111 年 國立清華大學經濟學系碩士班《微積分與統計》

本題主要考驗微積分中求極值的方法，特別是利用一階導函數等於零來尋找潛在的極值點。

首先，我們需要對平均稅率函數 $T(W)$ 進行微分，然後令其一階導函數等於零，解出 $W$ 的值。

平均稅率函數為：
$T(W) = a\frac{(bW+c)^p}{W} + k$

我們對 $W$ 進行微分：
$T'(W) = \frac{d}{dW} \left( a\frac{(bW+c)^p}{W} + k \right)$
$T'(W) = a \frac{d}{dW} \left( \frac{(bW+c)^p}{W} \right) + \frac{d}{dW}(k)$
$T'(W) = a \left[ \frac{p(bW+c)^{p-1} \cdot b \cdot W - (bW+c)^p \cdot 1}{W^2} \right] + 0$
$T'(W) = a \frac{(bW+c)^{p-1} [pWb - (bW+c)]}{W^2}$
$T'(W) = a \frac{(bW+c)^{p-1} [pbW - bW - c]}{W^2}$
$T'(W) = a \frac{(bW+c)^{p-1} [(p-1)bW - c]}{W^2}$

此題的計算涉及定積分。仔細觀察被積函數，可以發現分母的兩項是完全相同的，這意味著被積函數是一個無意義的表達式。

本題要求計算一個瑕積分，其中被積函數包含變數 $x$ 和常數 $k$。

首先，我們簡化被積函數：
$\frac{k}{x} \left( \frac{k^2}{1+kx} \right) = \frac{k^3}{x(1+kx)}$
所以積分變為：
$I_k = \int_{1}^{\infty} \frac{k^3}{x(1+kx)} dx$
我們可以使用部分分式分解來積分 $\frac{1}{x(1+kx)}$。
令
$\frac{1}{x(1+kx)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+kx}$
乘以 $x(1+kx)$ 得到
$1 = A(1+kx) + Bx$
令 $x=0$，則 $1 = A(1+0) + B(0) \implies A = 1$。
令 $x = -\frac{1}{k}$，則 $1 = A(0) + B(-\frac{1}{k}) \implies 1 = -\frac{B}{k} \implies B = -k$。
所以，
$\frac{1}{x(1+kx)} = \frac{1}{x} - \frac{k}{1+kx}$
現在，我們可以計算積分：
$I_k = k^3 \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{k}{1+kx} \right) dx$
$I_k = k^3 \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \left( \frac{1}{x} - \frac{k}{1+kx} \right) dx$

本題要求計算在上一題得到的積分結果 $I_k$ 當 $k \to \infty$ 時的極限。

上一題我們得到：
$I_k = k^3 \ln\left(1+\frac{1}{k}\right)$
我們需要計算 $\lim_{k \to \infty} I_k = \lim_{k \to \infty} k^3 \ln\left(1+\frac{1}{k}\right)$。
這是一個 $\infty \cdot 0$ 型的不定形式。為了方便計算，我們令 $x = \frac{1}{k}$。當 $k \to \infty$ 時，$x \to 0^+$。
則極限變為：
$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x}\right)^3 \ln(1+x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x^3}$
這是一個 $\frac{0}{0}$ 型的不定形式，我們可以使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)。
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(1+x))}{\frac{d}{dx}(x^3)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{1+x}}{3x^2}$

本題要求計算函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 點的二階泰勒多項式。泰勒多項式的定義是：
$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
在這個問題中，$a=0$ 且 $n=2$，所以我們需要計算 $f(0)$, $f'(0)$, 和 $f''(0)$。

給定函數 $f(x) = 5(\ln(1+x) - \sqrt{1+x})$。

首先，計算 $f(0)$:
$f(0) = 5(\ln(1+0) - \sqrt{1+0}) = 5(\ln(1) - \sqrt{1}) = 5(0 - 1) = -5$

接下來，計算一階導數 $f'(x)$:
$f'(x) = 5 \frac{d}{dx}(\ln(1+x) - (1+x)^{1/2})$
$f'(x) = 5 \left( \frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} \cdot 1 \right)$
$f'(x) = 5 \left( \frac{1}{1+x} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \right)$
計算 $f'(0)$:
$f'(0) = 5 \left( \frac{1}{1+0} - \frac{1}{2\sqrt{1+0}} \right) = 5 \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 5 \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2}$

本題是一個約束優化問題，目標函數為線性函數 $f(x, y, z) = x + 4y + z$，約束條件包含一個球面方程 $g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 216 = 0$ 和一個平面方程 $h(x, y, z) = x + 2y + 3z = 0$。

我們可以使用拉格朗日乘數法來求解。設拉格朗日函數為：
$L(x, y, z, \lambda, \mu) = f(x, y, z) - \lambda g(x, y, z) - \mu h(x, y, z)$
$L(x, y, z, \lambda, \mu) = (x + 4y + z) - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 216) - \mu (x + 2y + 3z)$

接下來，我們對 $x, y, z, \lambda, \mu$ 分別求偏導數並令其等於零：

1. $\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x - \mu = 0 \implies 2\lambda x = 1 - \mu$
2. $\frac{\partial L}{\partial y} = 4 - 2\lambda y - 2\mu = 0 \implies 2\lambda y = 4 - 2\mu$
3. $\frac{\partial L}{\partial z} = 1 - 2\lambda z - 3\mu = 0 \implies 2\lambda z = 1 - 3\mu$
4. $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 + z^2 - 216) = 0 \implies x^2 + y^2 + z^2 = 216$
5. $\frac{\partial L}{\partial \mu} = -(x + 2y + 3z) = 0 \implies x + 2y + 3z = 0$

從 (1), (2), (3) 式，我們可以得到 $x, y, z$ 與 $\lambda, \mu$ 的關係：
$x = \frac{1 - \mu}{2\lambda}$
$y = \frac{4 - 2\mu}{2\lambda} = \frac{2 - \mu}{\lambda}$
$z = \frac{1 - 3\mu}{2\lambda}$
注意：這裡假設 $\lambda \neq 0$。如果 $\lambda = 0$，則從 (1), (2), (3) 式得到 $1-\mu=0$, $4-2\mu=0$, $1-3\mu=0$，這是不可能的，所以 $\lambda \neq 0$。

將 $x, y, z$ 代入平面方程 (5)：
$\frac{1 - \mu}{2\lambda} + 2\left(\frac{2 - \mu}{\lambda}\right) + 3\left(\frac{1 - 3\mu}{2\lambda}\right) = 0$
乘以 $2\lambda$ (因為 $\lambda \neq 0$)：
$(1 - \mu) + 4(2 - \mu) + 3(1 - 3\mu) = 0$
$1 - \mu + 8 - 4\mu + 3 - 9\mu = 0$
$12 - 14\mu = 0$
$\mu = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$

現在我們有了 $\mu$ 的值，可以代回 $x, y, z$ 的表達式：
$1 - \mu = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$
$2 - \mu = 2 - \frac{6}{7} = \frac{14-6}{7} = \frac{8}{7}$
$1 - 3\mu = 1 - 3\left(\frac{6}{7}\right) = 1 - \frac{18}{7} = \frac{7-18}{7} = -\frac{11}{7}$

所以：
$x = \frac{1/7}{2\lambda} = \frac{1}{14\lambda}$
$y = \frac{8/7}{\lambda} = \frac{8}{7\lambda}$
$z = \frac{-11/7}{2\lambda} = -\frac{11}{14\lambda}$

現在，將 $x, y, z$ 代入球面方程 (4)：
$\left(\frac{1}{14\lambda}\right)^2 + \left(\frac{8}{7\lambda}\right)^2 + \left(-\frac{11}{14\lambda}\right)^2 = 216$
$\frac{1}{196\lambda^2} + \frac{64}{49\lambda^2} + \frac{121}{196\lambda^2} = 216$
通分母：
$\frac{1}{196\lambda^2} + \frac{64 \times 4}{196\lambda^2} + \frac{121}{196\lambda^2} = 216$
$\frac{1 + 256 + 121}{196\lambda^2} = 216$
$\frac{378}{196\lambda^2} = 216$
$\lambda^2 = \frac{378}{196 \times 216}$
$\lambda^2 = \frac{378}{42336}$
可以簡化分數。378 = 2 * 3^3 * 7, 196 = 2^2 * 7^2, 216 = 2^3 * 3^3
$\lambda^2 = \frac{2 \cdot 3^3 \cdot 7}{2^2 \cdot 7^2 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2^3} = \frac{1}{2^4 \cdot 7} = \frac{1}{16 \cdot 7} = \frac{1}{112}$
$\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{112}} = \pm \frac{1}{4\sqrt{7}}$

我們有兩種可能的 $\lambda$ 值，這將給出兩個可能的 $(x, y, z)$ 組合。我們需要將這兩個組合代入目標函數 $f(x, y, z) = x + 4y + z$ 來找到最大值。

情況 1: $\lambda = \frac{1}{4\sqrt{7}}$
$x = \frac{1}{14 \cdot \frac{1}{4\sqrt{7}}} = \frac{4\sqrt{7}}{14} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$
$y = \frac{8}{7 \cdot \frac{1}{4\sqrt{7}}} = \frac{32\sqrt{7}}{7}$
$z = -\frac{11}{14 \cdot \frac{1}{4\sqrt{7}}} = -\frac{44\sqrt{7}}{14} = -\frac{22\sqrt{7}}{7}$
此時的目標函數值：
$f(x, y, z) = \frac{2\sqrt{7}}{7} + 4\left(\frac{32\sqrt{7}}{7}\right) + \left(-\frac{22\sqrt{7}}{7}\right)$
$= \frac{2\sqrt{7} + 128\sqrt{7} - 22\sqrt{7}}{7} = \frac{108\sqrt{7}}{7}$

情況 2: $\lambda = -\frac{1}{4\sqrt{7}}$
$x = \frac{1}{14 \cdot (-\frac{1}{4\sqrt{7}})} = -\frac{4\sqrt{7}}{14} = -\frac{2\sqrt{7}}{7}$
$y = \frac{8}{7 \cdot (-\frac{1}{4\sqrt{7}})} = -\frac{32\sqrt{7}}{7}$

本題要求計算隱函數曲線在特定點的斜率以及切線方程式。這需要用到隱函數微分法 (Implicit Differentiation)。

首先，我們對給定的方程 $x^3 + x^2y - 2y^2 - 10y = 0$ 兩邊同時對 $x$ 求導，將 $y$ 視為 $x$ 的函數。

對 $x^3$ 求導得 $3x^2$。
對 $x^2y$ 求導，使用乘積法則：$\frac{d}{dx}(x^2y) = 2xy + x^2\frac{dy}{dx}$。
對 $-2y^2$ 求導，使用鏈式法則：$\frac{d}{dx}(-2y^2) = -4y\frac{dy}{dx}$。
對 $-10y$ 求導，使用鏈式法則：$\frac{d}{dx}(-10y) = -10\frac{dy}{dx}$。
對常數 0 求導得 0。

將這些組合起來，我們得到：
$3x^2 + (2xy + x^2\frac{dy}{dx}) - 4y\frac{dy}{dx} - 10\frac{dy}{dx} = 0$

為了求斜率，我們需要解出 $\frac{dy}{dx}$。將含有 $\frac{dy}{dx}$ 的項移到一邊，不含的項移到另一邊：
$x^2\frac{dy}{dx} - 4y\frac{dy}{dx} - 10\frac{dy}{dx} = -3x^2 - 2xy$
提出 $\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx}(x^2 - 4y - 10) = -3x^2 - 2xy$

本題要求計算條件機率密度函數 $f(x|Y < 1)$。
首先，我們需要理解聯合機率密度函數 $f(x, y)$ 的定義域。題目給出 $f(x, y) = 1$ 在 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < 1$ 的區域內，這是一個邊長為 1 的正方形區域，且在此區域內機率密度為常數 1。這表示這是一個均勻分佈在單位正方形上的聯合分佈。

條件機率密度函數的定義為：
$f(x|A) = \frac{f(x, A)}{P(A)}$
其中 $f(x, A)$ 是聯合密度在事件 $A$ 發生時的密度，而 $P(A)$ 是事件 $A$ 發生的機率。
在本題中，事件 $A$ 是 $Y < 1$。

首先，我們計算 $P(Y < 1)$。
由於 $f(x, y)$ 在 $0 < y < 1$ 時為 1，並且在 $y \ge 1$ 或 $y \le 0$ 時為 0，因此 $Y$ 的取值範圍是 $(0, 1)$。
所以，$Y < 1$ 這個條件實際上涵蓋了 $Y$ 的所有可能取值。
我們可以通過積分來計算 $P(Y < 1)$：
$P(Y < 1) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathbb{I}(y < 1) dx dy$
其中 $\mathbb{I}(y < 1)$ 是指示函數，當 $y < 1$ 時為 1，否則為 0。
在題目給定的定義域內：
$P(Y < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1 \cdot \mathbb{I}(y < 1) dx dy$
由於積分範圍是 $0 < y < 1$，所以 $\mathbb{I}(y < 1)$ 在積分域內恆為 1。
$P(Y < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1 \, dx dy = \int_{0}^{1} [x]_{0}^{1} dy = \int_{0}^{1} 1 \, dy = [y]_{0}^{1} = 1$
這證實了 $Y$ 的所有可能值都在 $0 < Y < 1$ 的範圍內。

核心觀念

本題考查：

• 指數分布的累積分布函數；
• 由隨機變數的區間事件求離散分布；
• 幾何分布的辨認。

已知 $X\sim\operatorname{Exponential}(1)$，其參數為速率參數 $\lambda=1$，因此

題目定義

所以 $Y$ 的可能值為 $1,2,3,\dots$。

解題方法

令 $Y=k$，其中 $k=1,2,3,\dots$。根據題目定義，

因此

利用指數分布的尾端機率：

故 $Y$ 的機率質量函數為

其餘整數值的機率皆為 $0$。

寫出前幾項可得

呈現首項為 $1-e^{-1}$、公比為 $e^{-1}$ 的等比數列。

分布辨認

本題要求計算條件機率分佈。首先，我們需要理解給定的條件 $Y \ge 5$ 的含義，並結合 $X$ 的指數分佈性質來推導。

我們知道 $X \sim \text{Exponential}(1)$，其 PDF 為 $f_X(x) = e^{-x}$ for $x \ge 0$，CDF 為 $F_X(x) = 1 - e^{-x}$ for $x \ge 0$。
$Y$ 的定義是 $Y = i+1$ 當且僅當 $i \le X < i+1$，其中 $i = 0, 1, 2, \dots$。
因此，$Y \ge 5$ 表示 $Y$ 的值是 $5, 6, 7, \dots$。
這意味著：
$Y=5$ 當 $4 \le X < 5$
$Y=6$當 $5 \le X < 6$
$Y=7$當 $6 \le X < 7$
...
總之，$Y \ge 5$ 當且僅當 $X \ge 4$。

所以，條件 $Y \ge 5$ 等價於條件 $X \ge 4$。
我們需要找到隨機變數 $X-4$ 在條件 $X \ge 4$ 下的分佈。
令 $Z = X - 4$。我們想找到 $Z$ 的條件分佈，給定 $X \ge 4$。

首先，計算給定 $X \ge 4$ 的條件下 $X$ 的機率密度函數 $f_{X|X \ge 4}(x)$。
$f_{X|X \ge 4}(x) = \begin{cases} \frac{f_X(x)}{P(X \ge 4)} & \text{if } x \ge 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
我們需要計算 $P(X \ge 4)$：
$P(X \ge 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - F_X(4) = 1 - (1 - e^{-4}) = e^{-4}$
所以，
$f_{X|X \ge 4}(x) = \begin{cases} \frac{e^{-x}}{e^{-4}} & \text{if } x \ge 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
$f_{X|X \ge 4}(x) = \begin{cases} e^{-(x-4)} & \text{if } x \ge 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

本題要求寫出線性迴歸模型中的殘差平方和 (Residual Sum of Squares, RSS)。

在線性迴歸模型中，我們假設模型為：
$Y_i = \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \epsilon_i$
其中 $Y_i$ 是依變數，$X_{1i}$ 和 $X_{2i}$ 是自變數，$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 是迴歸係數，$\epsilon_i$ 是誤差項。

在實際應用中，我們無法直接觀察到真實的 $\beta_1, \beta_2$ 和 $\epsilon_i$。我們使用樣本數據來估計這些參數。
通常，我們使用普通最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 來估計 $\beta_1$ 和 $\beta_2$。
OLS 的目標是最小化誤差平方和。
我們定義殘差 (residual) $\hat{e}_i$ 為觀測值 $Y_i$ 與模型預測值 $\hat{Y}_i$ 之間的差異：
$\hat{e}_i = Y_i - \hat{Y}_i$
其中 $\hat{Y}_i$ 是由估計的迴歸模型給出的預測值：
$\hat{Y}_i = \hat{\beta}_1 X_{1i} + \hat{\beta}_2 X_{2i}$
因此，殘差可以寫成：
$\hat{e}_i = Y_i - (\hat{\beta}_1 X_{1i} + \hat{\beta}_2 X_{2i})$

核心觀念

假設簡單線性迴歸模型為

其中：

• $\beta_1$ 為截距項；
• $\beta_2$ 為斜率；
• $E(u_i\mid X)=0$；
• $\operatorname{Var}(u_i\mid X)=\sigma^2$；
• $\operatorname{Cov}(u_i,u_j\mid X)=0$，$i\neq j$。

OLS 估計量的變異數來自誤差項 $u_i$ 的隨機性。矩陣形式的核心公式為

解題方法一：矩陣法

令

模型寫成

OLS 估計量為

代入 $\boldsymbol{Y}=X\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{u}$：

因此，在給定 $X$ 的條件下，

由於

可得

計算 $X'X$：

其反矩陣為

因此，

取對角線元素，即得

以及

解題方法二：以平均數與離均差表示

定義

由恆等式

以及

斜率估計量可寫成

代入 $Y_i=\beta_1+\beta_2X_i+u_i$：

因為

且

所以

本題要求在特定條件下，將 OLS 估計量 $\hat{\beta}_2$ 表示成關於 $\hat{\beta}_1$ 的線性函數，並求出係數 $a$ 和 $b$。

給定的模型是 $Y_i = \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \epsilon_i$。
題目給定特殊條件：$X_{2i} = 1$ 對於所有的 $i=1, \dots, n$。
所以模型變為：
$Y_i = \beta_1 X_{1i} + \beta_2 (1) + \epsilon_i$
$Y_i = \beta_1 X_{1i} + \beta_2 + \epsilon_i$
這是一個帶有截距項（$\beta_2$）和一個自變數（$X_{1i}$）的線性迴歸模型。
注意：通常我們將截距項寫成 $\beta_0$，這裡題目用 $\beta_2$ 表示截距項。

在這種情況下，OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$ 和 $\hat{\beta}_2$ 是對 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 的估計。
我們需要使用 OLS 的公式來計算這些估計量。
模型可以寫成矩陣形式：
$\mathbf{Y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$
其中
$\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ \vdots \\ Y_n \end{pmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} X_{11} & 1 \\ X_{12} & 1 \\ \vdots & \vdots \\ X_{1n} & 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\epsilon} = \begin{pmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{pmatrix}$
OLS 估計量為 $\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{Y}$。

首先計算 $\mathbf{X}^T \mathbf{X}$：
$\mathbf{X}^T \mathbf{X} = \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} & \dots & X_{1n} \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{11} & 1 \\ X_{12} & 1 \\ \vdots & \vdots \\ X_{1n} & 1 \end{pmatrix}$
$\mathbf{X}^T \mathbf{X} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n X_{1i}^2 & \sum_{i=1}^n X_{1i} \\ \sum_{i=1}^n X_{1i} & \sum_{i=1}^n 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum X_{1i}^2 & n\bar{X}_1 \\ n\bar{X}_1 & n \end{pmatrix}$
其中 $\bar{X}_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{1i}$。

計算 $(\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1}$：
$\det(\mathbf{X}^T \mathbf{X}) = (\sum X_{1i}^2) n - (n\bar{X}_1)^2 = n \sum X_{1i}^2 - n^2 (\frac{\sum X_{1i}}{n})^2 = n \sum X_{1i}^2 - n (\sum X_{1i})^2 / n = n (\sum X_{1i}^2 - \frac{(\sum X_{1i})^2}{n})$
$\det(\mathbf{X}^T \mathbf{X}) = n \sum_{i=1}^n (X_{1i} - \bar{X}_1)^2$
令 $S_{11} = \sum_{i=1}^n X_{1i}^2$ 且 $\overline{X_1} = \frac{1}{n}\sum X_{1i}$。
$\det(\mathbf{X}^T \mathbf{X}) = n (S_{11} - n\bar{X}_1^2)$。
$(\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} = \frac{1}{n (\sum X_{1i}^2 - n\bar{X}_1^2)} \begin{pmatrix} n & -n\bar{X}_1 \\ -n\bar{X}_1 & \sum X_{1i}^2 \end{pmatrix}$
$(\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} = \frac{1}{\sum (X_{1i} - \bar{X}_1)^2} \begin{pmatrix} \frac{1}{n}\sum (X_{1i}-\bar{X}_1)^2 + \bar{X}_1^2 & -\bar{X}_1 \\ -\bar{X}_1 & \frac{1}{n}\sum X_{1i}^2 \end{pmatrix}$
這個展開有點複雜。我們直接使用 OLS 的公式。