111 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《統計學（K）》

這題考驗對利潤計算的理解，包含固定成本、變動成本與收入的關係。

題目中提到：

• 每個高麗菜的售價 (Selling Price, SP) = $1.20
• 每個高麗菜的成本 (Cost Price, CP) = $0.75
• 購買數量 = 100 個
• 需求量 (Demand) = 250 個 (此資訊與高麗菜利潤無關，僅為干擾資訊)
• 未售出的高麗菜捐贈，意即沒有回收價值。

這題考驗對「簡單移動平均法」(Simple Moving Average, SMA) 的應用，特別是「三期移動平均法」。

簡單移動平均法的概念是利用過去一段固定期間的數據來預測未來。三期移動平均法 (SMA(3)) 則是取最近的三期數據的平均值作為預測值。

題目提供的數據如下：

• Day 1: Sales = 6
• Day 2: Sales = 13
• Day 3: Sales = 8
• Day 4: Sales = 4
• Day 5: Sales = 9
• Day 6: Sales = 14

這題考驗對卡方檢定 (Chi-Square Test) 統計量計算及其與 P-value/決策關係的理解。

卡方檢定用於比較觀察頻率 (Observed Frequencies, $O_i$) 與期望頻率 (Expected Frequencies, $E_i$) 之間的差異。其檢定統計量公式為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
其中 $k$ 是類別的數量。

檢定統計量的值越大，表示觀察頻率與期望頻率之間的差異越大。

題目提到「觀察頻率 are relatively close to the expected frequencies」，這意味著 $(O_i - E_i)^2$ 的值會比較小。

這題考驗如何選擇適合的統計檢定方法來比較多個比例 (proportions) 的差異，以及如何計算自由度。

題目中，我們想比較四家航空公司 (Alaska, Delta, Southwest, United) 的「準點抵達航班的比例」是否存在差異。我們有來自這四個組別的樣本數據，並且關心的是每個組別的比例。

當我們需要比較三個或更多組別的比例時，最適合的統計檢定方法是卡方獨立性檢定 (Chi-Square Test of Independence) 或卡方齊一性檢定 (Chi-Square Test of Homogeneity)。這兩種檢定都使用卡方分佈。

在這個問題中，我們有四個類別（航空公司），每個類別都有一個結果（準點或不準點）。這是一個典型的「多組比例比較」問題。

這題考驗對統計檢定中第一類錯誤 (Type I Error) 的定義，特別是在單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的情境下。

第一類錯誤 (Type I Error)，也稱為 false positive，是指當虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，我們卻拒絕了它。

在單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 中，虛無假設 ($H_0$) 是所有組別的母體平均數都相等：
$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$

對立假設 ($H_a$) 是至少有一個組別的母體平均數不等於其他組別：
$H_a:$ 至少有一個 $\mu_i \neq \mu_j$

這題考驗對第二類錯誤 (Type II Error) 的定義，特別是在一個單一樣本假設檢定 (One-Sample Hypothesis Test) 的情境下。

第二類錯誤 (Type II Error)，也稱為 false negative，是指當虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為假時，我們卻未能拒絕它。

在此題目中：

• 虛無假設 ($H_0$)：母體平均考試時間 = 60 分鐘 ($\mu = 60$)。
• 對立假設 ($H_a$)：母體平均考試時間 $\neq$ 60 分鐘 ($\mu \neq 60$)。

第二類錯誤發生在：

• $H_0$ 為假 (即真實的母體平均考試時間不是 60 分鐘)。
• 但我們基於樣本數據，錯誤地未能拒絕 $H_0$，而得出平均考試時間等於 60 分鐘的結論。

我們來分析選項：
A) 「concludes that the average exam time is not equal to 60 minutes when, in reality, the average time is equal to 60 minutes」。

• 結論：$\mu \neq 60$ (拒絕 $H_0$)
• 事實：$\mu = 60$ ($H_0$ 為真)
• 這種情況是第一類錯誤 (Type I Error)。

B) 「concludes that the average exam time is not equal to 60 minutes when, in reality, the average time is greater than 60 minutes」。

• 結論：$\mu \neq 60$ (拒絕 $H_0$)
• 事實：$\mu > 60$ ($H_0$ 為假)
• 這是正確地拒絕了虛無假設。

C) 「concludes that the average exam time is equal to 60 minutes when, in reality, the average time is less than 60 minutes」。

• 結論：$\mu = 60$ (未能拒絕 $H_0$)
• 事實：$\mu < 60$ ($H_0$ 為假)

這題考驗對單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 中所使用的檢定統計量 (Test Statistic) 所服從的機率分佈的認識。

單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的目的是比較三個或更多組別的母體平均數是否相等。它透過比較組間變異數 (between-group variance) 與組內變異數 (within-group variance) 的比例來進行檢定。

ANOVA 的虛無假設 ($H_0$) 是所有組別的母體平均數相等。
對立假設 ($H_a$) 是至少有一個組別的平均數不同。

在 $H_0$ 為真的情況下，ANOVA 的檢定統計量是組間變異數與組內變異數的比值，這個比值服從 F 分佈 (F-distribution)。
$F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}$
其中 MSB 是 Mean Square Between Groups，MSW 是 Mean Square Within Groups。

這題考驗對迴歸模型中可能出現的問題的認識，特別是當自變數之間高度相關時會發生什麼情況。

當一個迴歸模型中有兩個或更多個自變數 (independent variables) 之間存在高度相關性時，這種現象稱為「多重共線性」(Multicollinearity)。

選項分析：
A) Autocorrelation (自相關)：通常出現在時間序列資料中，表示誤差項之間存在相關性。
B) Homoscedasticity (同質變異數)：表示誤差項的變異數對於所有觀察值都是恆定的。這是迴歸分析的一個假設，而非問題。

這題考驗對信賴區間 (Confidence Interval, CI) 計算中，樣本大小 (sample size, $n$) 對區間寬度的影響。

信賴區間的計算公式通常是：
$\text{Point Estimate} \pm \text{Margin of Error}$
其中 Margin of Error (MOE) 的計算方式會包含樣本大小。

對於平均數的信賴區間，MOE 的公式通常是：
$\text{MOE} = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{or} \quad \text{MOE} = t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

這題考驗對樣本統計量（平均數與中位數）與資料分佈形態之間關係的理解。

• 對稱分佈 (Symmetric Distribution)：在對稱分佈中，平均數 (mean)、中位數 (median) 和眾數 (mode) 通常是相等的，或者非常接近。分佈的兩側是對稱的。
• 右偏分佈 (Right-Skewed / Positively Skewed Distribution)：在右偏分佈中，大部分數據集中在左側，尾部向右延伸。由於右側的極端值會將平均數拉向右邊，因此通常有：平均數 > 中位數 > 眾數。
• 左偏分佈 (Left-Skewed / Negatively Skewed Distribution)：在左偏分佈中，大部分數據集中在右側，尾部向左延伸。由於左側的極端值會將平均數拉向左邊，因此通常有：平均數 < 中位數 < 眾數。

核心觀念

本題檢定母體中位數是否大於 $190$，適合使用符號檢定。符號檢定只比較每筆觀測值與假設中位數的大小，不要求母體分配為常態。

設母體中位數為 $\eta$，假設為：

$$H_0:\eta=190,\qquad H_1:\eta>190$$

在虛無假設的邊界 $\eta=190$ 下，扣除等於 $190$ 的觀測值後，每筆資料大於 $190$ 的機率為 $0.5$。因此，若有效樣本數為 $n$，大於 $190$ 的筆數 $X$ 在 $H_0$ 下服從 $\operatorname{Binomial}(n,0.5)$。

解題方法

樣本中：

• 大於 $190$：$193,194$，共 $2$ 筆。
• 等於 $190$：$190$，共 $1$ 筆。
• 小於 $190$：共 $8$ 筆。

符號檢定要將等於假設中位數的觀測值剔除，因此有效樣本數為 $n=10$，大於 $190$ 的筆數為 $X=2$。

由於對立假設是 $\eta>190$，要檢查「大於 $190$」的筆數是否異常偏多，故採用右尾檢定。$p$ 值為：

核心觀念

本題評量兩獨立母體平均數差之假設檢定（Two-Independent-Sample $t$-test），且題目明確指出「母體變異數不相等（$\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$）」，因此屬於 韋爾奇 $t$ 檢定（Welch's $t$-test / Unequal Variances $t$-test）。

相關核心公式如下：

1. 假設設定（單尾檢定）：

   • 虛無假設（$H_0$）：$\mu_1 \le \mu_2$（$\mu_1 - \mu_2 \le 0$）
   • 對立假設（$H_1$）：$\mu_1 > \mu_2$（$\mu_1 - \mu_2 > 0$）
     其中 $\mu_1$ 為紐約出發機票之母體平均票價，$\mu_2$ 為巴黎出發機票之母體平均票價。

2. 檢定統計量（$t$-statistic）：
   $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$

3. 自由度（Degrees of Freedom, $df$）：
   採用 Satterthwaite 近似公式計算自由度 $\nu$：
   $\nu = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2 / n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2 / n_2)^2}{n_2 - 1}}$
   或在考場速算時採用保守估計法：$\nu = \min(n_1 - 1, n_2 - 1)$。

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解題方法

步驟 1：整理題目給定之樣本統計量

• 紐約（組 1）：$\bar{X}_1 = 1315$、$\;s_1 = 270$、$\;n_1 = 16$
• 巴黎（組 2）：$\bar{X}_2 = 1035$、$\;s_2 = 240$、$\;n_2 = 16$
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$

步驟 2：計算標準誤（Standard Error, $SE$）

$SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{270^2}{16} + \frac{240^2}{16}} = \sqrt{\frac{72900 + 57600}{16}} = \sqrt{\frac{130500}{16}} = \sqrt{8156.25} \approx 90.312$

步驟 3：計算檢定統計量 $t$ 值

$t = \frac{1315 - 1035}{90.312} = \frac{280}{90.312} \approx 3.100$

步驟 4：確認自由度與臨界值（Critical Value）

• 使用 Satterthwaite 公式精確計算自由度：

這題考驗如何計算皮爾森相關係數 (Pearson Correlation Coefficient, $r$)，以及如何根據數據判斷相關係數的可能範圍。

相關係數 $r$ 用於衡量兩個連續變數之間線性關係的強度和方向。
公式為：
$r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}} = \frac{\text{Cov}(x, y)}{\sigma_x \sigma_y}$
其中 $x$ 是經驗年數 (Experience)，$y$ 是銷售量 (Sales)。

給定的數據 (n=7)：

Employee	Experience (x)	Sales (y)
No. 1	2	6
No. 2	2	7
No. 3	1	8
No. 4	4	14
No. 5	5	9
No. 6	6	13
No. 7	8	10

我們需要計算：

1. $\bar{x}$ (經驗年數的平均數)
2. $\bar{y}$ (銷售量的平均數)
3. $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ (共變異數的分子)
4. $\sum (x_i - \bar{x})^2$ (x 的變異數分子)
5. $\sum (y_i - \bar{y})^2$ (y 的變異數分子)

計算步驟：

1. 計算平均數：
   $\sum x = 2+2+1+4+5+6+8 = 28$
   $\bar{x} = 28 / 7 = 4$

   $\sum y = 6+7+8+14+9+13+10 = 67$
   $\bar{y} = 67 / 7 \approx 9.5714$

2. 計算各項差值與乘積：

   $x_i$	$y_i$	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$	$(x_i - \bar{x})^2$	$(y_i - \bar{y})^2$
   2	6	-2	-3.5714	7.1428	4	12.7551

核心觀念

本題考查「成對樣本 $t$ 檢定」。同一位患者在飲食前、後各量測一次體重，因此兩次觀測並非獨立樣本，應先計算每位患者的體重差異，再檢定差異母體平均數是否顯著大於 $0$。

令

$$D_i=\text{飲食前體重}-\text{飲食後體重}$$

則 $D_i>0$ 表示體重下降。題目已知差異母體呈常態分布，且

$$n=9,\qquad \bar D=1.0,\qquad s_D=4.5$$

因母體變異數未知，使用單一母體平均數的 $t$ 檢定。

解題方法

飲食有效代表平均體重下降量大於 $0$，因此設定：

$$H_0:\mu_D=0$$ $$H_1:\mu_D>0$$

其中 $\mu_D$ 為全體使用該飲食者的平均體重下降量。顯著水準為

$$\alpha=0.05$$

檢定統計量為

$$t=\frac{\bar D-\mu_{D,0}}{s_D/\sqrt n}$$

代入 $\mu_{D,0}=0$：

$$t=\frac{1.0-0}{4.5/\sqrt 9} =\frac{1.0}{4.5/3} =\frac{1.0}{1.5} =0.667$$

自由度為

$$df=n-1=8$$

右尾檢定在 $\alpha=0.05$、$df=8$ 下的臨界值約為

$$t_{0.05,8}=1.860$$

拒絕域為

$$t>1.860$$

但本題的檢定統計量

$$0.667<1.860$$

因此不拒絕 $H_0$。樣本雖然平均下降 $1.0$ 公斤，但此下降量相對於樣本變異而言不夠大，未達到統計顯著，不能認定飲食具有有效減重效果。

選項分析

• A) The diet is not effective.

這題考驗對單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的應用，以檢定多個組別的平均數是否相等。

我們要檢定的假設是：

• 虛無假設 ($H_0$)：五個地點的平均入住率都相同 ($\mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D = \mu_E$)。
• 對立假設 ($H_a$)：至少有一個地點的平均入住率與其他地點不同。

給定的數據：

• 組別數量 (地點) $k = 5$ (A, B, C, D, E)
• 每個組別的觀察值數量 $n = 4$
• 總觀察值數量 $N = k \times n = 5 \times 4 = 20$
• 顯著水準 $\alpha = 0.1$

首先，我們需要計算 ANOVA 的檢定統計量 F。這需要計算組間平方和 (SSB) 和組內平方和 (SSW)。

1. 計算各組平均數 ($\bar{x}_j$) 和總平均數 ($\bar{x}_{grand}$)：

   • Location A: 28, 33, 41, 36. Sum = 138. $\bar{x}_A = 138 / 4 = 34.5$

   • Location B: 40, 35, 36, 37. Sum = 148. $\bar{x}_B = 148 / 4 = 37.0$

   • Location C: 11, 11, 10, 12. Sum = 44. $\bar{x}_C = 44 / 4 = 11.0$

   • Location D: 37, 47, 45, 39. Sum = 168. $\bar{x}_D = 168 / 4 = 42.0$

   • Location E: 27, 29, 25, 28. Sum = 109. $\bar{x}_E = 109 / 4 = 27.25$

   • Grand Sum = 138 + 148 + 44 + 168 + 109 = 607

   • $\bar{x}_{grand} = 607 / 20 = 30.35$

2. 計算組間平方和 (SSB)：
   SSB = $\sum_{j=1}^k n_j (\bar{x}_j - \bar{x}_{grand})^2$
   SSB = $4 \times (34.5 - 30.35)^2 + 4 \times (37.0 - 30.35)^2 + 4 \times (11.0 - 30.35)^2 + 4 \times (42.0 - 30.35)^2 + 4 \times (27.25 - 30.35)^2$
   SSB = $4 \times (4.15)^2 + 4 \times (6.65)^2 + 4 \times (-19.35)^2 + 4 \times (11.65)^2 + 4 \times (-3.10)^2$
   SSB = $4 \times (17.2225 + 44.2225 + 374.4225 + 135.7225 + 9.61)$
   SSB = $4 \times (581.2025) = 2324.81$

3. 計算組內平方和 (SSW)：
   SSW = $\sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (x_{ij} - \bar{x}_j)^2$

   • Location A: $(28-34.5)^2 + (33-34.5)^2 + (41-34.5)^2 + (36-34.5)^2 = (-6.5)^2 + (-1.5)^2 + (6.5)^2 + (1.5)^2 = 42.25 + 2.25 + 42.25 + 2.25 = 89$
   • Location B: $(40-37)^2 + (35-37)^2 + (36-37)^2 + (37-37)^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 9 + 4 + 1 + 0 = 14$

核心觀念

本題考查迴歸模型中「自變數增加所造成的預期反應變化」。令：

• $Y$：房屋價格
• $X$：增建面積，單位為平方英尺
• $\beta_1$：增建面積的迴歸係數，代表面積每增加 $1$ 平方英尺，房價的預期變化量

若迴歸模型為：

$$E(Y\mid X)=\beta_0+\beta_1X$$

則面積增加 $500$ 平方英尺時，房價預期變化為：

$$\Delta E(Y\mid X) =\beta_1(500) =500\beta_1$$

解題方法

將原本面積記為 $X$，增建後面積變為 $X+500$。因此：

$$E(Y\mid X+500)=\beta_0+\beta_1(X+500)$$

原本的預期房價為：

$$E(Y\mid X)=\beta_0+\beta_1X$$

兩者相減：

$$\begin{aligned} \Delta E(Y\mid X) &=E(Y\mid X+500)-E(Y\mid X)\\ &=\left[\beta_0+\beta_1(X+500)\right] -\left(\beta_0+\beta_1X\right)\\ &=500\beta_1 \end{aligned}$$

截距 $\beta_0$ 與原本面積 $X$ 會在相減時消去，因此只需使用面積變數的迴歸係數。

核心觀念

本題考查迴歸模型中「自變數增加所造成的預期反應變化」。令：

• $Y$：房屋價格
• $X$：增建面積，單位為平方英尺
• $\beta_1$：增建面積的迴歸係數，代表面積每增加 $1$ 平方英尺，房價的預期變化量

若迴歸模型為：

$$E(Y\mid X)=\beta_0+\beta_1X$$

則面積增加 $500$ 平方英尺時，房價預期變化為：

$$\Delta E(Y\mid X) =\beta_1(500) =500\beta_1$$

解題方法

將原本面積記為 $X$，增建後面積變為 $X+500$。因此：

$$E(Y\mid X+500)=\beta_0+\beta_1(X+500)$$

原本的預期房價為：

$$E(Y\mid X)=\beta_0+\beta_1X$$

兩者相減：

$$\begin{aligned} \Delta E(Y\mid X) &=E(Y\mid X+500)-E(Y\mid X)\\ &=\left[\beta_0+\beta_1(X+500)\right] -\left(\beta_0+\beta_1X\right)\\ &=500\beta_1 \end{aligned}$$

截距 $\beta_0$ 與原本面積 $X$ 會在相減時消去，因此只需使用面積變數的迴歸係數。

此題要求判斷在迴歸模型中，是使用房屋大小的原始數值 $Size$ (平方英尺) 還是其自然對數 $ln(\text{Size})$ 作為自變數，更能解釋房屋價格 (Price)。我們需要比較不同的模型來做出判斷。

題目表格中提供了幾個模型：

• 模型 (1)：$ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_1 \times \text{Size} + \dots$
• 模型 (2)：$ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_1 \times ln(\text{Size}) + \dots$
• 模型 (3)：$ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_1 \times ln(\text{Size}) + \beta_2 \times (ln(\text{Size}))^2 + \dots$

判斷哪個自變數更能解釋房屋價格，可以透過以下幾個標準：

1. 調整後 $R^2$ (Adjusted R-squared)：$R^2$ 值越高，表示模型解釋的變異量越多。調整後 $R^2$ 則考慮了模型中自變數的數量，能更公平地比較不同模型。
2. 係數的顯著性 (Significance of Coefficients)：自變數的係數應顯著不為零，這表示該變數對因變數有統計上的影響。
3. 模型的理論基礎與解釋力 (Theoretical Justification and Interpretability)：經濟學理論或常識上，價格與大小之間的關係可能是線性的，也可能是非線性的（例如，規模報酬遞減）。對數轉換常用於處理偏態資料或捕捉比例關係。

我們來比較模型 (1) 和模型 (2) (以及模型 (3))：

模型 (1) vs 模型 (2)：

• $R^2$ 值：

  • 模型 (1) 的 $R^2 = 0.72$。
  • 模型 (2) 的 $R^2 = 0.74$。
  • 模型 (3) 的 $R^2 = 0.73$。
  • 模型 (4) 和 (5) 的 $R^2$ 都是 0.73。
    從 $R^2$ 值來看，模型 (2) 的 $R^2$ (0.74) 最高，略優於模型 (1) (0.72)。

• 調整後 $R^2$：

  • 模型 (1) 的 $R^2 = 0.72$。
  • 模型 (2) 的 $R^2 = 0.74$。
  • 模型 (3) 的 $R^2 = 0.73$。
  • 模型 (4) 的 $R^2 = 0.73$。
  • 模型 (5) 的 $R^2 = 0.73$。
    由於模型 (2) 和 (1) 使用的自變數數量相同（如果我們只考慮 Size 和 ln(Size)），我們可以比較 $R^2$。模型 (2) 的 $R^2$ 較高。

此題要求判斷迴歸模型中的二次項 $ln(\text{Size})^2$ 是否重要，並解釋原因。我們需要查看模型 (3) 的結果。

模型 (3) 的迴歸方程式為：
$ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_1 \times ln(\text{Size}) + \beta_2 \times (ln(\text{Size}))^2 + \dots$
其中，對於 $(ln(\text{Size}))^2$ 的估計係數為 $\hat{\beta}_2 = 0.0078$，其標準誤為 $0.14$。

判斷一個二次項是否重要，通常是通過檢定其係數 $\beta_2$ 是否顯著不為零。我們可以通過計算 $t$ 值來進行檢定：
$t = \frac{\hat{\beta}_2}{\text{Standard Error of } \hat{\beta}_2} = \frac{0.0078}{0.14} \approx 0.056$

這個 $t$ 值非常接近於零。
通常，我們將顯著水準 $\alpha$ 設定為 0.05。
對於雙尾檢定，如果 $|t| > t_{\alpha/2, df}$，則我們拒絕虛無假設 $H_0: \beta_2 = 0$。

此題要求計算「增加一個臥室」對房屋價格估計效果的 95% 信賴區間。我們需要找到模型中與「臥室數量」(Bedrooms) 相關的係數，並利用其估計值和標準誤來建構信賴區間。

在提供的迴歸結果表中，模型 (3) 包含了「Bedrooms」變數。

• 估計係數 $\hat{\beta}_{Bedrooms} = 0.0036$
• 標準誤 (Standard Error, SE) = $0.037$

此係數的解釋是：在控制其他變數（包括 $ln(\text{Size})$ 及其二次項）的情況下，臥室數量每增加一間，$ln(\text{Price})$ 預期增加 $0.0036$。

我們需要建構一個 95% 的信賴區間。對於迴歸係數，信賴區間的計算公式為：
$\text{Confidence Interval} = \hat{\beta} \pm t_{\alpha/2, df} \times SE(\hat{\beta})$
其中：

• $\hat{\beta}$ 是係數的估計值。
• $SE(\hat{\beta})$ 是係數的標準誤。
• $t_{\alpha/2, df}$ 是在給定自由度 $df$ 和顯著水準 $\alpha$ 下的 $t$ 分配臨界值。

在這個模型 (3) 中：

• $\hat{\beta}_{Bedrooms} = 0.0036$
• $SE(\hat{\beta}_{Bedrooms}) = 0.037$
• 信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
• 自由度 $df$ 通常是樣本大小減去參數數量。表格中未提供樣本大小，但 $R^2$ 值較高，通常意味著樣本量較大。在這種情況下，我們可以近似使用 $z$ 分配的臨界值，或者如果能估計 $df$ 則使用 $t$ 分配。由於題目是簡答題，且表格中沒有直接提供 $df$，我們通常會假設樣本量足夠大，或者查表。

此題要求計算在模型 (5) 的框架下，當房屋增加一個「泳池」(Pool) 時，預期的價格變化。模型 (5) 包含了多個變數，包括 $Pool$、 $View$ 以及它們的交互項 $Pool \times View$。

模型 (5) 的迴歸方程式為：
$ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_{Pool} \times \text{Pool} + \beta_{View} \times \text{View} + \beta_{Pool \times View} \times (\text{Pool} \times \text{View}) + \dots$
其中：

• $Pool$ 是二元變數：1 如果有泳池，0 如果沒有。
• $View$ 是二元變數：1 如果有景觀，0 如果沒有。
• $Pool \times View$ 是交互項。

我們需要關注與 $Pool$ 相關的係數。在模型 (5) 中：

• $\hat{\beta}_{Pool} = 0.074$ (標準誤 0.035)
• $\hat{\beta}_{View} = 0.024$ (標準誤 0.030)
• $\hat{\beta}_{Pool \times View} = 0.0022$ (標準誤 0.10)

題目問的是「when a pool is added to a house with a view」。這意味著我們比較兩種情況：

1. 有景觀的房子，沒有泳池：$View = 1, Pool = 0$。
   $ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_{Pool} \times 0 + \beta_{View} \times 1 + \beta_{Pool \times View} \times (0 \times 1) + \dots$
   $ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_{View} + \dots$

2. 有景觀的房子，有泳池：$View = 1, Pool = 1$。
   $ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_{Pool} \times 1 + \beta_{View} \times 1 + \beta_{Pool \times View} \times (1 \times 1) + \dots$
   $ln(\text{Price}) = \beta_0 + \beta_{Pool} + \beta_{View} + \beta_{Pool \times View} + \dots$

當一個「有景觀的房子」增加一個泳池時，$ln(\text{Price})$ 的變化量是：
$\Delta ln(\text{Price}) = (ln(\text{Price})_{\text{with Pool}} - ln(\text{Price})_{\text{without Pool}})$
$\Delta ln(\text{Price}) = (\beta_0 + \beta_{Pool} + \beta_{View} + \beta_{Pool \times View}) - (\beta_0 + \beta_{View})$
$\Delta ln(\text{Price}) = \beta_{Pool} + \beta_{Pool \times View}$

核心觀念

本題考察迴歸模型中「控制變數」對處理效果估計的影響，核心是：

1. 簡單迴歸係數代表 Condition 與應變數之間的無條件關聯。
2. 多元迴歸係數代表在控制其他變數後，Condition 對應變數的部分效果。
3. 若遺漏的控制變數同時與 Condition 及應變數有關，便會產生遺漏變數偏誤（omitted variable bias）。

將 Condition 設為處理變數 $C$，應變數設為 $Y$，完整模型可寫為：

$$Y_i=\alpha+\beta C_i+\gamma X_i+u_i$$

其中：

• $C_i$：Condition 指標變數；
• $X_i$：其他控制變數；
• $\beta$：控制 $X_i$ 後，Condition 對 $Y_i$ 的影響；
• $\gamma$：控制變數對 $Y_i$ 的影響。

若欄（1）、（2）未充分控制 $X_i$，估計的其實是簡單迴歸係數；欄（3）、（4）、（5）納入更多控制變數後，估計的是條件效果，因此兩組係數可能出現很大差異。

---

解題方法

設欄（1）、（2）的模型省略了控制變數 $X$：

$$Y_i=a+bC_i+e_i$$

完整的真實模型為：

$$Y_i=\alpha+\beta C_i+\gamma X_i+u_i$$

若 $X$ 與 Condition 有關，可將 $X$ 對 $C$ 的線性投影寫為：

$$X_i=\pi_0+\pi_1 C_i+v_i$$

將此式代入完整模型：

$$Y_i = \alpha+\beta C_i+\gamma(\pi_0+\pi_1C_i+v_i)+u_i$$

整理得：

$$Y_i = (\alpha+\gamma\pi_0) + (\beta+\gamma\pi_1)C_i + (u_i+\gamma v_i)$$

因此，未控制 $X$ 時，Condition 的估計係數為：

$$b=\beta+\gamma\pi_1$$

其中：

• $\beta$ 是控制 $X$ 後的真正 Condition 效果；
• $\gamma\pi_1$ 是因遺漏 $X$ 所產生的偏誤。

也可寫成：

$$\operatorname{plim}(\hat b) = \beta+ \frac{\operatorname{Cov}(C,X)}{\operatorname{Var}(C)}\gamma$$

因此，只要同時滿足下列條件：

1. Condition 與控制變數 $X$ 相關；
2. $X$ 對應變數 $Y$ 有影響；

欄（1）、（2）未控制 $X$ 的 Condition 係數，就會與欄（3）、（4）、（5）控制 $X$ 後的係數大幅不同。

---

為何欄（1）、（2）與欄（3）至（5）差異很大

最合理的解釋是，欄（1）、（2）所呈現的是 Condition 的總體關聯，其中混入了其他因素的影響；欄（3）、（4）、（5）則逐步加入控制變數、固定效果或其他模型設定，使 Condition 的係數更接近其純粹效果。

例如，假設 Condition 組與控制變數 $X$ 的平均值不同，而且 $X$ 本身會影響 $Y$：

$$E(X\mid C=1)\neq E(X\mid C=0)$$

高斯-馬可夫定理 (Gauss-Markov Theorem) 說明，在滿足 A1-A5 的假設下，最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 估計量 $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1, \dots, \hat{\beta}_k$ 是線性且不偏的估計量中具有最小變異數 (minimum variance) 的估計量。

這個定理的結論是，OLS 估計量是「在所有線性不偏估計量 (Best Linear Unbiased Estimators, BLUE) 中最好的」。

核心觀念

Gauss–Markov 定理通常建立在以下假設：

1. 模型對參數具有線性形式：
   $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+u$

2. 隨機抽樣。

3. 解釋變數不存在完全共線性。

4. 零條件平均假設：
   $E(u\mid X)=0$

5. 同質變異數假設：
   $\operatorname{Var}(u\mid X)=\sigma^2$

題目特別給定誤差項 $u$ 與所有解釋變數獨立，因此可直接判斷零條件平均與同質變異數是否成立。

解題方法

1. 計算誤差項的平均數

$u$ 以相同機率 $\frac15$ 取 $-2,-1,0,1,2$，因此

$$E(u)=\frac15(-2-1+0+1+2)=0$$

又因為 $u$ 與解釋變數 $X$ 獨立，所以

$$E(u\mid X)=E(u)=0$$

因此，零條件平均假設成立。

2. 計算誤差項的變異數

由於 $E(u)=0$，

$$\operatorname{Var}(u)=E(u^2)$$

而

$$E(u^2) =\frac15\left[(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2\right] =\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$$

因為 $u$ 與 $X$ 獨立，

$$\operatorname{Var}(u\mid X)=\operatorname{Var}(u)=2$$

這是一個與 $X$ 無關的固定值，因此

$$\operatorname{Var}(u\mid X)=\sigma^2$$

核心觀念

本題要區分「條件無偏」、「無條件無偏」與「估計量的期望是否存在」。

將模型記為

$$y_i=B_0+B_1x_i+u_i,\qquad x_i\sim N(0,1),$$

且各組 $(y_i,x_i)$ 為獨立同分配的抽樣。由標準常態分配可知

$$E(x_i)=0,\qquad E(x_i^2)=1.$$

因此，題目給定的條件平均數滿足

$$E(u_i\mid x_i)=x_i^2-1,\qquad E(u_i)=E(x_i^2-1)=0.$$

但 $E(u_i)=0$ 並不等於 $E(u_i\mid x_i)=0$，不能直接套用最小平方法的通常無偏性結論。此外，無偏的定義為

$$E(\hat B_1)=B_1,$$

所以必須先確保 $\hat B_1$ 有有限期望；具有對稱性並不足以保證期望存在。

解題方法

一、寫出斜率估計量，分析條件平均數

令

$$\bar x=\frac1N\sum_{i=1}^N x_i,\qquad S_{xx}=\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)^2.$$

含截距的最小平方法斜率估計量為

$$\hat B_1 =B_1+\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)u_i}{S_{xx}}.$$

當 $N\ge2$ 時，連續分配的抽樣使 $S_{xx}>0$ 幾乎必然成立，故估計量幾乎必然有定義；但這仍不保證其期望存在。

若另假設 $E|\hat B_1|<\infty$，由各組觀察值彼此獨立，

$$E(u_i\mid x_1,\ldots,x_N)=x_i^2-1.$$

於是

$$\begin{aligned} E(\hat B_1-B_1\mid x_1,\ldots,x_N) &=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)(x_i^2-1)}{S_{xx}}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)x_i^2}{S_{xx}}, \end{aligned}$$

其中使用了 $\sum_i(x_i-\bar x)=0$。將最後一式記為 $A(x_1,\ldots,x_N)$。它一般不為零，因此本題的斜率估計量一般不具條件無偏性。

二、利用對稱性證明：可積分時，仍具有無條件無偏性

把所有 $x_i$ 同時換成 $-x_i$，分母 $S_{xx}$ 不變，分子則變號，因此

$$A(-x_1,\ldots,-x_N)=-A(x_1,\ldots,x_N).$$

又因標準常態分配對稱，

$$(x_1,\ldots,x_N)\overset{d}{=}(-x_1,\ldots,-x_N).$$

此處也能直接確認 $A$ 可積分。令 $d_i=x_i-\bar x$，則

假設 A6：誤差項 $u$ 服從常態分佈 $N(0, \sigma^2)$。

高斯-馬可夫定理本身（保證 OLS 估計量是 BLUE）並不需要誤差項服從常態分佈。高斯-馬可夫定理的假設是 A1-A5。

然而，當我們進行假設檢定（例如，對 $\beta_1$ 的 $t$ 檢定，或對整個模型的 $F$ 檢定）時，我們需要誤差項服從常態分佈。

原因如下：

1. t 檢定的推導：$t$ 檢定的統計量是構建在樣本平均數與母體平均數之差除以標準誤的基礎上。在標準線性迴歸模型中，如果誤差項 $u_i$ 服從常態分佈，那麼 OLS 估計量 $\hat{\beta}_j$ 也將服從常態分佈（或 $t$ 分佈，取決於是否已知 $\sigma^2$）。具體來說，對於 $\hat{\beta}_j$ 的 $t$ 統計量：
   $t = \frac{\hat{\beta}_j - \beta_j}{SE(\hat{\beta}_j)}$
   在 $H_0: \beta_j = \beta_{j0}$ 為真時，這個 $t$ 統計量服從自由度為 $n-k-1$ 的 $t$ 分佈。這個推導依賴於誤差項服從常態分佈。