109 年 國立清華大學經濟學系碩士班《個體經濟學》

核心觀念

本題為個體經濟學「消費者理論」（Consumer Theory）的經典整合題型，核心考點包括：

1. 支出極小化問題（EMP）與受補償需求函數（Compensated / Hicksian Demand）：利用 Lagrange 乘數法或邊際替代率等於價格比（$MRS_{xy} = P_x / P_y$）導出 Hicksian 需求函數與支出函數（Expenditure Function）。
2. 價格效果之 Hicks 分解（Price Effect Decomposition）：將總效果（Total Effect, TE）拆解為替代效果（Substitution Effect, SE）與所得效果（Income Effect, IE）。
3. 福利衡量（Welfare Measures）：
   • 補償變量（Compensating Variation, CV）：在新價格下，使消費者維持「原效用水準（$U_0$）」所需補償的所得金額： $$CV = E(P_{x1}, P_y, U_0) - E(P_{x0}, P_y, U_0)$$
   • 相等變量（Equivalent Variation, EV）：在原價格下，使消費者達到「新效用水準（$U_1$）」等同之福利變動金額（或消費者為避免價格上漲願支付的最高金額）： $$EV = E(P_{x1}, P_y, U_1) - E(P_{x0}, P_y, U_1)$$

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解題方法與詳細推導

(a) 推導珍珠奶茶（$x$）與披薩（$y$）的受補償需求函數（Hicksian Demand）

消費者支出極小化問題（Expenditure Minimization Problem, EMP）：

$$\min_{x, y} \quad E = P_x x + P_y y \quad \text{s.t.} \quad U(x, y) = \sqrt{xy} = \bar{U}$$

1. 最適內部解條件（無異曲線斜率等於預算線斜率）：

   $$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} = \frac{\frac{1}{2} x^{-1/2} y^{1/2}}{\frac{1}{2} x^{1/2} y^{-1/2}} = \frac{y}{x}$$

   由 $MRS_{xy} = \frac{P_x}{P_y}$ 可得最適消費比例關係：

   $$y = \frac{P_x}{P_y} x$$

2. 代入目標效用限制式 $U(x, y) = \bar{U}$：

   $$\bar{U} = \sqrt{x \cdot \left(\frac{P_x}{P_y} x\right)} = x \sqrt{\frac{P_x}{P_y}}$$

   解得珍珠奶茶（$x$）與披薩（$y$）的受補償需求函數：

   $$h_x(P_x, P_y, \bar{U}) = \bar{U} \sqrt{\frac{P_y}{P_x}}$$ $$h_y(P_x, P_y, \bar{U}) = \bar{U} \sqrt{\frac{P_x}{P_y}}$$

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(b) 珍珠奶茶價格由 $2 上漲至 $4 之價格效果分解（TE、SE、IE）

Step 1：計算初始狀態（點 A）

• 初始參數：$P_{x0} = 2, P_y = 5, I = 200$。
• Cobb-Douglas 效用函數 $U = x^{1/2} y^{1/2}$ 之 Marshallian 需求函數為： $$x^*(P_x, P_y, I) = \frac{\frac{1}{2} I}{P_x} = \frac{I}{2 P_x}$$ $$y^*(P_x, P_y, I) = \frac{\frac{1}{2} I}{P_y} = \frac{I}{2 P_y}$$
• 初始消費組合（點 A）： $$x_A = \frac{200}{2 \times 2} = 50, \quad y_A = \frac{200}{2 \times 5} = 20$$
• 初始效用水準： $$U_0 = \sqrt{x_A \cdot y_A} = \sqrt{50 \times 20} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$$

Step 2：計算新價格下之最終狀態（點 C）

• 新價格：$P_{x1} = 4, P_y = 5, I = 200$。
• 最終消費組合（點 C）： $$x_C = \frac{200}{2 \times 4} = 25, \quad y_C = \frac{200}{2 \times 5} = 20$$
• 總效果（Total Effect, TE）： $$TE = x_C - x_A = 25 - 50 = -25$$

核心觀念

本題考查價格下限、剩餘分析，以及政府不同干預方式對消費者、 生產者與社會福利的影響。

需求與供給函數為：

$$Q_D=500-5P,\qquad Q_S=5P$$

反需求、反供給函數分別為：

$$P_D=100-0.2Q,\qquad P_S=0.2Q$$

其中：

• $Q$ 以百萬噸計算；
• $P$ 以千美元計算；
• 面積的單位為「十億美元」。

自由市場均衡

令需求等於供給：

$$500-5P=5P$$ $$P^*=50,\qquad Q^*=250$$

自由市場下：

$$CS_0=\frac{1}{2}(100-50)(250)=6250$$ $$PS_0=\frac{1}{2}(50-0)(250)=6250$$ $$SW_0=CS_0+PS_0=12500$$

價格下限設定為 $P=60$，高於均衡價格 $50$，因此具有約束力。此時：

$$Q_D=500-5(60)=200$$ $$Q_S=5(60)=300$$

市場出現百萬噸的超額供給：

$$Q_S-Q_D=300-200=100$$

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a. 缺口補貼制度（deficiency payment）

解題方法

缺口補貼制度下，政府不必購買剩餘產品，而是保證生產者每單位產品可獲得價格下限 $60$。

由於生產者收到的總價格為 $60$，其供給量為：

$$Q_S=5(60)=300$$

市場上的消費者只願意依照市場價格購買。因為市場必須吸收全部 $300$ 百萬噸，所以市場交易價格 $P_c$ 必須滿足：

$$Q_D=300$$ $$500-5P_c=300$$ $$P_c=40$$

因此：

• 消費者支付每單位 $40$；
• 政府每單位補貼 $60-40=20$；
• 生產者每單位實際收到 $60$；
• 生產量與消費量均為 $300$。

生產者剩餘的效果

生產者依照收到的價格 $60$ 生產 $300$ 百萬噸，因此：

$$PS_1=\frac{1}{2}(60-0)(300)=9000$$

相較於自由市場：

$$\Delta PS=PS_1-PS_0=9000-6250=2750$$

因此，生產者剩餘增加 $2750$。

政府補貼支出為：

$$G=(60-40)(300)=6000$$

社會福利的效果

消費者剩餘為：

$$CS_1=\frac{1}{2}(100-40)(300)=9000$$

社會福利必須扣除政府補貼，因為補貼是社會內部的移轉支付：

$$SW_1=CS_1+PS_1-G$$ $$SW_1=9000+9000-6000=12000$$

相較於自由市場：

$$\Delta SW=12000-12500=-500$$

因此，社會福利減少 $500$。

也可以直接用總效益減總成本計算：

$$SW_1=\int_0^{300}(100-0.2Q)\,dQ-\int_0^{300}(0.2Q)\,dQ=12000$$

多生產至 $300$ 百萬噸時，超過自由市場最適數量 $250$ 百萬噸，最後 $50$ 百萬噸的邊際成本高於邊際效益，形成無謂損失。

a 小結

核心觀念

本題考查：

1. 單一價格獨占（single-price monopoly）的利潤極大化。
2. 邊際收益 $MR$ 與邊際成本 $MC$ 的關係。
3. 消費者剩餘、 ಉತ್ಪ? Need Traditional Chinese.
4. 完全價格歧視（perfect price discrimination）。
5. 無謂損失（deadweight loss, DWL）與效率產量。

獨占廠商的基本決策原則為：

$$MR=MC$$

單一價格獨占下，廠商先由 $MR=MC$ 決定產量，再將產量代回需求曲線決定價格。

完全價格歧視下，廠商能向每位消費者收取其最高願付價格，因此生產到需求價格等於邊際成本的位置：

$$P=MC$$

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（a）單一價格獨占

1. 需求曲線與邊際收益

市場需求為：

$$P=900-Q$$

總收益為：

$$TR=P\cdot Q=(900-Q)Q=900Q-Q^2$$

因此邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ}=900-2Q$$

邊際成本為：

$$MC=\frac{Q}{2}$$

2. 利潤極大化產量

令邊際收益等於邊際成本：

$$900-2Q=\frac{Q}{2}$$ $$900=\frac{5Q}{2}$$ $$Q_M=360$$

將 $Q_M=360$ 代回需求曲線：

$$P_M=900-360=540$$

因此，單一價格獨占的最適決策為：

$$\boxed{Q_M=360,\qquad P_M=540}$$

3. 圖形

作圖時使用下列關鍵座標：

• 需求曲線：$P=900-Q$
• 邊際收益曲線：$MR=900-2Q$
• 邊際成本曲線：$MC=Q/2$
• 獨占產量：$Q=360$
• 獨占價格：由需求曲線讀出 $P=540$

P
│
900│╲  D：P=900−Q
   │ ╲
540│──●──────────── P_M=540
   │  │╲
   │  │ ╲
300│  │  ╲        D 與 MC 交於效率點
   │  │   ╲      ● (600,300)
   │  │    ╲   ╱
   │  │     ╲ ╱ MC：P=Q/2
   │  │      ╲
   │  │       ╲
   │  ╲
   │   ╲ MR：P=900−2Q
   │    ╲
   └────┼────────────── Q
       360           600
       Q_M           Q_E

獨占廠商在 $MR=MC$ 的交點決定 $Q_M=360$，再由需求曲線決定 $P_M=540$。

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（b）消費者剩餘、生產者剩餘與無謂損失

1. 消費者剩餘

消費者剩餘為需求曲線與市場價格之間的三角形：

• 最高願付價格：$900$
• 實際價格：$540$
• 交易數量：$360$

因此：

$$CS_M=\frac{1}{2}(900-540)(360)$$ $$CS_M=64,800$$

2. 生產者剩餘

生產者剩餘為價格線下方、邊際成本曲線上方的面積。

邊際成本總和為：

$$\int_0^{360}\frac{Q}{2}\,dQ =\frac{360^2}{4} =32,400$$

銷售收益為：

$$TR_M=P_MQ_M=540(360)=194,400$$

因此：

$$PS_M=TR_M-\int_0^{360}MC\,dQ$$ $$PS_M=194,400-32,400=162,000$$

所以：

$$PS_M=162,000$$

3. 有無謂損失

效率產量由需求價格等於邊際成本決定：

$$900-Q=\frac{Q}{2}$$ $$900=\frac{3Q}{2}$$ $$Q_E=600$$

獨占產量 $360$ 小於效率產量 $600$，因此存在無謂損失。

無謂損失是 $Q=360$ 至 $Q=600$ 之間，需求曲線與邊際成本曲線之間的三角形。

在 $Q=360$ 時：

$$P_D=540,\qquad MC=180$$

垂直高度為：

$$540-180=360$$

水平底邊為：

$$600-360=240$$

因此：

核心觀念

本題為「不確定性下的抉擇（Choice under Uncertainty）」之經典試題，主要測驗以下核心經濟學觀念：

1. 精算公平價格（Actuarially Fair Price）：
   若某項具風險之資產的售價等於其未來市場價值的期望值（Expected Monetary Value, $EMV$），則該價格稱為精算公平價格。即： $$P = E(V) = \sum_{i} p_i V_i$$
2. 期望效用理論（Expected Utility Theory, EUT）：
   在馮紐曼－摩根斯坦（von Neumann-Morgenstern, vNM）期望效用架構下，決策者面對不確定風險方案時，其效用依據「可能結果之效用的期望值」進行評估： $$E[U(W)] = \sum_{i} p_i U(W_i)$$
3. 風險態度（Risk Attitude）與琴生不等式（Jensen's Inequality）：
   • 透過效用函數對財富的二階導函數 $U''(W)$ 判定風險態度：
     • 若 $U''(W) < 0$（邊際效用遞減），效用函數為嚴格凹函數（strictly concave），決策者為風險趨避者（Risk Averse）。
     • 若 $U''(W) = 0$，決策者為風險中立者（Risk Neutral）。
     • 若 $U''(W) > 0$，決策者為風險愛好者（Risk Preferring / Risk Loving）。
   • 根據琴生不等式，對於風險趨避者，必然有： $$U(E(W)) > E[U(W)]$$ 即面對精算公平之賭局（Actuarially Fair Gamble），風險趨避者寧可持有確定財富而不願承擔風險。

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解題方法與逐步推導

(a) 檢驗 $50,000 是否為該骨董賽車之精算公平價格

1. 計算骨董賽車的市場價值期望值 $E(V)$：
   • 真品（Original）的機率 $p = 0.5$，價值 $V_1 =$$90,000。
   • 複製品（Replica）的機率 $1 - p = 0.5$，價值 $V_2 =$$10,000。
   $$E(V) = 0.5 \times 90,000 + 0.5 \times 10,000 = 45,000 + 5,000 = 50,000$$
2. 比較售價與期望值：
   賣方開價為 $P =$$50,000。由於開價恰等於該車市場價值的期望值（$P = E(V) =$$50,000），因此 $50,000 確實為精算公平價格。

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(b) 計算兩種方案之效用水準並進行決策分析

1. 方案一：購買骨董賽車（Buy the car）
   Dan 支付初期全部財富 $50,000 購買該車，此時其期末財富即為該車之市場價值：

   • 若為真品（機率 $0.5$），財富 $W_1 =$$90,000，效用為： $$U(W_1) = \sqrt{90,000} = 300$$
   • 若為複製品（機率 $0.5$），財富 $W_2 =$$10,000，效用為： $$U(W_2) = \sqrt{10,000} = 100$$
   • 購買該車之**期望效用（Expected Utility）**為： $$E[U(\text{Buy})] = 0.5 \times U(W_1) + 0.5 \times U(W_2) = 0.5 \times 300 + 0.5 \times 100 = 200$$

2. 方案二：不購買骨董賽車（Not buy the car）
   Dan 保留原有的 $50,000 現金，無任何不確定性，其**確定效用（Certain Utility）**為：

   $$U(\text{Not Buy}) = U(50,000) = \sqrt{50,000} = 100\sqrt{5} \approx 223.61$$

3. 購買決策比較與說明：
   因為不購買時的效用大於購買時的期望效用：

   $$U(\text{Not Buy}) = 100\sqrt{5} \approx 223.61 > 200 = E[U(\text{Buy})]$$

   因此，理性追求效用極大化的 Dan 不會購買這輛骨董賽車。

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(c) 繪製效用函數圖形與判定風險態度

1. 風險態度數學判定：
   Dan 的效用函數為 $U(W) = W^{1/2}$：
   • 一階導函數（邊際效用）： $$U'(W) = \frac{1}{2} W^{-1/2} > 0$$
   • 二階導函數：