109 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《統計學（G）》

此題在考機率的基本計算。

此題在考條件機率。已知抽出的牌為紅色花色,表示我們在一個較小的樣本空間中進行抽樣。

此題在考均一分配的定義。均一分配是指在一個有限的樣本空間中,每一個結果出現的機率都相等。

此題考驗二項分布的概念。若60歲以上老人有高血壓的比例為60%,則沒有高血壓的比例為40%。現在有三位老人,假設他們是否高血壓是獨立事件。每個人沒有高血壓的機率是0.4。

此題在考Poisson分布的性質。Poisson分布確實是用來描述在固定時間或空間內發生某事件的次數,屬於count data。

此題在考隨機變數的類型。Poisson分布確實是用來描述離散型隨機變數(如事件發生的次數)。

此題在考卡方分布的性質。卡方分布的定義是若干個標準常態隨機變數平方和的分布,由於平方後數值必大於等於零,因此卡方分布的取值範圍為

此題在考卡方分布與F分布的決定參數。卡方分布 (Chi-square distribution) 的機率分布由一個自由度 ($\nu$) 決定。

此題在考直方圖的應用。直方圖 (histogram) 是用來視覺化連續型資料分布的常用工具,它將資料分組並顯示每組的頻率。

此題在考盒子圖的用途。盒子圖 (boxplot) 是一種用來顯示一組連續型資料分布的統計圖,它能清楚地呈現資料的中位數 (media

此題主要在考驗樣本統計量估計母體參數的特性,以及中央極限定理。
首先,我們知道樣本平均值 $\bar{X}$ 是母體平均值 $\mu$ 的不偏估計量,無論母體分布為何。因此,選項(1)是正確的。
對於選項(2),對於常態分布,樣本平均值 $\bar{X}$ 同時也是最大概似估計量 (MLE)。因此,選項(2)也是正確的。
選項(3)的敘述「誤差比0.5小」是指 $|\bar{X} - \mu| < 0.5$ 的機率。我們已知樣本平均值為30,但母體平均值 $\mu$ 是未知的。即使我們假設 $\mu$ 是30,我們也無法得知 $|\bar{X} - \mu|$ 的值。更重要的是,這個選項沒有給出機率,無法判斷。
選項(4)根據中央極限定理 (Central Limit Theorem),即使母體分布不是常態,只要樣本數夠大 (n=100),樣本平均值的抽樣分配會近似於常態分布。題目中已說明X服從常態分布,那麼其樣本平均值的抽樣分配必定是常態分布,因為常態分布的平均值服從常態分布。因此,選項(4)也是正確的。

此題在考計算常態母體的信賴區間。
題目已知母體X服從常態分布,母體變異數 $\sigma^2 = 1$,因此標準差 $\sigma = 1$。
樣本數 $n = 100$,樣本平均值 $\bar{x} = 30$。
由於母體變異數已知,計算信賴區間時應使用Z分布。
95%信賴區間的公式為: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

此題主要在考驗對信賴區間和假設檢定的理解。
選項(1)「有95%的機率μ會落在這個區間。」這是對信賴區間的常見誤解。信賴區間的解釋應該是：如果我們重複多次抽樣並計算信賴區間,那麼大約有95%的區間會包含真實的母體參數 $\mu$。對於一個特定的計算出的信賴區間, $\mu$ 要嘛在此區間內,要嘛不在,機率是0或1,而不是95%。因此,選項(1)是不正確的。
選項(2)「由上述的信賴區間可推知,在顯著水準0.05之下,檢定是否為30的檢定結果是否顯著。」一個95%的信賴區間對應於顯著水準 $\alpha=0.05$ 的雙尾檢定。如果母體平均值 $\mu_0$ 落在信賴區間內,則在顯著水準0.05下,我們無法拒絕虛無假設 $H_0: \mu = \mu_0$。如果 $\mu_0$ 不在信賴區間內,則在顯著水準0.05下,我們可以拒絕虛無假設。在上一題中,95%信賴區間是以30為中心計算的,所以30一定落在區間內。

此題在考中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的條件與結論。
中央極限定理的核心內容是：從任何母體 (不論其分布為何) 抽取足夠大的樣本,則樣本平均值 $\bar{X}$ 的抽樣分布將近似於常態分布,且其期望值等於母體期望值 $\mu$,標準差等於母體標準差 $\sigma$ 除以樣本數的平方根 $\sqrt{n}$。
選項(1)「中央極限定理是描述母體期望值的抽樣分布。」這句話不準確。中央極限定理描述的是「樣本平均值」的抽樣分布,而不是「母體期望值」的抽樣分布。母體期望值 $\mu$ 是個常數,它本身沒有抽樣分布。因此,選項(1)是錯誤的。

此題在考驗比例估計值的誤差 (標準誤)。
樣本比例 $\hat{p} = 20/100 = 0.2$。
樣本數 $n = 100$。
比例估計值的標準誤 (standard error of proportion) 公式為 $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。

此題在考比例估計值的應用。
上一題中,我們估計台大學生的高血壓比例為 $\hat{p} = 0.2$。
現在隨機抽取 $n=200$ 位學生。

核心觀念

本題考查母體平均數的近似 $95\%$ 信賴區間。當樣本數足夠大，或母體標準差已知時，可使用標準常態分配：

其中：

• $\hat{\mu}$：上題所求的估計值；
• $\operatorname{SE}(\hat{\mu})$：估計值的標準誤；
• $z_{0.975}=1.96$。

$95\%$ 信賴區間的重點是「以估計值為中心，左右對稱」。

解題方法

依上題結果，估計值約為：

上題資料所對應的標準誤約為 $9$，因此 $95\%$ 信賴區間為：

所以：

四捨五入後最接近：

選項分析

1. $(20,55)$：正確

其中心點為：

此題在考驗隨機變數的類型。
判斷一個人是否有高血壓,只有兩種結果:是或否。這是一個典型的二元結果 (binary outcome)。

核心觀念

本題考查二項式分布 $X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$ 的定義、與柏努力分布的關係、期望值與變異數，以及二項式分布的常態近似。

若進行 $n$ 次彼此獨立的試驗，每次成功機率為 $p$，令 $X$ 表示成功次數，則：

其機率質量函數為：

二項式分布的基本性質為：

當 $n$ 很大，且 $np$ 與 $n(1-p)$ 均夠大時，二項式分布可用常態分布近似：

解題方法

本題各選項皆為概念判斷題，依序檢查：

1. 二項式分布是否由獨立的柏努力試驗相加而成。
2. $n=1$ 時是否退化為柏努力分布。
3. 期望值與變異數公式是否正確。
4. 給定 $n=10000$、$p=0.4$ 時，是否符合常態近似條件。

選項分析

選項（1）

二項式分布的 $n$ 個試驗是 $n$ 個彼此獨立的柏努力分布相加而成。

每一次試驗的成功或失敗可用柏努力隨機變數表示。令

且各次試驗彼此獨立，則總成功次數為：

因此：

此敘述正確。

選項（2）

二項式分布是柏努力分布在 $n=1$ 時的特例。

當 $n=1$ 時，二項式分布的機率質量函數為：

因此：

這正是柏努力分布 $\operatorname{Bernoulli}(p)$。

故：

此題在考驗常態分布與T分布的性質。
選項(1)「常態分布跟T分布一樣,都是對稱的分布。」常態分布是完全對稱的,其對稱中心為期望值 $\mu$。T分布也具有對稱性,其對稱中心為0。因此,此敘述是正確的。
選項(2)「常態分布的期望值、中位數(median)、及眾數(mode)皆相等。」對於任何對稱分布,其期望值、中位數和眾數都會相等。常態分布是一個典型的對稱分布,所以此敘述是正確的。
選項(3)「標準常態分布的變異數比T分布的變異數略大。」標準常態分布 $N(0,1)$ 的變異數為1。T分布的變異數為 $\frac{\nu}{\nu-2}$,其中 $\nu$ 是自由度,且 $\nu > 2$。當 $\nu$ 趨近於無限大時,T分布的變異數趨近於1。

此題在考驗變方分析法 (ANOVA) 的基本假設與目的。
選項(1)「假設不同族群變異數相等。」這是ANOVA的一個重要假設,稱為同質性假設 (homogeneity of variances) 或稱變異數齊性 (homoscedasticity)。通常使用Levene's test或Bartlett's test來檢定此假設。因此,此敘述是正確的。
選項(2)「檢定不同族群平均值是否相等。」這是ANOVA的主要目的。

核心觀念

這題考的是已知母體標準差時，單尾平均數檢定的樣本數估計。把「臺東人」視為平均數較低的虛無假設，把「臺北人」視為平均數較高的對立假設：

題目要控制把臺東人誤判為臺北人的機率，因此採用右尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。檢定力為 $0.95$，表示當真實平均數是 $190$ 時，正確判為臺北人的機率為 $0.95$，所以第二類錯誤機率為 $\beta=0.05$。

已知母體標準差 $\sigma=40$，兩地平均數差距為 $\Delta=190-170=20$。

解題方法

抽取 $n$ 人後，以樣本平均數 $\bar X$ 判斷。若 $\bar X$ 高於臨界值，便判為臺北人。

在 $H_0$ 成立時，為使誤把臺東人判為臺北人的機率不超過 $0.05$，臨界值 $c$ 須滿足：

因為 $\bar X$ 的標準誤為 $\frac{40}{\sqrt n}$，且右尾 $5\%$ 的標準常態臨界值為 $z_{0.95}=1.645$，因此：

此題考驗比例檢定與信賴區間。
已知國小學童蛀牙的機率為 $p_0 = 0.08$。
A品牌牙膏的實驗結果: 樣本數 $n_A = 360$, 蛀牙人數 $x_A = 11$。
樣本比例 $\hat{p}_A = x_A / n_A = 11 / 360 \approx 0.0306$。

(1) 檢定使用A品牌牙膏能否預防齲齒。
這意味著我們希望檢定A品牌牙膏的蛀牙比例是否顯著低於原來的8%。
虛無假設 ($H_0$): 使用A品牌牙膏的學童蛀牙比例不低於8% (即 $\pi_A \ge 0.08$)。
對立假設 ($H_1$): 使用A品牌牙膏的學童蛀牙比例顯著低於8% (即 $\pi_A < 0.08$)。
這是一個單尾檢定。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
由於樣本數夠大 ($n_A=360$, $\hat{p}_A \approx 0.0306$),我們可以進行Z檢定。
統計量: $Z = \frac{\hat{p}_A - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n_A}}}$
$Z = \frac{0.0306 - 0.08}{\sqrt{\frac{0.08(1-0.08)}{360}}} = \frac{-0.0494}{\sqrt{\frac{0.08 \times 0.92}{360}}} = \frac{-0.0494}{\sqrt{\frac{0.0736}{360}}} = \frac{-0.0494}{\sqrt{0.0002044}}$
$Z = \frac{-0.0494}{0.014297} \approx -3.455$
臨界值: 對於單尾檢定, $\alpha=0.05$, $Z_{0.05} = 1.645$。由於是對立假設 $\pi_A < 0.08$,我們尋找的是左尾的臨界值,即 $-Z_{0.05} = -1.645$。
結論: 統計量 $Z \approx -3.455$ 小於臨界值 $-1.645$。因此,我們拒絕虛無假設 $H_0$。
結論是,在顯著水準0.05下,有足夠證據顯示使用A品牌牙膏可以預防齲齒的發生 (即蛀牙比例顯著低於8%)。

(2) 檢定A、B兩品牌牙膏在預防蛀牙的功效上是否相同。
B品牌牙膏的實驗結果: 樣本數 $n_B = 250$, 蛀牙人數 $x_B = 10$。
樣本比例 $\hat{p}_B = x_B / n_B = 10 / 250 = 0.04$。
虛無假設 ($H_0$): 兩個品牌牙膏的蛀牙比例相同 ($\pi_A = \pi_B$)。
對立假設 ($H_1$): 兩個品牌牙膏的蛀牙比例不同 ($\pi_A \neq \pi_B$)。
這是一個雙尾檢定。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
由於樣本數夠大,我們可以進行Z檢定,使用合併比例進行標準誤的計算。
合併比例 $\hat{p}_{pool} = \frac{x_A + x_B}{n_A + n_B} = \frac{11 + 10}{360 + 250} = \frac{21}{610} \approx 0.0344$。

此題考驗卡方獨立性檢定 (Chi-square test of independence)。
我們要檢定運動器材的選擇與性別之間是否存在關係。
虛無假設 ($H_0$): 運動器材的選擇與性別無關 (獨立)。
對立假設 ($H_1$): 運動器材的選擇與性別有關 (不獨立)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
這是一個 $2 \times 3$ 的列聯表 (2個性別, 3種運動器材)。
自由度 $df = (rows-1) \times (cols-1) = (2-1) \times (3-1) = 1 \times 2 = 2$。
臨界值: 對於卡方獨立性檢定,在 $\alpha=0.05$ 和 $df=2$ 下,臨界值為 $\chi^2_{0.05, 2} = 5.99$ (題目已提供)。
統計量計算:
首先計算預期次數 (Expected counts) $E_{ij}$。
$E_{ij} = \frac{RowTotal_i \times ColTotal_j}{GrandTotal}$
總人數 = 532。
男性總計 = 255, 女性總計 = 277。
跑步機總計 = 220, 滑步機總計 = 155, 健身車總計 = 157。

預期次數:
$E_{男性, 跑步機} = \frac{255 \times 220}{532} \approx 105.26$
$E_{男性, 滑步機} = \frac{255 \times 155}{532} \approx 74.08$
$E_{男性, 健身車} = \frac{255 \times 157}{532} \approx 75.66$
$E_{女性, 跑步機} = \frac{277 \times 220}{532} \approx 114.74$
$E_{女性, 滑步機} = \frac{277 \times 155}{532} \approx 80.92$
$E_{女性, 健身車} = \frac{277 \times 157}{532} \approx 81.34$

核心觀念

本題考查一元線性迴歸，令：

• $x$：森林大火次數
• $y$：燒毀面積
• $n=8$

迴歸模型為：

最小平方法估計式為：

其中：

若要估計在 $x_0=70$ 次大火時的平均燒毀面積，使用迴歸平均反應的信賴區間：

解題方法與計算

一、計算樣本平均數

由資料得：

計算離均差平方和與乘積和：

二、求線性迴歸公式

斜率：

截距：

因此，燒毀面積對森林大火次數的線性迴歸公式為：

解釋斜率：森林大火次數每增加 $1$ 次，預估燒毀面積平均增加約 $1.036$ 英畝。

三、當森林大火次數為 $70$ 次時的估計值

代入 $x_0=70$：

所以估計燒毀面積約為：

四、計算迴歸標準誤

先計算：

迴歸平方和：

誤差平方和：