114 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《統計學（K）》

此題考驗數列級數的收斂區間判斷。我們使用 ratio test 來判斷級數的收斂性。

令 $a_n = \frac{(x-2)^{2n}}{4^n}$。
計算極限 $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$：
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-2)^{2(n+1)}}{4^{n+1}}}{\frac{(x-2)^{2n}}{4^n}} \right|$
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-2)^{2n+2}}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{(x-2)^{2n}} \right|$
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-2)^2}{4} \right|$
$L = \frac{(x-2)^2}{4}$

此題考驗隱函數微分求切線斜率。

對方程式 $y^2 + 3y - 4x^3 = 5x + 1$ 進行微分。我們對 $x$ 微分，並將 $y$ 視為 $x$ 的函數。
$\frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(3y) - \frac{d}{dx}(4x^3) = \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(1)$
$2y \frac{dy}{dx} + 3 \frac{dy}{dx} - 12x^2 = 5 + 0$

核心觀念

本題考查二重積分的積分區域轉換，以及利用換序積分降低計算難度。

原積分為

$$\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{x}} e^{y^2}\,dy\,dx.$$

由於 $e^{y^2}$ 對 $y$ 的不定積分無初等函數形式，直接先對 $y$ 積分不易。因此將積分次序由 $dy\,dx$ 改為 $dx\,dy$。

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解題方法

原積分區域滿足

$$0\le x\le 1,\qquad x\le y\le \sqrt{x}.$$

將邊界改寫成以 $x$ 表示 $y$ 的形式：

• $y=x$；
• $y=\sqrt{x}$ 等價於 $x=y^2$。

由 $0\le x\le 1$ 可知 $0\le y\le 1$。固定 $y$ 後，區域中的 $x$ 必須滿足

$$y^2\le x\le y.$$

因此，交換積分次序後，

$$\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{x}} e^{y^2}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{y^2}^{y} e^{y^2}\,dx\,dy.$$

先對 $x$ 積分：

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1}\int_{y^2}^{y} e^{y^2}\,dx\,dy &=\int_{0}^{1}e^{y^2}(y-y^2)\,dy\\ &=\int_{0}^{1}ye^{y^2}\,dy-\int_{0}^{1}y^2e^{y^2}\,dy. \end{aligned}$$

第一項令 $u=y^2$，得

$$\int_{0}^{1}ye^{y^2}\,dy =\frac12\int_{0}^{1}e^u\,du =\frac{e-1}{2}.$$

對第二項利用

$$\frac{d}{dy}\left(ye^{y^2}\right) =e^{y^2}+2y^2e^{y^2},$$

所以

$$y^2e^{y^2} =\frac12\frac{d}{dy}\left(ye^{y^2}\right)-\frac12e^{y^2}.$$

因此

此題考驗迴歸分析中因果關係的判斷與潛在問題。

核心觀念：迴歸分析中的統計顯著性不直接等於因果關係。

詳解：
若迴歸模型中的 $\alpha_1$ 係數為負且統計上顯著，這表示在 2005 年的樣本中，靠近圓頂的房屋價格平均而言低於離圓頂較遠的房屋。然而，這並不直接意味著圓頂的興建「造成」了房價下跌。有幾個潛在問題需要討論：

1. 迴歸模型中的遺漏變數偏誤 (Omitted Variable Bias, OVB)：
   • 反向因果關係 (Reverse Causality)：可能不是圓頂造成房價下跌，而是房價較低的地區（例如本來就較不吸引人的區域）更有可能被選為圓頂的興建地點。也就是說，房屋的價值（或潛在價值）影響了圓頂的選址，而非反之。
   • 共同潛在因素：可能存在其他未納入模型的因素，同時影響了房屋的地理位置（是否靠近圓頂）和房屋價格。例如，該區域的犯罪率、學區品質、交通便利性、經濟發展潛力等。如果這些因素與 neardome 變數相關，並且也影響 rprice，那麼 $\alpha_1$ 的估計值可能就包含了這些因素的影響，而非僅僅是圓頂本身的影響。例如，如果圓頂選址的區域本來就因為其他原因（如較差的基礎設施）而房價較低，那麼 $\alpha_1$ 的負值可能反映的是這些固有因素，而非圓頂的負面影響。

此題考驗在時間序列數據中進行因果關係推斷的潛在問題。

核心觀念：時間上的前後關係不等於因果關係，且單純的時點比較可能忽略其他時間趨勢。

詳解：
若迴歸模型中的 $\beta_1$ 係數為負且統計上顯著，這表示在 2005 年（圓頂興建中或即將完工）出售的房屋，其價格平均而言低於 2001 年（圓頂興建前）出售的房屋。然而，這並不直接斷定是圓頂的興建「造成」了房價下跌。以下是潛在問題：

1. 時間趨勢 (Time Trend)：

   • 房價可能受到整體經濟環境、市場趨勢或其他市場因素的影響，而這些因素可能在 2001 年到 2005 年之間發生了變化。例如，如果整體房地產市場在此期間經歷了普遍的下跌，那麼 $\beta_1$ 的負值可能僅僅反映了這種市場趨勢，而非圓頂的特定影響。模型僅比較了兩個時間點，未能控制潛在的線性或非線性時間趨勢。

2. 遺漏變數偏誤 (Omitted Variable Bias, OVB)：

   • 模型只使用了 y05 作為解釋變數，但房價還受到許多其他因素的影響，例如房屋本身的特徵（大小、房間數、屋齡）、當地經濟狀況、利率變化等。

此題考驗使用差分模型 (difference-in-differences) 的潛在問題，以及如何解釋其結果。

核心觀念：差分模型旨在透過比較處理組與對照組在處理前後的變化差異，來估計處理效應。然而，其有效性依賴於平行趨勢假設 (parallel trends assumption)。

詳解：
若迴歸模型中的 $\gamma_1$ 係數為負且統計上顯著，這表示在 2001 年至 2005 年之間，靠近圓頂的房屋價格變化（下跌）比離圓頂較遠的房屋價格變化（下跌）更為劇烈。這似乎支持了圓頂對附近房價產生負面影響的假設。然而，仍需討論潛在問題：

1. 平行趨勢假設 (Parallel Trends Assumption)：
   • 此方法的核心是比較「處理組」（靠近圓頂）和「對照組」（離圓頂較遠）的價格變化。這個方法的前提是，如果沒有圓頂這個「處理」，這兩組房屋的價格變化趨勢應該是相似的。換句話說，在沒有圓頂影響的情況下，兩組房屋的價格應該以相似的速率變化。
   • 潛在違反平行趨勢假設的情況：
     • 區域的固有差異：如果靠近圓頂的區域與離圓頂較遠的區域，在 2001 年時就已經存在不同的房價增長趨勢（例如，一個區域本來就發展較快，另一個區域停滯不前），那麼觀察到的差異變化就不能完全歸因於圓頂。

此題考驗在迴歸模型中加入控制變數 (control variables) 的優缺點。

核心觀念：控制變數用於提高估計的準確性，減少遺漏變數偏誤，但過度或不當加入控制變數也可能引入問題。

詳解：
在迴歸模型中加入房屋特徵（如房屋面積、房間數、浴室數）作為控制變數，主要有以下優點和缺點：

優點 (Advantages)：

1. 減少遺漏變數偏誤 (Reduce Omitted Variable Bias, OVB)：

   • 這是加入控制變數最主要的目的。房價受到多種因素影響，房屋的面積、房間數、浴室數等是決定房價的關鍵內部特徵。如果這些變數與我們感興趣的圓頂位置 (neardome) 變數相關，而它們又獨立影響房價，那麼不將它們納入模型，可能會導致對圓頂效應的估計產生偏誤。
   • 例如，如果較大的房屋（面積大、房間多）通常也位於離圓頂較遠的區域，而大房屋本身價格就更高，那麼單純比較 neardome 的係數可能會低估圓頂的負面影響。加入房屋特徵後，模型可以更精確地隔離出圓頂位置的獨立效應。

2. 提高估計的精度 (Increase Precision of Estimates)：

   • 當控制了與房價顯著相關的其他變數後，迴歸模型對誤差項 $u$ 的方差估計（$\hat{\sigma}^2_u$）可能會降低。由於迴歸係數的標準誤 (standard error) 與誤差項方差的平方根成正比，因此標準誤可能會減小。
   • 標準誤減小意味著統計檢驗的功效 (power) 增強，我們更有可能檢測到真實存在的效應（如果 $\alpha_1$ 確實為負且顯著）。同時，迴歸係數的信賴區間 (confidence interval) 也會變窄，提供更精確的估計範圍。

3. 更深入地理解房價驅動因素：

   • 透過檢視這些房屋特徵的係數，研究者可以了解不同房屋特徵對房價的影響程度，這有助於更全面地理解房地產市場

此題考驗多重比較 (multiple comparisons) 的問題，特別是當使用多個 t-檢定時。

核心觀念：進行多次假設檢定會增加犯第一類錯誤 (Type I error) 的機率。

詳解：
當我們將單因子實驗從兩組（兩個層級）擴展到更多層級（例如 k 個層級），並且想要比較所有可能的處理均值對時，直接進行成對 t-檢定 (pairwise t-tests) 會引發以下問題：

1. 膨脹的整體第一類錯誤機率 (Inflated Overall Type I Error Rate)：
   • 第一類錯誤是指在虛無假設為真時，錯誤地拒絕它（即，認為均值有差異，但實際上沒有）。
   • 在單次 t-檢定中，我們通常設定顯著水準 $\alpha$（例如 $\alpha = 0.05$），這代表了犯第一類錯誤的機率。
   • 當我們進行多次獨立的 t-檢定時，整體犯至少一次第一類錯誤的機率會顯著增加。
   • 假設我們有 $k$ 個處理組。可能的成對比較次數為 $\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$。
   • 如果每次比較的顯著水準都是 $\alpha$，那麼至少犯一次第一類錯誤的機率 (family-wise error rate, FWER) 會遠大於 $\alpha$。
   • 例如，如果有 4 個組，有 $\binom{4}{2} = 6$ 次比較。如果每次 $\alpha=0.05$，則至少犯一次第一類錯誤的機率大約是 $1 - (1 - 0.05)^6 \approx 0.265$。這意味著有超過 26.5% 的機率會錯誤地發現至少一對組別之間有顯著差異。

此題考驗對單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的假設、F 統計量的計算與結果解釋。

核心觀念：ANOVA 用於檢定多個組別的均值是否相等，透過比較組間變異與組內變異來達成。

詳解：

1. 陳述虛無與對立假設 (State the null and alternative hypotheses)：
此實驗旨在檢定不同貨架 (shelf) 的平均糖含量是否相同。

• 虛無假設 ($H_0$)：所有貨架的平均糖含量相等。
  $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
  其中 $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ 分別代表貨架 1, 2, 3 的平均糖含量。
• 對立假設 ($H_a$)：至少有一個貨架的平均糖含量與其他不同。
  $H_a: \text{at least one } \mu_i \text{ is different}$

2. 計算 F 統計量 (Compute the F-statistic)：
ANOVA 表格提供了計算 F 統計量所需的資訊：

• Mean Square Due to Treatments (MST)：代表組間變異，即貨架間的差異。
• Mean Square Due to Error (MSE)：代表組內變異，即同一貨架內部的差異。

從 ANOVA 表格中：

• Source of Variation: Shelf (Between Groups) -> Sum of Squares (SS) = 248.4079
• Source of Variation: Error (Within Groups) -> Sum of Squares (SS) = 1253.1246
• Degrees of freedom for Shelf (Between Groups) = $k-1$ (其中 $k$ 是組別數，此處 $k=3$ 貨架)。所以 df = $3-1=2$。
• Degrees of freedom for Error (Within Groups) = $N-k$ (其中 $N$ 是總樣本數，此處 $N=77$)。所以 df = $77-3=74$。

根據這些資訊，我們可以計算 MST 和 MSE：
$MST = \frac{SS_{Between}}{df_{Between}} = \frac{248.4079}{2} = 124.20395$
$MSE = \frac{SS_{Within}}{df_{Within}} = \frac{1253.1246}{74} \approx 16.934116$

此題考驗對變異數分析 (ANOVA) 原理的理解，特別是其核心概念：比較組間變異與組內變異。

核心觀念：ANOVA 將總變異分解為組間變異和組內變異。透過比較這兩者的大小，可以判斷組別均值是否存在顯著差異。

詳解：

ANOVA 的概念框架 (Conceptual Framework of ANOVA)：

變異數分析 (ANOVA) 的核心思想是將數據的總變異 (total variation) 分解為不同來源的變異。對於單因子 ANOVA，我們關心的是一個因子（例如貨架位置）對一個響應變數（例如穀物糖含量）的影響。

1. 總變異 (Total Variation)：

   • 總變異衡量的是所有觀測值（所有穀物的糖含量）相對於整個數據集的總平均值的離散程度。它代表了響應變數的總體波動性。
   • 在 ANOVA 表格中，總變異由「Sum of Squares Total」 (SST) 表示。

2. 變異的來源分解 (Decomposition of Variation)：

   • ANOVA 將總變異分解為兩個主要部分：
     a. 組間變異 (Between-Group Variation / Variation due to Treatments)：
     * 這部分變異是由於不同處理組（例如不同的貨架）的均值不同而引起的。它衡量的是各組均值相對於總平均值的離散程度。
     * 如果因子（貨架）對響應變數（糖含量）有顯著影響，那麼不同組別的均值應該會有較大的差異，從而導致較大的組間變異。
     * 在 ANOVA 表格中，這由「Sum of Squares Between Groups」(SSB 或 SSTr) 表示。
     b. 組內變異 (Within-Group Variation / Variation due to Error)：
     * 這部分變異是由於在同一組別內部的隨機誤差或個體差異而引起的。它衡量的是每個觀測值相對於其所在組別均值的離散程度。
     * 組內變異被視為無法由因子解釋的「隨機雜訊」或「殘差」。
     * 在 ANOVA 表格中，這由「Sum of Squares Within Groups」(SSW 或 SSE) 表示。
   • 數學上，總變異等於組間變異加上組內變異：$SST = SSB + SSW$。

3. 均方 (Mean Squares)：

   • 為了進行比較，我們需要將 Sum of Squares (SS) 除以其對應的自由度 (degrees of freedom, df)，得到均方 (Mean Square, MS)。均方可以被看作是變異的平均值。

此題考驗對 Bonferroni 事後檢定 (post-hoc test) 結果的解讀，特別是識別顯著差異對。

核心觀念：Bonferroni 事後檢定用於在進行多次成對比較時，控制整體第一類錯誤機率，並確定哪些組別均值之間存在顯著差異。

詳解：

Bonferroni 事後檢定是 ANOVA 後的一種多重比較方法，用於在確認至少有一個組別均值不同後，進一步找出具體是哪些組別之間存在顯著差異。它透過調整顯著水準來控制整體第一類錯誤機率。

表格中提供了各對貨架之間平均糖含量差異的 P-value。當 P-value 小於我們設定的顯著水準 $\alpha$ 時（通常為 0.05），我們就認為這對貨架之間的平均糖含量存在統計學上的顯著差異。

我們逐一檢視表格中的 P-value：

1. Shelf 1 vs Shelf 2:

   • P-value = 0.001。
   • 由於 0.001 < 0.05，因此貨架 1 和貨架 2 之間的平均糖含量存在顯著差異。
   • 從「Mean Difference (I-J)」來看，Shelf 1 - Shelf 2 = -1.728。這表示貨架 1 的平均糖含量低於貨架 2。

2. Shelf 1 vs Shelf 3:

   • P-value = 0.409。
   • 由於 0.409 > 0.05，因此貨架 1 和貨架 3 之間的平均糖含量沒有顯著差異。

3. Shelf 2 vs Shelf 1:

   • P-value = 0.001。
   • 這與 Shelf 1 vs Shelf 2 的比較是相同的，只是符號相反。0.001 < 0.05，表示有顯著差異。Shelf 2 - Shelf 1 = 4.819，確認貨架 2 的平均糖含量高於貨架 1。

4. Shelf 2 vs Shelf 3:

   • P-value = 0.023。
   • 由於 0.023 < 0.05，因此貨架 2 和貨架 3 之間的平均糖含量存在顯著差異。
   • Shelf 2 - Shelf 3 = 3.091，表示貨架 2 的平均糖含量高於貨架 3。

5. Shelf 3 vs Shelf 1:

   • P-value = 0.409。
   • 這與 Shelf 1 vs Shelf 3 的比較是相同的。