111 年 國立政治大學金融學系碩士班財務工程組《統計學（B）》

核心觀念

本題考查布朗運動的三項基本性質：

1. $B(t)$ 的邊際分布為

   $$B(t)\sim N(0,t).$$

2. 不相交時間區間的增量相互獨立，且

   $$B(t_k)-B(t_{k-1})\sim N(0,t_k-t_{k-1}).$$

3. 多變量常態分布的條件分布公式。若 $(X,Y)$ 為聯合常態，則

   $$X\mid Y=y\sim N\left( \mu_X+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(Y)}(y-\mu_Y), \operatorname{Var}(X)-\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)^2}{\operatorname{Var}(Y)} \right).$$

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（1）$B(t_1),B(t_2),\dots,B(t_n)$ 的聯合機率密度函數

令

$$X_1=B(t_1),$$

以及對 $k=2,\dots,n$，

$$X_k=B(t_k)-B(t_{k-1}).$$

由布朗運動的獨立增量性質，

$$X_1,X_2,\dots,X_n$$

相互獨立，且

$$X_1\sim N(0,t_1),$$ $$X_k\sim N(0,t_k-t_{k-1}),\qquad k=2,\dots,n.$$

因此，令 $b_k$ 表示 $B(t_k)$ 的實現值，則

$$X_1=b_1,$$ $$X_k=b_k-b_{k-1},\qquad k=2,\dots,n.$$

各增量的聯合密度為

$$f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t_1}} \exp\left(-\frac{x_1^2}{2t_1}\right) \prod_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi(t_k-t_{k-1})}} \exp\left( -\frac{x_k^2}{2(t_k-t_{k-1})} \right).$$

由轉換

$$x_1=b_1,\qquad x_k=b_k-b_{k-1},$$

其雅可比絕對值為 $1$，所以

$$\boxed{ f_{B(t_1),\dots,B(t_n)}(b_1,\dots,b_n) = \frac{1}{ (2\pi)^{n/2} \sqrt{t_1\prod_{k=2}^{n}(t_k-t_{k-1})} } \exp\left[ -\frac12 \left( \frac{b_1^2}{t_1} + \sum_{k=2}^{n} \frac{(b_k-b_{k-1})^2}{t_k-t_{k-1}} \right) \right] }$$

其中 $b_1,\dots,b_n\in\mathbb{R}$。

解題技巧

聯合密度的關鍵不是直接處理高度值 $B(t_k)$，而是先改寫成：

$$B(t_1),\quad B(t_2)-B(t_1),\quad\dots,\quad B(t_n)-B(t_{n-1}).$$

這些量彼此獨立，因此聯合密度可以直接相乘。

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（2）求 $\operatorname{Cov}(B(s),B(t))$，其中 $s<t$

將 $B(t)$ 分解為

$$B(t)=B(s)+[B(t)-B(s)].$$

因此

$$\operatorname{Cov}(B(s),B(t)) = \operatorname{Cov}\bigl(B(s),B(s)+B(t)-B(s)\bigr).$$

利用共變異數的線性性，

$$\operatorname{Cov}(B(s),B(t)) = \operatorname{Var}(B(s)) + \operatorname{Cov}\bigl(B(s),B(t)-B(s)\bigr).$$

由獨立增量性質，$B(t)-B(s)$ 與 $B(s)$ 獨立，因此

$$\operatorname{Cov}\bigl(B(s),B(t)-B(s)\bigr)=0.$$

又因為 $\operatorname{Var}(B(s))=s$，所以

$$\boxed{\operatorname{Cov}(B(s),B(t))=s}.$$

一般化寫法為

$$\boxed{\operatorname{Cov}(B(s),B(t))=\min(s,t)}.$$

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（3）求 $B(t)\mid B(s)=C$，其中 $s<t$

由增量分解，

$$B(t)=B(s)+[B(t)-B(s)].$$

當 $B(s)=C$ 時，

$$B(t)=C+[B(t)-B(s)].$$

布朗運動的增量性質給出

$$B(t)-B(s)\sim N(0,t-s),$$

且其與 $B(s)$ 獨立。因此，條件於 $B(s)=C$ 後，增量分布不受影響，得到

$$B(t)\mid B(s)=C \sim N(C,t-s).$$

因此條件機率密度函數為

這題分為兩部分。第一部分是關於鞅 (Martingale) 的性質驗證，需要利用鞅的定義來證明給定的隨機過程是鞅。第二部分則是關於如何生成相關的布朗運動，這在蒙地卡羅模擬中非常重要，需要利用獨立的常態隨機變數來建構相關的常態隨機變數。

核心觀念： 鞅的定義、獨立增量性、常態分佈的性質、相關常態隨機變數的生成。

(1) 證明 $Y(t) = B^2(t) - t$ 是鞅

根據鞅的定義，一個隨機過程 $\{Y(t), t \ge 0\}$ 是鞅，若滿足：

1. $E(|Y(t)|) < \infty$ 對於所有 $t \ge 0$。
2. $E(Y(T)|F_t) = Y(t)$ 對於所有 $T > t$。

首先，我們需要證明 $E(|Y(t)|) < \infty$。
$Y(t) = B^2(t) - t$。
$E(|Y(t)|) = E(|B^2(t) - t|)$。
我們知道 $B(t) \sim N(0, t)$。
$E[B^2(t)] = \text{Var}(B(t)) + (E[B(t)])^2 = t + 0^2 = t$。
由於 $E[B^2(t)] = t < \infty$，且 $t$ 本身是有限的，所以 $E(|B^2(t) - t|) \le E[B^2(t)] + E[t] = t + t = 2t < \infty$。
因此，第一個條件滿足。

接下來，我們需要證明 $E(Y(T)|F_t) = Y(t)$ 對於所有 $T > t$。
$E(Y(T)|F_t) = E(B^2(T) - T | F_t)$
$= E(B^2(T) | F_t) - E(T | F_t)$
由於 $T$ 和 $t$ 是固定的時間點， $E(T | F_t) = T$。
所以，我們需要證明 $E(B^2(T) | F_t) = B^2(t) + T - t$。

我們知道 $B(T) = B(t) + (B(T) - B(t))$。
令 $\Delta B = B(T) - B(t)$。由於 $T > t$， $\Delta B$ 獨立於 $F_t$ (因為 $F_t$ 只包含到時間 $t$ 的資訊)。
且 $\Delta B \sim N(0, T-t)$。

$B^2(T) = (B(t) + \Delta B)^2 = B^2(t) + 2 B(t) \Delta B + (\Delta B)^2$。

現在計算條件期望值：
$E(B^2(T) | F_t) = E(B^2(t) + 2 B(t) \Delta B + (\Delta B)^2 | F_t)$
$= E(B^2(t) | F_t) + E(2 B(t) \Delta B | F_t) + E((\Delta B)^2 | F_t)$

由於 $B(t)$ 和 $F_t$ 相關， $B^2(t)$ 在 $F_t$ 下是已知的，所以 $E(B^2(t) | F_t) = B^2(t)$。
對於第二項，由於 $\Delta B$ 獨立於 $F_t$， $B(t)$ 是 $F_t$ 可測的。
$E(2 B(t) \Delta B | F_t) = 2 B(t) E(\Delta B | F_t)$。
由於 $\Delta B$ 獨立於 $F_t$， $E(\Delta B | F_t) = E(\Delta B) = 0$。
所以，第二項為 $2 B(t) \cdot 0 = 0$。

對於第三項， $(\Delta B)^2$ 的期望值。 $\Delta B \sim N(0, T-t)$。
$E[(\Delta B)^2] = \text{Var}(\Delta B) + (E[\Delta B])^2 = (T-t) + 0^2 = T-t$。
由於 $(\Delta B)^2$ 獨立於 $F_t$ (因為 $\Delta B$ 獨立於 $F_t$)，所以 $E((\Delta B)^2 | F_t) = E((\Delta B)^2) = T-t$。

綜合以上，
$E(B^2(T) | F_t) = B^2(t) + 0 + (T-t) = B^2(t) + T - t$。

因此，
$E(Y(T)|F_t) = E(B^2(T)|F_t) - T = (B^2(t) + T - t) - T = B^2(t) - t = Y(t)$。

兩個條件都滿足，故 $\{Y(t), t \ge 0\}$ 是鞅。

答案： 已證明。

(2) 生成相關的布朗運動 $B_1(t), B_2(t)$

我們需要從兩個獨立的標準常態隨機變數 $Z_1(t)$ 和 $Z_2(t)$（均值為 0，變異數為 $t$）轉換成兩個相關的常態隨機變數 $B_1(t)$ 和 $B_2(t)$，其聯合分佈為多元常態 (Multivariate Normal, MN)。
給定的聯合分佈是：

$$\begin{pmatrix} B_1(t) \\ B_2(t) \end{pmatrix} \sim MN \begin{pmatrix} \mathbf{0} \\ \begin{pmatrix} t & \rho_t t \\ \rho_t t & t \end{pmatrix} \end{pmatrix}$$

這裡的協方差矩陣為 $\Sigma_t = \begin{pmatrix} t & \rho_t t \\ \rho_t t & t \end{pmatrix}$。
我們有獨立的 $Z_1(t) \sim N(0, t)$ 和 $Z_2(t) \sim N(0, t)$。
我們的目標是找到 $B_1(t)$ 和 $B_2(t)$ 的形式，使得它們具有所需的均值和協方差。

一個常見的方法是利用 Cholesky 分解來生成相關的常態隨機變數。
首先，我們需要將 $Z_1(t)$ 和 $Z_2(t)$ 的均值和變異數調整到 1，因為標準常態變數 $Z \sim N(0,1)$ 的變異數是 1。
令 $X_1 = Z_1(t) / \sqrt{t}$ 和 $X_2 = Z_2(t) / \sqrt{t}$。
則 $X_1, X_2 \sim N(0, 1)$ 且獨立。

現在，我們需要找到 $B_1(t)$ 和 $B_2(t)$ 的線性組合，使得它們具有目標的協方差矩陣 $\Sigma_t$。
假設 $B_1(t) = a X_1 + b X_2$ 且 $B_2(t) = c X_1 + d X_2$。
由於 $Z_1(t)$ 和 $Z_2(t)$ 的變異數都是 $t$，我們可以考慮將 $B_1(t)$ 和 $B_2(t)$ 表示為：
$B_1(t) = \sqrt{t} \cdot (\text{some combination of } N(0,1) \text{ variables})$
$B_2(t) = \sqrt{t} \cdot (\text{some combination of } N(0,1) \text{ variables})$

更直接的方法是，我們知道 $B_1(t)$ 和 $B_2(t)$ 都是均值為 0 的常態分佈，且變異數為 $t$。
我們可以這樣構建：
令 $B_1(t) = \sqrt{t} Z_1^*$，其中 $Z_1^* \sim N(0,1)$。
令 $B_2(t) = \sqrt{t} Z_2^*$，其中 $Z_2^* \sim N(0,1)$。
我們需要 $Z_1^*$ 和 $Z_2^*$ 具有相關性，使得 $B_1(t)$ 和 $B_2(t)$ 的協方差為 $\rho_t t$。

我們知道 $Z_1(t) \sim N(0, t)$ 和 $Z_2(t) \sim N(0, t)$ 是獨立的。
我們可以將 $Z_1(t)$ 和 $Z_2(t)$ 視為已經具有了正確的變異數 $t$。

我們需要生成兩個相關的常態隨機變數 $B_1(t)$ 和 $B_2(t)$，它們的均值都是 0，協方差矩陣是 $\Sigma_t = \begin{pmatrix} t & \rho_t t \\ \rho_t t & t \end{pmatrix}$。
令 $W_1 = B_1(t)/\sqrt{t}$ 和 $W_2 = B_2(t)/\sqrt{t}$。
則 $W_1, W_2 \sim N(0,1)$。

核心觀念

• Ito 定理：將函數 $f(t,X(t))$ 的隨機微分分解為時間、漂移與擴散三部分。對金融模型而言，可把非線性變換的隨機過程（例如對數、指數）轉成可直接求解的 SDE。
• 幾何布朗運動：$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_t dB_t$ 的解為指數形式，故 $S_t$ 為 log‑normal。
• 風險中性測度：在 $\mathbb Q$ 下把實際漂移 $\mu$ 換成無風險利率 $r$，得到 Black‑Scholes PDE。
• 希臘值：$\Delta=\partial C/\partial S_0$, $\nu=\partial C/\partial\sigma$ 等導數可直接由 BS 公式推導。

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(1) Ito 定理對金融與數學的優勢

• 處理非線性變換：對於 $X_t$ 的任意光滑函數 $f(t,X_t)$，Ito 定理給出 $df$ 的精確表達式，避免使用普通微分的錯誤近似。
• 把隨機積分轉為確定性積分：在 $df$ 中的 $dt$ 與 $dB_t$ 分別對應漂移與隨機波動，讓期望、方差等量化分析變得可計算。
• 推導封閉解：許多金融資產模型（比如幾何布朗運動、利率模型）可藉由對 $X_t$ 取對數或指數等變換，直接得到解析解。
• 建立偏微分方程：在風險中性測度下，Ito 定理與自套利原理導出 Black‑Scholes PDE，從而得到期權定價公式。
• 數學嚴謹：提供隨機分析的嚴格框架（局部馬爾可夫、二階微分算子），避免直覺式的「微小變化」推導。

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(2) 幾何布朗運動的解

方法：對 $S_t$ 取自然對數 $Y_t=\ln S_t$，利用 Ito 定理求 $dY_t$，再積分得到 $Y_t$，最後取指數還原 $S_t$。

1. 對數變換
   $Y_t=\ln S_t,\qquad f(t,x)=\ln x$
   由 Ito 定理
   $df=\Bigl(\partial_t f+\mu x\partial_x f+\tfrac12\sigma^2x^2\partial_{xx}f\Bigr)dt+\sigma x\partial_x f\,dB_t.$

2. 計算偏導
   $\partial_t f=0,\quad \partial_x f=\frac1x,\quad \partial_{xx}f=-\frac1{x^2}.$

3. 代入

$dY_t=\Bigl(\mu-\tfrac12\sigma^2\Bigr)dt+\sigma dB_t .$

4. 積分（$Y_0=\ln S_0$）

$Y_t=Y_0+\Bigl(\mu-\tfrac12\sigma^2\Bigr)t+\sigma B_t .$

5. 回到 $S_t$

$S_t=e^{Y_t}=S_0\exp\!\Bigl((\mu-\tfrac12\sigma^2)t+\sigma B_t\Bigr).$

結論

$\boxed{S_t=S_0\,e^{(\mu-0.5\sigma^2)t+\sigma B_t}}.$

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(3) $S_t$ 的分布、期望與變異

1. 分布
   由 $Y_t=\ln S_t \sim N\!\bigl(\ln S_0+(\mu-\tfrac12\sigma^2)t,\ \sigma^2t\bigr)$，

$$f_{S_t}(s)=\frac{1}{s\,\sigma\sqrt{2\pi t}} \exp\!\left\{-\frac{\bigl(\ln s-\ln S_0-(\mu-\tfrac12\sigma^2)t\bigr)^2} {2\sigma^2t}\right\},\qquad s>0.$$

2. 期望

$$\mathbb E[S_t]=\mathbb E\!\bigl[e^{Y_t}\bigr] =\exp\!\Bigl(\ln S_0+(\mu-\tfrac12\sigma^2)t+\tfrac12\sigma^2t\Bigr) =S_0 e^{\mu t}.$$

3. 變異

$$\mathbb E[S_t^2]=\exp\!\Bigl(2\ln S_0+2(\mu-\tfrac12\sigma^2)t+2\sigma^2t\Bigr) =S_0^{2}e^{2\mu t}\,e^{\sigma^2 t}.$$

因此

$$\operatorname{Var}(S_t)=\mathbb E[S_t^2]-\bigl(\mathbb E[S_t]\bigr)^2 =S_0^{2}e^{2\mu t}\bigl(e^{\sigma^2 t}-1\bigr).$$

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(4) 隱含波動率 vs 歷史波動率

項目	隱含波動率 (Implied Vol)	歷史波動率 (Historical Vol)
定義	從市場的期權價格反推的 $\sigma$，使 BS 公式吻合觀測價格。	從過去資產報酬序列計算的樣本標準差 $\widehat{\sigma}_{\text{hist}}=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum (r_i-\bar r)^2}$。
估計方式	透過數值求根或最小平方法，使理論期權價 $C_{\text{BS}}(\sigma)$ 與市場報價 $C_{\text{mkt}}$ 最小化誤差。	直接統計過去每日（或更細）對數報酬 $r_i=\ln(S_{t_i}/S_{t_{i-1}})$ 的波動。
目的	捕捉市場對未來波動的預期與風險溢酬；用於期權定價、波動率交易。	描述已發生的價格波動，常用於風險管理、VaR 計算。
特性	市場供需、流動性、風險偏好皆會影響；會隨時間、執行價而變化（波動率曲面）。	僅反映歷史樣本，假設未來波動與過去相同，忽略市場情緒。
校准 (Calibration)	以市場期權價格作目標函數，調整模型參數（如 $\sigma$, 跳躍強度）使模型價格匹配。	直接以歷史序列估計 $\sigma$，不涉及期權價格。

重點：隱含波動率是「前向」的市場共識，歷史波動率是「回溯」的統計量。校准時若只用歷史波動率，往往會低估或高估期權的實際價格；隱含波動率則能直接反映市場對未來不確定性的評價。

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(5) Black‑Scholes 歐式認購期權定價公式推導