108 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《微積分（C）》

核心觀念

本題考查多變數函數的偏微分與鏈鎖律。定義

$$n(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-d^2/2}, \qquad N'(d)=n(d).$$

因此，對 $N(d_1)$ 或 $N(d_2)$ 微分時，必須使用

$$\frac{\partial}{\partial x}N(d_i) =n(d_i)\frac{\partial d_i}{\partial x}.$$

另外，本題的關鍵恒等式為

$$Se^{-qT}n(d_1)=Xe^{-rT}n(d_2).$$

證明如下：

$$d_1-d_2=\sigma\sqrt{T},$$

且

$$d_1+d_2 = \frac{2\{\ln(S/X)+(r-q)T\}}{\sigma\sqrt{T}}.$$

故

$$d_1^2-d_2^2 =(d_1-d_2)(d_1+d_2) =2\{\ln(S/X)+(r-q)T\}.$$

因此

$$\frac{n(d_1)}{n(d_2)} = e^{-(d_1^2-d_2^2)/2} = e^{-\ln(S/X)-(r-q)T} = \frac{X}{S}e^{-(r-q)T},$$

整理得

$$Se^{-qT}n(d_1)=Xe^{-rT}n(d_2).$$

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（a）求 $\dfrac{\partial c}{\partial X}$

原式為

$$c=Se^{-qT}N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2).$$

先求 $d_1,d_2$ 對 $X$ 的偏導數：

$$\frac{\partial d_1}{\partial X} = \frac{\partial d_2}{\partial X} = -\frac{1}{X\sigma\sqrt{T}}.$$

使用乘法法則與鏈鎖律：

$$\begin{aligned} \frac{\partial c}{\partial X} &= Se^{-qT}n(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial X} -e^{-rT}N(d_2) -Xe^{-rT}n(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial X}. \end{aligned}$$

代入偏導數：

$$\begin{aligned} \frac{\partial c}{\partial X} &= -\frac{Se^{-qT}n(d_1)}{X\sigma\sqrt{T}} -e^{-rT}N(d_2) +\frac{e^{-rT}n(d_2)}{\sigma\sqrt{T}}. \end{aligned}$$

由核心恒等式

$$Se^{-qT}n(d_1)=Xe^{-rT}n(d_2),$$

可知第一項與第三項互相抵消，因此

$$\boxed{\frac{\partial c}{\partial X}=-e^{-rT}N(d_2)}.$$

題目要求寫成 $AN(B)$ 的形式，所以

$$\boxed{A=-e^{-rT}},\qquad \boxed{B=d_2}.$$

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（b）求 $\dfrac{\partial c}{\partial S}$

先求 $d_1,d_2$ 對 $S$ 的偏導數：

$$\frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{\partial d_2}{\partial S} = \frac{1}{S\sigma\sqrt{T}}.$$

對 Black-Scholes 公式使用乘法法則與鏈鎖律：

核心觀念

本題考查常態分布的機率密度函數與動差生成函數（moment generating function, MGF）。

若 $X\sim N(0,\sigma^2)$，則其動差生成函數為

$$M_X(t)=E[e^{tX}] =\exp\left(\frac{\sigma^2t^2}{2}\right).$$

由動差生成函數的微分性質，

$$M_X'(t)=E[Xe^{tX}].$$

因此只要計算 $M_X'(c)$，即可得到題目所求的 $E[Xe^{cX}]$。

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解題方法與推導

由 $X\sim N(0,\sigma^2)$，其機率密度函數為

$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}.$$

先寫出動差生成函數：

$$M_X(t) =E[e^{tX}] =\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f_X(x)\,dx.$$

代入常態分布的密度函數：

$$M_X(t) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(tx-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\,dx.$$

將指數中的部分配方：

$$tx-\frac{x^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2} \left(x^2-2\sigma^2tx\right)$$ $$= -\frac{(x-\sigma^2t)^2}{2\sigma^2} +\frac{\sigma^2t^2}{2}.$$

所以

此題考驗對複合卜瓦松分佈 (Compound Poisson Distribution) 的期望值計算，以及隨機和 (random sum) 和隨機乘積 (random product) 的處理。

核心觀念：

1. 複合卜瓦松分佈的期望值性質：$E[J] = E[N] E[Y]$。
2. 隨機和的期望值：$E[\sum_{i=1}^{N} Y_i] = E[N] E[Y]$。
3. 隨機乘積的期望值：$E[\prod_{i=1}^{N} Y_i]$。
4. 條件期望與全期望法則 (Law of Total Expectation)。
5. 卜瓦松分佈和常態分佈的性質。
6. 獨立性假設。

已知：
$N \sim \text{Poisson}(\lambda=2)$，所以 $E[N] = \lambda = 2$，$P(N=k) = \frac{e^{-2} 2^k}{k!}$。
$Y_i \sim N D(\mu, \sigma^2)$，獨立同分佈 (i.i.d.)。
$N$ 與 $Y_i$ 獨立。

解題步驟：

(a) 計算 $E[\prod_{i=1}^{N} Y_i]$

我們使用全期望法則 (Law of Total Expectation)，根據 $N$ 的值來計算期望值。
$E[\prod_{i=1}^{N} Y_i] = E[ E[\prod_{i=1}^{N} Y_i] | N ]$
當 $N=k$ 時，我們計算條件期望 $E[\prod_{i=1}^{k} Y_i | N=k]$。
由於 $Y_i$ 是獨立同分佈的，且與 $N$ 獨立：
$E[\prod_{i=1}^{k} Y_i | N=k] = E[Y_1 Y_2 \cdots Y_k | N=k]$
因為 $Y_i$ 與 $N$ 獨立，所以 $E[Y_1 Y_2 \cdots Y_k | N=k] = E[Y_1 Y_2 \cdots Y_k]$。
由於 $Y_i$ 之間是獨立的，所以 $E[Y_1 Y_2 \cdots Y_k] = E[Y_1] E[Y_2] \cdots E[Y_k]$。
由於 $Y_i$ 是同分佈的，所以 $E[Y_i] = \mu$ 對所有 $i$。
因此，$E[Y_1 Y_2 \cdots Y_k] = \mu^k$。

現在，我們將這個結果代回全期望法則：
$E[\prod_{i=1}^{N} Y_i] = E[ E[\prod_{i=1}^{N} Y_i] | N ] = E[\mu^N]$
由於 $\mu$ 是常數，我們可以將其提出：
$E[\mu^N] = \sum_{k=0}^{\infty} \mu^k P(N=k)$
$= \sum_{k=0}^{\infty} \mu^k \frac{e^{-2} 2^k}{k!}$
$= e^{-2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\mu \cdot 2)^k}{k!}$
我們知道泰勒級數展開 $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$。
所以，$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2\mu)^k}{k!} = e^{2\mu}$。
$E[\prod_{i=1}^{N} Y_i] = e^{-2} e^{2\mu} = e^{2\mu - 2}$

【答案】
$E[\prod_{i=1}^{N} Y_i] = e^{2\mu - 2}$

(b) 計算 $E[N \prod_{i=1}^{N} Y_i]$

我們再次使用全期望法則。
$E[N \prod_{i=1}^{N} Y_i] = E[ E[N \prod_{i=1}^{N} Y_i] | N ]$
當 $N=k$ 時，我們計算條件期望 $E[k \prod_{i=1}^{k} Y_i | N=k]$。
由於 $k$ 是常數，我們可以將其提出：
$E[k \prod_{i=1}^{k} Y_i | N=k] = k E[\prod_{i=1}^{k} Y_i | N=k]$
由於 $Y_i$ 獨立於 $N$，我們有 $E[\prod_{i=1}^{k} Y_i | N=k] = E[\prod_{i=1}^{k} Y_i] = \mu^k$ (從 (a) 部分得知)。
所以，當 $N=k$ 時，條件期望為 $k \mu^k$。

此題考驗三角函數積分的技巧。

核心觀念：

1. 三角函數恆等式：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$。
2. 分部積分或變換技巧。

解題步驟：

我們需要計算 $\int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx$。
直接積分較為困難，我們可以嘗試對分子和分母進行變換。
一種常見的技巧是將分子和分母都乘以 $1-\sin x$，以消除分母中的 $\sin x$ 項。

$\int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx = \int \frac{\sin x (1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} dx$
$= \int \frac{\sin x - \sin^2 x}{1 - \sin^2 x} dx$
利用恆等式 $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$：
$= \int \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} dx$
將積分拆成兩項：
$= \int \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \right) dx$
$= \int \left( \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos x} - \tan^2 x \right) dx$
$= \int (\tan x \sec x - \tan^2 x) dx$

我們知道 $\int \tan x \sec x dx = \sec x$。
對於 $\int \tan^2 x dx$，我們使用恆等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$。
$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx$
$= \int \sec^2 x dx - \int 1 dx$
$= \tan x - x$

此題考驗對積分的理解，特別是與雙曲函數相關的積分。

核心觀念：

1. 雙曲正切函數的定義：$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$。
2. 變數代換法 (u-substitution)。

解題步驟：

我們要計算 $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$。
注意到被積函數的形式是 $\frac{f'(x)}{f(x)}$ 的形式。
令 $u = e^x + e^{-x}$。
則 $du = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) dx = (e^x - e^{-x}) dx$。
積分變為：
$\int \frac{1}{u} du$
這個積分是 $\ln|u| + C$。
將 $u = e^x + e^{-x}$ 代回：
$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \ln|e^x + e^{-x}| + C$

此題考驗隱函數微分法 (Implicit Differentiation)。

核心觀念：

1. 隱函數微分法的基本原理：對等式兩邊同時對 $x$ 作微分，並將 $y$ 視為 $x$ 的函數。
2. 連鎖律 (Chain Rule) 的應用。
3. 乘法定律 (Product Rule) 的應用。

解題步驟：

給定方程 $e^{xy} - xy = 0$。
我們對等式兩邊同時對 $x$ 作微分。

對第一項 $e^{xy}$ 微分：
使用連鎖律。令 $u = xy$。則 $\frac{d}{dx}(e^u) = e^u \frac{du}{dx}$。
我們需要計算 $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(xy)$。
使用乘法定律：$\frac{d}{dx}(xy) = (\frac{d}{dx}x)y + x(\frac{d}{dx}y) = 1 \cdot y + x \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$。
所以，$\frac{d}{dx}(e^{xy}) = e^{xy} (y + x \frac{dy}{dx})$。

對第二項 $-xy$ 微分：
使用乘法定律，我們已經計算出 $\frac{d}{dx}(xy) = y + x \frac{dy}{dx}$。
所以，$\frac{d}{dx}(-xy) = -(y + x \frac{dy}{dx})$。

對等式右邊 0 微分：
$\frac{d}{dx}(0) = 0$。

此題考驗對導數計算的理解，特別是雙曲函數的導數。

核心觀念：

1. 雙曲函數的定義：$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$。
2. 雙曲函數的導數公式：$\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x$，$\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x$。
3. 商法則 (Quotient Rule)。

解題步驟：

給定函數 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$。
我們可以識別出這個函數是雙曲正切函數 $\tanh x$。
$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
所以，$y = \frac{2 \sinh x}{2 \cosh x} = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x$。

現在我們需要計算 $y$ 對 $x$ 的導數 $\frac{dy}{dx}$。
我們可以直接使用雙曲函數的導數公式。
$\frac{d}{dx}(\tanh x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sinh x}{\cosh x}\right)$。
使用商法則：
$\frac{d}{dx}(\tanh x) = \frac{(\frac{d}{dx}\sinh x) \cosh x - \sinh x (\frac{d}{dx}\cosh x)}{\cosh^2 x}$
$= \frac{(\cosh x) \cosh x - \sinh x (\sinh x)}{\cosh^2 x}$
$= \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$
我們知道雙曲函數的一個重要恆等式是 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$。
所以，

此題考驗對微分方程的解法，特別是變數可分離型 (Separable Differential Equation)。

核心觀念：

1. 變數可分離型微分方程的定義：可以寫成 $f(x)dx + g(y)dy = 0$ 的形式。
2. 積分技巧。

解題步驟：

給定的微分方程為 $(x^2 + 1)dx + \cos y dy = 0$。
這個方程是變數可分離型的，因為我們可以將包含 $x$ 的項與 $dx$ 結合，將包含 $y$ 的項與 $dy$ 結合。

將方程重新整理為：
$(x^2 + 1)dx = -\cos y dy$
或者
$(x^2 + 1)dx + \cos y dy = 0$