112 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《統計學（K）》

本題考驗集合論與機率的基本概念，屬於機率問題。
設 N 為訂閱 Netflix 的事件，D 為訂閱 Disney+ 的事件。
根據題目，我們有：
$P(N) = 0.60$
$P(D) = 0.30$
$P(N \cap D) = 0.25$

我們想要求的是不訂閱 Netflix 且不訂閱 Disney+ 的比例，也就是 $P(N^c \cap D^c)$。
根據德摩根定律， $N^c \cap D^c = (N \cup D)^c$。
因此，$P(N^c \cap D^c) = P((N \cup D)^c) = 1 - P(N \cup D)$。

核心觀念

本題比較的是同一本書在兩種購買管道的價格，因此每一本書都有一組「書店價格」與「網路價格」，兩筆資料彼此配對，應使用「配對樣本 $t$ 檢定」（paired $t$-test）。

令每本書的價格差為：

$$D_i=\text{書店價格}-\text{網路價格}$$

研究問題是判斷書店價格是否較高，因此設定：

• 虛無假設：$H_0:\mu_D=0$
• 對立假設：$H_1:\mu_D>0$

這是右尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

配對樣本 $t$ 統計量為：

$$t=\frac{\bar D-\mu_{D,0}}{s_D/\sqrt n}$$

其中：

• $\bar D$：樣本平均差
• $s_D$：差值的樣本標準差
• $n$：配對數
• 自由度為 $n-1$

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解題方法

題目給出：

$$\bar D=9.17,\qquad SE_{\bar D}=5.39$$

因此：

$$t=\frac{9.17-0}{5.39}=1.70$$

配對數為 $n=6$，所以自由度：

$$df=6-1=5$$

題目已直接提供右尾檢定的結果：

$$p\text{-value}=0.075$$

比較 $p$ 值與顯著水準：

$$0.075>0.05$$

因此不拒絕虛無假設 $H_0$。

統計上的正確解釋是：在 $0.05$ 顯著水準下，沒有足夠證據顯示書店價格高於網路價格。

題目另給出平均差的 95% 單尾下限為 $-1.69$。由於下限小於 $0$，代表合理的母體平均差範圍仍包含「書店價格沒有比較高」的情況，與上述檢定結論一致。

必須注意：「不拒絕 $H_0$」不代表已證明兩種價格完全相同，只表示目前樣本證據不足以支持書店價格較高。

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選項分析

A) The prices are higher in the bookstore.

錯誤。

雖然樣本平均價格差為：

$$115.00-105.83=9.17$$

樣本中書店平均價格確實較高，但假設檢定的 $p$ 值為 $0.075$，大於 $0.05$，未達統計顯著。因此不能在 $0.05$ 顯著水準下 conclude 書店價格較高。

本題考驗卡方檢定 (Chi-square test) 的應用與解釋，用於檢定兩個類別變數之間的關聯性。

核心概念：

1. 卡方檢定： 當我們想知道兩個類別變數（在此為性別 Gender 和職位類別 Job Category）是否獨立時，可以進行卡方獨立性檢定。
2. 獨立性： 如果兩個變數獨立，表示其中一個變數的分布不受另一個變數影響。
3. 卡方檢定步驟：
   a. 建立虛無假設 ($H_0$)：兩個變數是獨立的。
   b. 建立對立假設 ($H_1$)：兩個變數不是獨立的（存在關聯性）。
   c. 計算期望次數 (Expected counts)。
   d. 計算卡方檢定統計量 $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$，其中 $O_i$ 是觀察次數，$E_i$ 是期望次數。
   e. 比較計算出的 $\chi^2$ 值與臨界值，或比較 P-value 與顯著水準 $\alpha$，來決定是否拒絕 $H_0$。

題目提供的表格是觀察次數 (Observed counts)。

分析選項：
A) Gender and job category are independent.
這個陳述是一個假設，我們需要進行卡方檢定來驗證。我們不能直接斷定它們是獨立的。

B) Gender and job category are not independent.
這個陳述也是一個假設，需要檢定。

C) A chi-square test should be used to determine whether the association between gender and job category existed.
這是正確的。

本題考驗對「簡單隨機抽樣」(Simple Random Sampling, SRS) 的定義與辨識能力。

簡單隨機抽樣的定義：
在一個母體中，每一可能的樣本（在固定樣本大小 n 的情況下），都有相同被抽到的機率。
或者，更基本地說，母體中的每一個體都有相同機會被抽中。

分析各選項：
A) 分層抽樣 (Stratified Sampling)。將母體依性別分層，然後從每一層中進行隨機抽樣。這種方法保證了各層的代表性，但不是簡單隨機抽樣，因為某些組合（例如 5 個男生和 5 個女生，但選中的男生組合是固定的）的樣本可能無法被抽中。

B) 非隨機抽樣 (Non-random Sampling)。這是基於特定標準（考試成績最佳）選擇樣本，不是隨機過程。

C) 簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling)。
1. 將所有 50 名學生的名字放入帽子中。
2. 進行充分的攪拌。

本題考驗對迴歸分析結果的解釋，特別是係數的意義、顯著性判斷以及虛擬變數 (dummy variable) 的應用。

迴歸模型可以寫成：
$\text{Unemployed} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Manager} + \epsilon$

從表格中我們得到估計的係數：
$\hat{\beta}_0 = -0.21$ (截距項)
$\hat{\beta}_1 = 1.44$ (Age 的係數)
$\hat{\beta}_2 = -22.58$ (Manager 的係數)

同時，我們看到各變數的 p-value：
Age: p-value = 0.000 (顯著，通常小於 0.05)
Manager: p-value = 0.054 (接近顯著，但略大於 0.05)

解釋各係數的意義：

1. Age 的係數 ($\hat{\beta}_1 = 1.44$)：
   表示在控制了 Manager 變數後，Age 每增加一歲，預期 Unemployed 的週數會增加 1.44 週。
   p-value = 0.000，表示 Age 對 Unemployed 有顯著的正向影響。

2. Manager 的係數 ($\hat{\beta}_2 = -22.58$)：
   Manager 是一個虛擬變數，1 代表在管理職位，0 代表不在管理職位。
   這個係數的意義是：與不在管理職位 (Manager=0) 的人相比，在管理職位 (Manager=1) 的人，預期 Unemployed 的週數會減少 22.58 週。
   p-value = 0.054。在 0.05 的顯著水準下，這個變數不是統計顯著的。但如果顯著水準是 0.10，則會被認為是顯著的。

現在來評估選項：
A) "On average, a worker who is a year older is estimated to stay jobless shorter by approximately 0.21 weeks..."

本題考驗獨立樣本 t 檢定 (Independent samples t-test) 的假設、自由度計算與結果判讀。

題目給予資訊：

• 兩個獨立樣本，樣本大小皆為 $n_1 = n_2 = 25$。
• 母體假設為常態分布。
• 母體變異數相等 (equal variances)，這表示我們可以使用合併變異數 (pooled variance) 的 t 檢定。
• 樣本 1：$\bar{x}_1 = 23.9$, $s_1 = 3.6$
• 樣本 2：$\bar{x}_2 = 20.1$, $s_2 = 3.2$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
• 研究者想檢定「母體平均數之間是否存在差異」。

分析各選項：

A) The null hypothesis is that the population means are not equal.
這句話描述的是對立假設 ($H_1$)，而不是虛無假設 ($H_0$)。
通常，當研究者想檢定「是否存在差異」時，虛無假設是「平均數相等」($\mu_1 = \mu_2$ 或 $\mu_1 - \mu_2 = 0$)，對立假設是「平均數不相等」($\mu_1 \ne \mu_2$ 或 $\mu_1 - \mu_2 \ne 0$)。
因此，A 是錯誤的。

B) The degrees of freedom in the analysis is 50.
由於兩個母體假設變異數相等，我們使用合併變異數的 t 檢定。
自由度 (df) 的計算公式為：$df = n_1 + n_2 - 2$。
在此，$df = 25 + 25 - 2 = 50 - 2 = 48$。
因此，B 是錯誤的。 (注意：如果我們假設變異數不相等，則會使用 Welch's t-test，自由度計算會更複雜，但在此題目明確說變異數相等)。

C) There is not sufficient evidence to reject the null hypothesis; the population means are equal.
這個選項陳述了「不拒絕 $H_0$」的結果，並推論「平均數相等」。
我們需要計算檢定統計量和 P-value 來判斷。

D) There is sufficient evidence to reject the null hypothesis and conclude that the two population means are different.
這個選項陳述了「拒絕 $H_0$」的結果，並推論「平均數不同」。
我們需要計算檢定統計量和 P-value 來判斷。

E) The information provided is not enough to achieve a conclusion.
題目提供了足夠的資訊來進行獨立樣本 t 檢定（樣本大小、樣本平均數、樣本標準差、變異數假設、顯著水準）。因此，E 是錯誤的。

進行 t 檢定計算：

1. 假設：
   $H_0: \mu_1 = \mu_2$ (或 $\mu_1 - \mu_2 = 0$)

核心觀念

本題考查「具重複觀測之二因子變異數分析」：

• 因子一：宿舍，共 4 組。
• 因子二：學生年級，共 4 組。
• 每個「宿舍 × 年級」組合抽取 2 位學生，因此為具重複觀測的 $4\times 4$ 二因子設計。
• 顯著水準採研究所考試慣例 $\alpha=0.05$。

二因子 ANOVA 分別檢定：

1. 宿舍主效果
2. 年級主效果
3. 宿舍與年級的交互作用

判斷原則為：

$$p\text{-value}<\alpha \Rightarrow \text{拒絕虛無假設}$$ $$p\text{-value}\geq\alpha \Rightarrow \text{不拒絕虛無假設}$$

解題方法

對於宿舍主效果：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D$$ $$H_1:\text{至少有兩個宿舍的母體平均評分不同}$$

由 ANOVA 表：

$$F=\frac{MS_{\text{Dormitory}}}{MS_E} =\frac{6.7813}{1.1563} =5.8649$$

其顯著機率為：

$$p=0.0067<0.05$$

因此拒絕 $H_0$，認為四個宿舍的母體平均評分並非全部相同，亦即至少有兩個宿舍的母體平均評分不同。

對於學生年級主效果：

$$H_0:\mu_F=\mu_{So}=\mu_J=\mu_{Se}$$ $$H_1:\text{至少有兩個年級的母體平均評分不同}$$

由 ANOVA 表：

$$F=3.0541,\qquad p=0.0587>0.05$$

因此不拒絕 $H_0$。在 $5\%$ 顯著水準下，沒有充分證據認為四個學生年級的母體平均評分不同。

對於交互作用：

$$H_0:\text{宿舍與學生年級之間不存在交互作用}$$ $$H_1:\text{宿舍與學生年級之間存在交互作用}$$

由 ANOVA 表：

$$F=1.5405,\qquad p=0.2160>0.05$$

本題考驗相關係數的解釋、假設檢定以及迴歸分析中變數角色的判斷。

題目資訊：

• 樣本大小 $n = 263$。
• 樣本相關係數 $r = 0.38$。
• 檢定目的：檢定「年齡與收入之間沒有線性關係」($H_0$) 對「存在正向線性關係」($H_1$)。

核心概念：

1. 相關係數 (Correlation coefficient, r)： 用來衡量兩個連續變數之間線性關係的強度與方向。值介於 -1 和 +1 之間。
   • $r > 0$ 表示正相關（一個變數增加，另一個變數也傾向增加）。
   • $r < 0$ 表示負相關（一個變數增加，另一個變數傾向減少）。
   • $r = 0$ 表示沒有線性關係。
   • $|r|$ 越大，線性關係越強。
2. 假設檢定： 檢定母體相關係數 $\rho$ 是否等於特定值（在此為 0）。
   • 虛無假設 $H_0: \rho = 0$ (沒有線性關係)。
   • 對立假設 $H_1: \rho > 0$ (存在正向線性關係)。
3. 迴歸分析中的變數角色： 通常，因變數 (dependent variable) 是被預測或解釋的變數，自變數 (independent variable) 是用來預測或解釋因變數的變數。在相關性分析中，兩者是對稱的，但在迴歸模型中則有明確區分。

分析選項：

A) Any professional's income increases as he gets older.
這是對母體相關係數 $\rho > 0$ 的過度推論。樣本相關係數 $r = 0.38$ 僅表示在樣本中存在一個「傾向」，且在統計上可能是顯著的，但不能保證「任何」一個人的收入都會隨年齡增加而增加。統計關係是群體層面的趨勢，而非個體層面的必然。

B) Income would be considered as the dependent variable and age would be considered as the independent variable.
在相關係數的計算中，收入和年齡是對稱的，沒有明確的因果或預測關係。然而，如果我們進一步要建立迴歸模型來預測收入，那麼收入通常會是因變數 (dependent variable)，年齡是自變數 (independent variable)。題目問的是「相關係數」的背景，但這個陳述本身在建立預測模型時是常見的。

本題考驗對第一類錯誤 (Type I error) 和第二類錯誤 (Type II error) 的定義與判斷。

假設檢定設定：

• 虛無假設 ($H_0$): 學生完成考試的平均時間等於 30 分鐘 ($\mu = 30$)。
• 對立假設 ($H_1$): 學生完成考試的平均時間不等於 30 分鐘 ($\mu \ne 30$)。
  (這是一個雙尾檢定)。

錯誤的決策類型：

• 第一類錯誤 (Type I error)： 當虛無假設 ($H_0$) 為真時，錯誤地拒絕了它。
  在這個情境下，就是：實際上平均考試時間是 30 分鐘，但我們卻得出結論說平均考試時間不等於 30 分鐘。

• 第二類錯誤 (Type II error)： 當虛無假設 ($H_0$) 為偽時，錯誤地未能拒絕它。
  在這個情境下，就是：實際上平均考試時間不等於 30 分鐘 (可能是大於或小於 30 分鐘)，但我們卻得出結論說平均考試時間等於 30 分鐘。

題目問的是「A Type II error would occur if the professor concludes that...」
這意味著，我們要找一個情況，其中：

1. 真實情況是 $H_0$ 為偽 (即 $\mu \ne 30$)。
2. 教授做出的結論是 $H_0$ 為真 (即 $\mu = 30$)。

分析選項：
A) "concludes that the average time is not equal to 30 minutes when, in reality, the average time is equal to 30 minutes"
- 結論: $\mu \ne 30$ (拒絕了 $H_0$)
- 真實情況: $\mu = 30$ ($H_0$ 為真)
這是第一類錯誤 (Type I error)。

B) "concludes that the average time is not equal to 30 minutes when, in reality, the average time is greater than 30 minutes"
- 結論: $\mu \ne 30$ (拒絕了 $H_0$)
- 真實情況: $\mu > 30$ ($H_0$ 為偽)
這是正確的決策 (correct decision)。

C) "concludes that the average time is equal to 30 minutes when, in reality, the average time is greater than 30 minutes"
- 結論: $\mu = 30$ (未能拒絕 $H_0$)
- 真實情況: $\mu > 30$ ($H_0$ 為偽)
這是第二類錯誤 (Type II error)。因為真實情況是平均時間大於 30 分鐘，但我們卻得出結論說平均時間是 30 分鐘。

本題考驗加權平均數 (Weighted Average) 的計算。題目要求計算全班的平均考試分數，而各列的分數是該列學生的平均分數。因此，我們需要根據每列的學生人數來進行加權平均。

計算步驟：

1. 計算每一列的總分數：將該列的學生人數乘以該列的平均分數。
2. 計算全班的總分數：將所有列的總分數加總。
3. 計算全班的總學生人數：將所有列的學生人數加總。
4. 計算全班的平均分數：用全班的總分數除以全班的總學生人數。

詳細計算：

Row	Number of Students ($n_i$)	Row Average ($\bar{x}_i$)	Total Score for Row ($n_i \times \bar{x}_i$)
1	5	82	$5 \times 82 = 410$
2	5	91	$5 \times 91 = 455$

核心觀念
本題檢驗考生對 OLS 參數估計量變異數公式的理解，以及樣本數 $n$ 對估計精度的影響。需掌握以下定義與性質：

1. 迴歸模型

$y_i=\beta_0+\beta_1x_{1,i}+\beta_2x_{2,i}+\epsilon_i,\qquad i=1,\dots,n$

2. $\hat{\beta}_1$ 的等價表達式

$\hat{\beta}_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat r_{i1}y_i}{\sum_{i=1}^{n}\hat r_{i1}^2},$

其中 $\hat r_{i1}$ 是將 $x_1$ 對 $x_2$ 迴歸後的殘差。
3. $\hat{\beta}_1$ 的變異數

$\operatorname{Var}(\hat{\beta}_1)=\frac{\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat u_i^2}{n-3}}{\text{TSS}_1\,(1-R_1^2)},$

其中 $\hat u_i$ 為對 $y$ 同時以 $x_1,x_2$ 迴歸的殘差，$\text{TSS}_1=\sum_{i=1}^{n}(x_{1,i}-\bar x_1)^2$，$R_1^2$ 為 $x_1$ 對 $x_2$ 迴歸的決定係數。

解題方法
要判斷樣本數增大時估計是否更精確，只需觀察變異數公式中隨 $n$ 變化的項目。

1. 分子 $\displaystyle\frac{\sum\hat u_i^2}{n-3}$
   $\sum\hat u_i^2$ 為殘差平方和（RSS），根據 OLS 性質 $\displaystyle \frac{\sum\hat u_i^2}{n-3}$ 是 $\sigma^2$ 的無偏估計量。當樣本獨立同分布且誤差變異 $\sigma^2$ 為常數時，隨 $n$ 增大，RSS 大約以 $O(n)$ 成長，因而分子約為 $\sigma^2$，與 $n$ 無關（只留下常數）。

核心觀念

• OLS 估計量的精度：以變異數 $\operatorname{Var}(\hat\beta_1)$ 來衡量，變異數越小，估計越精確。
• 變異數公式
  $\operatorname{Var}(\hat{\beta}_1)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2/(n-3)}{\displaystyle\mathrm{TSS}_1\,(1-R_1^2)}$
  • 分子 $\displaystyle\sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2/(n-3)$ 為誤差項 $\epsilon_i$ 的估計誤差變異（與 $x_1,x_2$ 的變動無關）。
  • 分母由兩個因素構成
    1. $\mathrm{TSS}_1=\sum_{i=1}^n (x_{1,i}-\bar x_1)^2$：$x_1$ 的總變異量。
    2. $1-R_1^2$：$x_1$ 中不被 $x_2$ 解釋的獨立變異比例（$R_1^2$ 為 $x_1$ 對 $x_2$ 的 $R^2$）。

解題方法

1. 觀察變異數公式：分子固定（只受誤差變異影響），精度提升等價於分母增大。
2. 增加 $\mathrm{TSS}_1$：若 $x_1$ 的變異範圍擴大（例如觀測值分布更寬），$\mathrm{TSS}_1$ 增大，分母變大 → 變異數減少。

核心觀念

本題主要測驗計量經濟學與統計推論中的因果推論（Causal Inference）、自發性選擇偏誤（Self-Selection Bias）與遺漏變數偏誤（Omitted Variable Bias, OVB）：

1. 因果關係與相關性之區別：統計上的顯著相關不等於因果關係（Correlation does not imply causation）。
2. 潛在結果架構（Potential Outcomes Framework）與選擇偏誤：
   設 $Y_{1i}$ 為個體 $i$ 參與計畫之潛在結果（如醫療支出或缺勤天數），$Y_{0i}$ 為未參與之潛在結果，$D_i \in \{0, 1\}$ 為是否參與（$1$ 表示參與，$0$ 表示未參與）。觀測平均差異可拆解為： $$E[Y_i \mid D_i = 1] - E[Y_i \mid D_i = 0] = \underbrace{E[Y_{1i} - Y_{0i} \mid D_i = 1]}_{\text{處置組平均處置效果 (ATT)}} + \underbrace{\{E[Y_{0i} \mid D_i = 1] - E[Y_{0i} \mid D_i = 0]\}}_{\text{選擇偏誤 (Selection Bias)}}$$
3. 迴歸模型中的內生性（Endogeneity）： $$Y_i = \beta_0 + \tau D_i + X_i'\beta + U_i$$ 若存在未被觀察到的混雜變數（如健康意識、自律生活習慣 $U_i$），且該變數同時影響參與決策 $D_i$ 與結果變數 $Y_i$，則 $\text{Cov}(D_i, U_i) \neq 0$，普通最小平方法（OLS）估計量將產生遺漏變數偏誤： $$\text{plim} \, \hat{\tau}_{\text{OLS}} = \tau + \frac{\text{Cov}(D_i, U_i)}{\text{Var}(D_i)} \neq \tau$$

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解題方法

由試卷第 5 頁第二部份 Question II 題幹資訊可知：企業健康促進計畫係由員工自願參加（雇主不得強制，"employers cannot force employees to participate"），過去文獻（meta-analyses）僅在同一公司內部比較「參加者」與「未參加者」，並控制年齡、性別、體重等外顯特徵。

切入點與推導步驟如下：

1. 判斷是否能推論因果效果：
   自願參加的機制決定了參與者與非參與者在計畫開始前就存在系統性差異。即使計畫本身完全無效（$\tau = 0$），自願參加者通常本身就具有較高的健康意識、飲食較規律、注重運動，其未來的醫療費用與缺勤天數本來就較低（$E[Y_{0i} \mid D_i = 1] < E[Y_{0i} \mid D_i = 0]$），導致觀測到的顯著負向關聯主要來自有利的選擇偏誤，不能宣稱是提供該計畫所帶來的因果效益。
2. 指出過去研究的無效／缺陷之處：

核心觀念

本題旨在考驗計量經濟學與統計推論中的**因果推論（Causal Inference）與自選擇偏誤（Self-Selection Bias）**的解決方案。主要涵蓋：

1. 內生性問題（Endogeneity）與遺漏變數偏誤（Omitted Variable Bias, OVB）：因員工自願決定是否參加計畫，其潛在的「健康意識」、「生活自律性」或「工作動機」屬於不可觀察的遺漏變數，導致參與決策與誤差項相關。
2. 隨機對照試驗（Randomized Controlled Trial, RCT / Field Experiment）：透過隨機分派（Random Assignment）阻斷混淆變數（Confounders）的影響，使實驗組與對照組的事前潛在結果（Potential Outcomes）分配一致，為因果推論的黃金標準。
3. 意圖治療效應（Intention-to-Treat, ITT）與工具變數法（Instrumental Variables, IV）：面對「雇主不能強制員工參加（Non-compliance）」的現實，評估「提供計畫（Offering the program）」本身的因果效益即為 ITT 效應；若欲進一步評估實際參與的局部平均處理效應（LATE），可將隨機分派作為實際參與的工具變數。

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解題方法

從考卷原頁第 5 頁讀到的關鍵資訊為：本題屬於第二部份簡答題第 II 題之第 14 小題（配分 6 分），卷首規定作答字數每題不超過 5 行且可用中文作答；題幹核心在於前案研究因員工自由參加而產生嚴重的自選擇偏誤，需提出嚴謹的研究設計以評估「提供計畫（Offering）」的真實效益。

為徹底解決自選擇偏誤並驗證因果效益，標準且最嚴謹的切入點為設計一項隨機對照試驗（Randomized Controlled Trial, RCT），具體實施步驟與推導如下：

1. 隨機化實驗設計（Random Assignment）

由於倫理考量雇主不可強迫員工參加，但雇主有權決定向哪些員工「提供」或「優先開放」該計畫。可將全體員工（或以部門/分廠為單位）隨機指派為兩組：

• 實驗組（Treatment Group, $Z_i = 1$）：公司主動為其提供健康促進計畫（員工仍可自由選擇是否實際投入）。
• 對照組（Control Group, $Z_i = 0$）：暫不提供該計畫（或維持現狀）。

隨機指派保證了分組與員工個人的健康意識、年齡、生活習慣等特徵獨立，即：

$$(Y_i(1), Y_i(0), D_i(1), D_i(0)) \perp Z_i$$

徹底消除了未觀察變數引起的自選擇偏誤與內生性。

2. 因果效應估計模型

針對題幹所關切的兩大指標（醫療成本、缺勤率）記為結果變數 $Y_i$：

• 評估「提供計畫」的效應（Intention-to-Treat, ITT）：
  直接比較獲得提供組與未獲得提供組的平均結果差異。此即題幹要求的「investigate whether offering a wellness program has such beneficial effects」： $$\text{ITT} = \mathbb{E}[Y_i \mid Z_i = 1] - \mathbb{E}[Y_i \mid Z_i = 0]$$ 以簡單迴歸模型表示： $$Y_i = \beta_0 + \beta_1 Z_i + \epsilon_i$$ 其中 OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$ 即為無偏的 ITT 因果效應。
• 評估「實際參與」的效應（Local Average Treatment Effect, LATE）：
  若欲進一步估計實際參與者（$D_i = 1$）的效益，可將隨機提供資格 $Z_i$ 作為實際參與 $D_i$ 的工具變數（IV），使用兩階段最小平方法（2SLS）估計：

本題考驗對單變量迴歸係數的解釋、統計顯著性判斷以及假設檢定的應用。
題目中提到 "regression (1)"，但未提供具體的迴歸結果表格。不過，題目給出了 OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$ 的計算公式，以及其變異數的公式。
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_{1,i} - \bar{x}_1)(y_i - \bar{y})}{\sum (x_{1,i} - \bar{x}_1)^2}$
$Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum (x_{1,i} - \bar{x}_1)^2}$
這裡的 $\hat{\beta}_1$ 是對 $\beta_1$ 的估計，而 $\beta_1$ 是自變數 $x_1$ 對應的係數。
題目中提到「age is related to income」，因此我們可以推斷：

• 因變數 $y$ 是 income。
• 自變數 $x_1$ 是 age。
• 題目中提到了 $x_2$，但問題 15 只問關於 age ($x_1$) 的關係，所以我們專注於 $x_1$。

1. 解釋 age 與 income 的關係：
在一個簡單線性迴歸模型 $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \epsilon$ 中，$\beta_1$ 的解釋是：當自變數 $x_1$ (age) 每增加一個單位時，因變數 $y$ (income) 的平均值預期會改變 $\beta_1$ 個單位。
如果 $\beta_1 > 0$，表示 age 和 income 正相關，年齡越大，收入越高。
如果 $\beta_1 < 0$，表示 age 和 income 負相關，年齡越大，收入越低。
如果 $\beta_1 = 0$，表示 age 和 income 無線性關係。

由於題目沒有提供迴歸結果表格 (如係數 $\hat{\beta}_1$ 的值)，我們無法直接解釋 age 與 income 的關係方向和大小。
假設我們從一個標準的迴歸輸出中得到了 $\hat{\beta}_1$ 的值（例如，來自第 6 頁的迴歸 (1) 的結果）。
從第 6 頁表格的迴歸 (1) 來看：
DV: Income
Age 的 Coefficient $\hat{\beta}_1 = 0.407$。
Age 的 p-Value = 0.000。

因此，根據這個假設的迴歸結果：

• 解釋關係： 在迴歸模型 (1) 中，age 的係數估計值為 0.407。這表示，在控制其他變數（如果有的話；在此模型僅有 Age）的情況下，年齡每增加一歲，收入（以千美元計）平均預期會增加 0.407 千美元，即 407 美元。這顯示了正向的線性關係。

2. 判斷 age 是否統計顯著：
要判斷 age 是否統計顯著，我們需要檢定 $H_0: \beta_1 = 0$ 對 $H_1: \beta_1 \ne 0$ (通常是雙尾檢定)。
統計顯著性通常由 p-value 來判斷。如果 p-value 小於指定的顯著水準 $\alpha$ (在此為 5% 或 0.05)，則拒絕 $H_0$，認為該變數是統計顯著的。

同樣，假設我們參考迴歸 (1) 的結果：

• Age 的 p-Value = 0.000。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
  由於 p-value (0.000) < $\alpha$ (0.05)，我們拒絕虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$。
  因此，age 在 5% 的顯著水準下是統計顯著的。

3. 進行假設檢定 (已在上面完成)：

• 虛無假設 ($H_0$)： $\beta_1 = 0$ (年齡與收入之間沒有線性關係)。
• 對立假設 ($H_1$)： $\beta_1 \ne 0$ (年齡與收入之間存在線性關係)。
• 檢定統計量： 題目給了 $Var(\hat{\beta}_1)$ 的公式，但沒有給 $\hat{\beta}_1$ 的值和 $Var(\hat{\beta}_1)$ 的值，無法直接計算 t 統計量。但是，標準迴歸輸出通常會直接提供 t 統計量和 p-value。

核心觀念

本題考查多元迴歸中的：

1. Frisch–Waugh–Lovell 定理：控制 $x_2$ 後，$\hat{\beta}_1$ 等於以 $x_2$ 解釋 $x_1$ 後的殘差，對 $y$ 進行迴歸所得的係數。
2. 多重共線性與變異膨脹因子（VIF）：$x_1$ 與 $x_2$ 的相關程度越高，$\hat{\beta}_1$ 的變異數越大。
3. 單純迴歸與多元迴歸的變異數公式並不相同。

題目文字中的公式應理解為：

• 單純迴歸 $y$ 對 $x_1$ 時：

  $\hat{\beta}_1=\frac{\sum_{i=1}^n(x_{1,i}-\bar{x}_1)(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_{1,i}-\bar{x}_1)^2}$

• 多元迴歸 $y$ 對 $x_1,x_2$ 時，令 $\tilde{x}_{1,i}$ 為 $x_1$ 對常數項與 $x_2$ 迴歸後的殘差，則：

$$\hat{\beta}_1= \frac{\sum_{i=1}^n\tilde{x}_{1,i}y_i} {\sum_{i=1}^n\tilde{x}_{1,i}^{\,2}}$$

---

解題方法

設 $x_1$ 對常數項與 $x_2$ 迴歸：

$x_{1,i}=\delta_0+\delta_2x_{2,i}+\tilde{x}_{1,i}$

其中 $\tilde{x}_{1,i}$ 是 $x_1$ 中無法由 $x_2$ 解釋的部分。

根據 Frisch–Waugh–Lovell 定理，多元迴歸中 $\beta_1$ 的估計，只使用 $x_1$ 的「淨變異」：

$$\hat{\beta}_1= \frac{\sum_{i=1}^n\tilde{x}_{1,i}y_i} {\sum_{i=1}^n\tilde{x}_{1,i}^{\,2}}$$

因此，多元迴歸並不是使用 $x_1$ 的全部變異，而是使用排除 $x_2$ 影響後剩餘的變異。

令

$TSS_1=\sum_{i=1}^n(x_{1,i}-\bar{x}_1)^2$

且 $R_1^2$ 為 $x_1$ 對 $x_2$ 迴歸的決定係數。由迴歸平方分解：

$$\sum_{i=1}^n\tilde{x}_{1,i}^{\,2} =TSS_1(1-R_1^2)$$

所以多元迴歸中 $\hat{\beta}_1$ 的變異數為：

$$\operatorname{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n\tilde{x}_{1,i}^{\,2}} = \frac{\sigma^2}{TSS_1(1-R_1^2)}$$

若回歸（1）是單純迴歸 $y$ 對 $x_1$，其變異數為：

本題考驗對多元迴歸模型中虛擬變數 (dummy variable) 係數的解釋，特別是當模型包含交互作用項時。

題目要求解釋迴歸 (3) 中 "being female" 的邊際效應 (marginal effect)。
我們需要參考 page 6 的迴歸 (3) 的結果。

迴歸 (3) 的結果 (Page 6, Column (3))：

• 模型：Income = $\beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Age}^2 + \beta_3 \cdot \text{Experience} + \beta_4 \cdot \text{Female} + \beta_5 \cdot (\text{Female} \times \text{Experience}) + \epsilon$
• $\hat{\beta}_0 = 58.425$
• $\hat{\beta}_1 (\text{Age}) = -0.921$ (SE 0.361)
• $\hat{\beta}_2 (\text{Age}^2) = 0.008$ (SE 0.002)
• $\hat{\beta}_3 (\text{Experience}) = 1.199$ (SE 0.454)
• $\hat{\beta}_4 (\text{Female}) = -57.737$ (SE 30.090)
• $\hat{\beta}_5 (\text{Female} \times \text{Experience}) = -0.967$ (SE 0.803)
• R-squared = 0.592

解釋邊際效應：
邊際效應是指當一個自變數發生微小變化時，因變數的預期變化量。
在這個模型中，我們關心的是 "being female" 的邊際效應。
"Female" 是一個虛擬變數，Female=1 表示女性，Female=0 表示男性。

情況 1：當模型沒有交互作用項時
如果模型是 Income = $\beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Experience} + \beta_3 \cdot \text{Female} + \epsilon$，
那麼 Female 的邊際效應就是 $\beta_3$。
這表示，與男性 (Female=0) 相比，女性 (Female=1) 的平均收入預期會改變 $\beta_3$。
在此模型中，$\hat{\beta}_4 = -57.737$。
這表示，在控制了 Age, Age$^2$, Experience 後，女性的平均收入比男性預期低 57.737 千美元。

情況 2：當模型包含交互作用項時 (本題情況)
模型中包含 $\text{Female} \times \text{Experience}$ 交互作用項。
這意味著，性別對收入的影響，會隨著工作經驗 (Experience) 的變化而變化。
因此，"being female" 的邊際效應不再是一個常數 $\beta_4$，而是取決於 Experience 的值。

邊際效應的計算：
收入 (Income) 的預期值為：
$E(Y | \text{Age}, \text{Experience}, \text{Female})$
$E(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Age}^2 + \beta_3 \cdot \text{Experience} + \beta_4 \cdot \text{Female} + \beta_5 \cdot (\text{Female} \times \text{Experience})$

對於男性 (Female = 0)：
$E(Y | \text{Female}=0) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Age}^2 + \beta_3 \cdot \text{Experience}$

對於女性 (Female = 1)：
$E(Y | \text{Female}=1) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Age}^2 + \beta_3 \cdot \text{Experience} + \beta_4 \cdot (1) + \beta_5 \cdot (1 \times \text{Experience})$
$E(Y | \text{Female}=1) = (\beta_0 + \beta_4) + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Age}^2 + (\beta_3 + \beta_5) \cdot \text{Experience}$

本題考驗模型選擇的標準，特別是比較兩個 nested models (巢式模型) 的優劣，通常使用 F 檢定來比較。

題目要求比較迴歸 (2) 和迴歸 (3) 哪個更優，並進行統計檢定。
我們需要參考 page 6 的迴歸結果表格。

迴歸 (2) 的模型：
Income = $\beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Female} + \epsilon$

• R-squared ($R_2$) = 0.168
• USS (Unexplained Sum of Squares) = 5,207
• Observations ($n$) = 80

迴歸 (3) 的模型：
Income = $\beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Age}^2 + \beta_3 \cdot \text{Experience} + \beta_4 \cdot \text{Female} + \beta_5 \cdot (\text{Female} \times \text{Experience}) + \epsilon$

• R-squared ($R_3$) = 0.592
• USS (Unexplained Sum of Squares) = 2,549
• Observations ($n$) = 80

模型比較：
迴歸 (3) 是迴歸 (2) 的擴展模型。迴歸 (3) 在迴歸 (2) 的基礎上，額外加入了 Age$^2$, Experience, Female $\times$ Experience 這三個變數。

• 迴歸 (2) 的參數個數 $k_2 = 2$ (Age, Female，不計截距項)。
• 迴歸 (3) 的參數個數 $k_3 = 5$ (Age, Age$^2$, Experience, Female, Female $\times$ Experience，不計截距項)。
• 樣本數 $n = 80$。

模型選擇方法：

1. R-squared： 迴歸 (3) 的 R-squared (0.592) 遠大於迴歸 (2) 的 R-squared (0.168)，這表明迴歸 (3) 更好地解釋了收入的變異。
2. Adjusted R-squared： 雖然未直接提供，但加入更多變數會提高 R-squared，Adjusted R-squared 會考慮模型複雜度。
3. F 檢定（用於比較巢式模型）： 這是最正式的統計方法。我們檢定迴歸 (3) 中額外加入的變數（Age$^2$, Experience, Female $\times$ Experience）是否對模型有顯著的貢獻。

進行 F 檢定：

• 虛無假設 ($H_0$)： 迴歸 (3) 中額外加入的變數的係數均為零。即 $\beta_{Age^2} = \beta_{Experience} = \beta_{Female \times Experience} = 0$。這相當於說，迴歸 (2) 是更優的模型。

• 對立假設 ($H_1$)： 至少有一個額外變數的係數不為零。這相當於說，迴歸 (3) 是更優的模型。

• F 檢定統計量公式：
  $F = \frac{(SSE_2 - SSE_3) / (k_3 - k_2)}{SSE_3 / (n - k_3 - 1)}$
  其中：

  • $SSE_2$ 是迴歸 (2) 的殘差平方和 (Unexplained Sum of Squares)。
  • $SSE_3$ 是迴歸 (3) 的殘差平方和 (Unexplained Sum of Squares)。
  • $k_2$ 是迴歸 (2) 中自變數的個數 (不含截距項)。
  • $k_3$ 是迴歸 (3) 中自變數的個數 (不含截距項)。
  • $n$ 是樣本數。

  從表格中，我們有：

  • $SSE_2 = 5207$
  • $SSE_3 = 2549$
  • $n = 80$
  • $k_2 = 2$ (Age, Female)
  • $k_3 = 5$ (Age, Age$^2$, Experience, Female, Female $\times$ Experience)