113 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《統計學（K）》

此題考驗對統計檢定方法的選擇。題幹提到公司評估四種不同的訓練方案對員工成效的影響，每種方案都對五十名員工進行，並且記錄了訓練前後的績效分數。我們要比較的是四種訓練方案的成效。

首先，我們需要比較的是「四種訓練方案」之間的差異，這表示我們有四個獨立的組別（即四種訓練方案）。

其次，對於每一位員工，我們都有「訓練前」和「訓練後」的績效分數。這表示在同一個員工身上進行了兩次測量，這兩次測量之間存在配對關係。

基於以上兩點，我們需要選擇一個能同時處理多組別比較和配對資料的統計方法。

選項分析：
A) 獨立樣本 t 檢定 (Independent-sample t-test)：用於比較兩組獨立樣本的平均數差異。這裡我們有四組訓練方案，且資料是配對的，所以不適用。

核心觀念

本題考查時間序列中的「季節性」與「趨勢預測」。

由於題目要求預測第 4 年第 2 季，應優先觀察歷年同一季度的資料：

$$Y_{1,2}=204,\qquad Y_{2,2}=218,\qquad Y_{3,2}=224$$

第 2 季銷售額逐年上升，顯示第 2 季具有明顯的季節性高峰，並伴隨年度成長趨勢。因此，預測第 4 年第 2 季時，應以歷年第 2 季的變化作為主要依據。

解題方法

計算第 2 季銷售額的逐年增加量：

$$218-204=14$$ $$224-218=6$$

平均年度增加量為：

$$\bar{\Delta} =\frac{14+6}{2} =10$$

因此，第 4 年第 2 季的預測值為：

$$\hat{Y}_{4,2} =Y_{3,2}+\bar{\Delta} =224+10 =234$$

所以最接近的銷售預測為：

$$\boxed{234}$$

補充而言，若以第 2 季資料 $204,218,224$ 進行最小平方法線性趨勢預測，所得第 4 年預測值約為 $235.33$，同樣最接近選項 D 的 $234$。

選項分析

此題考驗對卡方檢定 (Chi-squared test) 原理、假設檢定步驟以及結果判讀的理解。題目給出一個二維列聯表 (contingency table)，用於分析汽車類型（國內/國外）與性別（男性/女性）之間是否存在關聯。總樣本數為 $1000$ 人。

首先，我們來分析一下列聯表中的數據：

Gender	Male	Female	Row Total
Domestic	100	400	500
Foreign	300	200	500
Col Total	400	600	1000

總計：男性 400 人，女性 600 人。國內車主 500 人，國外車主 500 人。

現在逐一檢視各選項：

A) The null hypothesis can be written as males and females own similar proportions of foreign cars.
* 原假設 ($H_0$) 是檢定兩個類別變數是否獨立。在這裡，我們檢定「汽車類型」與「性別」是否獨立。
* 如果兩者獨立，則：
* 男性擁有國外汽車的比例 = 女性擁有國外汽車的比例 = 總體擁有國外汽車的比例。
* 男性擁有國內汽車的比例 = 女性擁有國內汽車的比例 = 總體擁有國內汽車的比例。
* 從數據來看，男性擁有國外汽車的比例是 $300/400 = 0.75$。女性擁有國外汽車的比例是 $200/600 = 0.333$。這兩個比例明顯不同。
* 原假設的另一種表述方式是：各組別（性別）在某個變數（汽車類型）上的比例分佈是相同的。
* 換句話說，如果汽車類型與性別獨立，那麼男性擁有國外汽車的比例 (300/400) 應該與女性擁有國外汽車的比例 (200/600) 相同，並且都等於總體擁有國外汽車的比例 (500/1000 = 0.5)。顯然，這與觀察值不符。
* 然而，原假設是「汽車類型與性別獨立」。這等價於：
* 擁有國內汽車的比例在男性與女性之間是相同的。
* 擁有國外汽車的比例在男性與女性之間是相同的。
* 或者，性別在國內車主與國外車主之間是相同的。
* 讓我們計算一下各比例：
* 男性擁有國內車比例：$100/400 = 0.25$
* 女性擁有國內車比例：$400/600 = 0.667$
* 男性擁有國外車比例：$300/400 = 0.75$
* 女性擁有國外車比例：$200/600 = 0.333$
* 如果原假設為「 males and females own similar proportions of foreign cars」，這意味著 $P(\text{Foreign}| \text{Male}) = P(\text{Foreign}| \text{Female})$。
* 這與「汽車類型與性別獨立」的原假設是等價的。因為如果 $P(\text{Foreign}| \text{Male}) = P(\text{Foreign}| \text{Female}) = p$，那麼 $P(\text{Domestic}| \text{Male}) = 1-p$ 且 $P(\text{Domestic}| \text{Female}) = 1-p$，所以 $P(\text{Domestic}| \text{Male}) = P(\text{Domestic}| \text{Female})$。
* 這個陳述是正確的原假設的一種表述方式。

B) At alpha = 0.05, we can conclude that the type of car owned is independent of gender.
* 要判斷這個陳述是否正確，我們需要進行卡方檢定。
* 首先計算期望次數 (Expected Frequencies, $E_{ij}$)：

核心觀念

本題考查 Pearson 相關係數 $r$ 的方向與強度：

$$r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2\sum (y_i-\bar{y})^2}}$$

• $r>0$：呈正向線性關係。
• $r<0$：呈負向線性關係。
• $|r|$ 越接近 $1$：線性關係越強。
• $r=\pm1$：所有資料點必須完全落在同一直線上。
• 離群值會明顯影響相關係數。

解題方法

左圖的資料點大致由左下往右上排列，呈現強烈的正向線性關係，但仍有些許分散，因此相關係數應接近 $+1$、但不等於 $+1$，約為 $+0.9$。

右圖整體呈下降趨勢，但圖中左下方有一個明顯偏離主要趨勢的資料點，使負向線性關係受到削弱。因此相關係數不會接近 $-1$，約為 $-0.4$。

所以最接近的估計為：

$$\text{Left}: +0.9,\qquad \text{Right}: -0.4$$

選項分析

核心觀念

這題考的是簡單線性迴歸斜率的解讀。迴歸線為

$$\widehat{y}=12+0.001x$$

其中，$x$ 是教授平均月薪（美元），$y$ 是升學學生百分比。斜率 $0.001$ 表示：教授平均月薪每增加 1 美元，預測的升學百分比平均增加 $0.001$ 個百分點。

解題方法

直接依照斜率的定義解讀：迴歸線中，自變數 $x$ 增加 1 單位時，預測應變數 $y$ 的變化量就是斜率。

因此，月薪增加 1 美元時，升學學生百分比的預測變化為

$$\Delta \widehat{y}=0.001\times 1=0.001$$

也就是增加 $0.001$ 個百分點，符合選項 D。

選項分析

此題考驗對兩獨立樣本平均數檢定 (two-sample t-test for independent means) 的假設檢定步驟與結論判讀。

題目給予以下資訊：

• 兩組樣本：兩種加盟店的每日銷售額。
• 樣本大小：$n_1 = 25$, $n_2 = 25$。
• 分佈假設：常態分佈 (normally distributed)。
• 變異數假設：相等變異數 (equal variances)。
• 樣本統計量：
  • 第一組：$\bar{x}_1 = 5500$, $s_1 = 460$。
  • 第二組：$\bar{x}_2 = 4800$, $s_2 = 340$。
• 檢定目標：測試母體平均數是否存在差異。
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$。

我們要進行的檢定是：

• 原假設 $H_0$: $\mu_1 = \mu_2$ (兩母體平均銷售額相等)。
• 對立假設 $H_a$: $\mu_1 \neq \mu_2$ (兩母體平均銷售額不相等)。

由於假設母體變異數相等，我們應該使用合併變異數 (pooled variance) 的 t 檢定。

1. 計算合併變異數 ($s_p^2$)：
   $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
   $s_p^2 = \frac{(25-1)(460^2) + (25-1)(340^2)}{25+25-2}$
   $s_p^2 = \frac{24 \times 211600 + 24 \times 115600}{48}$
   $s_p^2 = \frac{24 (211600 + 115600)}{48}$
   $s_p^2 = \frac{24 \times 327200}{48}$
   $s_p^2 = \frac{327200}{2} = 163600$
   合併標準差 $s_p = \sqrt{163600} \approx 404.475$

2. 計算 t 統計量：
   $t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$
   在 $H_0$ 下，$(\mu_1 - \mu_2) = 0$。
   $t = \frac{5500 - 4800}{404.475 \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{25}}}$
   $t = \frac{700}{404.475 \sqrt{\frac{2}{25}}}$
   $t = \frac{700}{404.475 \times \frac{\sqrt{2}}{5}}$
   $t = \frac{700}{404.475 \times 0.14142}$

此題考驗對變異數相等檢定 (F-test for equality of variances) 的 p-value 判讀。在進行兩獨立樣本 t 檢定時，我們通常會先假設母體變異數相等，然後進行檢定。如果檢定結果顯示變異數不相等，則需要使用 Welch's t-test。

題目給予 F 檢定計算出的 p-value 為 0.171。
F 檢定的原假設 ($H_0$) 是兩個母體變異數相等 ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2$)。
對立假設 ($H_a$) 是兩個母體變異數不相等 ($\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$)。
顯著水準通常設定為 $\alpha = 0.05$。

判讀 p-value 的規則：

• 如果 p-value $\le \alpha$，則拒絕原假設 $H_0$。
• 如果 p-value $> \alpha$，則無法拒絕原假設 $H_0$。

在此題中，p-value = 0.171。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
因為 $0.171 > 0.05$，所以我們無法拒絕原假設 $H_0$。

此題考驗對多元迴歸模型中虛擬變數 (dummy variable) 迴歸係數的解釋。

給定的迴歸模型為：
$S = \beta_0 + \beta_1 A + \beta_2 E + \beta_3 G + \epsilon$
其中：

• $S$：工作滿意度 (Job Satisfaction)
• $A$：工作年資 (Years of Experience)
• $E$：教育年數 (Years of Education)
• $G$：性別 (Gender)，為虛擬變數。
  • $G=1$ 代表女性 (female)
  • $G=0$ 代表男性 (male)

迴歸結果為：
$S = 78.2 + 2.5A + 3.8E - 6.2G$

我們要解釋的係數是 $G$ 的係數，即 $\beta_3 = -6.2$。

虛擬變數的解釋方式是比較當虛擬變數取不同值時，應變數的預期值差異。

• 當男性 (G=0) 時：
  迴歸方程式變為 $S = 78.2 + 2.5A + 3.8E - 6.2(0)$
  $S_{male} = 78.2 + 2.5A + 3.8E$
  這代表男性員工的工作滿意度，取決於他們的年資 $A$ 和教育年數 $E$。

• 當女性 (G=1) 時：
  迴歸方程式變為 $S = 78.2 + 2.5A + 3.8E - 6.2(1)$
  $S_{female} = 78.2 + 2.5A + 3.8E - 6.2$
  $S_{female} = (78.2 - 6.2) + 2.5A + 3.8E$
  $S_{female} = 72.0 + 2.5A + 3.8E$
  這代表女性員工的工作滿意度，取決於他們的年資 $A$ 和教育年數 $E$。

現在比較男性和女性的預期工作滿意度，假設他們有相同的年資 $A$ 和教育年數 $E$：
$S_{male} - S_{female} = (78.2 + 2.5A + 3.8E) - (72.0 + 2.5A + 3.8E)$
$S_{male} - S_{female} = 78.2 - 72.0 = 6.2$

這表示，在相同的年資和教育年數下，男性員工的預期工作滿意度比女性員工高 6.2。
換句話說，女性員工的預期工作滿意度比男性員工低 6.2。

現在我們來檢視選項：

核心觀念

直方圖可用來判斷分布的峰數、資料範圍與集中位置。縱軸是各組的次數（frequency），所有組別的次數相加，才是觀測值總數；不能只看縱軸刻度判斷總數。中位數則是排序後位於中央的觀測值，可從累積次數約達總數一半的位置估計。

解題方法

依原卷圖判讀，Brand C2 在約 $68{,}000$ 與 $80{,}000$ 附近各有一個峰，因此分布是雙峰。資料主要落在約 $50{,}000$ 至 $95{,}000$；圖中較高的次數集中在約 $70{,}000$ 至 $85{,}000$，所以平均數不會接近 $86{,}000$，中位數也不在約 $70{,}000$。

將直方圖各組的頻數加總，可得總觀測數為 $365$，故正確選項為 B。

選項分析

核心觀念

本題考查單一資料值更正後，對平均數、中位數與標準差的影響。

原資料值由 $31{,}100$ 修正為 $41{,}100$，增加量為

$$\Delta=41{,}100-31{,}100=10{,}000$$

設共有 $n$ 筆資料，原平均數為 $\bar{x}$。

---

解題方法

1. 平均數

原資料總和增加 $10{,}000$，因此新平均數為

$$\bar{x}_{\text{new}} = \bar{x}+\frac{10{,}000}{n}$$

因為 $n>0$，所以

$$\bar{x}_{\text{new}}>\bar{x}$$

故平均數必定增加。

2. 中位數

中位數取決於資料排序後的中間位置。將其中一筆資料由 $31{,}100$ 調高至 $41{,}100$：

• 若該筆資料不在中位數位置，中位數可能維持不變；
• 若該筆資料跨越中位數所在位置，中位數才可能增加。

題目沒有提供完整資料，因此不能保證中位數一定增加。

3. 標準差

標準差衡量資料分散程度。資料值上修後，該筆觀測值與平均數的距離可能變大，也可能變小，因此標準差不一定減少。

更精確地，令原資料中被修正的值為 $x=31{,}100$，新值為 $x+\Delta$，則平方離差和的變化為

$$SS_{\text{new}}-SS_{\text{old}} = 2\Delta(x-\bar{x}) + \Delta^2\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

核心觀念

本題比較兩組資料：Brand C1 與 Brand C2 的每日訪客人數，涉及三個統計量：

• 中位數（median）：將資料排序後位於中央位置的數值，用來表示資料的集中位置。

• 平均數（mean）：

  $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

  會受到極端值影響。

• 標準差（standard deviation）：衡量資料的離散程度。母體標準差為

  $\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}$

  樣本標準差則為

  $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

判斷兩品牌的中位數、平均數及標準差，必須有原始資料，或題目所附的盒狀圖、直方圖、統計摘要等資訊。

解題方法

目前題目內容只有選項，未提供 Brand C1 與 Brand C2 的每日訪客數據，也未提供任何圖表或統計量。因此無法判斷：

1. 哪一品牌的中位數較大；
2. 哪一品牌的平均數較大；
3. 哪一品牌的標準差較大。

例如，即使 Brand C1 的中位數較大，若其資料分布較集中，仍不代表其標準差一定較大；平均數也可能因極端值而與中位數的比較結果不同。因此，不能僅憑品牌名稱或選項敘述推導出 A、B 或 C。

選項分析

• A) The median is larger for Brand C1 than Brand C2.

此題要求根據提供的表格數據，選擇最符合該數據的 SPSS 輸出結果。表格呈現了兩個品牌 (Brand 1, Brand 2) 在工作日 (Weekday) 和週末 (Weekend) 的每日訪客數的平均值和標準差。這是一個典型的兩因子變異數分析 (Two-Way ANOVA) 或獨立樣本 t 檢定 (如果只比較兩個變數的話) 的數據結構，其中品牌和工作日/週末是因子。

表格包含了：

• 兩個自變數（因子）：品牌 (Brand, 2水準) 和時間 (Weekday/Weekend, 2水準)。
• 一個應變數：每日訪客數 (NofVisitors)。
• 每個組合（Brand x Time）的平均數和標準差。

這是一個典型的因子設計，用於比較不同品牌在不同時間（平日/週末）的訪客數。SPSS 輸出通常會包含「Tests of Between-Subjects Effects」表格，這是一個 ANOVA 表格，用於檢定主效應（品牌、時間）和交互效應（品牌*時間）。

我們需要查看 SPSS 輸出選項 (A, B, C, D, E) 中的「Tests of Between-Subjects Effects」表格，並比較其結構和內容。

分析表格數據：

• Brand 1 Weekday: Mean=4050.0, SD=1608.8
• Brand 1 Weekend: Mean=3917.1, SD=1514.2
• Brand 2 Weekday: Mean=3175.7, SD=1479.8
• Brand 2 Weekend: Mean=5216.6, SD=2396.6

觀察平均數的趨勢：

• Brand 1: Weekday (4050) vs Weekend (3917.1) - 週末訪客數略低。
• Brand 2: Weekday (3175.7) vs Weekend (5216.6) - 週末訪客數顯著高於平日。
• Weekday: Brand 1 (4050) vs Brand 2 (3175.7) - Brand 1 平日訪客數較高。
• Weekend: Brand 1 (3917.1) vs Brand 2 (5216.6) - Brand 2 週末訪客數較高。

觀察標準差的趨勢：

• Brand 1 Weekend (1514.2) < Brand 1 Weekday (1608.8)
• Brand 2 Weekday (1479.8) < Brand 1 Weekday (4050.0)
• Brand 2 Weekend (2396.6) 顯著大於其他組合。

檢視 SPSS 輸出選項 (A, B, C, D, E) 中的「Tests of Between-Subjects Effects」表格。
這個表格通常包含以下來源 (Source)：Corrected Model, Intercept, 因子 (如 Brand, Weekday)，交互效應 (Brand*Weekday)，Error，Total。
它還會顯示 Sum of Squares, df, Mean Square, F 統計量, Sig. (p-value)。

我們需要找到一個輸出，其因子和交互效應的檢定結果與表格數據的模式相符。

分析 Output A：

• Dependent Variable: NofVisitors
• Source: Brand, Weekday, Brand*Weekday
• Brand: df=2, F=5.395, Sig.=.005
• Weekday: df=1, F=133.421, Sig.<.001
• Brand*Weekday: df=2, F=40.885, Sig.<.001
• R Squared = .184

這個輸出有三個因子/交互效應：Brand, Weekday, BrandWeekday。
然而，我們的設計是 Brand (2水準) 和 Time (Weekday/Weekend, 2水準)。
所以，因子應該是 Brand (df=1), Time (df=1), BrandTime (df=1)。
Output A 的 df=2 表示 Brand 有 3 個水準，或 Weekday 有 3 個水準，或者 Brand*Weekday 組合有 3 個等級。這與我們的設計不符。

分析 Output B：

• Dependent Variable: NofVisitors
• Source: Brand, Weekday, Brand*Weekday
• Brand: df=1, F=10.445, Sig.=.001
• Weekday: df=1, F=207.607, Sig.<.001

此題要求根據提供的表格，選擇最符合的 SPSS 輸出。表格列出了兩個品牌 (Brand A, Brand B) 的每日訪客數的平均值、標準差以及 95% 信賴區間 (Confidence Interval)。這通常是單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 中，用於比較各組平均數的描述性統計部分，或者是獨立樣本 t 檢定的結果。

表格包含：

• 一個因子：品牌 (Brand, 2水準：Brand A, Brand B)。
• 應變數：每日訪客數 (NofVisitors)。
• 每個品牌 (組別) 的：
  • 平均數 (Mean)
  • 標準差 (Std. Deviation)
  • 95% 信賴區間 (Lower Bound, Upper Bound)

我們需要尋找一個 SPSS 輸出（A-E），其「Tests of Between-Subjects Effects」表格中的因子 (Brand) 的 df 值和檢定結果，以及可能的交互效應（如果有的話）與此表格的結構相符。

分析表格數據：

• Brand A: Mean=4012.1, SD=1581.5, 95% CI [3826.3, 4197.9]
• Brand B: Mean=3757.2, SD=2010.1, 95% CI [3571.4, 3943.1]

觀察平均數和信賴區間：

• Brand A 的平均數 (4012.1) 高於 Brand B (3757.2)。
• Brand A 的 95% 信賴區間 [3826.3, 4197.9]。
• Brand B 的 95% 信賴區間 [3571.4, 3943.1]。
• 這兩個信賴區間是重疊的 (Brand A 的下限 3826.3 > Brand B 的上限 3943.1 是錯誤的，應該是 Brand A 的上限 4197.9 > Brand B 的上限 3943.1，Brand A 的下限 3826.3 > Brand B 的下限 3571.4)。
• 更精確地說，Brand A 的 CI 是 [3826.3, 4197.9]，Brand B 的 CI 是 [3571.4, 3943.1]。
• Brand A 的 CI 下限 (3826.3) 大於 Brand B 的 CI 上限 (3943.1) 嗎？ 3826.3 < 3943.1。
• Brand A 的 CI 上限 (4197.9) 大於 Brand B 的 CI 上限 (3943.1)。
• Brand A 的 CI 下限 (3826.3) 大於 Brand B 的 CI 下限 (3571.4)。
• 這兩個區間有重疊的部分，例如從 3826.3 到 3943.1。
• 如果信賴區間有重疊，通常表示它們之間的差異可能不顯著。

此題要求根據長條圖 (bar chart) 及其誤差線 (error bars)，選擇最符合的 SPSS 輸出。長條圖顯示了兩個品牌 (Brand i, Brand j) 在平日 (Weekday) 和週末 (Weekend) 的平均訪客數。誤差線代表標準誤 (Standard Error of the Mean, SEM)。

長條圖的觀察：

• Brand i: Weekday 訪客數 > Weekend 訪客數。
• Brand j: Weekend 訪客數 > Weekday 訪客數。
• 交互作用: Brand i 的情況（平日>週末）與 Brand j 的情況（週末>平日）相反，這暗示了品牌與時間（平日/週末）之間可能存在顯著的交互作用。
• 誤差線: 誤差線的長度代表 SEM。SEM 越大，表示標準差越大或樣本數越小。

我們需要尋找一個 SPSS 輸出，其「Tests of Between-Subjects Effects」表格中的因子和交互效應的 df 值和顯著性 (Sig.) 與這個圖形所暗示的關係相符。

• 因子：Brand (2水準), Weekday/Weekend (2水準)。
• 應變數：NofVisitors。
• 預期：可能存在顯著的交互作用 (Brand*Weekday)。

檢視 SPSS 輸出選項 (A, B, C, D, E) 中的「Tests of Between-Subjects Effects」表格。

• Output A:
  • Source: Brand, Weekday, Brand*Weekday
  • Brand: df=2 (不符，Brand 應為 df=1)
• Output B:

此題要求根據長條圖 (bar chart) 及其誤差線 (error bars)，選擇最符合的 SPSS 輸出。長條圖顯示了三個品牌 (Brand Q, Brand R, Brand S) 在平日 (Weekday) 和週末 (Weekend) 的平均訪客數。誤差線代表標準誤 (Standard Error of the Mean, SEM)。

長條圖的觀察：

• 主效應 (Brand)：Brand R 的訪客數似乎最高，Brand Q 和 Brand S 訪客數較低。
• 主效應 (Weekday/Weekend)：在 Brand Q 和 Brand S，平日訪客數略高於週末。在 Brand R，平日訪客數顯著高於週末。
• 交互作用：Brand R 的平日/週末差異比 Brand Q 和 Brand S 更大。這可能暗示交互作用。
• 誤差線: Brand S 的誤差線看起來最長，表示其 SEM 最大，可能標準差較大或樣本數較小。

我們需要尋找一個 SPSS 輸出，其「Tests of Between-Subjects Effects」表格中的因子和交互效應的 df 值和顯著性 (Sig.) 與這個圖形所暗示的關係相符。

• 因子：Brand (3水準), Weekday/Weekend (2水準)。
• 應變數：NofVisitors。
• 預期：可能存在 Brand 主效應，Weekday 主效應，以及可能的交互作用。

檢視 SPSS 輸出選項 (A, B, C, D, E) 中的「Tests of Between-Subjects Effects」表格。

• Output A:
  • Source: Brand, Weekday, Brand*Weekday
  • Brand: df=2 (符合，3個品牌)
  • Weekday: df=1 (符合，2個時間水準)
  • BrandWeekday: df=2 (符合，2(3-1)=2)

核心觀念

本題考查二因子變異數分析（two-way ANOVA）中，因子水準數與自由度的對應關係。

圖中品牌有三個水準：Brand X、Brand Y、Brand Z；Weekday 有兩個水準：Weekday、Weekend。因此為 $3\times 2$ 的完整因子設計。

各項自由度為：

$$df_{\text{Brand}}=3-1=2$$ $$df_{\text{Weekday}}=2-1=1$$ $$df_{\text{Brand}\times\text{Weekday}} =(3-1)(2-1)=2$$ $$df_{\text{Corrected Model}}=2+1+2=5$$

解題方法

判斷 SPSS 輸出時，優先檢查各變因的自由度，而不是只比較柱形圖高度。

Output A 的表格具有：

• Brand：$df=2$
• Weekday：$df=1$
• Brand × Weekday：$df=2$
• Corrected Model：$df=5$

完全符合三個品牌、兩種日期的 $3\times2$ 因子設計。

此外，Output A 中 Brand 的檢定為 $F=5.395,\ p=.005$，表示不同品牌的平均訪客數有顯著差異，與圖中 Brand X、Y、Z 的柱高不同相符。

誤差棒代表平均數標準誤：

核心觀念

曲線是曲面

$$z=\sqrt{24-x^2-2y^2}$$

與平面 $y=2$ 的交集。將 $y=2$ 代入曲面方程，可將空間曲線改寫為平面 $yz$ 中的函數：

$$z=\sqrt{24-x^2-2(2)^2} =\sqrt{16-x^2}.$$

因此，切線斜率即為

$$\frac{dz}{dx}.$$

解題方法

對

$$z=(16-x^2)^{1/2}$$

使用鏈鎖律微分：

$$\frac{dz}{dx} =\frac{1}{2}(16-x^2)^{-1/2}(-2x) =-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}.$$

在 $x=2$ 處：

$$\frac{dz}{dx}\bigg|_{x=2} =-\frac{2}{\sqrt{16-4}} =-\frac{2}{\sqrt{12}} =-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

此題考驗二階偏導數的計算。題目要求計算函數 $f(x,y,z) = \sin(xy+2z)$ 對 $x$ 和 $y$ 的混合二階偏導數 $\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f(x,y,z)$。
這意味著我們需要先對 $f$ 求對 $y$ 的偏導數，然後再對結果求對 $x$ 的偏導數。

步驟 1：計算對 $y$ 的一階偏導數 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
$f(x,y,z) = \sin(xy+2z)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [\sin(xy+2z)]$
使用鏈式法則 (chain rule)。令 $u = xy+2z$。則 $\frac{\partial u}{\partial y} = x$。
$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \cos(xy+2z) \cdot x = x \cos(xy+2z)$。

步驟 2：對上一步的結果求對 $x$ 的偏導數 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$。