111 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《微積分（C）》

核心觀念

本題涉及：

• Black–Scholes 選擇權定價公式；
• 標準常態分布函數 $N(x)$ 與密度函數 $n(x)$ 的關係：
  $N'(x)=n(x);$
• 複合函數微分法；
• 變數
  $y=\frac{\ln(S_0/B)+(\lambda-\frac12)\sigma^2T}{\sigma\sqrt T}$
  對 $S_0$ 的微分：
  $\frac{\partial y}{\partial S_0}=\frac{1}{S_0\sigma\sqrt T}.$

然而，題目目前提供的公式存在關鍵缺漏與矛盾，因此無法得到唯一且確定的數值答案。

題目公式的缺漏

題目給出

$$c_0=S_0e^{-qt}\left(\frac{N(d_1)}{\sigma\sqrt T}\right) -Ke^{-rT}\left(\frac{N(d_2)}{\sigma\sqrt T}\right),$$

但沒有定義 $d_1$ 與 $d_2$。因此無法計算

$$\frac{\partial d_1}{\partial S_0}, \qquad \frac{\partial d_2}{\partial S_0},$$

也就無法唯一決定 $\frac{\partial c_0}{\partial S_0}$。

此外，第一項的折現因子寫成 $e^{-qt}$，但題目要求的是今天 $t=0$ 的價格，且其他項均以到期日 $T$ 表示，通常應為 $e^{-qT}$。

(a) 無法證明題示等式

題目要求證明

$$S_0e^{-qt}\left(\frac{N(d_1)}{\sigma\sqrt T}\right) = Ke^{-rT}\left(\frac{N(y-\sigma\sqrt T)}{\sigma\sqrt T}\right).$$

約去共同因子 $\frac{1}{\sigma\sqrt T}$ 後，該式等價於

$$S_0e^{-qt}N(d_1) = Ke^{-rT}N(y-\sigma\sqrt T).$$

因此必須知道 $d_1$ 的定義，並且還必須滿足

$$N(d_1) = \frac{K}{S_0}e^{-(rT-qt)} N(y-\sigma\sqrt T).$$

題目沒有提供此關係。僅憑

$$\lambda=\frac{r-q+\frac12\sigma^2}{\sigma^2}, \qquad y=\frac{\ln(S_0/B)+(\lambda-\frac12)\sigma^2T}{\sigma\sqrt T}$$

無法推出上述等式。

特別要注意，標準常態分布函數一般不具有

$$N(a)=Ce^{b}N(c)$$

這種可由代數直接成立的關係。Black–Scholes 推導中常見的是密度函數的關係，例如

$$n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},$$

而不是題目所寫的 $N(x)$ 之間的直接等式。因此，(a) 很可能將 $N$ 誤植為 $n$，或遺漏了某些關於 $d_1,d_2$ 與 $y$ 的定義及冪次因子。

(b) 偏微分的一般形式

若暫時將題目公式照字面視為

本題要求計算在給定時間區間內，累積的客戶識別度增長量。這是一個典型的定積分應用問題，代表了變化率函數在某區間上的累積效應。

核心觀念：

1. 累積變化量等於變化率函數在該區間上的定積分。
2. 對數函數的積分。
3. 分部積分法。

設 $R(t)$ 為客戶識別度（千人）隨時間 $t$（週）的增長率，則題目給定 $R(t) = t^3 \ln t$ (千人/週)，且 $t \ge 1$。
我們需要計算從第 1 週結束到第 4 週結束的總識別度增長，這相當於計算 $R(t)$ 從 $t=1$ 到 $t=4$ 的定積分：
$\text{Total Gain} = \int_{1}^{4} R(t) dt = \int_{1}^{4} t^3 \ln t dt$
我們使用分部積分法來計算這個積分。分部積分公式為 $\int u dv = uv - \int v du$。
令 $u = \ln t$ 且 $dv = t^3 dt$。
則 $du = \frac{1}{t} dt$ 且 $v = \int t^3 dt = \frac{t^4}{4}$。

應用分部積分公式：
$\int_{1}^{4} t^3 \ln t dt = \left[ (\ln t) \left( \frac{t^4}{4} \right) \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{t^4}{4} \left( \frac{1}{t} dt \right)$
$= \left[ \frac{t^4 \ln t}{4} \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{t^3}{4} dt$

首先計算第一項的定值：
$\left[ \frac{t^4 \ln t}{4} \right]_{1}^{4} = \frac{4^4 \ln 4}{4} - \frac{1^4 \ln 1}{4}$
由於 $\ln 1 = 0$，所以第二項為 0。
$= \frac{256 \ln 4}{4} - 0 = 64 \ln 4$
注意到 $\ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2$。

本題要求在區間 $[0, 1]$ 上找到函數 $f(x) = e^x$ 的最佳線性近似 $h(x) = a_0 + a_1x$，使得平方誤差積分最小。這是一個典型的最小平方法問題。

核心觀念：

1. 最小平方法：最小化誤差函數的平方積分。
2. 偏微分：利用誤差函數對待定係數的偏導數為零來求解。
3. 積分計算：計算涉及指數函數的積分。

我們需要最小化誤差函數 $E(a_0, a_1)$，其定義為：
$E(a_0, a_1) = \int_{0}^{1} [f(x) - h(x)]^2 dx$
將 $f(x) = e^x$ 和 $h(x) = a_0 + a_1x$ 代入：
$E(a_0, a_1) = \int_{0}^{1} (e^x - (a_0 + a_1x))^2 dx$
為了找到最小化 $E$ 的 $a_0$ 和 $a_1$，我們需要計算 $E$ 對 $a_0$ 和 $a_1$ 的偏導數，並令它們等於零。

首先，計算對 $a_0$ 的偏導數 $\frac{\partial E}{\partial a_0}$：
$\frac{\partial E}{\partial a_0} = \int_{0}^{1} 2(e^x - a_0 - a_1x) (-1) dx$
$= -2 \int_{0}^{1} (e^x - a_0 - a_1x) dx$
令 $\frac{\partial E}{\partial a_0} = 0$：
$\int_{0}^{1} (e^x - a_0 - a_1x) dx = 0$
$\int_{0}^{1} e^x dx - \int_{0}^{1} a_0 dx - \int_{0}^{1} a_1x dx = 0$
計算積分：
$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$
$\int_{0}^{1} a_0 dx = a_0 [x]_{0}^{1} = a_0 (1 - 0) = a_0$
$\int_{0}^{1} a_1x dx = a_1 [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = a_1 (\frac{1^2}{2} - 0) = \frac{a_1}{2}$
所以，第一個方程是：
$(e - 1) - a_0 - \frac{a_1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad a_0 + \frac{a_1}{2} = e - 1 \quad (1)$

接下來，計算對 $a_1$ 的偏導數 $\frac{\partial E}{\partial a_1}$：
$\frac{\partial E}{\partial a_1} = \int_{0}^{1} 2(e^x - a_0 - a_1x) (-x) dx$
$= -2 \int_{0}^{1} (xe^x - a_0x - a_1x^2) dx$
令 $\frac{\partial E}{\partial a_1} = 0$：
$\int_{0}^{1} (xe^x - a_0x - a_1x^2) dx = 0$
$\int_{0}^{1} xe^x dx - \int_{0}^{1} a_0x dx - \int_{0}^{1} a_1x^2 dx = 0$
計算積分：
$\int_{0}^{1} xe^x dx$：使用分部積分法，令 $u=x$, $dv=e^x dx$。

本題要求判斷函數 $f(x)$ 的凹性，即在哪個開區間上函數是凹向上（Concave Upward）或凹向下（Concave Downward）。判斷凹性的方法是通過計算函數的二階導數。

核心觀念：

1. 凹性判斷：
   • 若 $f''(x) > 0$ 在某區間上，則 $f(x)$ 在該區間上凹向上。
   • 若 $f''(x) < 0$ 在某區間上，則 $f(x)$ 在該區間上凹向下。
2. 求導技巧：商的求導法則。

首先，我們需要計算函數 $f(x)$ 的一階導數 $f'(x)$。
$f(x) = 6(x^2+3)^{-1}$
使用連鎖法則和商的求導法則：
$f'(x) = 6 \cdot (-1) (x^2+3)^{-2} \cdot (2x)$
$f'(x) = -12x (x^2+3)^{-2}$
$f'(x) = \frac{-12x}{(x^2+3)^2}$

接下來，我們計算二階導數 $f''(x)$。我們使用商的求導法則，令 $u = -12x$ 且 $v = (x^2+3)^2$。
則 $u' = -12$。
$v' = 2(x^2+3) \cdot (2x) = 4x(x^2+3)$。

$f''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$f''(x) = \frac{(-12)(x^2+3)^2 - (-12x)(4x(x^2+3))}{((x^2+3)^2)^2}$
$f''(x) = \frac{-12(x^2+3)^2 + 48x^2(x^2+3)}{(x^2+3)^4}$
我們可以從分子中提出公因式 $-12(x^2+3)$：
$f''(x) = \frac{-12(x^2+3) [(x^2+3) - 4x^2]}{(x^2+3)^4}$
$f''(x) = \frac{-12 [(x^2+3) - 4x^2]}{(x^2+3)^3}$
$f''(x) = \frac{-12 [3 - 3x^2]}{(x^2+3)^3}$

本題要求計算由函數 $y = x^2 - 3x - 4$ 的圖形與 x 軸所圍成的區域面積。

核心觀念：

1. 區域面積的計算：由函數曲線與 x 軸圍成的面積，等於該函數在與 x 軸交點之間的定積分（若函數在此區間內非負）。若函數在此區間內為負，則面積為積分的絕對值。
2. 求解二次方程：找出函數與 x 軸的交點，即令 $y=0$ 求解。
3. 定積分計算：計算二次函數的定積分。

首先，我們需要找到函數 $y = x^2 - 3x - 4$ 與 x 軸的交點。令 $y=0$，即：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
我們可以通過因式分解來求解這個二次方程：
$(x - 4)(x + 1) = 0$
所以，交點為 $x = 4$ 和 $x = -1$。

這意味著函數圖形與 x 軸在 $x = -1$ 和 $x = 4$ 處相交。
接下來，我們需要確定在區間 $[-1, 4]$ 上，函數 $y = x^2 - 3x - 4$ 的符號。
由於這是一個開口向上的拋物線（二次項係數為正），且在 $x=-1$ 和 $x=4$ 處與 x 軸相交，因此在區間 $(-1, 4)$ 內，函數的值是負的。
我們可以驗證這一點，例如取 $x=0$： $y = 0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0$。

因此，由函數圖形與 x 軸所圍成的區域面積 $A$ 為在區間 $[-1, 4]$ 上函數值的絕對值的積分：
$A = \int_{-1}^{4} |x^2 - 3x - 4| dx$
由於在 $[-1, 4]$ 區間內 $x^2 - 3x - 4 \le 0$，所以 $|x^2 - 3x - 4| = -(x^2 - 3x - 4) = -x^2 + 3x + 4$。

本題要求使用二重積分計算由曲線 $y = x^2$ 和 $y = x^3$ 所圍成的區域面積。

核心觀念：

1. 二重積分計算面積：區域 $R$ 的面積 $A = \iint_R dA$。
2. 確定積分區域：找出兩曲線的交點，並確定在交點之間哪條曲線在上。
3. 設定積分限：根據區域的形狀，設定適當的積分限。

首先，我們需要找出兩條曲線 $y = x^2$ 和 $y = x^3$ 的交點。令 $x^2 = x^3$：
$x^3 - x^2 = 0$
$x^2(x - 1) = 0$
解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。
當 $x=0$ 時，$y=0^2=0$，$y=0^3=0$，交點為 $(0,0)$。
當 $x=1$ 時，$y=1^2=1$，$y=1^3=1$，交點為 $(1,1)$。

現在我們需要確定在區間 $[0, 1]$ 上，哪條曲線位於上方。
我們可以在區間 $(0, 1)$ 中取一個測試點，例如 $x = 0.5$：
對於 $y = x^2$，$y = (0.5)^2 = 0.25$。
對於 $y = x^3$，$y = (0.5)^3 = 0.125$。
因為 $0.25 > 0.125$，所以在區間 $(0, 1)$ 上，$y = x^2$ 在 $y = x^3$ 的上方。

本題要求估計函數 $y = e^{-x^2}$ 和 $y = x$ 的交點。這通常需要藉助圖形或數值方法來估計，因為這個方程 $e^{-x^2} = x$ 沒有解析解。

核心觀念：

1. 函數圖形交點：交點是滿足兩個函數方程的點。
2. 圖形分析：通過繪製或觀察函數圖形來估計交點。
3. 數值方法（概念性）：理解解析解不存在時，如何通過迭代或逼近來找到近似解。

首先，我們分析兩個函數的性質：
函數 $y = x$ 是一條通過原點的直線，斜率為 1。
函數 $y = e^{-x^2}$ 是一個偶函數，圖形是對稱於 y 軸的。
當 $x=0$ 時，$y = e^{-0^2} = e^0 = 1$。
當 $x \to \pm \infty$ 時，$y = e^{-x^2} \to 0$。
函數 $y = e^{-x^2}$ 在 $x=0$ 處達到最大值 1。
$y' = e^{-x^2} (-2x) = -2xe^{-x^2}$。
$y'=0$ 當 $x=0$。
$y'' = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2xe^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2)$。
$y''=0$ 當 $4x^2=2 \Rightarrow x^2=1/2 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。
在 $x=0$ 處，$y'' = -2 < 0$，所以 $x=0$ 是局部最大值點。
在 $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ 處是拐點。

我們需要找到 $e^{-x^2} = x$ 的解。
由於 $y = e^{-x^2}$ 的值始終大於 0，而 $y=x$ 的值在 $x<0$ 時為負，所以交點一定出現在 $x > 0$ 的區域。
考慮 $x>0$ 的情況：
當 $x=0$ 時，$e^{-x^2} = 1$，$x = 0$。 $1 > 0$。
當 $x=1$ 時，$e^{-x^2} = e^{-1} \approx 0.368$，$x = 1$。 $0.368 < 1$。

本題要求解一個一階線性微分方程。該方程的形式為 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。

核心觀念：

1. 一階線性微分方程的通解。
2. 積分因子法。
3. 積分計算。

給定的微分方程是 $\frac{dy}{dx} - 2y = x^2$。
這是一個標準的一階線性微分方程，其中 $P(x) = -2$ 且 $Q(x) = x^2$。

我們可以使用積分因子法來求解。積分因子 $I(x)$ 的定義為：
$I(x) = e^{\int P(x) dx}$
計算積分因子：
$\int P(x) dx = \int -2 dx = -2x$
所以，積分因子是：
$I(x) = e^{-2x}$

將微分方程兩邊同時乘以積分因子 $e^{-2x}$：
$e^{-2x} \left(\frac{dy}{dx} - 2y\right) = e^{-2x} x^2$
左邊可以寫成 $\frac{d}{dx} (y \cdot I(x))$：
$\frac{d}{dx} (y e^{-2x}) = x^2 e^{-2x}$

現在，我們對兩邊進行積分：
$\int \frac{d}{dx} (y e^{-2x}) dx = \int x^2 e^{-2x} dx$
$y e^{-2x} = \int x^2 e^{-2x} dx$

我們需要計算右邊的積分 $\int x^2 e^{-2x} dx$。這需要使用兩次分部積分法。
令 $\int x^2 e^{-2x} dx$。
第一次分部積分：令 $u = x^2$，$dv = e^{-2x} dx$。
則 $du = 2x dx$，$v = \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。
$\int x^2 e^{-2x} dx = u v - \int v du = x^2 \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) (2x dx)$
$= -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} + \int x e^{-2x} dx$

第二次分部積分，計算 $\int x e^{-2x} dx$：
令 $u = x$，$dv = e^{-2x} dx$。