109 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班甲組《經濟學（F）》

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第 1 題

Questions 19 are multiple-choice questions. Choose the best possible answer out of the choices from the list. (12題每題 2 分, 3~9 題每題 3 分)

United Parcel Service (UPS) and FedEx Corporation (FedEx) are two leading delivery services companies and main competitors to each other. When UPS and FedEx set their pricing strategy, their decisions are based on strategic considerations regarding the behavior of its competitors, such as pricing, output, advertising, investment, etc., and the situation can be highly complicated. A number of researchers have developed analytical models of optimal pricing to understand and explain the firms' behavior.

Suppose there are only two firms, UPS and FedEx, in the industry. The two firms produce a homogeneous good (delivery), and they compete by setting prices simultaneously and consumers want to buy everything from a firm with a lower price. Suppose each of the two firms has fixed costs of $20 and zero variable costs. They face the same demand curves:

UPS's demand QU=12−2PU+PFQ_U = 12 - 2P_U + P_F
FedEx's demand QF=12−2PF+PUQ_F = 12 - 2P_F + P_U

Where PUP_U refers to UPS's price and PFP_F refers to FedEx's price.

  1. In Nash equilibrium, what is the price UPS will charge?
    A) 2B)2 B) 4
    C) 6D)6 D) 8

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本題考驗雙占市場（Duopoly）的價格競爭，且為同質性產品，屬於 Bertrand 競爭模型。由於兩家公司有相同的需求函數形式、相同的固定成本和零變動成本，且同時決定價格，我們需要找出兩家公司的反應函數，並求其交點，即為納許均衡。

兩家公司追求利潤最大化。利潤函數為：
πU=(PU−CU)QU=(PU−0)(12−2PU+PF)=12PU−2PU2+PUPF\pi_U = (P_U - C_U) Q_U = (P_U - 0) (12 - 2P_U + P_F) = 12P_U - 2P_U^2 + P_U P_F
πF=(PF−CF)QF=(PF−0)(12−2PF+PU)=12PF−2PF2+PFPU\pi_F = (P_F - C_F) Q_F = (P_F - 0) (12 - 2P_F + P_U) = 12P_F - 2P_F^2 + P_F P_U

為求利潤最大化，我們對各自的價格微分並令一階導數為零，以找出反應函數：
對 UPS：
∂πU∂PU=12−4PU+PF=0\frac{\partial \pi_U}{\partial P_U} = 12 - 4P_U + P_F = 0
4PU=12+PF4P_U = 12 + P_F
PU=3+14PFP_U = 3 + \frac{1}{4}P_F （UPS 的反應函數）

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第 2 題

  1. If UPS and FedEx can cooperate to maximize the joint profit of the two firms, what is the price FedEx should charge?
    A) 2B)2 B) 4
    C) 6D)6 D) 8

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核心觀念

本題考的是寡占廠商合作（cooperation）與聯合利潤最大化。UPS 與 FedEx 合作時，目標不是各自追求利潤最大，而是選擇使兩家公司總利潤最大的價格。

聯合利潤為：

Πtotal(P)=ΠUPS(P)+ΠFedEx(P)\Pi_{\text{total}}(P) = \Pi_{\text{UPS}}(P)+\Pi_{\text{FedEx}}(P)

最適價格必須滿足：

MRindustry=MCindustryMR_{\text{industry}}=MC_{\text{industry}}

其中 MRindustryMR_{\text{industry}} 是兩家公司合計需求所產生的邊際收益，MCindustryMC_{\text{industry}} 是合計邊際成本。合作結果通常等同於聯合壟斷，價格會高於兩家公司各自競爭時的價格。

解題方法

僅依題目所提供的文字，缺少 UPS 與 FedEx 的需求函數、成本函數、邊際成本，或題目前文所附的表格／圖形，因此無法直接由 MR=MCMR=MC 推算唯一價格。

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第 3 題

  1. What is UPS's dominant strategy given the payoff matrix?
    A) Charging 5B)Charging5 B) Charging 5.5
    C) There is no dominant strategy for UPS.
🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
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本題考驗對賽局理論中「優勢策略」（Dominant Strategy）的理解。優勢策略是指無論對手採取何種策略，對該玩家而言都是最佳策略的策略。我們需要分析 UPS 在面對 FedEx 不同策略時，哪種策略對 UPS 而言始終是最佳的。

賽局的支付矩陣如下：
UPS 的策略是列（Rows），FedEx 的策略是欄（Columns）。
UPS 的支付（利潤）在前，FedEx 的支付（利潤）在後。

UPS \ FedExFedEx Charges $5FedEx Charges $5.5
UPS Charges $5(10,10, 10)(0,0, 25)
UPS Charges $5.5(25,25, 0)(15,15, 15)

我們需要比較 UPS 在不同情況下的選擇：

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第 4 題

  1. In this game, which of the following statements is correct?
    A) If UPS and FedEx both play its dominant strategy, joint profits are maximized.
    B) If UPS and FedEx both play its dominant strategy, joint profits are not maximized.
    C) Neither firm has a dominant strategy.
    D) The Nash equilibrium does not exist.
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核心觀念

本題考「優勢策略」與「聯合利潤最大化」的差異。

  • 優勢策略（dominant strategy）：不論對手採取何種策略，自己的某一策略所得報酬都較高。
  • 聯合利潤：UPS 與 FedEx 兩者利潤的總和。

由圖可讀得報酬如下：

UPS＼FedEx$5$5.5
$5(10,10)(10,10)(25,0)(25,0)
5.55.5(0,25)(0,25)(15,15)(15,15)

解題方法

先比較 UPS 在 FedEx 不同定價下的報酬：

  1. FedEx 收費 55：

    • UPS 收費 55：利潤 1010
    • UPS 收費 5.55.5：利潤 00

    因此 UPS 應選擇收費 55。

  2. FedEx 收費 5.55.5：

    • UPS 收費 55：利潤 2525
    • UPS 收費 5.55.5：利潤 1515

    UPS 仍應選擇收費 55。

所以 UPS 的優勢策略是收費 55。由對稱性，FedEx 的優勢策略也是收費 $5

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第 5 題

  1. Nash equilibrium in this game
    A) occurs when both UPS and FedEx charge 5.B)occurswhenbothUPSandFedExcharge5. B) occurs when both UPS and FedEx charge 5.5.
    C) occurs when one firm charges 5andtheotherfirmcharges5 and the other firm charges 5.5.
    D) does not exist.
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本題要求找出賽局的納許均衡。納許均衡是指在賽局中，沒有任何一個參與者可以單方面改變其策略而獲得更好結果的狀態。在具有優勢策略的賽局中，優勢策略組合就是納許均衡。

我們在問題 3 和問題 4 中已經分析過：
UPS 的優勢策略是 Charging 5.55.5。
FedEx 的優勢策略是 Charging 5.55.5。

因此，當 UPS 選擇 Charging 5.55.5 並且 FedEx 也選擇 Charging 5.55.5 時，就達到了納許均衡。
在這個狀態下，UPS 無法透過單方面改變策略（從 5.55.5 改為 55）來提高其利潤（從 1515 降至 00）。

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第 6 題

  1. Suppose UPS and FedEx face the same payoff matrix every year during the holiday season. That is, the game is repeated. Which of the following statements is correct?
    A) UPS's choices are not influenced by FedEx's actions.
    B) UPS and FedEx cooperate and achieve the collusive Nash equilibrium for all rounds.
    C) UPS and FedEx may cooperate to both charge additional surcharges if the game is played indefinitely.
    D) If the game is repeated a finite number of times (T), UPS and FedEx can cooperate until the (T-1) round. At the last round, the two firms will switch to their dominant strategy.
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核心觀念

本題的核心觀念為**重複賽局（Repeated Games）與囚犯困境（Prisoners' Dilemma）**的合作機制，主要涉及：

  1. 有限期重複賽局（Finitely Repeated Game）與倒後歸納法（Backward Induction）：若賽局重複進行確定且有限的 TT 期，且單期賽局具有唯一的納許均衡（通常為互不合作的優勢策略），則在最後一期（第 TT 期）無未來懲罰機制，雙方必選擇背叛；透過倒後歸納法向前推導，合作在每一期都會瓦解，第一期開始就無法維持合作。
  2. 無限期重複賽局（Infinitely Repeated Game）與冷酷策略（Grim Trigger Strategy）：若賽局重複無限期（或具有不確定終止機率），只要折現因子（Discount Factor, δ\delta）足夠大（即對未來的重視程度夠高），未來的懲罰威脅具備可信度（Credible Threat），廠商即可透過觸發策略維持勾結／合作均衡（Collusive Outcome）。

解題方法

寡占市場中，兩大快遞巨頭（UPS 與 FedEx）在旺季是否加收附加費（Surcharges）的決策常構成典型的「囚犯困境」矩陣：

  • 單期賽局中，彼此存在削價或背叛的誘因，非合作的納許均衡（Nash Equilibrium）利潤低於雙方共同合作（如皆加收附加費或維持高價）的卡特爾利潤。
  • 分析重複賽局時，切入點在於區分「期數有限且已知」與「期數無限或持續進行」：
    1. 若期數有限（TT 期），依倒後歸納法，第 TT 期無法制衡背叛，倒數第二期亦失去未來制約，依此類推，完全無法達成合作。
    2. 若期數無限（Played indefinitely），未來利益的現值大於單期背叛的短期暴利，因此存在維持雙方合作加收附加費的子賽局完美納許均衡（SPNE）。

選項分析

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第 7 題

  1. According to an article in the Wall Street Journal, neither UPS nor FedEx raised rates during the holiday season of 2014, but both firms did raise them during the 2016 holiday season. Which of the following statements is correct?
    A) In 2014, neither firm raised rates during the holiday season because they were at the equilibrium of an infinite repeated game.
    B) In 2016, both firms raised rates because they were at the equilibrium of a finite repeated game.
    C) In 2016, both firms raised rates because they were competing to attract additional customers.
    D) UPS and FedEx set output and price over and over again, continually observing their competitors' behavior and adjusting their own accordingly. This allows them to develop reputations from which trust can arise. As a result, oligopolistic coordination and cooperation can sometimes prevail.

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核心觀念

本題考的是寡占市場中的「重複賽局」（repeated game）與默契合作。

UPS 與 FedEx 彼此競爭，但兩家公司會反覆在市場中互動，並持續觀察對方的價格與行為。這種情況可用重複賽局分析：

  • 一次性賽局：廠商只互動一次，通常各自追求短期利益。
  • 有限次重複賽局：廠商只互動有限次，最後一期沒有未來懲罰，因此容易產生倒推結果。
  • 無限次重複賽局：互動沒有明確終點，偏離合作的廠商可能在未來受到懲罰，因此合作有機會維持。

若廠商重視未來利潤，且未來收益的折現因子 δ\delta 足夠高，合作可能成為均衡。一般化表示為：

合作的現值≥偏離合作所取得的短期利益+未來遭懲罰的損失\text{合作的現值} \geq \text{偏離合作所取得的短期利益}+\text{未來遭懲罰的損失}

因此，寡占廠商可能透過反覆互動、觀察對手行為與建立聲譽，形成「默契合作」（tacit collusion），例如同時維持較高價格。

解題方法

本題沒有要求計算，應從各選項對重複賽局與寡占合作的描述是否正確切入。

判斷順序如下：

  1. 兩家公司是否存在反覆互動？
  2. 反覆互動是否使廠商能觀察對方行為？
  3. 觀察與懲罰機制是否能支持合作？
  4. 選項是否正確區分有限次與無限次重複賽局？
  5. 「提高價格」究竟代表合作，還是代表爭取顧客？

本題的正確觀念是：反覆互動能使寡占廠商建立聲譽與信任，進而形成協調與合作。因此，完整且一般性的正確敘述為 D。

選項分析

A) In 2014, neither firm raised rates during the holiday season because they were at the equilibrium of an infinite repeated game.

錯誤。

2014 年兩家公司沒有調高費率，確實可能與合作行為一致，但題目所提供的現象不足以直接證明兩家公司處於「無限次重複賽局的均衡」。

此外，是否能在無限次重複賽局中維持合作，仍取決於折現因子、偏離合作的利益，以及未來懲罰是否可信。單憑「沒有調高費率」無法確定其均衡類型與具體原因。

因此，A 將觀察到的市場結果直接等同於特定的無限次重複賽局均衡，推論過度。

B) In 2016, both firms raised rates because they were at the equilibrium of a finite repeated game.

錯誤。

有限次重複的囚徒困境通常適用逆向歸納法：

  • 最後一期沒有未來懲罰，因此廠商會選擇短期最有利的非合作策略。
  • 倒推至倒數第二期，由於最後一期已無法合作，倒數第二期也缺乏合作誘因。
  • 依此倒推，合作可能在所有期數都無法維持。
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第 8 題

  1. According to a firm analyzing shipping data, both FedEx and UPS' on-time delivery rate dropped during the 2019 holiday season. FedEx's on-time delivery percentage from Black Friday to New Year's Eve was 95%, and UPS' on-time delivery percentage was 97%. Based on this information, what is the probability that if a customer ships ten packages with FedEx during the 2019 holiday season, all of the ten packages arrive on time?
    A) 60%
    B) 75%
    C) 80%
    D) 95%

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這一題的完整詳解

本題考驗機率計算。題目給定了 FedEx 的準時送達率為 95%，並詢問客戶寄送十個包裹給 FedEx，所有十個包裹都準時送達的機率。

我們假設每個包裹的準時送達是獨立事件。
FedEx 的準時送達率（成功機率）p=0.95p = 0.95。
包裹總數 n=10n = 10。
我們想計算所有 10 個包裹都準時送達的機率。

由於每個包裹的準時送達是獨立的，且機率相同，這是一個二項分佈（Binomial Distribution）問題。
我們計算 P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}，其中 kk 是成功（準時送達）的次數。
在這裡，我們需要計算 k=10k=10 的情況。
P(X=10)=(1010)(0.95)10(1−0.95)10−10P(X=10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (1-0.95)^{10-10}

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第 9 題

  1. Suppose UPS and FedEx plan to improve the on-time delivery rate for the peak period, and the expected payoff matrix for the 2020 holiday season is changed as the following table. Choose all of the Nash equilibrium of this game.
FedExFedEx Charges 55FedEx Charges 5.55.5
UPSUPS Charges 55(0,0, 5)
UPSUPS Charges 5.55.5(20,20, 0)

(1) Both UPS and FedEx charge 5(2)BothUPSandFedExcharge5 (2) Both UPS and FedEx charge 5.5
(3) UPS charges 5andFedExcharges5 and FedEx charges 5.5
(4) UPS charges 5.5andFedExcharges5.5 and FedEx charges 5
(5) Both UPS and FedEx play a mixed strategy, where each firm charges 5withaprobabilityof2/3andcharges5 with a probability of 2/3 and charges 5.5 with a probability of 1/3

A) Only (1)
B) Only (2)
C) (3) and (4)
D) (3), (4) & (5)

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核心觀念

本題考「Nash equilibrium（納許均衡）」：在其他玩家策略固定下，任何一方都沒有誘因單方面改變策略。

判斷方法：

  • 純策略均衡：兩方策略互為最佳回應。
  • 混合策略均衡：每一方都使另一方在兩個純策略間無差異。

依原圖斜線格判讀，左下三角為 UPS 報酬、右上三角為 FedEx 報酬，矩陣為：

FedEx 5FedEx 5.5UPS 5(0,0)(20,5)UPS 5.5(5,20)(10,10)\begin{array}{c|cc} & \text{FedEx }5 & \text{FedEx }5.5\\ \hline \text{UPS }5 & (0,0) & (20,5)\\ \text{UPS }5.5 & (5,20) & (10,10) \end{array}

其中每格為 (UPS報酬,FedEx報酬)(\text{UPS報酬},\text{FedEx報酬})。

解題方法：純策略 Nash equilibrium

先比較 UPS 的最佳回應：

  • FedEx 收費 55 時，UPS 收費 55 得 00，收費 5.55.5 得 55，所以 UPS 選 5.55.5。
  • FedEx 收費 5.55.5 時，UPS 收費 55 得 2020，收費 5.55.5 得 1010，所以 UPS 選 55。

再比較 FedEx 的最佳回應：

  • UPS 收費 55 時，FedEx 收費 55 得 00，收費 5.55.5 得 55，所以 FedEx 選 5.55.5。
  • UPS 收費 5.55.5 時，FedEx 收費 55 得 2020，收費 5.55.5 得 1010，所以 FedEx 選 55。

因此，兩組互為最佳回應的純策略為：

  1. UPS 收費 55、FedEx 收費 5.55.5。
  2. UPS 收費 5.55.5、FedEx 收費 55。

也就是選項 (3)、(4)。

混合策略均衡

令 FedEx 收費 55 的機率為 qq。

UPS 選擇收費 55 的期望報酬：

EU(5)=0q+20(1−q)=20−20qEU(5)=0q+20(1-q)=20-20q
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