frac{P_{S2}}{P_C}$）的虛擬補償預算線 $BL'$。
• 補償所得為 $M' = P_{S2} \cdot \left(\frac{M}{P_{S1}}\right)$。
• 在這條補償預算線 $BL'$ 上，相對價格 $\frac{P_{S2}}{P_C} > 1$（陡於無異曲線斜率 1）。
• 面臨新價格，即使給予所得補償讓其買得起 $A$ 點，理性消費者仍會將所有補償所得全部拿去購買相對便宜的可樂，因此補償預算線上的最適選擇為縱軸截距點 $C'$： $$C' = \left( 0, \frac{M'}{P_C} \right) = \left( 0, \frac{P_{S2} M}{P_{S1} P_C} \right)$$
• 各效果分析：
  • 替代效果（SE: $A \to C'$）：
    雪碧消費量由 $\frac{M}{P_{S1}}$ 降至 $0$： $$\text{SE} = 0 - \frac{M}{P_{S1}} = -\frac{M}{P_{S1}}$$
  • 所得效果（IE: $C' \to B$）：
    由虛擬預算線 $BL'$ 平行內移回實際新預算線 $BL_2$，雪碧消費量維持在 $0$ 不變：

第 3 題

核心觀念

本題分別考查：

• 固定比例生產技術與 Leontief 生產函數。
• Cobb-Douglas 生產函數的等產量線、邊際技術替代率與擴張路徑。
• 生產函數的規模報酬，判斷方式為比較投入同比例增加時，產出增加的倍數。

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a. 固定比例生產函數

解題方法

令：

• $L$：工人人數
• $K$：機器台數
• $q$：每小時暖氣機產量

每台機器必須搭配兩名工人，因此：

• $K$ 台機器最多需要 $2K$ 名工人；
• $L$ 名工人最多只能操作 $L/2$ 台機器。

實際可運轉的機器台數，取決於機器數量與工人可操作數量中較少者：

$$\min\left\{K,\frac{L}{2}\right\}$$

每台機器每小時生產 20 台暖氣機，因此生產函數為：

$$q(L,K)=20\min\left\{K,\frac{L}{2}\right\}$$

也可以寫成分段形式：

$$q(L,K)= \begin{cases} 20K, & L\geq 2K,\\ 10L, & L<2K. \end{cases}$$

經濟意義

當 $L\geq 2K$ 時，每台機器都有兩名工人，所有機器都能運轉；多出的工人沒有額外產出。

當 $L<2K$ 時，工人不足，只有 $L/2$ 台機器能運作；多出的機器閒置。

因此，機器與工人是固定比例投入，最有效率的投入比例為：

$$L=2K$$

解題技巧

判斷固定比例生產函數時，先找「每單位機器需要幾名工人」。若每台機器需要 $2$ 名工人，便可直接寫成：

$$q=\text{單位產出}\times \min\left\{K,\frac{L}{2}\right\}$$

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b. Cobb-Douglas 生產函數的擴張路徑

給定：

$$q=f(L,K)=5LK^{1-\gamma}$$

核心觀念

擴張路徑是指：在投入價格固定下，隨著產量增加，廠商進行成本最小化時所選擇的投入組合軌跡。

若內部解存在，成本最小化的一階條件為：

$$\frac{MP_L}{MP_K}=\frac{w}{r}$$

其中：

• $w$：勞動價格
• $r$：資本價格

左側為邊際技術替代率，右側為投入價格比。

計算邊際產量

勞動邊際產量為：

$$MP_L=\frac{\partial q}{\partial L}=5K^{1-\gamma}$$

資本邊際產量為：

$$MP_K=\frac{\partial q}{\partial K} =5L(1-\gamma)K^{-\gamma}$$

因此：

$$\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{5K^{1-\gamma}} {5L(1-\gamma)K^{-\gamma}}$$

整理得：

$$\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{K}{(1-\gamma)L}$$

令其等於投入價格比：

$$\frac{K}{(1-\gamma)L}=\frac{w}{r}$$

因此：

$$K=(1-\gamma)\frac{w}{r}L$$

所以，該生產函數的擴張路徑為：

$$\boxed{K=(1-\gamma)\frac{w}{r}L}$$

或寫成：

$$\boxed{\frac{K}{L}=(1-\gamma)\frac{w}{r}}$$

這是一條通過原點的直線。

$\gamma$ 增加時的變化

若以 $L$ 為橫軸、$K$ 為縱軸，擴張路徑斜率為：

$$\frac{K}{L}=(1-\gamma)\frac{w}{r}$$

在投入價格 $w$ 與 $r$ 固定，且 $\gamma<1$ 的前提下：

• $\gamma$ 增加；
• $1-\gamma$ 減少；
• $K/L$ 減少；
• 廠商使用的資本相對於勞動變少。

本題考驗純交換經濟下的福利經濟學第一定理，包含契約曲線的推導以及其與無差異曲線、邊際替代率的關係。

核心概念：

1. 純交換經濟 (Pure Exchange Economy)：經濟體系中只有消費者，沒有生產。
2. 契約曲線 (Contract Curve)：在交換經濟中，所有達到帕雷托效率 (Pareto Efficiency) 的資源配置點的集合。在圖形上，這是兩位消費者無異曲線的切點集合。
3. 帕雷托效率 (Pareto Efficiency)：一種資源配置狀態，無法在不損害任何個體福利的情況下，使至少一個個體的福利得到改善。在交換經濟中，這意味著兩位消費者的邊際替代率相等。
4. 福利經濟學第一定理 (First Theorem of Welfare Economics)：在某些理想條件下（如無外部性、無資訊不對稱、無市場失靈等），競爭性市場均衡能達到帕雷托效率。
5. Edgeworth Box Diagram：用於分析交換經濟中資源配置的圖形工具。

1. 契約曲線的推導

在一個交換經濟中，資源配置達到帕雷托效率的條件是：所有消費者的邊際替代率相等。
假設：

• 商品 G 和 H。
• 消費者 Joe (J) 和 Kamala (K)。
• 總供給：$G_{total} = 100$, $H_{total} = 100$。
• Joe 的消費量：$G_J, H_J$。
• Kamala 的消費量：$G_K, H_K$。
• 資源約束：$G_J + G_K = 100$ 且 $H_J + H_K = 100$。
• Joe 的效用函數：$U_J(G_J, H_J) = G_J^{1/3}H_J^{1/3}$。
• Kamala 的效用函數：$U_K(G_K, H_K) = G_K^{1/2}H_K^{1/2}$。

推導條件：
對於帕雷托效率，必須滿足：
$MRS_{GH}^J = MRS_{GH}^K$

計算 Joe 的邊際替代率 (MRS)：
$MP_{G_J} = \frac{\partial U_J}{\partial G_J} = \frac{1}{3}G_J^{-2/3}H_J^{1/3}$
$MP_{H_J} = \frac{\partial U_J}{\partial H_J} = \frac{1}{3}G_J^{1/3}H_J^{-2/3}$
$MRS_{GH}^J = \frac{MP_{G_J}}{MP_{H_J}} = \frac{\frac{1}{3}G_J^{-2/3}H_J^{1/3}}{\frac{1}{3}G_J^{1/3}H_J^{-2/3}} = \frac{H_J}{G_J}$

計算 Kamala 的邊際替代率 (MRS)：
$MP_{G_K} = \frac{\partial U_K}{\partial G_K} = \frac{1}{2}G_K^{-1/2}H_K^{1/2}$
$MP_{H_K} = \frac{\partial U_K}{\partial H_K} = \frac{1}{2}G_K^{1/2}H_K^{-1/2}$
$MRS_{GH}^K = \frac{MP_{G_K}}{MP_{H_K}} = \frac{\frac{1}{2}G_K^{-1/2}H_K^{1/2}}{\frac{1}{2}G_K^{1/2}H_K^{-1/2}} = \frac{H_K}{G_K}$

令兩人的 MRS 相等：
$\frac{H_J}{G_J} = \frac{H_K}{G_K}$

現在我們需要利用資源約束來表達 $G_K, H_K$ 與 $G_J, H_J$ 的關係。
$G_K = 100 - G_J$
$H_K = 100 - H_J$

代入 MRS 相等式：
$\frac{H_J}{G_J} = \frac{100 - H_J}{100 - G_J}$
$H_J (100 - G_J) = G_J (100 - H_J)$
$100H_J - H_J G_J = 100G_J - G_J H_J$
$100H_J = 100G_J$
$H_J = G_J$

這表示，在帕雷托效率點上，Joe 總是會消費相同數量的 G 和 H。
契約曲線是所有滿足 $H_J = G_J$ 的組合，其中 $G_J$ 和 $H_J$ 必須在總供給範圍內。
由於 $G_J + G_K = 100$ 且 $H_J + H_K = 100$，且 $G_J, H_J, G_K, H_K \ge 0$。
如果 $H_J = G_J$，則 $H_K = 100 - H_J = 100 - G_J$，$G_K = 100 - G_J$。
所以 $H_K = G_K$。這也意味著 Kamala 在帕雷托效率點上也會消費相同數量的 G 和 H。

本題考驗寡占市場中的古諾 (Cournot) 競爭模型，包含古諾均衡產量與價格的求解，以及稅收對均衡的影響分析。

核心概念：

1. 古諾模型 (Cournot Model)：寡占市場模型，其中廠商同時決定其產量，並假設其他廠商的產量固定不變。
2. 反應函數 (Reaction Function)：表示廠商在給定其他廠商產量下的最適產量。
3. 納許均衡 (Nash Equilibrium)：所有廠商都處於其反應函數上，且沒有廠商單方面改變其產量能獲得更大收益的狀態。
4. 市場需求曲線：$P = 100 - 2Q$，其中 $Q = q_1 + q_2 + q_3$。
5. 邊際成本 (MC)：廠商生產最後一單位的成本。由於題目給定 MC 是常數，因此我們假設平均成本 (AC) 也等於 MC，且總變動成本 (TVC) 為 $MC \times q$，總成本 (TC) 為 $FC + MC \times q$。在決定產量時，廠商主要關注邊際成本。

a. 古諾均衡產量與價格的求解

廠商 1 的利潤函數：
$\pi_1 = TR_1 - TC_1 = P \cdot q_1 - MC_1 \cdot q_1$
$\pi_1 = (100 - 2(q_1 + q_2 + q_3))q_1 - 16q_1$
$\pi_1 = 100q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2 - 2q_1q_3 - 16q_1$
$\pi_1 = 84q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2 - 2q_1q_3$

為了求得廠商 1 的反應函數，我們對 $\pi_1$ 對 $q_1$ 微分並令其等於 0 (假設廠商 2 和 3 的產量 $q_2, q_3$ 固定)：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 84 - 4q_1 - 2q_2 - 2q_3 = 0$
$4q_1 = 84 - 2q_2 - 2q_3$
$q_1 = 21 - 0.5q_2 - 0.5q_3$ (廠商 1 的反應函數)

廠商 2 的利潤函數：
$\pi_2 = TR_2 - TC_2 = P \cdot q_2 - MC_2 \cdot q_2$
$\pi_2 = (100 - 2(q_1 + q_2 + q_3))q_2 - 20q_2$
$\pi_2 = 100q_2 - 2q_1q_2 - 2q_2^2 - 2q_2q_3 - 20q_2$
$\pi_2 = 80q_2 - 2q_1q_2 - 2q_2^2 - 2q_2q_3$

對 $\pi_2$ 對 $q_2$ 微分並令其等於 0：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 80 - 2q_1 - 4q_2 - 2q_3 = 0$
$4q_2 = 80 - 2q_1 - 2q_3$
$q_2 = 20 - 0.5q_1 - 0.5q_3$ (廠商 2 的反應函數)

廠商 3 的利潤函數：
$\pi_3 = TR_3 - TC_3 = P \cdot q_3 - MC_3 \cdot q_3$
$\pi_3 = (100 - 2(q_1 + q_2 + q_3))q_3 - 24q_3$
$\pi_3 = 100q_3 - 2q_1q_3 - 2q_2q_3 - 2q_3^2 - 24q_3$
$\pi_3 = 76q_3 - 2q_1q_3 - 2q_2q_3 - 2q_3^2$

對 $\pi_3$ 對 $q_3$ 微分並令其等於 0：
$\frac{\partial \pi_3}{\partial q_3} = 76 - 2q_1 - 2q_2 - 4q_3 = 0$
$4q_3 = 76 - 2q_1 - 2q_2$
$q_3 = 19 - 0.5q_1 - 0.5q_2$ (廠商 3 的反應函數)

現在我們有三個聯立方程式：

1. $q_1 = 21 - 0.5q_2 - 0.5q_3$
2. $q_2 = 20 - 0.5q_1 - 0.5q_3$
3. $q_3 = 19 - 0.5q_1 - 0.5q_2$

將 (3) 代入 (1) 和 (2)：
$q_1 = 21 - 0.5q_2 - 0.5(19 - 0.5q_1 - 0.5q_2)$
$q_1 = 21 - 0.5q_2 - 9.5 + 0.25q_1 + 0.25q_2$
$q_1 = 11.5 - 0.25q_2 + 0.25q_1$
$0.75q_1 = 11.5 - 0.25q_2$
$3q_1 = 46 - q_2 \implies q_2 = 46 - 3q_1$ (Equation A)

$q_2 = 20 - 0.5q_1 - 0.5(19 - 0.5q_1 - 0.5q_2)$
$q_2 = 20 - 0.5q_1 - 9.5 + 0.25q_1 + 0.25q_2$
$q_2 = 10.5 - 0.25q_1 + 0.25q_2$
$0.75q_2 = 10.5 - 0.25q_1$
$3q_2 = 42 - q_1 \implies q_1 = 42 - 3q_2$ (Equation B)

將 (A) 代入 (B)：
$q_1 = 42 - 3(46 - 3q_1)$
$q_1 = 42 - 138 + 9q_1$
$q_1 = -96 + 9q_1$
$8q_1 = 96$
$q_1 = 12$

將 $q_1 = 12$ 代入 (A)：
$q_2 = 46 - 3(12) = 46 - 36 = 10$

將 $q_1 = 12$ 和 $q_2 = 10$ 代入 (3)：
$q_3 = 19 - 0.5(12) - 0.5(10) = 19 - 6 - 5 = 8$

所以，古諾均衡產量為：
$q_1 = 12$
$q_2 = 10$
$q_3 = 8$

總產量 $Q = q_1 + q_2 + q_3 = 12 + 10 + 8 = 30$。

均衡價格 $P = 100 - 2Q = 100 - 2(30) = 100 - 60 = 40$。

【答案】
a. 古諾均衡產量：$q_1 = 12$, $q_2 = 10$, $q_3 = 8$。
均衡價格：$P = 40$。

b. 稅收對古諾均衡的影響

政府對外國公司（廠商 3）徵收每單位 24 元的生產稅。
這意味著廠商 3 的邊際成本 (MC) 實際上增加了 24 元。
新的 MC3 = $24 + 24 = 48$。

核心觀念

本題探討勞動市場中的**史賓斯訊號模型（Spence Signaling Model）與資訊不對稱（Asymmetric Information）**下的賽局均衡。核心理論包含：

1. 訊號成本差異（Single-Crossing Property / 條件差異成本）：高能力者獲取學歷的成本低於低能力者（$c_H < c_L$），使得教育學位具備作為分離能力的訊號功能。
2. 混同均衡（Pooling Equilibrium）：兩類勞工採取相同決策（均不念大學或均念大學），雇主無法藉由學歷辨別勞工能力，因而支付依勞工能力先驗機率加權的預期邊際產值（平均薪資 $\bar{w}$）。要維持「都不升學」的混同均衡，必須滿足誘因相容條件（Incentive Compatibility Constraint），即高能力者即使去取得學位、被認定為高能力者，其淨報酬也不會高於留在混同池中拿平均薪資。
3. 分離均衡（Separating Equilibrium）：不同能力的勞工採取不同決策（通常為高能力者念大學、低能力者不念），雇主可藉由是否擁有大學學位完全推論勞工能力，並分別支付與其能力相符之薪資。此時須檢驗雙方的誘因相容條件與個人參與理性條件。

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解題方法與推導

設勞工分為高能力者（$H$）與低能力者（$L$）：

• 終身邊際產出（雇主願付薪資）：$w_H =$$100,000，$w_L =$$60,000。
• 大學學位成本：$c_H =$$30,000，$c_L =$$50,000。
• 高能力勞工在全體勞工中所占比例為 $\lambda$（$0 \le \lambda \le 1$），低能力勞工比例為 $1 - \lambda$。

子題 a. 推導過程

1. 混同薪資設定：
   在不取得大學學位（$e = 0$）的混同均衡下，雇主無法分辨兩者，故支付所有未升學勞工期望平均工資：

   $$\bar{w} = \lambda w_H + (1 - \lambda) w_L = 100,000\lambda + 60,000(1 - \lambda) = 60,000 + 40,000\lambda$$

2. 均衡維持之條件：
   在混同均衡中，低能力者與高能力者均選擇不升學（$e = 0$），此時雙方的淨收益均為 $\bar{w}$。

   • 低能力者偏離誘因：若低能力者偏離去念大學，最多被雇主視為高能力者而獲得工資 $w_H$，淨收益為 $w_H - c_L =$$$100,000 -$$$50,000 =$$50,000。而留在混同池中獲得 $\bar{w} \ge$$$60,000 >$$50,000。因此，無論 $\lambda$ 為何，低能力者絕無誘因偏離去讀大學。
   • 高能力者偏離誘因：高能力者留在混同池中的報酬為 $\bar{w}$。若高能力者偏離去讀大學（$e = 1$），其能證明自身為高能力者並獲得薪資 $w_H